专题14直线与圆（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮专题训练（新高考地区专用）

专题14 直线与圆 1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点 在圆 上，点 、 ， 则（ ） A．点 到直线 的距离小于 B．点 到直线 的距离大于 C．当 最小时， D．当 最大时， 【答案】ACD 【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ， 直线 的方程为 ，即 ， 圆心 到直线 的距离为 ， 所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错 误； 如下图所示：当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ， ， ，由勾股定理可得 ，CD选 项正确. 故选：ACD. 2、（2020全国Ⅲ文）在平面内， 是两个定点， 是动点．若 ，则点 的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 【答案】A 【解析】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则： ，设 ，可得： ， 从而： ，结合题意可得： ， 整理可得： ，即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆．故选：A．3、（2020全国Ⅲ文8）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ） A． 1 B． C． D． 2 【答案】B 【解析】由 可知直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，即为 ． 4、（2020·新课标Ⅰ文）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值 为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】B 【解析】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为ABCD， DP=BQ=λ(0<λ<2) λ=1 GH//EF; EB=2 设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短， GEFH 根据弦长公式最小值为 ． 2x−y−3=0 5、（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为 （ ） √5 2√5 3√5 4√5 5 5 5 5 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎 题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，圆的标准方程为 ．由题意可得 ，可得 ，解得 或 ，∴圆心的坐标为 或 ，圆心到直线 的距离均为 ， ∴圆心到直线 的距离为 ．故选B． 6、（2020全国Ⅰ理11】已知⊙ ，直线 ， 为 上的动点， 过点 作⊙ 的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，∴ 直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ， ∴ ，而 ， 当直线 时， ， ，此时 最小． ∴ 即 ，由 解得， ． ∴以 为直径的圆的方程为 ，即 ，两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程，故选D． 7、．【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+ y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程 为______________． 【答案】(x−1) 2+(y+1) 2=5【解析】：∵点M在直线2x+ y−1=0上， ∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴√(a−3) 2+(1−2a) 2=√a2+(−2a) 2=R， a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1， ∴M(1,−1)，R=√5， ⊙M的方程为(x−1) 2+(y+1) 2=5. 故答案为：(x−1) 2+(y+1) 2=5 8、【2020年高考天津卷12】已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为_________． 【答案】5 【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，由 可得 ，解得 ． x2 9、【2022年全国甲卷】若双曲线y2− =1(m>0)的渐近线与圆x2+ y2−4 y+3=0相切，则m= m2 _________． √3 【答案】 3 x2 x 【解析】解：双曲线y2− =1(m>0)的渐近线为y=± ，即x±my=0， m2 m 不妨取x+my=0，圆x2+ y2−4 y+3=0，即x2+(y−2) 2=1，所以圆心为(0,2)，半径r=1， |2m| 依题意圆心(0,2)到渐近线x+my=0的距离d= =1， √1+m2√3 √3 解得m= 或m=− （舍去）． 3 3 √3 故答案为： ． 