文档内容
解密05讲：各类基本初等函数
【考点解密】
1．二次函数的图象和性质
解析式 f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增；
单调性
在x∈上单调递增 在x∈上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝－对称
2．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
y＝
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性
质 在(－∞，0]上单 在(－∞，0)
在R上单 在R上单 在[0，＋∞)上
单调性 调递减；在(0， 和(0，＋∞)
调递增 调递增 单调递增
＋∞)上单调递增 上单调递减
公共点 (1,1)
3．一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；
当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
4．分数指数幂(1) ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)
aras＝ar＋s； ； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr ．
5．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 00时， y >1 ； (5)当x>0时， 0< y <1 ；
性质
当x<0时， 0< y <1 当x<0时， y >1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
6．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫做对数的底数，
a
N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. (e＝2.718 28…)
7．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：
①1的对数为零：log 1＝0.
a
②底的对数为1：log a＝1.
a
③零和负数没有对数．
④ ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M＋log N；
a a a
②log ＝log M－log N；
a a a
③ ＝log b．
a(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
a
重要推论：①log N＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
a
②log b·log c·logd＝log d(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
a b c a
8．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 01时，y>0； 当x>1时，y<0；
质 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
9．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
a
【方法技巧】
1．解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图
求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的
关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
2．幂函数：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中
指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．
根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(4)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数
的图象和性质是解题的关键．
3．指数函数：(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可
以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等
问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
4．对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算
性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂
的运算．
5．对数函数：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函
数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是
定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本
初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
【核心题型】
题型一：二次函数的图像和性质
命题点1 二次函数的单调性
1．（2021·重庆市实验中学高三阶段练习）已知函数 ，若函数 在R上为减函数，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组即可得
答案.【详解】解：因为函数 在R上为减函数，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：B.
2．（2022·天津·耀华中学高三阶段练习）已知函数 ，则 的增区间为（ ）
A．（–∞，–1） B．（–3，–1）
C．[–1，+∞） D．[–1，1）
【答案】B
【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.
【详解】由 ，得 ，
当 时，函数 单调递增，所以函数 单调递增；
当 时，函数 单调递减，所以所以函数 单调递减，
故选：B.
3．（2015·四川·高考真题（理））如果函数 在区间 上单调递减，
则mn的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
【答案】B
【详解】 时，抛物线的对称轴为 .据题意，当 时， 即 .
.由 且 得 .当 时，抛物线开口向下，据题意得，
即 . .由 且 得 ，故应舍去.要使得取得最大值，应有 .所以 ，所以最大值为18.选B..
考点：函数与不等式的综合应用.
命题点2 二次函数的值域、最值
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用配凑法求出 的解析式，则可求出 的解析式，从而可求出函数的最小值
【详解】因为 ，
所以 .
从而 ，
当 时， 取得最小值，且最小值为 .
故选：D
5．（2022·江苏·阜宁县东沟中学高三阶段练习）已知直线 ， ，且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两直线垂直得到 ，再代入消元利用二次函数的性质求解.
【详解】解： ，则 ，∴ ，
所以 ，二次函数的抛物线的对称轴为 ，
当 时， 取最小值 .
故选：A．
6．（2022·安徽·合肥双凤高级中学模拟预测（文））已知圆 与圆 的公
共弦所在直线恒过点 ，且点 在直线 上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点 ，利用点在直线上可得 ，再代入
消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】解：由圆 ，圆 ，
得圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ，求得定点 ，
又 在直线 上， ，即 .
∴ ，∴ 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
命题点3 二次函数的恒（能）成立问题
7．（2019·云南师大附中高三阶段练习（文））若关于 的不等式 的解集为实数集 ，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对二次项系数 分成两种情况讨论，即 ， ，结合二次函数的图象，即可得答案.【详解】当 时，不等式为 ，恒成立，满足题意；
当 时，则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运
算求解能力，求解时注意判别式的应用.
8．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知f(x)＝x2，g(x)＝ －m，若对任意x∈[0,2]，存在x∈[1,2]，使得
1 2
f(x)≥g(x)，则实数m的取值范围是________.
1 2
【答案】
【分析】由题意，问题等价转化为f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，分别求出最值，列出不等式求解即可.
【详解】由题意f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，
所以f(0)≥g(2)，即 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的最值问题，属于简单题.
9．（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）已知函数 ，当 时，都有 恒
成立，则 _________.
【答案】
【分析】根据题意，可得 ，代入方程，可求得n的值，结合 性质，可得图象的对称轴为直线x=0，
即可得m值，进而可得 的方程，代入数据，即可得答案.【详解】因为当 时，都有 恒成立，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
由 图象可知，要满足题意，则图象的对称轴为直线x=0，
所以 ，解得m=2，
所以 ，
所以 .
