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解密19 直线和圆
【考点解密】
1．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
＝
两点式 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 1
(x≠x，y≠y)
1 2 1 2
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
Ax＋By＋C＝0
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
(A2＋B2≠0)
2．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l⇔k＝k.
1 2 1 2 1 2 1 2
(ⅱ)当直线l，l 不重合且斜率都不存在时，l∥l.
1 2 1 2
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l⇔k·k＝－1.
1 2 1 2 1 2 1 2
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l⊥l.
1 2
(2)两条直线的交点
直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0，则l 与l 的交点坐标就是方程组的解．
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
3．几种距离
(1)两点P(x，y)，P(x，y)之间的距离|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0
(3)两条平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0(其中C ≠C )间的距离d＝.
1 2 1 2
4圆的定义与方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
圆心为(a，b)
方 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
半径为r
程
一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：
半径r＝
5．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．(最重要)
d < r ⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．
(2)代数法：――――→
6．圆与圆的位置关系
设圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r(r>0)，
1 1 1 1
O：(x－a)2＋(y－b)2＝r(r>0)
2 2 2 2
方法
几何法：圆心距d与r，r 代数法：联立两圆方程组成方程组
1 2
位置
的关系 的解的情况
关系
外离 d>r＋r 无解
1 2
外切 d＝r＋r 一组实数解
1 2
相交 |r－r|<d<r＋r 两组不同的实数解
1 2 1 2
内切 d＝|r－r|(r≠r) 一组实数解
1 2 1 2
内含 0≤d<|r－r|(r≠r) 无解
1 2 1 2
【方法技巧】
处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于 与
的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括号中式子等于0，求出定
点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 变为常数.【核心题型】
题型一：待定系数法求直线方程
1．（2022·北京·统考模拟预测）已知圆 ，直线l过点 且倾斜角为 ，则“直线l与圆C
相切”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先化简“直线l与圆C相切”得到 或者 ，再利用充分条件必要条件的定义判断得解.
【详解】当直线l没有斜率时， ,与圆不相切.
当直线l有斜率时，设直线方程为 ，
由题得 或者 .
所以 或者 .
所以“直线l与圆C相切”成立，则“ ”不一定成立；“ ”成立，则“直线l与圆C相切”成立.
所以“直线l与圆C相切”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知直线 与圆 交于A，B两点，则线段
的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】由 ，圆心坐标为 ，
由 ，所以直线 的斜率为 ，
因此直线 的垂直垂直平分线的斜率为 ，
所以直线 的垂直垂直平分线方程为： ，故选：A
3．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知直线l经过点 ，且被圆 截
得的弦长为4，则直线l的方程是 （ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】考虑直线斜率不存在和存在两种情况，验证后得到 满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用
点到直线距离公式列出方程，求出 ，得到答案.
【详解】圆的标准方程为： ，
由题意圆心到直线l的距离
（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，圆心到直线的距离 ，符合题意，
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即 ，
圆心到直线的距离为 ，解得 ，则直线方程为 ，
综上，直线 l的方程为 或 ．
故选：B．
题型二：已知两直线位置求参数或者范围
4．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）直线 的方程为 ，当原点 到直线 的
距离最大时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线 所过定点 的坐标，分析可知当 时，原点 到直线 的
距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数 的值.【详解】直线方程 可化为 ，
由 可得 ，
所以，直线 过定点 ，
当 时，原点 到直线 的距离最大，且 ，
又因为直线 的斜率为 ，解得 .
故选：B.
5．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知圆 过点 ，且圆心在 轴的正半轴上，直线 被圆 所
截得的弦长为 ，则过圆心 且与直线 垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用已知弦长先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线L垂直的直线的方程.
【详解】由题意，设所求的直线方程为 ，并设圆心坐标为 ，
则由题意知： 解得 或 ，
又因为圆心在 轴的正半轴上，所以 ，故圆心坐标为 ，
∵圆心 在所求的直线上，所以有 ，即 ，
故所求的直线方程为 ．
故选∶A．
6．（2023·吉林·统考二模）已知 ，若直线 与直线 垂直，则
的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9【答案】D
【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得 ，在利用基本不等式即可求得 的最小值.
