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专题19 直线和圆
【练基础】
一、 单选题
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点 ， 与直线 ，若在直线 上存在
点 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出 点坐标，由 进行化简，结合二次函数的性质求得 的取值范围.
【详解】对于直线 ，
即 ，所以 在直线 上，
设 ，其中 ，
由 两边平方得 ，
即 ，
整理得 ，
由于 ，所以
，其中 ，
根据二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，且最大值为 ，则 ，解得 .
故选：A
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 ： 的圆心到直线 的距离为 ，
则圆 与圆 ： 的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】B
【分析】先根据题意求得 ，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，
即可知道公切线只有1条.
【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径为a，
所以圆心到直线 的距离为 ，解得 或 ．
因为 ，所以 .
所以圆 ： 的圆心为 ，半径为 ．
圆 ： 的标准方程为 ，
圆心坐标为 ，半径 ，
圆心距 ，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知 ， ，若直线 上存在点 ，使得
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线 与圆 ： 有公共点（公共点不能是 、 ），结合直线与圆
的位置关系分析运算.
【详解】若 ，则点 在以 ， 为直径的圆上（点 不能是 、 ），
∵以 ， 为直径的圆的圆心为 ，半径 ，则圆 的方程为 ，
即直线 与圆 ： 有公共点（公共点不能是 、 ），
当直线 与圆 ： 有公共点时，则 ，解得 ；
当直线 与圆 ： 的公共点为A或B时，则直线 即为x轴，即 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：B.
4．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知点 是双曲线 的右焦点，点 是双曲线上位于
第一象限内的一点，且 与 轴垂直，点 是双曲线渐近线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由双曲线的方程可得点 坐标及渐近线方程，进而求得点 坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：由双曲线方程可得，点 坐标为 ，将 代入双曲线方程，得 ，
由于点 在第一象限，所以点 坐标为 ，
因为双曲线的渐近线方程为 ，
所以，点 到双曲线的渐近线的距离为 ．
因为 是双曲线渐近线上的动点，所以 的最小值为 ．
故选：B．
5．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知直线 被圆 截得的线段长为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，根据直线被圆截得的弦长为 可构造方程求得结果.
【详解】由圆 方程得：圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
，解得： .
故选：B.
6．（2023·山东泰安·统考一模）已知直线 与圆 相切，与抛物线 相交于 两点，以 为直径
的圆过坐标原点，则直线 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】设直线 方程，利用直线与圆相切，与抛物线相交，且验证以 为直径的圆过坐标原点，即可求得直线
方程.
【详解】若直线 的斜率不存在，又直线 与圆 相切，则直线 的方程为 或 ，
又直线与抛物线 相交于 两点，则直线 的方程为 ，此时可设 ， ，且
，所以 ，不符合题题意；
若直线 的斜率存在，设直线 得方程为 ，由直线 与圆 相切，
则圆心 到直线的距离为 ，所以 ①，
设 ，则联立抛物线与直线方程 得 ，
得 ，
所以 ，
则
，
整理得： ②，联立①②解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
故选：B.
7．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知曲线 的方程为 ，曲线 关于点
的对称曲线为 ，若以曲线 与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．0或 D．0
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出曲线 的方程，再判断原点与曲线 的位置关系，结合四边形面积求出弦长作答.
【详解】曲线 ： 是以点 为圆心， 为半径的圆，
点 关于点 的对称点 ，则曲线 是以点 为圆心， 为半径的圆，
圆 的方程为 ，圆 与两坐标轴各有两个交点，又圆 的圆心在y轴上，则原点必在圆 内，因此圆 的内接四边形两条对角线互相垂直，其中一条对角线长为 ，设另一条对角线长为 ，
于是 ，解得 ，因此圆 截x轴所得弦长为 ，
在 中，令 得， ，即 ，
从而 ，解得 或 ，
所以 的值为0或 .
故选：C
8．（2023·陕西西安·统考一模）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线
与圆 相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段 的垂直平分线恰好过右焦点 ，则双曲线C的
离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意画出草图，由题意O为 的中点可得 ，求出 ，即可得到
， ，根据双曲线定义推得 长度，在直角三角形 中用勾股定理即可找到 之间的关系，即
可求得离心率.