3 10、【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】(x−2) 2+(y−3) 2=13或(x−2) 2+(y−1) 2=5或 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 或 3 3 9 ( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ； 5 25 【解析】依题意设圆的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0， 若过(0,0)，(4,0)，(−1,1)，则¿，解得¿， 所以圆的方程为x2+ y2−4x−6 y=0，即(x−2) 2+(y−3) 2=13； 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿， 所以圆的方程为x2+ y2−4x−2y=0，即(x−2) 2+(y−1) 2=5； 若过(0,0)，(4,2)，(−1,1)，则¿，解得¿， 所以圆的方程为x2+ y2− 8 x− 14 y=0，即 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 ； 3 3 3 3 9 若过(−1,1)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿， 所以圆的方程为x2+ y2− 16 x−2y− 16 =0，即 ( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ； 5 5 5 25 故答案为：(x−2) 2+(y−3) 2=13或(x−2) 2+(y−1) 2=5或 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 或 3 3 9 ( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ； 5 25 11、【2022年新高考1卷】写出与圆x2+ y2=1和(x−3) 2+(y−4) 2=16都相切的一条直线的方程 ________________． 3 5 7 25 【答案】y=− x+ 或y= x− 或x=−1 4 4 24 24 【解析】圆x2+ y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x−3) 2+(y−4) 2=16的圆心O 为(3,4)，半径为4， 1两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 4 3 3 当切线为l时，因为k = ，所以k =− ，设方程为y=− x+t(t>0) OO 1 3 l 4 4 |t| d= =1 5 3 5 O到l的距离 √ 9 ，解得t= ，所以l的方程为y=− x+ ， 1+ 4 4 4 16 当切线为m时，设直线方程为kx+ y+p=0，其中p>0，k<0， 7 25 由题意¿，解得¿，y= x− 24 24 当切线为n时，易知切线方程为x=−1， 3 5 7 25 故答案为：y=− x+ 或y= x− 或x=−1. 4 4 24 24 12、【2022年新高考2卷】设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆 (x+3) 2+(y+2) 2=1有公共点，则a的取值范围是________． [1 3] 【答案】 , 3 2 【解析】：A(−2,3)关于y=a对称的点的坐标为A'(−2,2a−3)，B(0,a)在直线y=a上， a−3 所以A'B所在直线即为直线l，所以直线l为y= x+a，即(a−3)x+2y−2a=0； −2 圆C:(x+3) 2+(y+2) 2=1，圆心C(−3,−2)，半径r=1， |−3(a−3)−4−2a| 依题意圆心到直线l的距离d= ≤1， √(a−3) 2+22 1 3 [1 3] 即(5−5a) 2≤(a−3) 2+22，解得 ≤a≤ ，即a∈ , ； 3 2 3 2 [1 3] 故答案为： , 3 213、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切． （1）求C， 的方程； （2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系， 并说明理由． 【解析】（1）依题意设抛物线 ， ， 所以抛物线 的方程为 ， 与 相切，所以半径为 ， 所以 的方程为 ； （2）设 若 斜率不存在，则 方程为 或 ， 若 方程为 ，根据对称性不妨设 ， 则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意； 若 方程为 ，根据对称性不妨设 则过 与圆 相切的直线 为 ， 又 ， ，此时直线 关于 轴对称， 所以直线 与圆 相切； 若直线 斜率均存在， 则 ， 所以直线 方程为 ， 整理得 ， 同理直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 与圆 相切， 整理得 ， 与圆 相切，同理 所以 为方程 的两根， ， 到直线 的距离为：， 所以直线 与圆 相切； 综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切. 题组一、直线与圆的位置关系 1-1、（2022·江苏海安·高三期末）关于直线 与圆 ，下列说法正确的是（ ） A．若 与圆 相切，则 为定值 B．若 ，则 被圆 截得的弦长为定值 C．若 与圆 有公共点，则 D．若 ，则 与圆 相交 【答案】BCD 【解析】圆 的圆心为 ，半径为 . 对于A选项，若 与圆 相切，则 ，可得 ，A错； 对于B选项，若 ，圆心 到直线 的距离为 ， 此时 被圆 截得的弦长为 ，B对； 对于C选项， 若 与圆 有公共点，则 ，可得 ，可得 ，C对； 对于D选项，当 时，直线 的方程为 ，即 ，由 ，可得 ，即直线 过定点 ， ，即点 在圆 内，故直线 与圆 相交，D对. 