【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为 ，即 ，即 ，
整理可得 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立；
因此 的最小值为 .
故选：D
题型三：直线的定点问题
7．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点 ， 与直线 ，若在直线 上存在
点 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出 点坐标，由 进行化简，结合二次函数的性质求得 的取值范围.
【详解】对于直线 ，
即 ，所以 在直线 上，
设 ，其中 ，
由 两边平方得 ，即 ，
整理得 ，
由于 ，所以
，其中 ，
根据二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，
且最大值为 ，则 ，解得 .
故选：A
8．（2023·贵州毕节·统考一模）已知点 在直线 上，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为 ，则圆心 到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据题意，设 为直线 上的一点，由圆的切线的性质得点 在以 为直径的圆
上，求出该圆的方程，与圆C的方程联立可得直线 的方程，将其变形分析可得直线 恒过的定点，由点到直
线的距离分析可得答案．
【详解】由题意可得 的圆心 到直线 的距离为 ，
即 与圆相离；
设 为直线 上的一点，则 ，
过点P作圆 的切线，切点分别为 ，则有 ，
则点 在以 为直径的圆上，以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，
则其方程为 ，变形可得 ，
联立 ，可得： ，
又由 ，则有 ，
变形可得 ，
则有 ，可得 ，故直线 恒过定点 ，
设 ，由于 ，故点 在 内，
则 时，C到直线 的距离最大，
其最大值为 ,
故选∶B
题型四：直线有关的对称问题
9．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）若 为圆 上的动点，当 到直线
的距离取得最大值时，直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线 所过定点 的坐标，分析可知当 为射线 与圆 的交点且 时，点 到直线 的距离
最大，求出直线 的斜率，可得出直线 的斜率.【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，
将直线 的方程变形为 ，
由 得 ，故直线 过定点 ，如下图所示：
当 为射线 与圆 的交点且 时，点 到直线 的距离最大，
因为 ，则直线 的斜率为 .
故选：B.
10．（2023·北京平谷·统考模拟预测）点M、N在圆 上，且M、N两点关于直线
对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结
合二次函数的性质即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以圆心 为 ，半径为 ，
由题意可得直线 经过圆心 ，
故有 ，即 ，
所以半径为 ，当 时，圆C的半径的最小值为 .
故选：C.
11．（2023·陕西西安·校考模拟预测） ， ， ， ， ，一束光线从点 出发射
到 上的点 ，经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点），则 的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意求得 关于直线 对称的点为 ，点 关于直线 的对称点为 ，
点 关于直线 的对称点为 ，再数形结合得到点 的变动范围，从而得到 ，由此得解.
【详解】设直线 方程为 ，则 ，解得 ，即 ，即 ，
设 关于直线 对称的点为 ，则 ，解得 ，即 ， ，
同理可得：
点 关于直线 的对称点为 ，
点 关于直线 的对称点为 ，
如图所示：利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点 时，则其先经过点 ；当这束光线反射后最终经过点
时，则其先经过点 ；
所以点 之间为点 的变动范围，
因为 ， ，所以直线 ，即直线 斜率不存在，而 ，
所以 ，即 .
故选：D
12．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知点 ， ，若直线 关于 的对称直线 与圆 ：
交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线 关于直线 的对称直线 ，由于直线 恒过点 ，当且仅当 时，圆心 到直线 的距
离最大， 取最小值可得答案.
【详解】∵ ，∴直线 关于直线 的对称直线 为 ，
可得 ，即直线 恒过点 ，
由 得点 在圆 内，圆 ： 的圆心 ，圆 的半径为 ，
当且仅当 时，圆心 到直线 的距离最大， 取最小值，
由 ，得 ，
所以 ： ，圆心到直线 的距离 ， .
故选：C.
