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第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用
【考点梳理】
1.法向量的求解
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 是平面的法向量，向量
是与平面平行或在平面内，则有 ．
第一步：写出平面内两个不平行的向 ；
第二步：那么平面法向量 ，满足 ．
第三步：化解方程组令x,y,z其中一个为1，求其它两个值.
2.判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ，即 ，则 ．
②直线与平面的位置关系：直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ，即 ，则 ．
3.平面与平面的位置关系
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ⊥ ，即 ，则 ⊥ ．
4.空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大
小，则 ．（2）线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为
与 所成角的大小，则 ．
（3）二面角公式：
设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根据具
体情况判断相等或互补），其中 ．
5.点到平面的距离
为平面 外一点（如图）， 为平面 的法向量，过 作平面 的斜线 及垂线 ．
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面所成的角
【典例例题】
例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，
E为CD的中点， .
(1)证明： ；(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且 ，求直线EF与平面PAE所成
角的正弦值.
【解析】(1)由 平面 ， 平面
又 ，E为CD的中点
又
， .
又 ， 平面
平面 . 又
.
(2)由（1）得，以点A为原点，分别以AC、AD、AP为x、y、z轴建立空间坐标系.
因为三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，
CD=12，AC=
.
设平面PAE的一个法向量为
由 得，
令 则
设直线EF与平面PAE所成的角为【方法技巧与总结】
设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为 与 所成角的大小，则
．
【变式训练】
1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结
BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.
【解析】（1）连接EC，则△ABE､△BCE､△CDE都是正三角形，四边形ABCE是菱形，
所以 ， ，
又因为面 面BCDE，面 面 ， 面ABE，
所以 面BCDE，
又因为 面BCDE，所以 ；
（2）由（1）知FB､FC､FA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ， ，设平面ADE的法向量为 ， ，
令 ， ，
平面AFC的法向量为 ，
设平面AFC与平面ADE的夹角的大小为 ，
，
所以平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值为 .
2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中， 平面ABC， ， ，
.
(1)求证：平面 平面ACD；
(2)若 ， ，五面体ABCDE的体积为 ，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
【解析】若 是 中点，连接 ，作 ，由 知： ，因为 面ABC，则 面ABC，又 面ABC，
所以 ， ，
综上， 两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系 ，
令 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ， ，
若 是面 的一个法向量，即 ，令 ，则 ，
又 是面 的一个法向量，则 ，
所以面 面 .
(2)由 面ABC， 面ABED，则面ABED 面ABC，故 到面ABED的距离，即为△ 中
上的高，因为 ， ，则 ，故 ，
所以 上的高 .
又 面ABC，则 ，而 ，有 ， ，
所以 为直角梯形，令 ，则 ，
综上， ，故 .
由（1）知： ， ， ， ，所以 ， ，
若 是面ABED的一个法向量，即 ，令 ，则 ，
而 ，则 ，
所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为 .
3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ，
是底面的内接正三角形，且 ，P是线段 上一点.
(1)是否存在点P，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(2)当 为何值时，直线 与面 所成的角的正弦值最大.
【解析】（1）
解：由题得 ,
所以 . 所以△ 是圆的内接三角形，
所以 ，
由题得 .
假设 平面 ，所以 .
此时所以 时， 平面 .
（2）
解：如图所示，建立以点 为坐标原点的空间直角坐标系 .
设 ，
所以
设平面 的法向量为 ，
所以 ，所以 .
设直线 与面 所成的角为 ，
由题得 .
当且仅当 时，直线 与面 所成的角的正弦值最大.
