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第4讲 直线、平面垂直的判定及性质
复习要点 1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面
垂直、面面垂直的有关性质定理与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明
一些有关空间图形的垂直关系的简单命题．
一 直线与平面垂直
1．定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平
判定 面内的两条相交直线垂
l⊥α
定理 直，那么该直线与此平
⇒
面垂直
性质 垂直于同一个平面的两
a∥b
定理 条直线平行
⇒
二 直线和平面所成的角
1．斜线和平面所成角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这
条斜线和这个平面所成的角．
2．如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为90°.
3．如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°.
4．直线和平面所成的角θ的范围是 0°≤ θ ≤90° .
三 平面与平面垂直
1．二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，
以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做
二面角的平面角．
2．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
3．判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一
判定定理 个平面的垂线，那么
α⊥β
这两个平面垂直
⇒
两个平面垂直，如果
一个平面内有一直线
性质定理
垂直于这两个平面的
l⊥α
交线，那么这条直线 ⇒与另一个平面垂直
常/用/结/论
1．若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．
2．垂直于同一条直线的两个平面平行．
3．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
4．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
1．判断下列结论是否正确．
(1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．(√)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()
(4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a∥直线b.(√)
(5)若平面α⊥平面β，直线a⊥平面β，则a∥α.()
2．(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案：(1)外 (2)垂
3．(2024·福建泉州模拟)已知平面α⊥平面β，直线m 平面α，直线n 平面β，α∩β＝
l，给出下列说法：①若m⊥n，则m⊥l；②若m⊥l，则m⊥β；③若m⊥β，则m⊥n，其中
⊂ ⊂
正确说法的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：平面α⊥平面β，直线m 平面α，直线n 平面β，α∩β＝l，①若m⊥n，可得
m，l可能平行，故①错误；②若m⊥l，由面面垂直的性质定理可得m⊥β，故②正确；③
⊂ ⊂
若m⊥β，可得m⊥n，故③正确．故选D.
答案：D
4．(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一
点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是( )
A．BC⊥平面PAC
B．AE⊥EF
C．AC⊥PB
D．平面AEF⊥平面PBC
解析：对于 A，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，而 BC 底面圆面，则
⊂PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，则BC⊥平面
PAC，所以A正确；对于B，由A项可知BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，
⊂
BC，PC 平面PBC，所以AE⊥平面PBC，而EF 平面PBC，所以AE⊥EF，所以B正确；
对于C，由B项可知AE⊥平面PBC，因而AC与平面PBC不垂直，若AC⊥PB，则易得
⊂ ⊂
AC⊥平面PBC，矛盾，所以C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PBC，AE 平面
AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正确．故选ABD.
⊂
答案：ABD
题型 线线垂直与线面垂直
典例1(2024·福建三明模拟)如图所示，在三棱柱ABCABC 中，△ABC为等边三角形，
1 1 1 1
四边形AABB为菱形，AC⊥BC，AC＝4，BC＝3.求证：BC⊥平面ACB.
1 1 1
证明：在Rt△ABC中，AB＝＝5，因为四边形AABB为菱形，所以BB ＝AB＝5.因为
1 1 1
△ABC为等边三角形，所以BC＝AC＝4，则 BB ＝ BC 2 ＋ B C 2 ，所以BC⊥BC.
1 1 1 1
【小技巧】三角形中垂直关系的证明多利用勾股定理的逆定理或等腰三角形“三线合
一”．
又AC⊥BC，AC∩BC＝C，AC，BC 平面ACB，所以 BC ⊥ 平面 ACB .
1 1 1 1
【换个思路】也可通过求证AB ⊥BC得解，此时需要证明AB 垂直于BC所在的某个
1 ⊂ 1
平面，同样可采用倒推法挖掘垂直关系，虽过程较繁琐，但此法有助于快速掌握线面垂直
判定定理的运用，可以很好地锻炼逻辑思维能力，同学们不妨一试！
1．证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊图形中的垂直关系．
(2)利用等腰三角形底边中线的性质．
(3)利用勾股定理的逆定理．
(4)利用直线与平面垂直的性质．
(5)向量法：a⊥b a·b＝0.