题型五：几何法求圆的方程
13．（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知点 是圆 上的任意一点，点 ，
分别为圆 上的两个不同的动点，且 ，点 为线段 的中点，则 的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【分析】由圆内的弦长求得圆心O到弦中点Q的长即得点Q的轨迹方程，从而转化成求两圆上任意两点间距离的
最小值.
【详解】因为点 为线段 的中点，且 ，所以 .
所以点 在以原点 为圆心，1为半径的圆上，即：方程为 ，
所以 .所以 .
故选：A.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 是圆 上两点，且 ．若存在
，使得直线 与 的交点 恰为 的中点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】根据直线与圆相交弦长可得 的中点 的轨迹方程为圆 ，又根据直线 的方程可
确定 ，交点 的轨迹 ，若 恰为 的中点，即圆 与圆 有公共点，根据圆与圆的位
置关系即可得实数 的取值范围.
【详解】解：圆 ，半径 ，
因为 恰为 的中点，直线与圆相交弦长 ，所以 ，
的轨迹方程是 ．
又直线 过定点 ，直线 过定点 ，且 ，
则点 是两垂线的交点，所以 在以 为直径的圆上，则圆心 ，半径为
的轨迹方程是 由于 的斜率存在，所以点 的轨迹要除去点 ，
由已知得圆 与圆 有公共点，
，即 ，又 ，所以 ，解得 .
∴实数 的取值范围为 .
故选：B.
15．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆 与直线
相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】据题意分析可知直线经过定点 ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积最大的
圆的标准方程.
【详解】 直线方程为： 可化为 ，
直线经过定点 ,易知： 圆的半径最大时，圆的面积最大， 圆心到直线的距离最大时圆的面积最大，
又 动圆 ,圆心为 ，半径为 ，
当 与已知直线垂直时圆的半径最大， ，
面积最大的圆的标准方程为： .
故选：B
题型六：待定系数法求圆的方程
16．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 ： 的圆心到直线 的距离为 ，
则圆 与圆 ： 的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】B
【分析】先根据题意求得 ，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，
即可知道公切线只有1条.
【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径为a，
所以圆心到直线 的距离为 ，解得 或 ．
因为 ，所以 .
所以圆 ： 的圆心为 ，半径为 ．
圆 ： 的标准方程为 ，
圆心坐标为 ，半径 ，
圆心距 ，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
17．（2023·全国·高三专题练习）与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出过圆心与直线垂直的直线方程，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离可得所求圆的半径，
设所求圆的圆心为 ，且圆心在直线 的左上方，利用 、 可得答案.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
过圆心 与直线 垂直的直线方程为 ，所求圆的圆心在此直线上，又圆心 到直线
的距离为 ，则所求圆的半径为 ，
设所求圆的圆心为 ，且圆心在直线 的上，
所以 ，且 ，解得 （ 不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为
.
故选：C．
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，点A，B，D在圆Γ上，点C在圆Γ内， ，若
，且 与 共线，则圆Γ的周长为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求出圆的方程，然后可解.
【详解】以C为原点，BC和CD坐在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
则 ，
设圆的一般方程为
则 ，解得 ，所以
所以圆的周长为
故选：B
题型七：几何法求弦长
19．（2023·全国·模拟预测）若直线 与直线 被圆 截得
的弦长之比为 ，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆心分别到两条直线的距离，根据勾股定理求出两条直线被圆截得的弦长，根据弦长之比为 列
式求出 ，可得圆的半径，从而可得圆的面积.
【详解】圆C的标准方程为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，到直线 的距离分别为 ，
所以直线 被圆 截得的弦长为 ，
直线 被圆 截得的弦长为 ，
由题意可得 ，解得 ，满足 ，
所以圆C的半径为 ，面积为 .
故选：B．
20．（2023秋·河南·高三校联考期末）在平面直角坐标系 中，已知圆 被 轴截
得的弦长为2，且与直线 相切，则实数 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】由已知求出圆心 .根据圆与 轴的关系可得 ，进而由直线与圆相切可得 ，
解方程即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆心 ，半径为 .
