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微专题16 立体几何经典题型精练
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥 ，底面ABCD是平行四边形，
，且平面SCD 平面ABCD，点E在棱SC上，直线 平
面BDE.
(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角 的大小为 ，且 .求直线BE与平面ABCD所成的角的正切
值.
【解析】（1）连AC交BD于F，连EF．
∵ABCD是平行四边形，∴
∵直线 平面BDE， 面PAC，面 面 ，
∴ ，由 是 中点，
∴E为棱SC的中点；
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG
∵侧面SCD满足 ，不妨设
∴ ，
∵平面 平面ABCD，平面 平面
∴ 平面ABCD，又 平面ABCD，故 ，
∵
∴
∵ ∴ ，∴ ，又 ， 平面 ，
∴ 平面
∴ 是二面角 的平面角
∴ ，又 ，∴ ∴ ∴
∴ ∴
∴ ，∵
∴ ，∴ 平面ABCD
∴ 为直线EB与平面ABCD所成的角
，即直线EB与平面ABCD所成的角的正切值为
例2．（2023·浙江·三模）如图，四面体 的棱 平面 ，
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成锐二面角的正切值为 ，线段 与平面 相交，求平面
与平面 所成锐二面角的正切值．
【解析】(1)作 于M，连接 ，则 ， ，则
，
则 ，故 ．又 ，则 ，又
， 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 ．
(2)
作 于G， 于H，由（1）知 ，又 ， 平面
，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，又 ，同理可得 平面 ， ，
则 三点共线．
由平面 与平面 所成锐二面角的正切值为 ，则 ，又 ，则
．又 ，
则 ， ，则 ．延长 交于点N，连接 ，
作 于K，
易得 ，又 ， 平面 ，则 平面 ，又
平面 ，则 ，
则平面 与平面 所成锐二面角即 ．又 ，则 ，又
，则 ，
故 ，故 ．
例3．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）如图（1），在正方形
中， 、 、 分别为 、 、 的中点，点 在对角线 上，且 ，
将 、 、 分别沿 、 、 折起，使 、 、 三点重合（记为
），得四面体 （如图（2）），在图（2）中.(1)求证： 平面 ；
(2)在 上，求一点 ，使二面角 的大小为 .
【解析】（1）在图（1）中，连接 ，设 ，S为 的中点，连接 、
， ， ，而 分别是 的中点，则
， ，于是 ，
又 ，则 为 的中点，也为 的中点.
在图（2）中， 的中点为 ，连接 ，又 为 的中点，∴
∵ 不在平面 内， 在平面 内，∴ 平面 .（2）由题意知，在图（2）中，直线 、 、 两两互相垂直，且相交于一点 .
∴以 为原点，分别以直线 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系
.
设正方形 的边长为 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
设 ，
∴ ，
设平面 的一个法向量为 ，则 得 ，得
，取 ，得 ，∴ ，
又知平面 的一个法向量为 ，∴ ，即
，即 ，
解得 .
∴所求的 点在 上靠近 的三等分点处.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知梯形 ，现将梯形沿对角线 向上
折叠，连接 ，问：
(1)若折叠前 不垂直于 ，则在折叠过程中是否能使 ？请给出证明；
(2)若梯形 为等腰梯形， ，折叠前 ，当折叠至面 垂直于
面 时，二面角 的余弦值．
【解析】（1）假设折叠过程中能使 ．
折叠前，假设 ，E为垂足，连 ，则 与 不垂直．①
折叠后，若 ，又 与 是平面 内的相交直线，
故 平面 ，又 平面 ，从而有 ，故折叠前也应有 ②.显然，①与②矛盾．故假设不能成立．
即折叠过程中不能使 ．
（2）设折叠前 与 的交点为F，则由题意易知 ．
折叠前，在梯形 内过B做 ，垂足为G，
则 ．
折叠后，因为面 垂直于面 ，而 ，所以 ．
所以 ，
又 和 是平面 内的相交直线，所以 平面 ．所以 ．
解法①：过点C在平面 内作 ，H为垂足，连接 ，
又 ，则 平面 ，又 平面 ，所以 ，
故 即为二面角 的平面角．
在 中， ，
所以 ，又 ，则得 ，又 ，
所以 ，
即二面角 的余弦值为 ．
解法②：以F为原点，分别以FD、FC、FB为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
则 ．
于是， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
则 ，令 ，则 ，则 ，
设平面 的一个法向量 ，则
则 ，令 ，则 ，则 ，
记二面角 的平面角为 ，
则 ．
又观察发现二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 ．
例5．（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）如图，C是以 为直
径的圆O上异于A，B的点，平面 平面 为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面
与平面 的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范
围.