⇔
2．证明线面垂直的常用方法
(1)利用判定定理，它是最常用的思路．
(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．
(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．
②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．这也算一个
二级结论．
(4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
对点练1(2024·河南许平汝名校模拟节选)如图所示，在直四棱柱 ABCDABC D 中，
1 1 1 1
AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，CD＝2，M是DD 的中点．证明：BC⊥BM.
1 1
证明： 如图所示，连接BD，BD，∵AB＝AD＝1，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，
1 1
∴BD＝＝，BC＝＝，
∴BD2＋BC2＝CD2，∴BC⊥BD.
∵BB⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴BB⊥BC.
1 1
又BB∩BD＝B，BB，BD 平面BBDD ，∴BC⊥平面BBDD ，
1 1 ⊂ 1 1 1 1
∵BM 平面BBDD ，∴BC⊥BM.
1 1 1 ⊂ 1
⊂
题型 面面垂直
典例2(1)(2022·全国乙卷，文)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD， AD ＝ CD ， ∠ ADB ＝
∠ BDC ，E为AC的中点．
可推得△ADB与△CDB全等，从而有AB＝BC.
①证明：平面BED⊥平面ACD；
②设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-
ABC的体积．
(2)(2024·重庆巴蜀中学校考节选)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行
四边形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD， AD ＝ 2 ， AB ＝， ∠ BAD ＝ 30° .暗示出△ABD的
特殊性．求证：平面PBD⊥平面PAB.
(1)①证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，
所以△ADB≌△CDB，所以BA＝BC，
又E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE，
△ADC和△ABC都是等腰三角形，才有DE⊥AC，和BE⊥AC.
因为BE∩DE＝E，且BE，DE 平面BED，所以AC⊥平面BED，
又AC 平面ACD, 所以平面BED⊥平面ACD.
⊂
学会逆向思维，发现解题突破点，欲证平面BED⊥平面ACD，而AC⊥交线DE AC
⊂
必须垂直于平面BDE.
⇒
②解：由①可知BA＝BC，因为∠ACB＝60°，AB＝2，所以AC＝2，则BE＝，DE＝
AC＝1，又BD＝2， 所以 BD 2 ＝ BE 2 ＋ DE 2 ，所以 DE ⊥ EB .本小问中数量关系，就是要推得
这个位置关系DE⊥EB.
连接EF(图略)，易知当 △ AFC 的面积最小时， EF 取最小值 ，由△ABD≌△CBD FA
＝FC，S ＝AC·EF. 从而推出EF有最小值时△AFC面积最小．
△FAC ⇒
在Rt△BED中，EF的最小值为E到BD的距离，故当△AFC的面积最小时，EF＝＝.
由 射影定理知 EF 2 ＝ DF · FB ，又DF＋FB＝BD
如图，在Rt△EDB中，EF⊥BD，射影定理有如下三个结论：①EF2＝DF·BF；②ED2
＝DF·DB；③BE2＝BF·BD.
＝2，易知FB>DF，所以DF＝，FB＝.
方法一：因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE 平面ABC，所以DE⊥平面
ABC，
⊂
则F到平面ABC的距离 d ＝ × DE ＝ .
应用比例关系来计算的．
故V ＝S ×d＝××4×＝.
FABC △ABC
方法二：由①知BD⊥AC，又BD⊥EF，AC∩EF＝E，AC，EF 平面ACF，所以BD⊥
平面ACF，所以BF即为B到平面ACF的距离，
⊂
故 V ＝ V ＝ S × BF ＝××AC
FABC BAFC △AFC
等积变形，巧用BF⊥平面AFC，以BF作为棱锥的高．
×EF×BF＝.