圆心到 轴的距离为 ，则由已知可得 ，
所以 ， .
又圆 与直线 相切，则圆心 到直线 的距离 ，整理可得 ，
又 ，所以 .故选：D.
21．（2022秋·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）已知双曲线 的渐近线被圆
截得的弦长为 ，则正实数 的值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
【答案】A
【分析】求出圆心到一条渐近线的距离，利用弦心距、半径、半弦长的关系求解即可.
【详解】由 可得 ，即圆心为 ，半径为 ，
由双曲线的对称性，取双曲线的一条渐近线 ，即 ，
所以圆心到渐近线的距离为 ，依题意得 ，解得 .
故选：A
题型八：圆或者直线上的点的距离问题
22．（2023·福建福州·统考二模）已知 ， 关于直线 对称的圆记为 ，
点E，F分别为 ， 上的动点，EF长度的最小值为4，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】画出图形，当 过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时， 长度最小，此时圆心 到对称轴的
距离为4，根据点到直线的的公式建立方程即可求解.【详解】
由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当 过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时， 长度最小，
此时圆心 到对称轴的距离为4，
所以 ，解得 或 .
故选：D
23．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O： 上一动点，若直线l：
上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意分析可知，只要O的圆心到直线l的距离不超过3，再结合点到直线的距离公式即可求得k的取值
范围.
【详解】由题意分析可知，直线l： 过定点 ，设 的中点为 ，
因为圆O： 的圆心 ，半径为 ，
若满足线段PQ的中点 点在圆上，则 ，
又 ，则 ，即 ，
所以 ，设圆心O到直线l的距离为 ，则 ，
所以 ，解得 或 ，
故 ．
故选：D.
.
24．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点 为抛物线 上任意一点，点 为圆 上任意
一点， 为直线 的定点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值.
【详解】如图所示：由 知，抛物线焦点 ，
由 ，化为 ，
即为以 为圆心，1为半径的圆，
又 ，得 ，恒过定点 ，
过点 作 垂直于抛物线的准线： 交于点 ，连接 ，
则 ，
当 三点共线时， 最小,此时为3，
所以 的最小值为： ，
故选：A.
题型九：直线和圆的综合问题
25．（2023·重庆·统考二模）过抛物线 的焦点 作斜率分别为 的两条不同的直线 ，且
相交于点 ， ， 相交于点 ， ．以 ， 为直径的圆 ，圆 为圆心 的公共弦所在的直线
记为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求点 到直线 的距离的最小值．
【答案】(1)24
(2)
【分析】（1）根据题意设直线 的方程为 ，联立抛物线 的方程可得关于 的一元二次方程，从而可得
， ，进而可得点 的坐标，即可得到 的坐标表示，同理可得 ，求解 即可；
（2）结合（1），根据抛物线的定义得 ， ，进而可得 ，即可得到圆 的半径 ，从而可得到圆 的方程，同理也可得到圆 的方程，两圆方程相减即可得到直线 的方程，再根据点到直线的距离公式即可求解．
【详解】（1）依题意，抛物线 的焦点为 ，且其在抛物线内部，设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ， 两点的坐标分别为 ，则 是上述方程的两个实数根，
所以
所以点 的坐标为 ， ，
同理可得 的坐标为 ， ，
于是 ，
又 ，所以 ．
（2）结合（1），
由抛物线的定义得 ， ，
所以 ，
所以圆 的半径 ，
所以圆 的方程为
化简得 ，
同理可得圆 的方程为 ，
于是圆 与圆 的公共弦所在直线 的方程为 ，
又 ，则直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离 ，故当 时， 取最小值 ．
【点睛】关键点点睛：解答小问（2）的关键是根据抛物线的定义求得 ， ，进而可得 ，从而得到圆
的半径 ，可得到圆 的方程，同理可得到圆 的方程，再根据点到直线的距离公式求解．
26．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点 作圆 的两条切线，设切点为 ，直线
恰为抛物 的准线.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设点 是圆 上的动点，抛物线 上四点 满足： ，设 中点为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）设 面积为 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）0；（ii）48
【分析】（1）设直线 与 轴交于 ，由几何性质易得： ，即可解决；（2）设
，（i）中，由于 中点 在抛物线 上，得 ，将
，代入联立得 点纵坐标为 ，即可解决；（ⅱ）由（i）得点 ，
，又点 在圆 上，得 ，可得：
即可解决.【详解】（1）设直线 与 轴交于 .