【解析】（1）证明：因为C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 平面 .
所以
（2）由E，F分别是 的中点，连结 ，所以 ，由（1）知 ，
所以 ，所以在 中， 就是异面直线 与 所成的角.
因为异面直线 与 所成角的正切值为 ，
所以 ，即
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以
所以在平面 中，过点A作 的平行线即为直线l.以C为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面 的直线为z
轴，建立空间直角坐标系，设 .
因为 为正三角形所以 ，从而
由已知E，F分别是 的中点，所以
则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以可设 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，则 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的取值范围为 .
例6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，几何体 中， 均为正三
角形，四边形 为正方形， 平面 ， ，M，N分别为线段
与线段 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）设P,Q在平面ABCD上的射影分别为G,H,
取 中点E，连 ，由于 均为正三角形，
故 ,而 ，故 平面PGE,
平面PGE,故 ,
即G点在AD的垂直平分线上，同理可证H在BC的垂直平分线上，
由于四边形 为正方形，故EN垂直平分AD,BC,
故G,E,N,H在一条直线上，
因为 平面 ，则 ,
故四边形 为平行四边形，则 ,
则 ;
延长 于F使得 ，连 ，延长 交 于O，连 ，
取 中点J，连结 ，则四边形 是平行四边形，∴ ， ，
又∵ ，则 ,∴ ，
即 ,故 ,
故 ,
∴四边形 为平行四边形.，
∴ ，又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）由（1）得，四边形 是平行四边形， ，
∵ 均为正三角形，E为 中点.∴
又∵ ，∴ 面 .
∴面 面
∵在四边形 中 且 ，∴ ,
又∵面 面 面 ，∴ 面 ,
方法一：（等体积法）
∵ ，∴直线 与平面 所成角等于 与平面 所成角,
∵ ， ， ， ,
设F到平面 的距离为d，∴ ，
设 与平面 所成角为 ，∴ ；
方法二：（向量法）
连接 ，以 为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ，由于 ,
故 ，
于是 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
得法向量的一个解为 ，
所以直线 与面 所成角 .
【过关测试】
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥 在
以 为直径的圆上， 平面 为 的中点，
(1)若 ，证明： ⊥ ；(2)当二面角 的正切值为 时，求点 到平面 距离的最大值.
【解析】（1）记AC的中点为O，连结 ，则O为圆心，
又E为SC的中点，所以EO SA，
因为 平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，
连接 ，取连接OD并延长，交 于点 ，
因为 ，所以 ，
由对称性可知AB=AD，故 为等边三角形，
又因为O为 的外心，所以O为 的中心，故 ，
∵ 平面 ， 平面ABCD，
，
∵ ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面EOD，
.
（2）过点D作 于 ，作 于 ，连接 ，
因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以SA⊥DH，
因为 ， 平面ASC，
所以DH⊥平面ASC，
因为 平面SAC，
所以DH⊥SC，
因为 ， ， 平面DHN，
所以SC⊥平面DHN，因为DN 平面DHN，
所以 ，
故 为二面角 的平面角，
因为 ，所以 ，故 为等边三角形，
由题意知 ，
， ，
，
，
在Rt 中， ，
，
∵三角形ASC为直角三角形，
∴三角形ASC为等腰直角三角形，
，
又由 ，
由勾股定理得： ，
因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以SA⊥DC，
因为AC为直径，所以AD⊥DC，
因为 ， 平面ASD，
所以DC⊥平面ASD，因为 平面ASD，
所以DC⊥SD，
，
由于点 在半圆弧 上运动，当 位于线段 中垂线上时， 的面积取得最大值，
且最大值为 ，
设点 到平面 距离为 ，
根据 ，
即点 到平面 距离的最大值为 .