考点二：二面角
【典例例题】
例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形 的边长为3，且 ，
， ，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
(1)证明 底面 ；
(2)设点T为BC上的点，且二面角 的正弦值为 ，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
【解析】(1)
由菱形 的边长为3， ，
可得： ，即有
同理 ，即有
在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得： ， ， ．
可得 底面
(2)
解法一：如图，以点A为原点，AB为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．
由第（1）问可得 底面 ，可得： ， ．
则 为二面角 的平面角，由题意可得：
考虑 ， ，可得 ．利用正弦定理
可得： ，可得点T的坐标为 ．
点 ， ，
设面 的法向量为 ，则有 ，即： ．
令 ，则有 ，
则有：
则PC与面PAT所成角的正弦值为 ．
解法二：由第（1）问可知 底面 ， ，
所以 ， ， ．则 为二面角 的平面角，由题意可得：
考虑 ， ，可得 ．
利用正弦定理
可得： ，即点T为BC上靠近点B的三等分点
所以在 中，由余弦定理可得： ，
设过点C作平面PAT的垂线，垂足为Q，连接PQ，
所以 为PC与面PAT所成角
考虑三棱锥 ，由于 ，
，
因为 ，所以
所以
所以PC与面PAT所成角的正弦值为
解法三：由 面 ，可得： ， ．
故 为二面角 的平面角，由题意可得：因为 为锐角，所以
故
过点C作CQ垂直于AT于Q，连接CQ、AC
则
∵ ，∴
∵ 面 ，∴
又因为 ， ，故 面PAT
故 为 与面PAT所成的角，∴
即PC与面PAT所成角的正弦值为
【方法技巧与总结】
设 是二面角 的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，
则二面角 的余弦值为 ．
【变式训练】
1．（2022·广东·一模）如图， 为圆柱 的轴截面， 是圆柱上异于 ， 的母线.(1)证明： 平面DEF；
(2)若 ，当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值.
【解析】（1）
证明：如右图，连接AE，由题意知AB为 的直径，所以 .
因为AD，EF是圆柱的母线，所以 且 ,
所以四边形AEFD是平行四边形.
所以 ,
所以 .
因为EF是圆柱的母线，所以 平面ABE,
又因为 平面ABE，
所以 .
又因为 ，DF， 平面DEF，
所以 平面DEF.
（2）
由（1）知BE是三棱锥 底面DEF上的高，
由（1）知 ， ，所以 ，即底面三角形DEF是直角三角形.
设 ， ，则 ,
所以 ，
当且仅当 时等号成立，即点E，F分别是 ， 的中点时，
三棱锥 的体积最大,
下面求二面角 的余弦值：
法一：
由（1）得 平面DEF，因为 平面DEF，所以 .
又因为 ， ，所以 平面BEF.
因为 平面BEF，所以 ,所以 是二面角 的平面角,
由（1）知 为直角三角形，则 .
故 ,
所以二面角 的余弦值为 .
法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，
如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ，则 .
由（1）知 平面DEF，故平面DEF的法向量可取为 .
设平面BDF的法向量为 ，由 ， ，
得 ，即 ，即 ，
取 ，得 .
设二面角 的平面角为θ,
则 ，
由图可知θ为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， ，
，四边形 是菱形， ， 是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【解析】(1)
证明：连接 ，因为四边形 是菱形，则 ，
因为 ，故 为等边三角形，所以 .因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 .
因为 ，所以 .
又 ，且 ，所以 平面 ，所以 平面 .
(2)
解：连接 ，因为 ， ， 是 的中点，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面
.
设 ，因为 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图
所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ， .
设平面 的法向量是 ，
则 ，取 ，可得 .
设平面 的法向量是 ，则 ，取 ，可得 .
所以 ，
由图可知，二面角 为钝角，因此，二面角 的余弦值是 .