由几何性质易得： 与 相似，
所以 ，
，
即： ，解得： .
所以抛物线 的标准方程为： .
（2）设
（i）由题意， 中点 在抛物线 上，即 ，
又 ，将 代入，
得： ，
同理： ，
有 ，此时 点纵坐标为 ，
所以直线 的斜率为0.
（ⅱ）因为 ，
所以点 ，
此时 ，，
，
所以 ，
又因为点 在圆 上，有 ，即 ，代入上式可得：
，
由 ，
所以 时， 取到最大价 .
所以 的最大值为48.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 上点 与圆 上点M的距
离的最大值为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点 （Q与A，B不重合），证明：动直线l过
定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，直线l过定点 .
【分析】（1）设圆心为 ，数形结合得到点 与圆上点M的距离的最大值为 加上半径，从而列出方程，结合 在椭圆上，从而求出 ， ，得到椭圆方程；
（2）先考虑直线l斜率存在，设直线l： ，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由 求
出直线l： 或l： ，舍去不合要求的解，再考虑直线l斜率不存在时，得到直线l： ，不
合要求，证明出结论，及定点坐标.
【详解】（1）因为椭圆C： 过点 ，
所以 ，
的圆心为 ，半径为1，
点 与圆 上点M的距离的最大值为 加上半径，
即 ，
解得： ， ，
则椭圆C的方程为 .
（2）当直线l斜率存在时，设直线l： ，
，
设点 ， ，则 ，，
所以 或 .
则直线l： 或l： ，
因为Q与A，B不重合，故 不合要求，
所以直线l： ，即直线过定点 .
当直线l斜率不存在时，设直线l： ，不妨设 ， ，
所以 .
所以 ，直线l： ，因为Q与A，B不重合，所以不满足题意.
综上，直线l过定点 .
【高考必刷】
一、单选题
28．（2023·重庆·统考二模）已知点 ，圆 ，若在圆 上存在唯一的点
使得 ，则 可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，可得点 的轨迹为以 为直径的圆 ，故点 是两圆的交点，根据圆与圆的位置关系
即可求出．
【详解】根据 可知，点 的轨迹为以 为直径的圆 ， ,圆 的圆心 , ,圆 的圆心 ,
若在圆 上存在唯一的点 使得 ,故圆 和圆 相切，
即 或, ,
即 或 (无解)，
即 或 ,
故 或
故选：D．
29．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知 ， ，若直线 上存在点 ，使得
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线 与圆 ： 有公共点（公共点不能是 、 ），结合直线与圆
的位置关系分析运算.
【详解】若 ，则点 在以 ， 为直径的圆上（点 不能是 、 ），
∵以 ， 为直径的圆的圆心为 ，半径 ，则圆 的方程为 ，
即直线 与圆 ： 有公共点（公共点不能是 、 ），
当直线 与圆 ： 有公共点时，则 ，解得 ；
当直线 与圆 ： 的公共点为A或B时，则直线 即为x轴，即 ；综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：B.
30．（2023·陕西安康·统考二模）已知直线 ： ， ： ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】斜率相等且截距不同的两条直线平行，或不存在斜率的两个不同直线也平行，由此利用条件的充分性和
必要性定义即可得出答案.
【详解】当 时， ： ， ： ，所以 ，充分性成立；
当 时， ，即 ，可得 或 ，必要性不成立
故选：A．
31．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知直线 ，直线 ，其中实数 ，则直线
与 的交点位于第一象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先由两条直线相交，联立方程组写出两条直线的交点坐标，接下来根据交点在第一象限得到a的范围，
利用几何概型概率计算公式计算即可
【详解】当 时， ，此时 ，
所以 ，直线 与 无交点；
当 时，由 ，解得： ，由题意 ，解得 ，
又 ，
由几何概型的概率公式知，所求的概率为 .
