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第二十讲：直线与平面、平面与平面垂直
【考点梳理】
1.直线与平面垂直判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定
一条直线与一个平面内的
定理 两条相交直线都垂直，则 ⇒l⊥α
该直线与此平面垂直
性质
垂直于同一个平面的两条
定理 ⇒a∥b
直线平行
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定
一个平面过另一个平面的垂
定理 ⇒α⊥β
线，则这两个平面垂直
文字语言 图形语言 符号语言
性质
两个平面垂直，则一个平
定理 面内垂直于交线的直线与 ⇒l⊥α
另一个平面垂直
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面垂直的判定定理及性质
【典例例题】
例1.（2022·广东珠海·高三期末）如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形，P在平面
的投影为边 的中点O， ， ， ， ．求证： 平面 .
例2．（2022·广东东莞·高三期末）如图，在正四棱锥 中，点 ， 分别是 ， 中点，点
是 上的一点.
证明： ；
【方法技巧与总结】（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；
③菱形、正方形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质 ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ ）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（ ）；
③面面垂直的性质（ ）；
④平行线垂直平面的传递性（ ）；
⑤面面垂直的性质（ ）．
【变式训练】
1.如图，圆台下底面圆 的直径为 ， 是圆 上异于 的点，且 ， 为上底面圆 的
一条直径， 是边长为 的等边三角形， ．
证明： 平面 ；2.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，
平面 平面 ．证明： 平面
3.如图，在三棱锥 中，已知 平面ABC， ，D为PC上一点，且 ．
（1）若E为AC的中点，求三棱锥 与三棱锥 的体积之比；
（2）若 ， ，证明： 平面ABD．4.如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形， ， ， ，点 是棱
上靠近点 的三等分点，点 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）点 为线段 上一点，设 ，若 平面 ，试确定 的值．
5．（2022·广东深圳·高三期末）如下图所示，在三棱锥 中， 为等腰直角三角形，
， 为等边三角形．
(1)证明： ；6.如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，
，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的中点．证明：
7.如图，已知直三棱柱 ， ， ， 分别为线段 ， ， 的中点， 为线段 上的
动点， ， ．
若 ，试证 ；考点二：面面垂直的判定定理和性质
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·高三期末）如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱） 内接于一个
等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在 上，且 ．若AC=BC，
求证：平面 平面 .
例2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为
AD的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【方法技巧与总结】
1.面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不
存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
2.面面垂直的性质关键找两个平面的交线并且和交线垂直的直线.
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）已知正三棱柱 中， ，D，E，F分别为
的中点．
证明：平面 平面 ．
2．（2022·广东汕尾·高三期末）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，求证：平面ADE 平面ABCD；
3.如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， ．在棱 上是
否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，请说明理由．
4.如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， ．在棱 上是
否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，请说明理由．5.如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ABD沿对角线
BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD．
求证：(1)CD⊥平面PBD．(2)平面PBC⊥平面PDC．
6.如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．
(1)证明：AE∥平面BDF；
(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，
并加以证明；若不存在，请说明理由．【巩固练习】
一、单选题
1．棱长为2的正方体 中，E，F分别是棱BC， 的中点，下列命题中错误的是
（ ）
A． B．EF∥平面
C．EF⊥平面 D．四面体 的体积等于
2． 为正方体 对角线 上的一点，且 ，下面结论不正确的是
（ ）
A． B．若 平面PAC，则
C．若 为钝角三角形，则 D．若 ，则 为锐角三角形
二、多选题
3．如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD
拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（ ）A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD
4．如图所示，在四棱锥中 中， 为正方形， ，E为线段 的中点，F为
与 的交点， ．则下列结论正确的是（ ）
A． 平面 B． 平面
C．平面 平面 D．线段 长度等于线段 长度
三、填空题
5．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，写出以 之间的部分位置关系为条件（
除外）， 为结论的一个真命题：_____________．
6．如图，在直三棱柱 中，底面是 为直角的等腰直角三角形， ， ，
是 的中点，点 在线段 上，当 _______时， 平面 ．7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC与BD交于点O，将△ACD沿直线AC翻折，形成三棱锥
D-ABC，若在翻折过程中存在某个位置，使得OB⊥AD，则x的取值范围是___________．
四、解答题
8．在四棱锥 中，四边形 为菱形， ，且平面 平
面 ．证明： 平面 ；9．如图所示，在四棱锥 中，平面 底面 ， ， ， ，
， ， ．设平面 与平面 的交线为 ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若在棱 上存在一点 ，使得 平面 ，当四棱锥 的体积最大时，求 的值．
10．如图，四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ， ， ，
， 为等边三角形，平面 平面ABCD．
（1）证明： ；
（2）求三棱锥 的体积．11．如图1，在直角梯形ABCD中， ，∠BAD=90°， ，E是AD的中点，O
是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中 的位置，使平面 平面BCDE，得到四棱
锥 ．当四棱锥 的体积为 ，求a的值．
12．如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．
（1）求证：CD⊥平面SAD；
（2）若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明
你的结论．