【详解】设 的焦距为 ，则 ，
由题意过 的直线与圆 相切于点Q，连接 ,则 ,
连接 ,设M为 的中点，则 ,则 ,因为O为 的中点，故Q为 的中点，即 ,
在 中， ，故 ，
则 ，由于M为 的中点，所以 ,
即 ,
在双曲线 中，P在右支上，有 ，
所以 ，又 ，
所以在 中， ,即 ，
化简得 ，
故双曲线的离心率为 ，
故选：A
【点睛】关键点点睛：要求双曲线的离心率，即要求出 之间的关系，因而解答本题时，根据题意推出相关线
段的长，特别是 ，继而在 中应用勾股定理即是关键所在.
二、多选题
9．（2023·山东菏泽·统考一模）已知圆 ，下列说法正确有（ ）
A．对于 ，直线 与圆 都有两个公共点B．圆 与动圆 有四条公切线的充要条件是
C．过直线 上任意一点 作圆 的两条切线 （ 为切点），则四边形 的面积的最小值
为4
D．圆 上存在三点到直线 距离均为1
【答案】BC
【分析】对于选项A，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B，转化为两圆外离，运用几何
法求解即可；对于选项C，由 ，转化为求 最小值即可；对于选项D，设圆心到直
线的距离为d，比较 与1的关系即可.
【详解】对于选项A，因为 ，即： ，
所以 ，所以直线恒过定点 ，
又因为 ，所以定点 在圆O外，
所以直线 与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项
A错误；
对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，
又因为圆O的圆心 ，半径 ，圆C的圆心 ，半径 ，
所以 ，即： ，解得： .故选项B正确；
对于选项C， ，
又因为O到P的距离的最小值为O到直线 的距离，即： ，
所以四边形PAOB的面积的最小值为 .故选项C正确；
对于选项D，因为圆O的圆心 ，半径 ，则圆心O到直线 的距离为 ，所以 ，所以圆O上存在两点到直线 的距离为1.故选项D错误.
故选：BC.
10．（2023·广东佛山·统考一模）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l： （其
中 ）分别与直线 、 交于C、D两点，则（ ）
A． 时，l的倾斜角为
B． ，点A、B到l的距离之和为定值
C． ，使l与圆O无公共点
D． ，恒有
【答案】BD
【分析】对于A：首先得到直线的斜率，即可求出直线的倾斜角，从而判断A，对于B，分别求出点 、 到直线
的距离，再求和即可，求出坐标原点 到直线 的距离，即可判断C，求出 ， 点坐标，再求出 ，即
可判断D.
【详解】解：依题意 ， ，
对于A：当 时直线 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，所以直线 的倾斜角为 ，故A错误；
对于B：点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ，
所以点 、 到直线 的距离之和为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即对 ，点 、 到直线 的距离之和为定值 ，故B正确；
对于C：坐标原点 到直线 的距离 ，
所以直线 与单位圆相切，即直线 与单位圆必有一个交点，故C错误；
对于D：对于直线 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
即 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
即 ，恒有 ，故D正确；
故选：BD
11．（2023·全国·模拟预测）设直线l： ，圆C： ，若直线l与圆C恒有
两个公共点A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．r的取值范围是
B．若r的值固定不变，则当 时∠ACB最小
C．若r的值固定不变，则 的面积的最大值为
D．若 ，则当 的面积最大时直线l的斜率为1或
【答案】BD
【分析】A选项，先整理直线方程，得到直线过的定点，再根据直线与圆的位置关系得到半径r的范围；B选项，
利用平面几何知识分析出当 时，∠ACB最小，再利用斜率之间的关系即可判断；C选项，先将 的面
积用半径r和圆心C到直线l的距离d表示，再利用二次函数的知识求最值即可；D选项，利用C选项得到半径r
和圆心C到直线l的距离d之间的关系，再利用点到直线的距离公式建立方程，求得a，b之间的关系，即可得到
结果．【详解】A选项：因为直线l： ，即 ，
令 ，解得 ，
所以直线l过定点 ，
因为直线l与圆C恒有两个公共点，
所以 ，故A错误；
B选项：因为直线l过定点 ，
所以当 时，∠ACB最小，
因为 ，所以此时直线l的斜率为 ，
即 ，即 ，故B正确；
C选项：设圆心C到直线l的距离为d，
则 的面积 ，
因为 ，所以 ，
① ，即 ，则当 时， 的面积最大，且 ；
②若 ，即 ，则函数S随着d的增大而增大，所以 ，
综上 的面积的最大值为 或 ，故C错误；
D选项：由 C 选项知 ，当 时 的面积最大，因为 ，所以 ，整理
得 ，所以 或 ，
因为 ，所以直线l的斜率 ，所以 或 ，故D正确．
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键：（1）整理直线方程，得到直线过的定点的坐标；（2）熟练掌握直线与圆的位置关系，并能利用平面几何知识分析出圆心角何时最小．
12．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆
的两条切线，切点分别为 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长 的最小值为
B．四边形 面积的最小值为
C．若 是圆 的一条直径，则 的最小值为
D．直线 恒过定点
【答案】ABD
【分析】利用勾股定理可求得切线长 的最小值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用
平面向量数量积的运算性质以及 的最小值，可判断C选项；设点 ，求出直线 的方程，可求得直线
恒过定点的坐标，可判断D选项.