故选：A.
32．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知双曲线 的离心率为3，斜率为 的直线
分别交F的左右两支于A，B两点，直线 分别交F的左、右两支于C，D两点， ， 交 于点E，点E
恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（ ）
x+4 y=0
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由点差法可得 与 关系式、 与 关系式，由E，M，N三点共线， 列式可得结果.
【详解】由题得 ，
设 的中点 的中点 ，
则 ，得 ，
所以 ，所以 ①，同理得 ②，
因为 ，则E，M，N三点共线，所以 ，将①②代入得 ，即
，因为直线l的斜率存在，所以 ，
所以 ，即点E在直线 上.
故选：A.
33．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知点 ，圆 ，过点 的直线 与圆 交
于 ， 两点，则 的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标求出AB的中点 的轨迹方程为圆心 、半径为1的圆，得 的最大值，结合
即可求解.
【详解】由题意知， ，圆M的半径为4，设AB的中点 ，
则 ，即 ，
又 ，所以 ，
即点D的轨迹方程为 ，圆心 ，半径为1，
所以 的最大值为 ，
因为 ，
所以 的最大值为12.
故选：B.
34．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知O为平面点角坐标系的原点，点 ，B为圆
上动点，记经过A、B的直线为l，以O为圆心与l相切的圆的面积为 ，经过O、A、B三点的圆的面积为 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设l与x轴交点为C， ，利用三角函数的定义和正弦定理，得到 ，从而有 ，
再利用点与圆上的点的距离求解.
【详解】解：如图所示：
设l与x轴交点为C， ，
则 ，
在 中，由正弦定理得： ，
∴ ，
又 ，
所以 的最大值为 ．
故选：C．
二、多选题
35．（2023·湖南·模拟预测）已知圆 ： 与圆 ： ，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆 与x轴相切，则
B．直线 与圆 始终有两个交点
C．若 ，则圆 与圆 相离
D．若圆 与圆 存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为
【答案】BC
【分析】选项A：若圆 与x轴相切，则 等于圆的半径；
选项B：直线恒过定点 ，点 在圆 内部，故直线与圆 始终有两个交点；
选项C：利用圆心距与半径之和的关系，判断两圆是否外离；
选项D：若圆 与圆 有公共弦，联立两个圆的方程可得公共弦所在的直线方程为．
【详解】对于选项A：圆 ： ，半径为2，若圆 与x轴相切，则 ，故A错误；
对于选项B：直线 ，即 ，恒过定点 ，
又由 ，则点 在圆 内部，故直线 与圆 始终有两个交点，故B正确；
对于选项C：若 ，圆 为 ，其圆心为 ，半径 ，
圆 ： ，其圆心为 ，半径 ，
圆心距 ，两圆外离，故C正确；
对于选项D：若圆 与圆 有公共弦，联立两个圆的方程可得
即公共弦所在的直线方程为 ，故D错误．
故选：BC．
36．（2023·湖北·统考模拟预测）已知直线 交 轴于点P，圆 ，过点P作圆M的
两条切线，切点分别为A，B，直线 与 交于点C，则（ ）A．若直线l与圆M相切，则
B．当 时，四边形 的面积为
C．直线 经过一定点
D．已知点 ，则 为定值
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出 即可判断A；根据 求出 ，进而求出 ，根据
相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知
四点共圆，且 为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线 过定点
及 可得 ，即C在以 为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点 ，即可判断D.
