文档内容
第十九讲：直线、平面平行的判定与性质
【考点梳理】
1、直线、平面平行判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
平面外一条直线与此平面
a⊄α，b⊂α，
判定定理 内的一条直线平行，则该
a∥b⇒a∥α
直线平行于此平面
一条直线和一个平面平
行，则过这条直线的任一 a∥α，a⊂β，
性质定理
平面与此平面的交线与该 α∩β＝b⇒a∥b
直线平行
2. 平面与平面平行判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
一个平面内的两条相
a⊂α，b⊂α，
交直线与另一个平面
判定定理 a∩b＝P，a∥β，
平行，则这两个平面
b∥β⇒α∥β
平行
两个平面平行，则其
α∥β，
性质定理1 中一个平面内的直线
a⊂α⇒a∥β
平行于另一个平面
如果两个平行平面同
时和第三个平面相 α∥β，α∩γ＝a，
性质定理2
交，那么它们的交线 β∩γ＝b⇒a∥b
平行
【典型题型讲解】
考点一：线面平行的判定及性质
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）如图，四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，
，E是 的中点.
在线段 上找一点M，使得直线 平面 ，并说明理由；
【解析】当点M为线段 的中点时，直线 平面 ，理由如下：
如图所示：分别取PB，PC的中点M，F，连接EM，DF，FM，
因为四边形 ，E是 的中点，
所以 ， ，
所以 ，
所以四边形DEMF是平行四边形，
所以 ，又 平面PCD， 平面PCD，
所以 平面PCD；
例2.如图，在三棱锥 中， 和 均是边长为4的等边三角形． 是棱 上的点，
，过 的平面 与直线 垂直，且平面 平面 ．
在图中画出 ，写出画法并说明理由；
【解析】如图，在 内过 作 ，交 于 ，则直线 即为直线 ．
理由如下：取 的中点 ，连结 ， ，
因为 和 均为等边三角形，
所以 ， ，所以 ， ，又因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以直线 即为直线 ．
【方法技巧与总结】
（1）可以拿一把直尺放在这条直线 位置（与 平齐），
（2）然后把直尺平行往平行平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，画出这条直线，
寻找是中位线或者平行四边形证明线线平行.
【变式训练】
1．（2022·广东·金山中学高三期末）如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ，且
为等边三角形，平面 平面 ；点 分别为 的中点．
证明： 平面 ；
【解析】【详解】（1）设 的中点为 ，连接 ，
为 的中点，所以 为 的中位线，
则可得 ，且 ；在梯形 中， ，且 ，
，
所以四边形 是平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
2．（2022·广东揭阳·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 为梯形，
，平面 平面 为棱 上的点，且 .
求证： 平面 ；
【解析】设点 为 的一个三等分点，且 ，连接 ，如图所示.
，且又 ，且 ，从而可得 ，且 .
综上可知四边形 是平行四边形.