【详解】圆心为 ，圆 的半径为 ，由圆的几何性质可知， ， .
对于A选项， ，
当 时， 取最小值，且 ，
所以， ，A对；
对于B选项，由切线长定理可知， ， ， ，
所以， ，所以， ，B对；
对于C选项，易知 为 的中点，
，C错；对于D选项，设点 ，则 ，
线段 的中点为 ， ，
所以，以 为直径的圆 的方程为 ，
即圆 的方程为 ，
将圆 的方程与圆 的方程作差可得 ，
即 ，故直线 的方程为 ，
变形可得 .
由 可得 ，所以，直线 恒过定点 ，D对.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）圆心在直线 上，且过点 的圆的标准方程为
__________．
【答案】
【分析】先求得点 与点 确定线段的中垂线，再根据直线 上，两方程联立求得圆心，从而得到
圆的半径即可.
【详解】解：点 与点 确定直线的斜率为 ，其中点为 ，
所以线段的中垂线方程为 ，即 ，
又圆心在直线 上，
由 ，解得 ，所以圆心为 ， ，
所以圆的标准方程为 ，
故答案为：
14．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数 且 的图像恒过定点 ，且点 在圆
外，则符合条件的整数 的取值可以为__________.（写出一个值即可）
【答案】 （不唯一，取 的整数即可）
【分析】先求定点 的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得 的取值.
【详解】因为函数 的图像恒过定点 ，所以 ；
因为点 在圆 外，
所以 且 ，解得 或 ；
又 为整数，所以 的取值可以为 .
故答案为： （不唯一，取 的整数即可）.
15．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，
B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点 ，点P满足 ，
设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，若直线 与圆M相交于D，G两点，且 ，则
____________．
【答案】 或
【分析】设点 由 求出圆M方程，根据 截圆弦长 求得 值.
【详解】设点 点 满足 ，
∴ ，
化为: ，即点 的轨迹圆 ，圆心 ，半径 .圆心 到直线 的距离 ，
∴ ，
∴ ，解得 或
故答案为: 或
16．（2023·河南·校联考模拟预测）圆 与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足
，直线 与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为________．
【答案】
【分析】求出A、B坐标，设N(x,y)，求出N的轨迹圆E的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其
斜率．
【详解】对于圆 ，令 ，得 ，解得 或 ，
则 ， ．
设 ，∵ ，∴ ，
则 ，整理得 ，
则点N的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．
又圆M的方程为 ，则圆M的圆心为 ，半径为 ．
∵ ，∴两圆相交，
设直线l与圆M和点N轨迹圆E切点分别为C，D，
连接CM，DE，过M作DE的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM为矩形，
∵ ， ，∴ ，
则 ，则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为 ．
故答案为： .
四、解答题
17．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知点 ，动点M满足 ，点M的轨迹为曲线
C．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)曲线C上任意一点N（不同于A，B）和点A，B的连线分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点求证：
为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合 ，由向量的坐标运算化简即可求解曲线C的轨迹方程；
（2）设 ，分别由点斜式求出直线 和直线 的方程，令 可求 ，相乘即可求证.