【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离 ，
解得 ，所以A正确；
对于B，当 时， ， ， ，
因为 为圆的两条切线，所以 ，
所以四边形 的面积 ，
所以B错误；
对于C，因为 ， ，且 ，
所以 四点共圆，且 为直径，
所以该圆圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程为： ，因为 是该圆和圆 的相交弦，
所以直线 的方程为两圆方程相减，
即 ，
化简可得： ，
所以直线 经过定点 ，所以C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
因为 在直线 上，所以
即点C在以 为直径的圆上，因为 ， ，
所以圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程为： ，圆心为 ，
因为点C在该圆上，所以 为定值 ，所以D正确．
故选：ACD
37．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 ，点 为直线 上的动点，则下列说
法正确的是（ ）
A．圆心 到直线 的最大距离为8
B．若直线 平分圆 的周长，则
C．若圆 上至少有三个点到直线 的距离为 ，则
D．若 ，过点 作圆 的两条切线，切点为 ， ，当点 坐标为 时， 有最大值
【答案】BD
【分析】由圆 ，知圆心 ，半径 ，由直线过圆心可求 ，从而判断B；恒过定点 ,可求点 到直线 的最大距离，判断A；由已知圆心到直线的距离 ，可求
的范围判断C；利用 ，从而可求 最小时 的位置判断D．
【详解】由圆 ，知圆心 ，半径 ，
对于A,直线 恒过定点 ， 点 到直线 的最大距离为 ，故A不正确；
对于B,直线 平分圆 的周长，则直线过圆心 ， ，解得 ，故B正确；
对于C,若圆 上至少有三个点到直线 的距离为 ，则圆心到直线的距离 ，
，解得 ，故C错误；
对于D, ，要使 最大，只需要 最大即可，又 ，故需 最小，
此时 与直线 垂直，故此时 与定点 重合，故 ,故D正确，
故选：BD．
38．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知 为圆 上的两点， 为直线 上
一动点，则（ ）
A．直线 与圆 相离
B．当 为两定点时，满足 的点 有2个
C．当 时， 的最大值是
D．当 为圆 的两条切线时，直线 过定点
【答案】AD
【分析】利用点到直线的距离判断A；确定 最大时的情况判断B；取AB中点D，由线段PD长判断C；求
出直线AB的方程判断D作答.【详解】对于A，因为 到直线 的距离 ，即直线 与圆 相离，A正确；
对于B，当A，B为过点P的圆O的切线的切点时， 最大，而 ，
显然 是锐角，正弦函数在 上单调递增， ，
因此 最大，当且仅当 最大，当且仅当 最小，则有 ，此时 ，
所以当 为两定点时，满足 的点 只有1个，B错误；
对于C，令AB的中点为D，则 ， ，点D在以O为圆心， 为半径的圆上，
，显然当 在 上运动时， 无最大值，C不正确；
对于D，设 ，当 为切线时， ，点 在以 为直径的圆上，
此圆的方程为 ，于是直线 为 ，即 ，
所以直线 过定点 ，D正确.
故选：AD三、填空题
39．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知椭圆 ，圆 ，直线 与圆 相切于第
一象限的点A，与椭圆C交于 两点，与 轴正半轴交于点 .若 ，则直线 的方程是__________.
【答案】
【分析】设直线 的方程为： ，根据直线和圆 相切、直线和椭圆 相交且 求得
，进而求得直线 的方程.
【详解】由题意可知直线 有斜率，设直线 的方程为： ，
联立直线和圆的方程： ，
，
所以 ，故 ，
联立直线和椭圆的方程： ，
设 ，则
设 中点为 ,由 可知： ,即 是 的中点，
在直线方程中，令
由中点坐标公式可知： ， ，故
， 直线方程为
故答案为：【点睛】求解直线和圆相切的问题，有两种方法，一种是利用圆心到直线的距离等于半径来进行求解；另一种是
联立直线的方程和圆的方程，化简后利用判别式来进行求解.
40．（2023·河南郑州·统考一模）经过点 以及圆 与 交点的圆的方程为
______．
【答案】
【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案.
【详解】联立 ，整理得 ，
代入 ，得 ，解得 或 ，
则圆 与 交点坐标为 ，
设经过点 以及 的圆的方程为 ,
则 ，解得 ，
故经过点 以及圆 与 交点的圆的方程为 ，
故答案为：
41．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，设直线 与两坐标轴的交点分别为
，若圆 上有且只有一个点 满足 ，则 的值为__________.【答案】 ##
【分析】根据 可得 在 的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.
