文档内容
培优点 8 隐圆(阿波罗尼斯圆)问题
隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确
给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最
终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”．
考点一 利用圆的定义、方程确定隐形圆
例1 (1)(2022·滁州模拟)已知A，B为圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的两个动点，P为弦
AB的中点，若∠ACB＝90°，则点P的轨迹方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝
B．(x－1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
(2)(2022·茂名模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，若向量c满足|a＋b－2c|＝1，
则|c|的取值范围是( )
A．[1，－1] B.
C. D.
规律方法 对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别
动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹．
跟踪演练1 (2022·平顶山模拟)已知M，N为圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上两点，且|MN|＝4，
点P在直线l：x－y＋3＝0上，则|PM＋PN|的最小值为( )
A．2－2 B．2
C．2＋2 D．2－
考点二 由圆周角的性质确定隐形圆
例2 (1)已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得
∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是( )
A．[4,6] B．(4,6)
C．(0,4]∪[6，＋∞) D．(0,4)∪(6，＋∞)
(2)(2022·长沙雅礼中学质检)已知直线l：x－y＋4＝0上动点P，过P点作圆x2＋y2＝4的两条
切线，切点分别为C，D，记M是CD的中点，则直线CD过定点________，点M的轨迹方程为______________________________．
规律方法 利用圆的性质，圆周角为直角，即可得到：若PA⊥PB或∠APB＝90°，则点P 的
轨迹是以AB为直径的圆．注意轨迹中要删除不满足条件的点．
跟踪演练2 (2022·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m(k≠0)与x轴和y
轴分别交于A，B两点，|AB|＝2，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点(1,1)的距离的
最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D.
考点三 阿波罗尼斯圆
例3 (多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A，B为平面上相异的两点，则所有满足：
＝λ(λ>0，且λ≠1)的点P的轨迹是圆，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标
系中，A(－2,0)，B(4,0)，若λ＝，则下列关于动点P的结论正确的是( )
A．点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0
B．△APB面积的最大值为6
C．在x轴上必存在异于A，B的两定点M，N，使得＝
D．若点Q(－3,1)，则2|PA|＋|PQ|的最小值为5
规律方法 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之
比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．
跟踪演练3 若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最大值为
( )
A．16＋8 B．8＋4
C．7＋4 D．3＋