故答案为：
题型二：幂函数的图像和性质
10．（2022·北京二十中高一阶段练习）在同一坐标系内，函数 和 的图象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的图象与性质，分 和 讨论，利用排除法，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，若 时，函数 在 递增，此时 递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除
C，即 时，不合题意；
若 时，函数 在 递减，又由 递减可排除A，故选B.
【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重
考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．（2022·江苏·启东中学高三阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的单调性可得出 、 的大小关系，利用指数函数的单调性可得出 、 的大小关系，构造函
数 ，利用函数 在 上的单调性可得出 、 的大小关系，即可得出结论.
【详解】因为 ， ，即 ， ，
构造函数 ，则 ，当 时， ，
故函数 在 上为增函数，
因为 ，则 ，即 ，可得 ，
即 ，故 ，因此 .
故选：B.
12．（2021·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 ，若当 时， 恒成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断 的单调性和奇偶性，由此化简不等式 ，分离常数 ，结合二次函
数的性质求得 的取值范围.
【详解】由题意， ，即 为奇函数，同时也为增函数，
∵ ，即 ，
∴ ，即 恒成立， ，
若不等式恒成立，只需 ，令 ，
∴ ，∴ ．
故选：C
题型三：指数函数的性质及应用
13．（2022·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（理））函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】确定奇偶性，排除两个选项，然后再由函数值的变化趋势排除一个选项，得正确选项．
【详解】由 可知 是偶函数，排除A，B；当 时， ，选项C错误．
故选：D
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
14．（2022·安徽·安庆市第九中学高三阶段练习）已知函数 ，满足对任意的实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目考察分段函数单调递减的问题，要保证每一段都是单调递减的，且在衔接处也单调递减即可
【详解】由 可得：函数 在定义域内为减函数，当 时， 为减函数，则
；当 时，根据指数函数的性质可知， 为减函数，若 在R上为减函数，还需要
，解得： ，综上可得， 的取值范围为
故选：D
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有解，则实数 的取
值范围是_________．
【答案】
【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意得： 有解
令
有解，即 有解，显然 无意义
,当且仅当 ，即 时取等，
故答案为： .
题型四：对数函数的性质及应用16．（2010·全国·高三阶段练习（理））函数 的值域是（ ）
.
A．R B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出函数的定义域，然后判定复合函数的单调性，结合单调性求出函数值域
【详解】 恒成立，
函数 的定义域为
设
由复合函数的单调性可知函数 在定义域 上先增后减，函数取到最大值即：
函数的值域为
故选
【点睛】本题主要考查了求复合函数的值域，在求解时先求出函数的定义域，然后判断出函数的单调性，最后求
出函数值域，需要掌握解题方法
17．（2021·湖北·襄阳四中高三阶段练习）地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝ (lgE－11.4).2011年3
月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008
年地震能量的__________倍．
【答案】10
【分析】根据题中给出的关系式求出9.0级地震释放的能量与8.0级地震释放能量的比即可．
【详解】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为
则 ，
即 ．
那么2011年地震的能量是2008年地震能量的10 倍．故答案为10 ．
【点睛】本题主要考查了对数函数的应用，以及对数的运算，属于基础题．
18．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取
值范围是______．
【答案】
【分析】令 ，由题设易知 在 上为增函数，根据二次函数的性质列不等式组求 的取值范围.
【详解】由题设，令 ，而 为增函数，
∴要使 在 上是增函数，即 在 上为增函数，
∴ 或 ，可得 或 ，
∴ 的取值范围是 .
故答案为：
题型五：比较指数式、对数式的大小
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 则下述关系式正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解.
【详解】解：∵ ，
∴f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴ .
∵ ，
∴ ，
故选：A.
20．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递增，
设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将 化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较 、 、 三个数的大小关系，再由函数
在区间 上的单调性并结合偶函数的性质可得出 、 、 的大小关系.
【详解】 ， ，
即 ，
由于函数 是偶函数，在区间 上单调递增，所以在 上单调递减，
由于函数 为偶函数，则 ，即 ，
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，
属于中等题.关键是转化为 上的单调性再比较.
21．（2022·北京·北师大二附中高三阶段练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】由指数幂运算和对数恒等式得 ，再结合 和 的单调性比较大小即可.
【详解】
由于函数 在 上单调递增，所以 ，
由于函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，
考查推理能力，属于中等题.本题解题的关键在于利用对数恒等式和指数幂运算得 ，再借助函数
和 以及中间值 比较大小.
