文档内容
§7.5 空间直线、平面的垂直
课标要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与
平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．(1)直线和平面垂直的定义
如果直线a与平面α内的 线都垂直，那么称直线a与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一个
平面内的__________
判定定理 ⇒l⊥α
垂直，那么该直线与
此平面垂直
垂直于同一个平面的
性质定理 ⇒a∥b
两条直线平行
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或
在平面内，我们说它们所成的角是________．
(2)范围：____________.
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平
面α和β内分别作____________的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面
角的平面角．
(3)二面角的范围：____________.
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面过另一
个平面的
判定定理 ⇒α⊥β
__________，那么这
两个平面垂直
两个平面垂直，如果
一个平面内有一直线
垂直于这两个平面的
性质定理 ⇒l⊥α
________，那么这条
直线与另一个平面垂
直
常用结论
1．三垂线定理
平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这
条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射
影垂直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( )
2．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3．(2023·石嘴山模拟)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周
上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法错误的是( )A．PA⊥平面ABC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥平面PBC
D．三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形
4．过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面α所成的角是________．
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (2024·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，点B 在底面ABC内的射影恰好是点
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C.
(1)若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC ；
1
(2)已知BC ＝2，BC＝2，求△BCC 的周长．
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思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，
a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1 如图，已知正方体ABCD－ABC D.
1 1 1 1(1)求证：AC⊥BD；
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(2)M，N分别为BD 与C D上的点，且MN⊥BD，MN⊥C D，求证：MN∥AC.
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题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AC⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
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(1)证明：平面ACC A⊥平面BBC C；
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(2)设AB＝AB，AA＝2，求四棱锥A－BBC C的高．
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跟踪训练 2 (2023·邯郸模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝
2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥平面ABCD；
(2)平面BEF∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
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题型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，已知ABCD－ABC D 是底面为正方形的长方体，∠ADA ＝60°，AD ＝4，点P
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是AD 上的动点．
1
(1)试判断不论点P在AD 上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AADD，并证明你的结
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论；
(2)当P为AD 的中点时，求异面直线AA 与BP所成角的余弦值；
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(3)求PB 与平面AADD所成角的正切值的最大值．
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cos θ＝cos θ·cos θ 的应用
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已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平
面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线
AB所成的角为θ ，AB与AC所成的角是θ ，AO与AC所成的角为θ，则cos θ＝cos θ·cos
1 2 1
θ.
2
典例 如图，PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝
60°，则PA与平面α所成的角为________．跟踪训练3 (多选)如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E－ABCD－F，且该八面体
的各棱长均相等，则( )
A．异面直线AE与BC所成的角为60°
B．BD⊥CE
C．平面ABF∥平面CDE
D．直线AE与平面BDE所成的角为60°