【详解】（1）设点 ，因为 ，所以 ，化简得 ，所以曲线 的轨
迹方程为 ；
（2）设点 ，
则直线 的方程为 ，令 得 ，所以 ，
直线 的方程为 ，令 得 ，所以 ，所以 ．
18．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知圆 ： ，点 是直线 ： 上一动点，过
点 作圆 的切线 ， ，切点分别是 和 ．
(1)试问直线 是否恒过定点，若是求出这个定点，若否说明理由；
(2)直线 与圆 交于 ， 两点，求 的取值范围（ 为坐标原点）．
【答案】(1)直线 恒过定点
(2)
【分析】(1)由题可知， ， 在以 为直径的圆上，利用两圆方程，求得直线 的方程，即可求解．
(2)直线与圆联立方程组,利用韦达定理解决取值范围.
【详解】（1）直线 恒过定点 ，
设 ，由题意知 ， 在以 为直径的圆上，又 ，则以 为直径的圆的方程为
，即 ，
又圆 ，即 ，
两式相减，故直线 的方程为 ，即 ，
由 ，解得 ， ，即直线 恒过定点 ，
（2）由 ，消去 ，得 ，
直线与圆交于 ， 两点， ，
解得 ，
设 ， ，
由韦达定理，有 ， ，设 ，由二次函数的性质可知， 的图像抛物线开口向上，对称轴方程
为 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
的取值范围为 .
【提能力】
一、单选题
19．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－
1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设P(x,y)，由 求得 点轨迹是圆，又 在已知圆上，判断出两圆相交后可得 点个数．
【详解】设P(x,y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，
即x2＋(y－1)2＝4，圆心为 ，半径为2，又圆 圆心为 ，半径为2，
因为 ，
所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.
故选：B.
20．（2023·山东潍坊·校考一模）已知平面向量 满足 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出 ，建立平面直角坐标系，设 ，求出轨迹方程，利用几何意义即可求
出 的最大值.
【详解】由 可知, ，故 ，
如图建立坐标系， ， ，
设 ，由 可得：
，
所以 的终点在以 为圆心,1为半径的圆上，
所以 ，几何意义为 到 距离的2倍，
由儿何意义可知 ，
故选：D.
21．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知直角 的直角顶点 在圆 上，若点， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】因为圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，直角 的直角顶点 在圆
上，
所以有 ，
因为直角 的直角顶点为 ，
所以点A在以 为直径的圆上，因此圆心坐标为 ，半径为 ，
因为点 在圆 上，
所以这两个圆位置关系为相交或内切或外切，
所以有 ，
故选：C
22．（2023·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期
数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 ，且 的点的轨迹是圆，此
圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中， ，点 满足 .设点 的轨迹为曲线 ，
则下列说法错误的是（ ）
A． 的方程为
B．当 三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得D．若 ，则 的最小值为
【答案】C
【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线
时线段取得最短即可求解.
【详解】设 ，由 ，得 ，化简得 ，故A正确；
当 三点不共线时， ，所以 是 的角平分线，所以 ，故B正确；
设 ,则 ，化简得 ，因为 ，所以C
上不存在点M，使得 ，故C错
误；
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 在线段 上时，等
号成立，故D正确.
故选：C.
23．（2023·全国·模拟预测）已知点P是圆 上一点，若点P到直线 的距离为
1，则满足条件的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.
【详解】由题意可知圆心为 ,所以 到 的距离为 ，故与直线
平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点即为满足条件的点P，此时有两个，又圆的半径为2，故当过
圆心且与 垂直的直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个.
故选:C24．（2023·四川凉山·统考一模）已知 为抛物线 的焦点，过 作垂直 轴的直线交抛物线于
、 两点，以 为直径的圆交 轴于 ， 两点，若 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心， 为半径的圆，根据弦长公式即得.
【详解】由题可知 ，由 ，可得 ，
所以 ，所以以 为直径的圆的半径是 ，圆心为 ，
所以 ， ，
解得 ，
所以抛物线方程 .
故选：B.
25．（2023·湖南长沙·统考一模）在平面直角坐标系 中,已知 , ,若该平面中存在点 ,同时满
足两个条件 与 ,则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】设出点 坐标,根据 ,求出点 的轨迹方程,根据 ,可求出点 的另一个轨迹方
程,只需这两个方程的曲线无交点即可,利用圆与圆的位置关系列出等式求出范围即可.
【详解】解:由题知,不妨设 ,
因为 ,
所以 ,
化简可得: ,
故点 在以 为圆心, 为半径的圆上,
又因为 ,
所以 ,
化简可得: ,
即点 在以 为圆心, 为半径的圆上,
故若存在点P，只需圆 与圆 有交点即可,
即 ,
同时平方化简可得: ,
即 ,解得: .