(2)证明：在△ABD中，AD＝2，AB＝，∠BAD＝30°， 则 BD 2 ＝ 4 ＋ 3 － 2×2×× ＝ 1 ，所以 BD ＝ 1 ，利用数量关系的特殊性，进而推得AB⊥BD.
则BD2＋AB2＝AD2，所以 AB ⊥ BD .
【会联想】根据题目中的数量关系，联想利用余弦定理、勾股定理的逆定理求解．
又 平面 PAB ⊥ 平面 ABCD ，
下面一段证明正好是面⊥面性质定理的应用．因此每当条件中出现面面垂直时，我们
注意力集中在寻找是否存在垂直于交线的直线上，从而为线⊥面创造条件．
平面 PAB ∩ 平面 ABCD ＝ AB ，
【警示】利用面面垂直的性质定理时，注意不要忘记对交线的说明．
BD 平面ABCD，所以BD⊥平面PAB.又BD 平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB.
⊂ ⊂
1．证明面面垂直的方法
(1)面面垂直的判定定理：a⊥β，a α α⊥β.此方法将问题转化为线面垂直问题，一般
找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面平行．
⊂ ⇒
(2)只要证明两个平面所构成的二面角的平面角为90°即可．
(3)性质：α∥β，β⊥γ α⊥γ(客观题常用)．
(4)向量法：证明两个平面的法向量垂直．
⇒
2．面面垂直的性质
已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质
定理可得此直线垂直于另一个平面；于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个
相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
对点练2(1)(2024·广西桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩
形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点．
①求证：平面PCD⊥平面ACE；
②求点B到平面ACE的距离．
(2)(2024·广东湛江模拟)如图，正三棱柱ABCABC 中，AB＝4，AA＝3，M，N分别是
1 1 1 1
棱AC ，AC的中点，E在侧棱AA 上，且AE＝2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN.
1 1 1 1
(1)①证明：由PA＝AD＝PD，E为PD的中点，可得AE⊥PD，
因为 CD⊥AD，平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，CD 平面
⊂ABCD，所以CD⊥平面PAD，
而AE 平面PAD，所以CD⊥AE，由CD∩PD＝D，则AE⊥平面PCD，又AE 平面
ACE，所以平面PCD⊥平面ACE.
⊂ ⊂
②解：如图，连接BD，与AC交于O，则O为BD的中点，
所以点D到平面ACE的距离即为点B到平面ACE的距离．
由平面PCD⊥平面ACE，过D作DM⊥CE，垂足为M，
则DM⊥平面ACE，则DM为点D到平面ACE的距离．
由CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，
又CD＝DE＝1，
所以DM＝CE＝，
即点B到平面ACE的距离为.
(2)证明：在正三棱柱ABCABC 中，AA⊥平面ABC，BN 平面ABC，则AA⊥BN.
1 1 1 1 1
∵N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，∴BN⊥AC.
⊂
又AA∩AC＝A，∴BN⊥平面AAC C，
1 1 1
∵ME 平面AAC C，∴BN⊥ME.
1 1
又AB＝4，AA＝3，AE＝2EA，则EA＝，AE＝2，
⊂ 1 1 1
∴＝＝，则△AEM和△ANE相似，故∠AEM＝∠ANE，
1 1
∴∠AEM＋∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，
1
则∠MEN＝90°，故EN⊥ME.
又EN∩BN＝N，EN，BN 平面BEN，∴ME⊥平面BEN，
而ME 平面MEB，∴平面MEB⊥平面BEN.
⊂
⊂
题型 平行与垂直的综合问题
典例3如图所示，正方形AADD与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，
1 1
AD∩AD＝O，E为线段AB上的一点．
1 1
(1)若 OE ∥ 平面 D BC，求证：E为AB的中点．线∥面性质定理可推得OE∥BD.