2．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在四棱锥 中， ，
， ， ，平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)若 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的大小.
【解析】（1）取AD中点为O，AB中点为F，连接OS，OF，DF，
，
，
平面 平面 ，且平面 平面 ，平面 ，
，
在四边形ABCD中， ， ，
四边形ABCD为直角梯形，
，
，
， ，
四边形BCDF为正方形，
且 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
， 平面SAD， 平面SAD，
平面SAD，
平面SAD，
；
（2） 、F为AD、AB的中点，
，且 ，
由（1）知 ，
，
以O为原点，OA、OF、OS分别为x、y、z轴，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，则 ， ， ，
设 ， ，
则 ，
设 ，
则 ，
则 ，则 ，
则 ，
设平面SAD的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
设平面ADE的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
二面角 的余弦值为 ，
，
，即 ，
，，
，解得： ，
故 .
3．（2023秋·河南开封·高三统考期末）如图,在四棱锥 中, 平面 ,
平面 ,底面 为矩形,点 在棱 上,且 与 位于平面 的两侧.
(1)证明: 平面 ;
(2)若 , , ,试问在线段 上是否存在点 ,使得 与 的
面积相等？若存在,求 到 的距离;若不存在,说明理由.
【解析】（1）证明:因为 平面 ,
平面 ,
所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
因为底面 为矩形,
所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
因为 ,
且 平面 , 平面 ,
所以平面 平面 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 ;（2）设线段 上存在点 使得 与 的面积相等,
过 作 ,垂足为 ,
因为 平面 ,
所以 ,
故 ,
所以 ,
故 ,
因为 ,
所以 ,
过 作 ,垂足为 ,连接 ,
过 作 ,垂足为 ,连接 ,如图所示:
因为 底面 , ,
所以 底面 ,
所以 ,
又 , ,
所以 平面 ,
因为 平面
则 ,
同理可得 ,
因为 与 的面积相等,
所以 ,
在 中,根据等面积法可得 ,则 ,
设 , ,
则 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
整理得 ,
因为 ,所以 ,
故存在 ,且 到 的距离为 .
4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线 、 上分别有两点A、B.则将
线段AB的最小值称为直线 与直线 之间的距离.如图，已知三棱锥 中， 平
面PBC， ，点D为线段AC中点， .点E、F分别位于线段AB、
PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：
.
(2)若 ，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的
距离.【解析】（1）因为在三棱锥 中， 平面PBC， ，
所以易得 两两垂直，
以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，故 ，
不妨设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ， ， ，
要证 ，只需证 不是直线 与 的公垂线即可，
假设 是直线 与 的公垂线，则 ，
故 ，即 ，
整理得 ，消去 ，得 ，即 ，
所以 ，不满足 ，故假设不成立，
所以 .
.
（2）不妨设 ，则 ，
由（1）得 ， ， ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
不妨设 是直线 与 的公共法向量，
所以 ，令 ，则 ， ，故
，
设线段EF所在直线 与线段 所在直线之间的距离为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，即线段EF所在直线 与线段 所在直
线之间的距离为 .
5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中， ，D是
AC的中点，E是AB上一点，且 .将 沿着DE折起，形成四棱锥 ，
其中点A对应的点为点P，如图2.
(1)在图2中，在线段PB上是否存在一点F，使得 ∥平面PDE？若存在，请求出 的
值，并说明理由；若不存在，请说明理由；
(2)在图2中，平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的大小为 ，求四棱锥 的体
积.