所以不存在点P时， 或 .
故选:D
26．（2022·北京·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点P在直线 上，且点P在第四象限，点．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T，满足 ，则圆C的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意作出符合题意的图形，判断出直径 ,求出 ，利用两点间的距离公式
即可求解.
【详解】如图示：
因为PQ为圆C的直径，所以 .
而 为圆心，所以 .
又 ，所以三角形 为等腰直角三角形.
所以 .
因为直线 上，且 ，所以 ，所以 .
又 ，所以 .
所以点T的坐标满足： ，解得： ，即 .
所以 ，
所以 .即圆C的直径为 .
故选：D
二、多选题(共0分)
27．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知直线 与圆 ，则（ ）
A．直线 必过定点 B．当 时， 被圆 截得的弦长为
C．直线 与圆 可能相切 D．直线 与圆 不可能相离
【答案】ABD
【分析】将直线 变形为 ，即可求定点坐标，即可判断A；根据弦长公式求弦长，判断B；根据
直线 所过定点与圆 的关系，再结合直线方程的形式，即可判断CD.
【详解】A. ，联立 ，得 ，所以直线过点 ，故A正确；
B.当 时， ，圆心 到直线 的距离 ，弦长 ，故B正确；
C.直线所过定点 在圆上，过点 与圆 相切的直线是 ，
但直线 ，表示斜率存在的直线，表示不了直线 ，
故不存在直线 与圆 相切，故C错误；
D. 直线所过定点 在圆上，所以直线 与圆 总有公共点，不可能相离，故D正确.
故选：ABD
28．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知圆 ，圆 ，则（ ）
A．无论k取何值，圆心 始终在直线 上
B．若圆O与圆 有公共点，则实数k的取值范围为C．若圆O与圆 的公共弦长为 ，则 或
D．与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外
公切线，当 时，两圆的外公切线长为
【答案】ACD
【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断选项A；根据两圆有公共点的条件求出 的范围即可判断选项B；求出公
共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出 的值即可判断选项C；根据 的值求出圆Ck的半径，利用两
圆的半径求出外公切线长即可判断选项D.
【详解】圆Ck的圆心坐标为 ，在直线 上，A项正确；
若圆O与圆Ck有公共点，则1≤|OCk|≤3，所以 ，解得 或 ，B项错误；
将圆O与圆Ck的方程作差可得公共弦所在直线的方程为 ，则圆心O到直线的距离
，则 ，解得 或 ，C项正确；
当 时，圆O与圆Ck外切，圆心距为3，半径差为1，则外公切线长为 ，D项正确．
故选：ACD．
29．（2023·山东潍坊·校考一模）已知 是圆 上的两点，则下列结论中正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若点O到直线 的距离为 ，则
C．若 ，则 的最大值为4
D． 的最小值为
【答案】BD【分析】根据余弦定理可求解 可求解A，根据弦长公式可求 进而求解B，将 转
化为 到直线 的距离之和的 倍，可求C，利用数量积公式可求D.
【详解】
对A，若 ，又
，
所以 ，故A错；
对B，若点O到直线 的距离为 ，
由弦长公式可得 ，故B对；
对C， ，
几何意义为 到直线 的距离之和的 倍，
设 中点为Q， ，
因为 ，所以 ,
所以在直角三角形 中， ，
所以Q的轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆，即 ，
而圆 的圆心到直线距离的 的距离为 ，所以 ，
所以 的最大值为6，故C错；
对D， 的最小值为 ，故D对；
故选:BD.
30．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆 ，圆 ，下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则圆 与圆 相交
B．若 ，则圆 与圆 外离
C．若直线 与圆 相交，则
D．若直线 与圆 相交于 ， 两点，则
【答案】AC
【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.
【详解】解：圆 的圆心 ，半径
若 ， ，则圆心 ，半径 ，则 ，
所以 ，则圆 与圆 相交，故A正确，B错误；
若直线 与圆 相交，则圆心 到直线 的距离 ，解得 ，故C正确；
若直线 与圆 相交于 ， 两点，则圆心 到直线 的距离 ，所以相交弦长
，故D错误.