故选：BCD. 1-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知圆 截直线 所得弦的长度为4，则 实数a的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知圆的标准方程为 ， 则圆心坐标为 ，半径 ， 圆 截直线 所得弦的长度为4， ， 解得 . 故选：C. 1-3、（2022·山东烟台·高三期末）若直线 将圆 分成的两段圆弧长度之比为 1：3，则实数a的值为（ ） A．﹣4 B．﹣4或2 C．2 D．﹣2或4 【答案】D 【解析】圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ， 设直线和圆相交于AB， 由较短弧长与较长弧长之比为1：3，则 ，故 ， 则圆心到直线 的距离 ，即 ，解得 或4， 故选：D. 1-4、（2022·河北张家口·高三期末）直线 与圆 交于 、 两点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆心 到直线 的距离为 ， 圆 的半径为 ， 又 ，故 ， 故选：B. 1-5、（2022·广东广州·一模）已知直线 与圆 ，则（ ） A．直线 与圆C相离 B．直线 与圆C相交 C．圆C上到直线 的距离为1的点共有2个 D．圆C上到直线 的距离为1的点共有3个 【答案】BD 【解析】由圆 ，可知其圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心 到直线 的距离 ，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误. 故选：BD 题组二、圆与圆的位置关系 2-1、（2022·山东枣庄·高三期末）设 与 相交于 两点，则________． 【答案】 【解析】将 和 两式相减： 得过 两点的直线方程： ， 则圆心 到 的距离为 ， 所以 ， 故答案为： 2-2、（2022·山东淄博·三模）（多选）已知圆 和圆 的交点为 ， ，则（ ） A．圆 和圆 有两条公切线 B．直线 的方程为 C．圆 上存在两点 和 使得 D．圆 上的点到直线 的最大距离为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确； 对于B，将两圆方程作差可得 ，即得公共弦 的方程为 ，故B正确；对于C， 直线 经过圆 的圆心 ，所以线段 是圆 的直径，故圆 中不存在比 长的弦，故C错误； 对于D，圆 的圆心坐标为 ，半径为2，圆心到直线 的距离为 ，所以圆 上的点到直线 的最大距离为 ，D正确.故选：ABD.2-3、（2022·山东临沂·高三期末）（多选题）已知圆 ： ，圆 ： ， 在圆 上， 在圆 上，则（ ） A． 的取值范围是 B．直线 是圆 在 点处的切线 C．直线 与圆 相交 D．直线 与圆 相切 【答案】ABD 【解析】圆 ： 的圆心为 ，半径为1，圆 ： 的圆心为 ，半径为2， 观察图象可得 ，所以 的取值范围是 ，A对， ∵ ，∴ 点 在直线 上， 又 到直线 的距离 ，又圆 的半径为1， ∴直线 是圆 在 点处的切线，B对， ∵ 点 在圆 上， ∴ ， ∴ 到直线 的距离 ，又圆 的半径为2， ∴直线 与圆 相离，C错， 圆 的圆心为 ，半径为 ， 点 到直线 的距离 ， ∴直线 与圆 相切，D对， 故选：ABD.题组三、圆中的最值问题 33-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圆： ，过直线 ： 上的一点 作圆 的 一条切线，切点为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆 ： 中，圆心 ，半径 设 ，则 ，即 则 （当且仅当 时等号成立） 故选：A 3-2、（2022·河北唐山·高三期末）圆M： 关于直线 对称，记点 ， 下列结论正确的是（ ） A．点P的轨迹方程为 B．以PM为直径的圆过定点 C． 的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则 【答案】ABD 【解析】圆M： 配方得： ， 圆M关于直线 对称，直线 过圆心 . ,即 点P的轨迹方程为 ，A正确. 由 ，则 ，则以PM为直径的圆过定点 ，B正确. 的最小值即为 到直线 的距离，由于 ,则 ，C错误. 由于 ，要使 取最小，即 取最小值， , ，则D正确. 故选：ABD y2 3-3、（2021·山东日照市·高三二模）若实数x、y满足条件x2  y2 1，则 x1 的范围是（ ）  3 , A．   0, 2  B． 3,5 C． ,1 D．   4   【答案】D y2 【解析】 x1 的几何意义即圆上的点(x,y)到定点(1,2)的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切 线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，y k(x1)2kxk2 则AB的方程为 ， k2 3 y2  3 由切线性质有， 1k2 1 ，解得 k  4 ，故 x1 的取值范围为   , 4   ， 故选：C 题组四、直线与圆的综合性问题 4-1、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在平面直角坐标系 中，过直线 上任一点 做 圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ） A．四边形 为正方形时，点 的坐标为 B．四边形 面积的最小值为1 C． 不可能为钝角 D．