【解析】（1）当 时， ∥平面PDE.理由如下：
过点 作 ，垂足为H，
在PE上取一点M，使得 ，连接HM，FM，
因为 ， ，所以 ∥ ，且
因为D是AC的中点，且 ，所以 ∥ ，且
所以 ∥ 且 ，CFMH是平行四边形，即 ∥ ，
又因为 平面PDE， 平面PDE，所以 ∥平面PDE；
（2）易知 ， ，且 ，
作 平面 ，以向量 为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设 ，
则 ， ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，则 ， ，
所以 ，
易知平面 的法向量 ，设平面PBE与平面PCD所成锐二面角为 ，由题意可知， ，
整理得 ，解得 或 （舍去）.
所以 ，
所以四棱锥 的高 ，
又四边形 的面积 ，
所以四棱锥 的体积 .
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱台 中，底面 是边长
为2的菱形， ，平面 平面 ，点 分别为 的中点，
均为锐角.
(1)求证： ；
(2)若异面直线 与 所成角正弦值为 ，四棱锥 的体积为1，求二面角
的平面角的余弦值.
【解析】（1） 底面 是菱形，
，
又 平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
.
（2）解法一：由（1）知 面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
作 交线 ，垂足为 ，
因为平面 平面 = ， 平面 ，则 面 ，
又 平面 ，所以 .
再作 ，垂足为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，又面
则 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为 平面 ，所以 到底面 的距离也为 .
作 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ＝ ，
平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又 为锐角，
所以
又 ，所以 为等边三角形，故 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
所以二面角 的平面角的余弦值为 .解法二：由（1）知 面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
作 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ＝ ，
平面 ，所以 平面 ，
如图，建立直角坐标系： 为原点， 为 轴方向， 轴 .
因为 平面 ，所以 到底面 的距离也为 .
所以 ，又 为锐角，所以
又 ，所以 为等边三角形，故 ，
在空间直角坐标系中： ，设 ，则
则 ，
设平面 的法向量为 ，
，取
设平面 的法向量为 ，，取
所以 ，
由题知二面角为锐角，故二面角 的平面角的余弦值为 .
7．（2023·陕西渭南·统考一模）在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形
ACDE为直角梯形， ，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，
且点 满足 ．
(1)证明：GF 平面ABC；
(2)当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的正弦值．
【解析】（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND，
在梯形ACDE中， 且DC= EA，
而M，N分别为BA，BE中点，
∴MN//EA，MN= EA，
∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，∴CM//DN，
又 ，N为EB中点，
∴G为EN中点，又F为ED中点，
∴GF//DN，故GF//CM，又CM 平面ABC，GF 平面ABC，∴ 平面ABC.
（2）在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．
∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE 平面ABC=AC，BH 平面ABC，BH⊥AC，
∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，
又底面ACDE面积确定，要使多面体ABCDE体积最大，即BH最大，
此时AB=BC= ， ， 为 的中点，
连结 ，易得 ，易知HB，HC，HF两两垂直，
以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系H-xyz，
∴ ，
则 ，
设 为平面ABE的一个法向量，则 ，即 ，取
，
设 为平面DBE的一个法向量，则 ，即 ，取
，
∴ ，
∴二面角A BE D的正弦值为 .
8．（2023·全国·高三专题练习）在三棱柱 中， ， 平面 ，
、 分别是棱 、 的中点.(1)设 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正切值为 ，求多面体 的体
积 .
【解析】（1）连接 ， ，
因为点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
所以 且 ， ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 即是直线 与平面 所成的角，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ，
所以 ， ，所以 ，
由（1）知多面体 为四棱锥，且四边形 是平行四边形，
所以 .
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形，
， ， .
(1)求证： 平面ABCD；
(2)设 ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 时，求 的值.
【解析】（1）取CD的中点E，连接BE，
四边形ABCD为直角梯形， ，且E为CD的中点，
且 ，所以，四边形ABED为矩形，
，
，
，
，
， 平面 ， 平面 ， 平面PAD，
平面PAD， ，
， 平面 ， 平面 ， 平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA､AB､AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB､AD､AP所在直
线为x､y､z轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，则 ，
所以， ，
设平面PBD的法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，得 .