故选：AC.三、填空题
31．（2023·江西南昌·统考一模）已知一簇圆 ，直线l：y＝kx＋b是它们的一条公
切线，则k＋b＝______．
【答案】 ##0.75
【分析】由题意圆心 到直线l：y＝kx＋b的距离 ，则 ，对任意
恒成立，列式求解即可.
【详解】由圆 ，知圆心 ，半径为 ，
由题意圆心 到直线l：y＝kx＋b的距离 ，
则 ，对任意 恒成立，
则 ，解得 ，故 .
故答案为： .
32．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）在平面直角坐标系 中，已知动圆 的方程为
，则圆心 的轨迹方程为____________．若对于圆 上的任意点 ，在圆 ：
上均存在点 ，使得 ，则满足条件的圆心 的轨迹长度为______．
【答案】
【分析】设出 的坐标 ，得到 和 ，消去 得到圆心的轨迹方程；数形结合分析出点 离圆O的距离最大，要使得对于圆 上的任意点 ，在圆 ： 上均存在点 ，使得 ，只需要
过点 作圆的切线，切点为 ， 即可，从而得到 ，由垂径定理得到答案.
【详解】设圆心 的坐标为 ，故 ①， ②，①×2＋②得：
，故圆心 的轨迹方程为 ；
如图所示，取圆 上一点P，要使 最大，则过点P作圆O的切线，
连接 并延长交圆M于点 ，则点 离圆O的距离最大，
故要使得对于圆 上的任意点 ，在圆 ： 上均存在点 ，使得 ，
则只需要过点 作圆的切线，切点为 ，若此时 即可，
当 时， ，此时 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
由勾股定理得：圆心 的轨迹长度为 .
故答案为： ，
33．（2023·安徽·统考一模）已知圆 ，直线 （ 是参数），则直线
被圆 截得的弦长的最小值为__________.【答案】
【分析】求出直线所过定点A，判断定点在圆内，数形结合知直线 截圆 所得弦长最小时，弦心距最大，此时
，即可由勾股定理求出此时的弦长.
【详解】直线l可化为 ，
令 ，所以直线l恒过定点 ，
易知点A在圆C内，所以直线 截圆 所得弦长最小时，弦心距最大，此时 ，
圆 ，圆心 ，半径为5，
，
直线 截圆 所得弦长的最小值为 .
故答案为：
34．（2023·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知圆 ， ，直线 与圆 相
切，与圆 相交于 ， 两点，分别以点 ， 为切点作圆 的切线 ， 设直线 ， 的交点为 ，则
的最大值为__________．
【答案】 ##
【分析】设 ， ，由相切关系，建立点A，B坐标所满足的方程，即弦 所在直线的方程，由
直线 与圆 相切，得 ，求出m的最大值.
【详解】设点 ， ， ， ，
因为分别以点A，B为切点作圆 的切线 ， ．
设直线 ， 的交点为 ，所以 ，则 ，
即 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 是方程 的解，
所以点 在直线 上，
同理可得 在直线 上，
所以弦 所在直线的方程为 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，
解得 ，得 ，
即 的最大值为 ．
故答案为：3.5
四、解答题
35．（2021·山东枣庄·统考二模）已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为 ，动点M的轨迹为曲
线C．
(1)求C的轨迹方程，并说明其形状；
(2)过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR(Q、R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x
＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．
【答案】(1)(x＋1)2＋y2＝4，曲线C是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆
(2)
【分析】（1）设出点M的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解；
（2）写出以CP为直径的圆的方程，然后利用Q，R是两个圆的交点得到QR所在直线方程，联立直线QR与圆C
的方程，利用韦达定理求出点N的纵坐标，从而得出点N在以OC为直径的圆上，求出该圆的圆心以及半径，利
用点，直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】（1）设M(x，y)，由 ＝ ，得 ＝ ，化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4，
故曲线C是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆．
（2）由（1）知C(－1，0)，又P(3，p)，(p≠0)，
则线段CP的中点的坐标为 ，|CP|＝ ，
故以线段CP为直径的圆的方程为(x－1)2＋ ＝ ，
整理得x2＋y2－2x－py－3＝0①．
由题意知，Q、R在以CP为直径的圆上，
又Q、R在圆x2＋y2＋2x－3＝0②上，
由②－①，得4x＋py＝0，
所以弦QR所在直线的方程为4x＋py＝0，可得QR恒过坐标原点O(0，0)．
由 得(16＋p2)y2－8py－48＝0，
设Q(x，y)，R(x，y)，则y＋y＝ ，
1 1 2 2 1 2
所以点N的纵坐标 ＝ ＝ ，
因为p≠0，所以 ≠0，所以点N与点C(－1，0)，O(0，0)均不重合．
因为N为弦QR的中点，且C(－1，0)为圆C的圆心，所以CN⊥QR，即CN⊥ON，
所以点N在以OC为直径的圆上，该圆的圆心为G ，半径为 ．
因为直线3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，
所以E(2，0)，F ，因此|EF|＝ ，
圆心G 到直线3x＋4y＝6的距离d＝ ＝ ．
设△NEF的边EF上的高为h，
则点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最小值为d－r＝ － ＝1；点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最大值为d＋r＝ ＋ ＝2．
所以S的最小值 ＝ × ×1＝ ，最大值 ＝ × ×2＝ ．
因此△NEF的面积S的取值范围是 ．
36．（2022·广西·统考模拟预测）已知抛物线 （ 为正常数）的焦点为 是抛物线 上任意一点，
圆 的方程为 的最小值为4.