平面 平面 ，
平面
3．（2022·广东潮州·高三期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD， ，
，点E，F分别为CD，AP的中点．
(1)证明:PC//平面BEF；
【解析】证明：连接 ，交 于 ，连接 ，
点 为 的中点， ，
， ， ，
， ，即点 为 的中点，
又 为 的中点， ，
面 ， 面 ，
面 ．
4.如图， ，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O
的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D， ， ， 为圆台的母线， ．证明； 平面 ；
【解析】连接 ，C为圆O的直径AB所对弧的中点，
所以△ 为等腰直角三角形，即 ，
又 在圆 上，故△ 为等腰直角三角形，
所以 且 ，又 是母线且 ，则 ，
故 且 ，则 为平行四边形，
所以 ，而 面 ， 面 ，
故 平面 ．
5．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台 中， ， ，
四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．求证： 平面 ；
【解析】在四棱台 中，四边形 为平行四边形，且 ，点E为棱BC的
中点，连 ，如图，
则有 ， ，即四边形 为平行四边形，
则 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
6.在如图1所示的等腰梯形 中， ，将它沿着两条高 折叠成如
图2所示的四棱锥 （ 重合），点 分别为线段 的中点．证明： 平面 ；
【解析】证明：取EC的中点G，连接NG，BG，
因为点 分别为线段 的中点．
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以四边形MBGN是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
7.如图所示，四棱锥 的底面 是直角梯形， ， 底
面 ，过 的平面交 于 ，交 于 （ 与 不重合）．求证： ；
【解析】证明：在梯形 中， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ．
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．8.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径 ，母线 ，M是PB的中
点，四边形OBCH为正方形．
设平面 平面 ，证明： ；
【解析】因为四边形OBCH为正方形，∴ ，
∵ 平面POH， 平面POH，∴ 平面POH．
∵ 平面PBC，平面 平面 ，∴ ．
【典型题型讲解】
考点二：面面平行的判定和性质
【典例例题】
例1.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．证明：平面BMN∥平面PCD；
【解析】证明：连接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD．
∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD．又BM 平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD．
∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD．
又MN 平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD．
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．
例2.四棱锥 的底面 是边长为2的菱形， ， 底面 ， ， ，
分别是 ， 的中点．已知 ，若平面 平面 ，求 的值；
【解析】若平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
由面面平行的性质定理可知： ，
于是 ，由 为 的中点知： 为 的中点，故 ，
所以 ．
【方法技巧与总结】
证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于
这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
面面平行的定义可以推出线面平行，面面平行性质可以推出线线平行.
【变式训练】
1.在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 ，
分别是棱 ， 的中点．求证：平面 平面 ．
【解析】∵ ， ，垂足为 ，∴ 是 的中点，又因为 是 的中点，
∴ ∥ ，∵ 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 ；
同理 ∥ ，∵ 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 ；
又 ，∴平面 ∥平面 ．
2.如图，在四棱柱 中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱 ， ，
的中点．证明：平面 平面 ；
【解析】证明：连接EG， ．
因为E，G分别是棱 ， 的中点，所以 ， ．
因为 ， ，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，则 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为E，F分别是棱 ， 的中点，所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ， 平面 ，且 ，
所以平面 平面 ．
3.如图，在正方体 中，E，F分别为棱 的中点．求证：平面 平面BDF；
【解析】证明：在正方体 中，E，F分别为棱 的中点，
所以 ．
因为 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以
又 平面BDF， 平面BDF，
所以 平面 ．
同理， ，又 平面BDF， 平面BDF，
所以 平面 ．
又 ， 平面 ，
所以平面 平面
4.在长方体 中， ，P为 的中点．已知过点 的平面 与平面 平行，平面 与直线 分别相交于点M，N，请确定点M，N
的位置；
【解析】依题意，如图，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面
，
则 ，在长方体 中， ，则有四边形 为平行四边形，
于是得 ，即点M是棱AB的中点，同理点N是棱 的中点，
所以 分别是棱 的中点．
5.如图，在直棱柱 中，点E，F分别为 ，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面 平面 ，并给予证明；
【解析】证明：如图所示：
取AB中点D，连结CD交AF于G，即G为 的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，
平面 平面 ．
证明：连结DE．
因为在三棱柱 中，D，E分别为AB， 的中点，
所以 ，且 ，则四边形 是平行四边形，
故 ．
又 平面 ， 平面
所以 平面 ．因为在三棱柱 中，D，E分别是AB， 的中点，