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中， ， ，E在以AB为
直径的半圆上（不包括端点），平面 平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证： 平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
【解析】(1)
证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，
因为M，F分别为ED和EC的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .(2)
解：如图所示，过E作 交AB于O，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高，
要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧 的中点，所以O与AB的中点，
取CD的中点G，连接OG，因为 ， ，所以 ，
因为 平面ABCD，所以 ， ，所以EO，AB，OG两两垂直，
以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，
设 ，所以 ，
可得 ， ， ，则 ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，可得 ，
令 ，则平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 ，则 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
所以二成角 的余弦值为 ．4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥 中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，
， ， ，M，N分别是AB，AD的中点．
(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；
(2)若二面角 的大小为60°，求四棱锥 的体积．
【解析】(1)
连接DM，显然 且 ，
∴四边形BCDM为平行四边形，故 且 ，
∴△ 是正三角形，故 ，
又 平面ABCD， 平面ABCD，则 ，又 ，
∴ 平面PAD，又 平面PMN，
∴平面 平面PAD．
(2)
（方法一）连接BD，易知 ，
∴ ， ，又PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，则PD⊥AD，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
设 ， ， ，平面PAB的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
而平面ABCD的法向量为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（方法二）连接DM，由M为AB的中点，所以 且 ，
所以BCDM为平行四边形，故 ，
所以△ 为等边三角形，在AM上取中点H，连接DH，PH，
所以 ，则 ，又 平面ABCD，AM 平面ABCD，
所以 ，易知： 为 的二面角，
所以 ，又在 中， ，
所以 .
5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，
， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 为 中点，
.(1)求证： ；
(2)点 为棱 上一点，若 ，求二面角 的余弦值.
【解析】(1)取 中点 ，连结 .
因为 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
，故 ，
分别为 的中点，则 ，故 .
又 为等腰直角三角形， 为 的中点，则 .
又 平面 ，又 面 .
（2）由（1）可知， ，所以， 为直角三角形，
以 为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系
如图所示，
则
因为 为 的中点，所以 则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ,即
不妨取 ，则 ，
由题可知 为面 的一个法向量
设二面角的平面角为 ，由图知 为锐角，
所以所以 .
6.如图，四棱锥 的底面ABCD是平行四边形，且 底面ABCD，
，点E是线段BC（包括端点）上的动点．
（1）探究点E位于何处时，平面 平面PED；
（2）设二面角 的平面角的大小为 ，直线AD与平面PED所成角为 ，求证：
【解析】（1）过点A作直线 ，交直线BC于点M，则 ，
，
以点A为原点，直线AM､AD､AP分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，
则 ，
设点 ， ，设平面PEA的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面PED的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
若平面 平面PED，则 ，
，解得： 或 ．
故点E是BC中点或与点C重合时，平面 平面PED．
（2） 平面ADE的一个法向量为 ，
，
，
均为锐角，
．
考点三：点到平面距离
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥 的底面半径为2，母线长为 ，点C为圆锥底面圆周
上的一点，O为圆心，D是 的中点，且 ．（1）求三棱锥 的表面积；
（2）求A到平面 的距离．
【解析】解：（1）由已知 ，
则 面 ，
则
三棱锥 的表面积等于 ，
， ，
圆锥的高
则 ，
对于 ，
则 ，
所以 ，
则 ，故三棱锥 的表面积为 ；
（2）因为D是 的中点，则A到平面 的距离即为B到平面 的距离，
过B作 垂足为 ，
因为 面 ，且 面
所以面 面 ，又 ，面 面 ，
则 面 ，
则线段 长度即为B到平面 的距离，
，
所以A到平面 的距离为 .
例2.在正方体 中，E为 的中点，过 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，
F为棱 上的动点．
（1）点H在棱BC上，当 时， 平面 ，试确定动点F在棱 上的位置，并说明理由；（2）若 ，求点D到平面AEF的最大距离．
【解析】（1）设平面 与平面 的交线为 ，
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面
所以 ．
由正方体 知，平面 平面 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以
取 中点 ，连接 ，易知 ，所以 ，
又因为 为 中点，所以 为 中点．
（2）以点 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有
，其中
设平面 的法向量为
则有 ，不妨取 ，→ t
n=(2,2− ,1)
则 2
所以 ，当 ，即点 与点 重合时，取等．
所以点D到平面AEF的最大距离为 ．
【方法技巧与总结】
如图所示，平面 的法向量为 ，点 是平面 内一点，点 是平面 外的任意一点，则点 到平面
的距离 ，就等于向量 在法向量 方向上的投影的绝对值，即 或
【变式训练】
1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形 中， ， ， ，
， ､ 分别是 ， 的中点，将四边形 沿 折起，如图②，连结 ， ，.