【高考必刷】
一、单选题
1．（2022·天津市武清区杨村第一中学高三阶段练习）已知函数 在区间 上是单调函数，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于 ，或大于等于 ，从而可求出 的取值范围.
【详解】 的图像的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上时单调函数，所以 或 ，
得 或 ，
即 的取值范围是 ，
故选：D
2．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））已知 ， ， ，则a，b，c的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
， ， ，
据此可得： .
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，
不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，
则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的
比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
3．（2021·广西·玉林市育才中学高三阶段练习（理））函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，将原函数式转化为关于 的二次函数的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值
域即可
【详解】解：设 ，则 则
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，故选A．【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替
它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题
4．（2017·湖南·长郡中学高三阶段练习（理））幂函数 ，当 取不同的正数时，在区间 上它们
的图象是一簇曲线（如图）.设点 ， ，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数 ， 的
图象三等分，即有 ，则mn等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
【答案】A
【解析】根据三等分关系求出坐标 ， ，即可求出对应幂函数解析式，解出mn的值.
【详解】由题： ， ， ，
所以 ， ，
， ， ，
.
故选：A.
【点睛】此题考查幂函数的图像性质辨析，根据图像分析点的坐标，根据坐标求函数解析式.
5．（2020·陕西西安·高三阶段练习（理））定义新运算“ ”如下： ，已知函数
，则满足 的实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据新定义，得到 的表达式，判断函数 在定义域的单调性，可得结果.
【详解】当 时，
；
当 时，
；
所以 ，
易知， 在 单调递增，
在 单调递增，
且当 时， ，
当 时， ，
则 在 上单调递增，
所以
得 ，解得 .
故选：C
【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数 以及判断单调性，难点在于
满足的不等式，属中档题.
6．（2021·江苏省镇江中学高三阶段练习）满足 的实数m的取值范围是（ ）.
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数 的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于 的一次不等式组，求解即可.
【详解】幂函数 在 为减函数，且函数值为正，
在 为减函数，且函数值为负，
等价于，
或 或 ，
解得 或 或 ，
所以不等式的解集为 .
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的求解，利用幂函数的单调性是解题的关键，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于
中档题.
7．（2022·北京·人大附中高三阶段练习）设 ，则“函数 的图象经过点 ”
是“函数 在 上递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】函数 的图象经过点 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上递减，而 在 上递减，函数 的图象不一定经过点 ，
如： .
所以“函数 的图象经过点 ”是“函数 在 上递减”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2020·全国·高三课时练习（理））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与 的
大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到 的
大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
9．（2019·上海市吴淞中学高三开学考试）已知 ，且 ，函数 在同一坐标系中的
图象可能是
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由题可知，当底数a>1时，指数函数与对数函数均为增函数，直线与y轴的截距大于1，当底数01时，f(x) [ ]，即 ≤ ，不等式组无解
综上所述，a的范围为
【点睛】本题能够顺利求解的关键是能将已知条件进行转化为两个函数值域的包含关系，解决问题的难点在于两
个函数的值域中含有参数a，这就不得不进行分类讨论，而分类讨论又会产生本题的易错点，就是分类讨论不全面，
分类标准不正确
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的
取值范围是___________.
【答案】
【分析】对任意 ， 恒成立，等价于 在 上恒成立，令 ，求其在
上的最小值即可.
【详解】对任意 ， 恒成立，
等价于 在 上恒成立，
令 ，
则其在 上的最小值为 ，所以 ，得 .故答案为：
25．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知函数 ， ，对于存在 ，
存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】设函数 的值域为 ， 的值域为 ，若存在 ，存在 ，使得 ，则
，再利用集合的计算可得参数范围.
【详解】设函数 的值域为 ， 的值域为 ，
则 ， ，
若存在 ，存在 ，使得 ，则 ，
当 时， 或 ，解得 或 ，
所以当 时， ，
故答案为： .
26．（2019·四川·高三阶段练习（理））如图，矩形 的三个顶点 分别在函数 ， ，
的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点 的纵坐标为2，则点 的坐标为______.
【答案】
【分析】先利用已知求出 的值，再求点D的坐标.【详解】由图像可知，点 在函数 的图像上，所以 ，即 .
因为点 在函数 的图像上，所以 ， .
因为点 在函数 的图像上，所以 .
又因为 ， ，
所以点 的坐标为 .
故答案为
【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
27．（2023·上海·高三专题练习）若 ，且函数 与 的图象恰有两个交
点，则满足条件的不同集合 有________个
【答案】4
【分析】列举出所有两个不同函数的交点个数，筛选出符合题意的函数即可得结果.