则 且 ，四边形 是平行四边形，
所以 ．又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 ．
6.如图，在直棱柱 中，点E，F分别为 ，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确
定点G的位置，使得平面 平面 ，并给予证明
【解析】证明：如图所示：
取AB中点D，连接CD交AF于G，即G为 的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，
平面 平面 ．
证明：连接DE．因为在三棱柱 中，D，E分别为AB， 的中点，
所以 ，且 ，则四边形 是平行四边形，
故 ．
又 平面 ， 平面
所以 平面 ．
因为在三棱柱 中，D，E分别是AB， 的中点，
则 且 ，四边形 是平行四边形，
所以 ．又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 ．
【巩固练习】
1．已知长方体 中， ， ， ， 分别为棱 和 的中点， 为
长方体表面上任意一点．若 平面 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】如图所示，取 ， 分别为棱 和 的中点，连接 ，
由题意易知 ，
所以 ；
又易知 ，
故可以证明平面 平面 ；又 平面 ，由面面平行的性质可知 平面 ，
所以由题意可知 在等腰梯形 四条边上运动，
过点 作 ，交 于点 ，
由题意可知 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以故当 与 点重合时， 的值为最大值，此时 ；
故选：C
2．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形 为正方形， 分别为 的中点，在此几何
体中，下面结论错误的是（ ）A．直线 与直线 异面 B．直线 与直线 异面
C．直线 平面 D．直线 平面
【答案】B
【解析】
由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接 ，易得
，则 ，
故 共面，则 共面，故B错误；又 面 ， 面 ， 不在直线 上，则
直线 与直线 异面，A正确；
由 ， 平面 ， 平面 ，则直线 平面 ，C正确；
平面 ， 平面 ，则直线 平面 ，D正确．
故选：B．
3．如图，在棱长为1的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一动点（含
边界），若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ，
所以 ，正方体中，易得 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 为 中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 为正方形 内一动点（含边界），所以 在线段 上，
可得 ，
则当 在 中点时， 取得最小值为 ，
当 在 两端时， 取得最大值为 ，所以 长度的取值范围是 ．
故选：D．
4．已知点E，F分别是正方体ABCD－A B C D 的棱AB，AA 的中点，点M，N分别是线段D E与C F
1 1 1 1 1 1 1
上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】D
【解析】如图所示，
作平面KSHG∥平面ABCD，C F，D E交平面KSHG于点N，M，连接MN，
1 1
由面面平行的性质得MN∥平面ABCD，
由于平面KSHG有无数多个，
所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，
故选：D．二、多选题
5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四
个正方体中，直线 与平面 平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故
A错误；
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；
故选：BCD
三、填空题
6．三棱锥 中， ，过线段 中点E作平面 与直线 、 都平行，且分别交
、 、 于F、G、H，则四边形 的周长为_________．
【答案】2【解析】因为 平面 ，平面 平面 ， 平面ABC，
所以 EH，又点E为 中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故 ．
同理，
所以四边形 的周长为2．
故答案为：2
7．如图所示， 为平行四边形 所在平面外一点， 为 的中点， 为 上一点，若 平面
，则 _______
【答案】
【解析】连接 交 于点 ，连接 ，∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，又 ，∴ ．
故答案为： ．
四、解答题
8．如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ，
M，N分别为 ，AC的中点．求证： 平面 ；
【解析】取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
，则 ，同理可得 平面 ，
而 ， 平面 ，故平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面9．如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面 ， 分别是 ，
的中点．记平面 与平面 的交线为 ，求证：直线 平面
【解析】因为 分别是 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，平面 与平面 的交线为 ，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面PAC．
10.如图，直三棱锥 中， ， ， 是 边的中点，过
作截面交 于点 ．求证： ；【解析】证明：如图，在直三棱锥 中，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．
11.如图，在正方体 中，点E在棱 上，且 ，点F是棱 上的一个动点．
点F在什么位置时， 平面 ，并说明理由．
【解析】点F位于 的三等分点（靠近D点）时， 平面 ，理由如下：
以A为坐标原点，分别以AB，AD， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体
棱长为 ，则 ，设 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 得： ，
所以 ，
因为 ，
令 ，
解得： ，
所以当点F位于 的三等分点（靠近D点）时， 平面 ．
12.如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，点 为线段
上的点，且 ．（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且在线段 上存在一点 ，使得 平面 ．请确定点 的位置．并证明
你的结论．
【解析】（1）证明： 为矩形
又
平面 ，
平面
平面 平面
（2）取 三等分点 ，使得 ，
连接 平面 平面 则 平面
延长 交 于点 ，
，∴ ，即
为BC中点