(1)求 的值；
(2)过点 作圆 的两条切线分别与抛物线 相交于点 （异于点 ），证明：直线 也始终与圆 相切.
【答案】(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据 的几何意义，结合抛物线性质有 ，即可得答案；
（2）设 ， ， ，根据已知得 是关于 的方程 的两个根，
且 为 ，由直线与圆的相切关系及分析法判断 是否恒成立即可.
（1）
表示 到圆心 与焦点 距离和，即 到圆心 与抛物线准线距离和，
所以 最小为 到抛物线准线距离，则 ，可得 .
（2）
由（1）知：抛物线 的标准方程为 ，设 ， ， ，
则 的斜率为 ，直线 为 ，整理为 ，得 ，由直线 与圆 相切有 ，整理为 ，
同理 ，
所以 是关于 的方程 的两个根，故 .
直线 为 ，若直线 也始终与圆 相切，
则
，
故直线 也始终与圆 相切.
37．（2022·四川成都·统考模拟预测）点P为曲线C上任意一点，直线 ，过点P作PQ与直线l垂直，垂
足为Q，点 ，且 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上的点 作圆 的斜率为 ， 的两条切线，切线与y轴交于A，B，若
，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 点坐标，利用点到点的距离公式即可求解.
（2）设切线方程，利用点到直线的距离公式结合韦达定理得到 的表达式，结合椭圆方程，解得 ，利用直
线方程，解得 两点纵坐标的表达式即可求解 .(1)
解：设 ，由 ，
得 ，两边平方得 ，
所以曲线C的方程为 ；
(2)
解：设点 的切线方程为 （斜率必存在），圆心为 ， ，
所以 到 的距离为： ．
平方化为 ，
设PA，PB的斜率分别为 ， ，则 ， ．
所以 ，
又因为 解得 ．
因为 ，
令 有 ，同理
所以 ．
38．（2022·江苏南京·校考模拟预测）已知动点 是曲线 上任一点，动点 到点 的距离和到直线
的距离相等，圆 的方程为 ．
(1)求 的方程，并说明 是什么曲线；
(2)设 、 、 是 上的三个点，直线 、 均与圆 相切，判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)若直线 、 与圆 相切，则直线 与圆 相切，理由见解析
【分析】（1）由抛物线的定义可得出曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，进而可求得曲线
的方程；
（2）分析可知直线 、 、 的斜率都存在，设 、 、 ，其中 、 、 两两
互不相等，利用二次方程根与系数的关系以及点到直线的距离公式以及几何法判断可得出结论.
（1）
解：由题设知，曲线 上任意点到点 的距离和到直线 的距离相等，
因此，曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
故曲线 的方程为 .
（2）
解：若直线 的斜率不存在，则直线 与曲线 只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线 、 、 的斜率都存在，
设 、 、 ，则 、 、 两两互不相等，
则 ，同理 ， ，
所以直线 方程为 ，整理得 ，
同理可知直线 的方程为 ，
因为直线 与圆 相切，则 ，
整理可得 ，同理可得 ，所以 、 为方程 的两根，则 ，
所以， ， ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆 相切.
