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第 4 讲 空间向量与距离、探究性问题
[考情分析] 1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的
距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存
在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上．
考点一 空间距离
核心提炼
(1)点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设AP＝a，则点P
到直线l的距离d＝.
(2)点到平面的距离
平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d
＝.
考向1 点到直线的距离
例1 (1)(2022·广州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，PB＝
AB＝2BC＝2，则点C到直线PA的距离为( )
A. B.
C. D．2
(2)如图，已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，则线段AD 上的动点P到直线AC 的距
1 1 1 1 1 1 1
离的最小值为( )
A．1 B. C. D.
考向2 点到平面的距离
例2 (1)(2022·湖北联考)在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝PC＝1，PB＝PD＝，点E为线段PD上一点，且PE＝2ED，则点P到平面ACE的距离为________．
(2)(2022·沈阳模拟)如图，若正四棱柱ABCD－ABC D 的底边长为2，∠BAB＝，E是DD
1 1 1 1 1 1
的中点，则AC 到平面EAC的距离为________．
1 1
规律方法 (1)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化
成直线上任一点到平面的距离．
(2)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体
积法．
跟踪演练1 (1)(2022·邢台联考)PA，PB，PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角
均为60°，PA＝PB＝PC＝1，若M满足PM＝PA＋2PB＋3PC，则点M到直线AB的距离为(
)
A. B．3
C．2 D．3
(2)(2022·茂名模拟)如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，中心为O，BF＝BC，A1E＝
1 1 1 1
A1A，则四面体OEBF的体积为( )
A. B. C. D.
考点二 空间中的探究性问题
核心提炼
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面
角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入
参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满
足要求，从而作出判断．
例3 (2022·汕头模拟)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD，△ABC是底面的内接正三角形，且DO＝6，P是线段DO上一点．
(1)是否存在点P，使得PA⊥平面PBC，若存在，求出PO的值；若不存在，请说明理由；
(2)当PO为何值时，直线EP与平面PBC所成的角的正弦值最大．
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规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与
条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．
跟踪演练2 (2022·武汉质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，
PA＝PD＝，AB＝1，AD＝2，PD⊥AB.
(1)证明：平面PCD⊥平面PAB；
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(2)若PB＝，试在棱PD上确定一点E，使得平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为.
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