【详解】 图象与 、 、 、 的图象有1个、1个，2个、2个交点；
图象与 、 、 的图象有1个、1个，1个交点；
图象与 、 的图象有2个、2个交点；
图象与 的图象有3个交点，
综上可得，满足函数 与 的图象恰有两个交点的集合有4个：
，
故答案为：4
【点睛】本题主要考查幂函数的图象与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
28．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ______．① 为奇函数；
② 在 上单调递减；
③当 时， ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】取 ，利用幂函数的基本性质可判断①②，利用作差法可判断③.
【详解】取 ，则 ，易知函数 为奇函数，满足①；
由 在 上单调递减，可知 在 上单调递减，满足②；
对于③，
，
当 时， ，即 ，满足③．
故答案为： （答案不唯一）.
29．（2021·重庆市凤鸣山中学高三期中）已知函数 ，若f(m)>1，则m的取值范围是
________．
【答案】(－∞，0) (2，＋∞)
【分析】由分段函数可得 或 ，分别运用指数函数和对数函数的单调性，即可得到解集．
【详解】若 则 或 ，
即 或 ，解得， 或 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查指数不等式和对数不等式的解法，考查指数函数、对数函数的单调性的运用，考查运算能力，
属于基础题．
30．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（文））已知函数 ，则不等式
的解集是______.
【答案】 ，
【分析】先构造函数 ，得到 关于 对称，且单调递增，再结合对称性与单调
性将不等式 转化为 即可求解．
【详解】构造函数 ，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到 ，
的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称．
不等式 等价于 ，
等价于
结合 单调递增可知 ，
所以不等式 的解集是 ， ．
故答案为： ， ．
31．（2019·河北安平中学高三阶段练习（文））已知函数 ，实数 、 满足 ，且 ，
若 在区间 上的最大值是 ，则 的值为______.
【答案】【分析】本题首先可以根据 推导出 与 的关系，然后利用函数的单调性可得 或 ，分
别检验两种情况下的最大值是否为 ，即可得结论．
【详解】由题意以及函数 的性质可得 ，所以 ，且 ,
因为函数 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 或 ，
①当 时 ，又因为 ，所以 ，
此时 在区间 上的最大值为 ，满足题意；
②当 时 ， ，
此时 在区间 上的最大值为 ，不满足题意，
综上， ， ， ， 故答案为 ．
【点睛】本题考查了函数的相关性质，主要考查对数函数的相关性质，考查含绝对值函数的单调性、函数的最值
的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
四、解答题
32．（2022·黑龙江·牡丹江一中高一阶段练习）设函数 .
（1）若对于一切实数x， 恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于 ， 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据函数解析式，讨论 或 ，利用二次函数性质列不等式组即可求解.
（2）分离参数可得 ，由 ，即可求解.
【详解】（1） ，，
恒成立
综上
(2)
∵
∴
∴
∴ ，
33．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知幂函数 的定义域为R.
(1)求实数 的值；
(2)若函数 在 上不单调，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）由幂函数定义求得参数 值；
（2）由二次函数的单调性知对称轴在开区间 上，再由指数函数性质，对数的定义得结论．
【详解】（1）由题意 且 ，解得 ；
（2）由（1） ， 的对称轴 ，因为 在 上不单调，所以 ，
解得 ．
34．（2021·陕西·子长市中学高三阶段练习（文））已知函数 .
(1)若函数 是偶函数，求 的值；
(2)当 时，若函数 存在两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据偶函数的性质，建立方程，可得答案；
（2）由题意，整理函数解析式，求函数的最值，利用零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）若 为偶函数，则 ，即 ，
，得 .
（2）函数 ，
当 时， 易知函数 在 上单调递减，在
上单调递增，
则 ，
当 时， ，故函数 在 必存在一个零点；
当 时，当 时， ，则 ，
只需 ，解得 ， 的取值范围为 .
35．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））已知函数 ．
(1)求 在区间 上的最大值；(2)设函数 ，其中 ，若对任意 ， 在区间 上的最大值与最小值的差不超过
1，求a的取值范围．
【答案】(1)3；(2)
【分析】（1）化简可得 ，由对数函数单调性计算即可得出结果.
（2）由题意得， ，由 在 上单调递增,只需 成立，计算即可得出结果.
【详解】（1）∵ ，
又 在 上单调递增，∴当 时， 有最大值3．
（2）由题意得， .
因为 ， ，所以 在 上单调递增，
所以，当 时， 取得最小值；当 时， 取得最大值.
所以原题可转化为任意 ， 成立，
即 ，即 ，
∴ ，∴ 恒成立，
又 ，则 ，
∴ ，即a的取值范围为 ．