当 为等边三角形时，点 的坐标为 【答案】ABC 【解析】解：对A：设 ，由题意，四边形 为正方形时， ，解得 ，所以点 的坐标为 ，选项A正确； 对B：四边形 面积 ， 因为 ，所以 ，故选项B正确；对C：由题意， ，在直角三角形 中， ， 由选项B知 ，所以 ， 因为 为锐角，所以 ，所以 ，故选项C正确； 对D：当 为等边三角形时， ，所以 ，则 ，解得 或 ，此时点 的坐标为 或 ，故选项D错误； 故选：ABC. 4-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知 为坐标原点，圆 ，则下列结论正确 的是（ ） A．圆 恒过原点 B．圆 与圆 内切 C．直线 被圆 所截得弦长的最大值为 D．直线 与圆 相离 【答案】ABC 【解析】A.代入点 得 恒成立，A正确； B. ，即两圆心距离等于两圆半径差，B正确； C. 直线 被圆 所截得弦长为， ， 即直线 被圆 所截得弦长的最大值为 ，C正确； D.圆心到直线的距离 ，故圆和直线相切或相交，D错误； 故选：ABC. 1、（2022·河北保定·高三期末）若 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆 的圆心为 ，则 .因为 ，所以 ，故 直线 的方程为 . 故选：A 2、（2022·广东清远·高三期末）直线 被圆 截得的最短弦长为（ ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】将圆化为一般方程为 ，因此可知圆C的圆心为 ，半径为4， 因为直线l过定点 ，所以当圆心到直线l的距离为 时， 直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为 ． 故选：D 3、（2022·青海西宁·二模）已知圆 ，圆 ，若圆 平分圆 的圆周，则正数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆 ，化为 ，则圆心 ， 两圆方程相减可得 ，即为两圆的相交弦方程， 因为圆 平分圆 的圆周，所以圆心 在相交弦上， 所以 ，解得 或 （舍去）， 故选：A 4、（2022·广东罗湖·高三期末）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧 几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论 著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足 （ ，且 ）的点P的轨迹是一个 圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足 ，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直 线l上存在点R，使得 的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l 的距离为d， 由圆的性质得： ，解得 ， ， 所以C的长度为 . 故选：B l:3xmy30 5、（2021·山东青岛市·高三三模）（多选题）已知直线 ，曲线 C:x2  y2 4x2my50 ，则下列说法正确的是（ ） m>1 C A．“ ”是曲线 表示圆的充要条件 m3 3 l C B．当 时，直线 与曲线 表示的圆相交所得的弦长为1 m3" l C C．“ 是直线 与曲线 表示的圆相切的充分不必要条件 m2 C x2  y2 1 D．当 时，曲线 与圆 有两个公共点 【答案】C C:x2  y2 4x2my50(x2)2(ym)2 m21 C 【解析】对于A，曲线 ，曲线 要表示圆， m2 10m1 m>1 则 或 ， m>1 C 所以“ ”是曲线 表示圆的充分不必要条件，故A错误； m3 3 l:x 3y10 C:(x2)2 (y3 3)2 26 对于B， 时，直线 ，曲线 ， |2 3(3 3)1| d  5 圆心到直线 的距离 ， l 13 2 r2 d2 2 2625 2 所以弦长 ，故B错误；|6m2 3| d   m2 1m3 对于C，若直线 l 与圆相切，圆心到直线 l 的距离 9m2 ， m3" l C 所以“ 是直线 与曲线 表示的圆相切的充分不必要条件，C正确； m2 C:(x2)2 (y2)2 3 (2,2) r  3 对于D，当 时，曲线 ，其圆心坐标 ， ， 曲线C与圆 x2  y2 1 两圆圆心距离为 (20)2 (20)2 2 2  31 ，故两圆相离，不会有两个 公共点，D错误. 故选：C. 6、（2022·湖南常德·高三期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O： 的一条直径，则 ______． 【答案】3 【解析】设 ，则 ,且 ， 则 ，故答案为：3 7、（2022·湖北武昌·高三期末）已知圆O的方程为 ，P是圆C： 上一点，过P作 圆O的两条切线，切点分别为A、B，则 的取值范围为______． 【答案】 【解析】如图， 设PA与PB的夹角为2α，则|PA|=|PB|= ， ∴ ． P是圆C： 上一点， ， ， 令 , 则 在 上递减， 所以当 时， ，此时P的坐标为 ， 当 时， ，此时P的坐标为 ， ∴ 的范围为 ． 故答案为： . 8、（2022·江苏海门·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，动直线kx－y+2k＝0，x＋ky－2＝0(k∈R)的交点 P的轨迹为C．若直线l与轨迹C交于点M，N，且满足 ＝1，则点O到直线l的距离的平方的取值 范围为________． 【答案】 【解析】当 时，则 ，得 ，代入 中，有 ， 整理为 ，经检验 不是两动直线的交点，故交点P的轨迹为 ，且 .由对称性，设直线l： ，与 联立， 得 ，设 ， ， 则 ， 则 ， 所以有 ，化简整理得 ， O到直线l的距离的平方为 ， 若 ，则 ，矛盾，故 ， 设 ，则 ，故 ， 故 ，故 ， 故答案为： .