【详解】 在 的垂直平分线上，
所以中垂线的斜率为 ，
的中点为 ，由点斜式得 ，
化简得 ，
在圆 满足条件的 有且仅有一个，
直线 与圆相切，
，
故答案为: .
42．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线 上的动点，P到y轴的距离为 ，
到圆 上动点Q的距离为 ，则 的最小值为______．
【答案】2
【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把 的最小值转化为 减去圆的半径，再减去抛物线焦点到
原点的距离即可得答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
过点 作准线 的垂线，垂足为 ，
因为 是抛物线 上的动点， 到 轴的距离为 ，到圆 上动点 的距离为 ，
所以 ， ，当且仅当 三点共线时等号成立，且点 在线段 上，
所以 ，
又 ，当且仅当点 为线段 与抛物线的交点时等号成立，又 ，
所以 ，
当且仅当点 为线段 与抛物线的交点，点 为线段 与圆 的交点时等号成立，
所以 的最小值为2，
故答案为：2
四、解答题
43．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 引圆 ：
的一条切线，切点为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得 的面积为 ？若存在，
求点A的个数；否则，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，点A的个数为2，理由见解析
【分析】（1）由题意可求出 ，过点M作 轴，根据勾股定理可知 ，即可求
出参数p，进而得到抛物线方程；
（2）设 ， ， ，求出切点弦PQ的方程，联立抛物线方程，根据弦长公式求出 ，在
利用点到直线距离公式求出点 到直线PQ的距离d，由 的面积为 列出方程，得出A点的轨迹方
程 ，联立圆的方程得 ，方程的根的个数即为点A的个数.
【详解】（1）解：如图
已知抛物线 ： 的焦点为 ，
圆 ： 的圆心 ，半径 ，
则 ，
过点M作 轴，则 ， ，
在 中，满足 ，
即 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 .
（2）存在点A使得 的面积为 ，点A的个数为2，理由如下：
设 ， ， ，
由（1）可知抛物线 的方程为 ，
则 切点弦PQ的方程为 ，斜率 ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
，
点 到直线PQ的距离 ，
，
所以 ，即点A的轨迹为抛物线 往左平移 个单位长度，
因为点A在圆M上，联立 ，得 ，
显然 是一个根，因式分解得 ，
令 ， ，则 ，
若 ，由于 ，
则 恒成立，所以 为增函数，
， ，
根据零点存在定理函数 在 上存在一个零点，
所以存在两个点A使得 的面积为 .
【点睛】本题考查了抛物线切点弦方程及弦长公式，高次方程的因式分解问题，构造函数并利用导函数求出函数
的单调性，根据零点存在定理求出方程的根，此题的关键点在于，根据 的面积为 ，求出点A的轨迹方
程，利用其轨迹方程和圆M有几个交点即可得到点A的个数.
44．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知圆心为 的圆经过点 和 ，且
圆心在直线 上，求：
(1)求圆心为 的圆的标准方程；
(2)设点 在圆 上，点 在直线 上，求 的最小值；
(3)若过点 的直线被圆 所截得弦长为 ，求该直线的方程．【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】(1)设圆的标准方程为 ，利用圆经过的两个点，且圆心在直线 上，建立方
程组就可以求得.
(2)求出圆心到直线 的距离，即可求出 最小值.
(3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线 的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出
得值，即可写出直线方程.
【详解】（1）设圆的标准方程为 ，因为圆经过 和点 ，且圆心在直线
上，
所以 解得：
所以圆的标准方程为 .
（2）因为圆 到直线 的距离为
，
所以直线与圆相离，
所以 的最小值为 .
（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心 到直线 的距离为
根据点到直线的距离公式得： ，解得 .
当斜率不存在时，直线方程为 ，符合截圆所得的弦长为8所以直线方程为 或 .