，
设平面PAM的法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，则 ，
，
由于平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 ，
则 ，整理可得 ，
，解得 .
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中，四边形 是边长
为4的菱形， ，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面 与棱
交于点E.
(1)求证： ；
(2)若 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB
与平面 所成角的正弦值.条件①：平面 平面 ；条件②： ；条件③： .
【解析】（1）在三棱柱 中， ，又 面 ， 面
，
所以 平面 ，又面 面 ， 面 ，
所以 .
（2）选①②：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形.
又 为 中点，所以 ，
又面 面 ，面 面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故
.
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .选②③：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形.
又 为 中点，故 ，且 ，又 ， .
所以 ，则 .
又 ， 面 ，所以 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故
.
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
选①③：取 中点 ，连接 ， .
在 中，因为 ，所以 ，且 ， .
又面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
在 中， ，又 ， ，
所以 ，则 .
由 ， 面 ，则 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故.
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
11．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥
中，四边形 是矩形， 是正三角形，且平面 平面 ， ， 为
棱 的中点，四棱锥 的体积为 ．
(1)若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若
存在，指出点 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
取 中点 ，连接 ，
分别为 的中点，
，
底面四边形 是矩形， 为棱 的中点，
， ．
， ，故四边形 是平行四边形，
．
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）假设在棱 上存在点 满足题意，
在等边 中， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，则 是四棱锥 的高．
设 ，则 ， ，
，所以 .
以点 为原点， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
故 ， ， ．
设 ，
．
设平面PMB的一个法向量为 ，
则
取 ．
易知平面 的一个法向量为 ， ，
，故存在点 ，位于 靠近点 的三等分点处满足题意.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点 ，
别是边BC，CD的中点， ， ．沿MN将 翻折到
的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面
PMN夹角的余弦值为 ？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）在翻折过程中总有平面 平面 ，
证明如下：∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
又 ，∴ ，且 是等边三角形，
∵ 是 的中点，∴ ，
∵菱形 的对角线互相垂直，∴ ，∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）由题意知，四边形 为等腰梯形，
且 ， ， ，
所以等腰梯形 的面积 ，
要使得四棱锥 体积最大，只要点 到平面 的距离最大即可，
∴当 平面 时，点 到平面 的距离的最大值为 .
假设符合题意的点 存在．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示空间
直角坐标系，则 ， ， ， ，又 ，
又 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，故平面 的一个法向量为 ，
设 （ ），
∵ ，
，故 ，
∴ ， ，
平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
即
令 ，所以
，
则平面 的一个法向量 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，即 ，解得： ，
故符合题意的点 存在且 为线段 的中点．
13．（2023·上海·高三专题练习）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底
面直径 ，母线 ，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面 平面 ，证明： ；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN
的长.
【解析】（1）因为四边形OBCH为正方形，∴ ，
∵ 平面POH， 平面POH，∴ 平面POH.
∵ 平面PBC，平面 平面 ，∴ .
（2）∵圆锥的母线长为 ， ，∴ ， ，
以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ， ，
， 为平面PAB的一个法向量，
设MN与平面PAB所成的角为 ，则 ，令 ，
则
所以当 时，即 时， 最大，亦 最大，此时 ，
所以 .