1 1
(2)在线段AB上是否存在点E，使得平面DDE⊥平面ADC？若存在，求出AE的长；
1 1
若不存在，请说明理由．
(1)证明：因为四边形AADD为正方形，AD∩AD＝O，所以O为AD 的中点．
1 1 1 1 1又因为OE∥平面DBC， 平面 ABD ∩ 平面 D BC ＝ BD ，OE 平面ABD ，
1 1 1 1 1
平面ABD 就是过OE的辅助平面，与平面DBC相交．
1 1 ⊂
所以OE∥BD.
1
又因为O为AD 的中点，所以E为AB的中点．
1
(2)解：存在点E，当 AE ＝时，平面 D DE ⊥ 平面 AD C，本小问应逆向推理，寻找突破
1 1
口．由于DD⊥AC，欲使平面DDE⊥平面AD C，只须使得动点E满足DE⊥AC即可．
1 1 1
从而使得AC⊥平面DDE.
1
理由如下：设AC∩DE＝F，因为四边形AADD为正方形，所以DD⊥AD，
1 1 1
又因为平面 AADD∩平面 ABCD＝AD，平面 AADD⊥平面 ABCD，DD 平面
1 1 1 1 1
AADD，所以DD⊥平面ABCD，
1 1 1 ⊂
又因为AC 平面ABCD，所以DD⊥AC.
1
在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，
⊂
当AE＝时，在Rt△ADE中， tan ∠ ADE ＝＝，利用正切值相等，来反映 AC ⊥DE.即
∠BAC＝∠ADE可推得AC⊥DE.
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，
所以∠ADE＝∠BAC，
又因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°，
所以∠ADE＋∠DAC＝90°，则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE，
又因为DE∩DD ＝D，DE，DD 平面DDE，所以AC⊥平面DDE.
1 1 1 1
又因为AC 平面ADC，所以平面DDE⊥平面ADC.
1 ⊂ 1 1
⊂
平行与垂直的综合对点练3(2024·四川宜宾诊断)如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，E分别为
AB，AC的中点，将△ADE沿DE折起，使二面角ADEB为直二面角，如图2，连接AB，
AC.
(1)求四棱锥ABCED的体积；
(2)在图2中，过点E作平面EFG∥平面ABD，分别交BC，AC于点F，G.求证：EG⊥
平面ABC.
(1)解：如图，取DE的中点O，连接AO.
∵AD＝AE，∴AO⊥DE.
∵二面角ADEB为直二面角，
∴平面ADE⊥平面BCED，
又平面ADE∩平面BCED＝DE，AO 平面ADE，∴AO⊥平面BCED.
由已知AD＝AE＝DE＝2，BC＝4，AO＝，梯形BCED的高为，
⊂
∴四棱锥ABCED的高为AO＝，梯形BCED的面积S＝×(2＋4)×＝3，
∴四棱锥ABCED的体积为×3×＝3.
(2)证明：连接OF，AF，∵平面EFG∥平面ABD，平面EFG∩平面ABC＝FG，平面
ABD∩平面ABC＝AB，∴AB∥FG，同理BD∥EF，
又DE∥BF，∴四边形BFED为平面四边形．
∵BF＝DE＝BC，
∴F为BC的中点，∴G为AC的中点，又EA＝EC，∴EG⊥AC.
∵AO⊥平面BCED，BC 平面BCED，
∴AO⊥BC，又OF⊥BC，AO∩FO＝O，AO，FO 平面AOF，
⊂
∴BC⊥平面AOF.
⊂
∵AF 平面AOF，
∴BC⊥AF.
⊂
∵G为Rt△AFC的斜边AC的中点，
∴GF＝GA.
∵EA＝EF＝2，GE是△GEA与△GEF的公共边，
∴△GEA≌△GEF，
∴∠FGE＝∠AGE＝90°，故EG⊥GF，
又EG⊥AC，AC∩GF＝G，AC，GF 平面ABC，
∴EG⊥平面ABC.
⊂