14．（2023秋·安徽·高三校联考期末）如图，在四棱锥 中，
，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角 平面角的补角大小为 ，若 ，求平面PAD和平面PBC夹
角余弦值的最小值．
【解析】（1）取PA的中点G，连接DG，EG，如图所示：
则 ，且 ， ，
所以四边形CDGE为平行四边形．
因为 ，所以 为直角三角形， ，
在 中，因为 ，所以 ，
所以所以CE的长为 ；
（2）在平面ABCD内过点A作BC的平行线，交CD的延长线于点M，如图所示，
则 ， ，
以点M为坐标原点，分别以MA，MC为x轴和y轴，以与平面 垂直的直线为z轴，
建立空间直角坐标系 ，取AD的中点为N，连接PN，MN，则 ，
， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，在平面PMN内过点P作 ，垂足为F，
因为平面 平面 ，所以 平面 ，
由已知可得 ，则 ，设 ．
因为 ，所以 ，
因为 ， ， 为线段 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
设平面PAD的法向量 ，
则
令 ，则 ．
设平面 的法向量 ，因为 ，
则
令 ．则 ，所以 为平面 的一个
法向量．
设平面PAD和平面PBC的夹角为 ，
则
．
令 ，所以 ，
所以 ，所以当 时， 有最小值 ，
所以平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值为 ．
15．（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考期末）如图所示，圆锥的高 ，底面圆O
的半径为R，延长直径AB到点C，使得 ，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切
线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点A到平面 的距离．【解析】（1）由题设， 平面 ，又 是切线 与圆 的切点，
∴ 平面 ，则 ，且 ，
又 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）作 ，以 为原点，以 、 、 为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐
标系，
且 ，
又 ，可得 ，
∴ ， ， ，
有 ， ， ，
设 是面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，
又直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
即 ，
整理得 ，即 ，解得 或
当 时， ， ， ， ，
， ，
设 是面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，
所以点A到平面 的距离当 时， ， ， ， ，
， ，
设 是面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，
所以点A到平面 的距离
综上，点A到平面 的距离为 或 .
16．（2023秋·江苏南通·高三海安高级中学期中）如图，在三棱锥 中，平面
平面 ， ， ，O为BD中点．
(1)求二面角 的正弦值；
(2)E为 内的动点（包含边界），且 平面 ，求OE与平面 所成角的正
弦值的最大值．
【解析】（1）（方法一）连结AO．因为 ，O为BD中点，所以 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．因为 平面 ，所以 ．
过点O作 ，交CD于点E，连结AE．
因为AO， 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角．
因为 ， ，
所以在 中， ， ， ，所以 ，
即二面角 的正弦值为 ．
（方法二）连结AO．因为 ，O为BD中点，所以 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 ，O为BD中点，所以 ，
所以OC，OD，OA两两互相垂直．
以 为一组基底建立如图所示空间直角坐标系 ．
因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 为平面 的一个法向量．
设平面 的的法向量 ，
所以 ，即 ．
令 ，得平面 的一个法向量 ．所以 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
（2）取AD中点M，CD中点N．
因为O为BD中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ．
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 ．
因为E为平面 内动点（包含边界），且 平面 ，
所以E在线段MN上．
由 ， ， ，
所以 ， ，
则 ．
设OE与平面 所成角为 ，则
，
当 时， 的最大值为 ，
所以OE与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
17．（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）如图①所示，长方形中， ， ，点 是边 靠近点 的三等分点，将△ 沿 翻折
到△ ，连接 ， ，得到图②的四棱锥 .
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小
值.
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 ，则 ，
当平面 平面 时， 点到平面 的距离最大，四棱锥 的体积取
得最大值，
此时 平面 ，且 ，
底面 为梯形，面积为 ，
则四棱锥 的体积最大值为 ；
（2）连接 ，
因为 ，所以 ，
所以 为 的平面角，即 ，
过点 作 平面 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴，
轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
过 作 于点 ，由题意得 平面 ，
设 , , ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
则 ，
令 ，可得： ，
设两平面夹角为 ，
则
，
令 ，所以 ，则所以 ，所以当 时， 有
最小值 ，
所以平面 和平面 夹角余弦值的最小值为 .
18．（2023秋·天津北辰·高三校联考期中）如图，在三棱锥 中， 底面 ，
，点 分别为棱 的中点， 是线段 的中点，
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)已知点 在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
【解析】（1）在三棱棱 中， 底面 ， ，易得 两
两垂直，故以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为点 分别为棱 的中点， 是线段 的中点， ，
则 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，即 ，
令 ,则 ，故 ，
所以 ，故 ，
又 平面 ，所以 平面 .
.（2）由（1）得 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
令 ，则 ，得 ，
易知 平面 ，故设平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的平面角为 ，则由图形易知 为锐角，
故 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（3）设 ，则 ，
故
则 ，解得 或 （舍去），
故 ，即线段 的长为 .
19．（2023秋·海南·高三海南华侨中学校考阶段练习）已知四棱锥 的底面ABCD
是平行四边形，侧棱 平面ABCD，点M在棱DP上，且 ，点N是在棱PC
上的动点（不为端点）.(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出 的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证： 平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且 ，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所
成角的正弦值取最大值.
【解析】（1）（i）设AC与BD的交点为O，连接PO与AN交于点G，
点O为AC中点，点N为PC中点，
PO与AN的交点G为 的重心，
，
又 PO为 在BD边上的中线，
点G也为 的重心，即重心点G在线段AN上.
（ii）
证明：连接DG并延长交PB于点H，连接 ，点G为 的重心，
，
又 ，
即 ，又MG在平面AMN内，BP不在平面AMN内，
所以PB∥平面AMN.
（2） 四边形ABCD是正方形，且 平面ABCD，
AB、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点， 方向为x轴正方形建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则点 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设 则 ，
，
设平面AMN的法向量为 ，
则有 ，化简得： ，
取 则， ，
设直线PA与平面AMN所成角为 ，
则 ，
当 时 的值最大，
即当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大，
最大值为 .
20．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）如图，在直角梯形
中， ， ， 平面 ， ，
．
(1)求证： ；
(2)在直线 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图，作 ， ，连接 交 于 ，连接 ， ，
∵ 且 ，∴ ，即点 在平面 内．
在平行四边形 中， ，
∴ ，又由 平面 知 ，
∴ 平面 ，∴ ①
在矩形 中， ，∴ ②
∴由①②知， 平面 ，∴ ．
（2）
如图，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，设 ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ， ，∴ ，
又 平面 ，∴ 为平面 的一个法向量，
∴ ，解得 ，故在 上存在点 ，且 ．
21．（2023秋·安徽·高三校联考开学考试）如图，在三棱柱 中，
平面 .
(1)求证: ;
(2)若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦
值.
【解析】（1）证明: 因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 四边形 是平行四边形， 所以四边形 是菱形，
所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ， 所以 .
（2） 因为 与平面 所成角为 平面 ，所以 ，
因为 ， 所以 是正三角形，
设 ， 则 ，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示，则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设二面角 的大小为 ，因为 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
22．（2023·全国·高三专题练习）如图在四面体 中， 是边长为2的等边三角形，
为直角三角形，其中D为直角顶点， .E､F､G､H分别是线段 ､ ､
､ 上的动点，且四边形 为平行四边形.
(1)求证： 平面 ；
(2)设二面角 的平面角为 ，求 在区间 变化的过程中，线段 在平面
上的投影所扫过的平面区域的面积；
(3)设 ，且平面 平面 ，则当 为何值时，多面体 的
体积恰好为 ？
【解析】（1）证明：∵四边形 为平行四边形，∴ ．
而 面 ， 面 ，∴ 面 ．而 面 ，面 面
，
∴ ∥ ．而 面 ， 面 ，∴ ∥平面 ．
（2）∵ ，∴ 在平面 上的投影满足 ，即 在线段 的中垂线上．
如图所示，将 补成边长为 的正 ，
当二面角 为 角时，即点 在平面 上，此时 为 ，
当二面角 为 角时，此时 为 中点 ，
故 在平面 上的投影所扫过的平面区域为 ，而 ，
故线段 在平面 上的投影所扫过的平面区域的面积为 ；
（3）取 中点 ，连接OD，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 面 ，
则 平面 ， 平面 ．
所以 ，
是边长为2的等边三角形， 为直角三角形，其中D为直角顶点，
，所以 ， ，根据勾股定理 ，∴ ．
所以 ．
而多面体 的体积恰好为 ，即多面体 的体积恰为四面体 体积的
一半．
连接 ．设F到面AEH的距离为 ，C到面ABD的距离为 ，A到面DGH的距离
为 ，A到面BCD的距离为 ，
，
∴ ．，
∴ ．
∴ ，
∴ ，整理： ，即 ，
解得： （ 舍去）．