(1)求证： ；
(2)当翻折至 时，设 是 的中点， 是线段 上的动点，求线段 长的最小值.
【解析】(1)
证明：因为四边形 是直角梯形， ， 分别是的 ， 中点，
所以 ， ， ，
又 ，所以 平面 ，
又因 平面 ，所以 ；
(2)
解：由（1）可知 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中， ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ， ，
以 为原点，建立如图的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设 ， ， ，
所以 ，
得： ， ， ，，
则当 时，有 最小值 ，
所以线段 长的最小值为 .
2.如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为2的正方形， 为
中点，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离．【解析】（1）证明：由题知 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
在正三角形 中， 为 中点，于是 ，
又 ，所以 平面
（2）取 中点为 中点为 ，则 ，
由（1）知 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 平面 ，
于是 两两垂直
如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系
则
所以
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，则于是
设 ，则
由于直线 与平面 所成角的正弦值为
于是 ，即 ，整理得
，由于 ，所以
于是
设点 到平面 的距离为
则
所以点 到平面 的距离为
3.如图，矩形 和梯形 ， ，平面 平面 ，且
，过 的平面交平面 于 ．（1）求证： 与 相交；
（2）当 为 中点时，求点 到平面 的距离：
【解析】（1）证明：因为矩形 ，所以 ，且
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又由过 的平面交平面 与 ，
由线面平行的性质定理，可得 ，
又由 ，所以 ，且 ，
所以直线 与 相交．
（2）由平面 平面 ，其交线为 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又由四边形 的矩形，以 为原点，以 为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图所
示，
因为 ，可得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
因为 ，所以点 到平面 的距离为 ．
4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长
方体和圆台组合，如图所示，长方体 中， ，圆台下底圆心 为 的
中点，直径为2，圆与直线 交于 ，圆台上底的圆心 在 上，直径为1．
（1）求 与平面 所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点 使得 ，若存在，求点 到直线 的距离，若不存在则说
明理由．
【解析】（1）（1）由长方体 可知，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，
1
建立空间直角坐标系如图所示，
则 ， ， ， ．所以 ．
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，即 ，令 ，则 ， ，故 ，
所以 ，故 与平面 所成角的正弦值为 ；
（2）由（1）可知， ， ，所以 ，假设存在这样的点P，设 ，由
题意可知 ，所以 ，因为 ，则有
，所以 ，又 ，所以 ，解得
（舍）， ，所以当 时， ，此时点 到直线 的距离为
．
【巩固练习】
一、单选题
1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中， 平面
BCD， ，且 ，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正方体内三棱锥A-BCD即为满足题意的鳖臑 ，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值 ．
故选：A．
2．如图，正方体 的棱长为a，E是棱 的动点，则下列说法正确的
（ ）个．
①若E为 的中点，则直线 平面
②三棱锥 的体积为定值
③E为 的中点时，直线 与平面 所成的角正切值为④过点 ，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图，以A为原点，AB，AD，AA 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
1
则B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0）， ， ．
所以 ， ．
对于①：当E为 的中点时， ．设平面 的一个法向量为 ，
则 ，不妨令x=1，则 ，
所以平面A1BD的一个法向量为 ．
又因为 ，所以 与 不垂直，所以直线 平面 不成立．故①错误；
对于②：三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积．
又 ，高为a，所以 ．故②错误；
对于③：当E为 的中点时， ．平面 的一个法向量为 ，而 ．
设直线B E与平面 所成的角为 ，所以 ．
1
所以 ，所以 ，
即直线 与平面 所成的角正切值为 ．故③正确；
对于④：设 ．因为 ， ，
所以 在 上得到投影为 ．
所以点E到直线 的距离为 ．
当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为 ．
当 时，截面为等腰梯形．设截面交 于F．所以 ，
高 ，所以其面积为 ．
记 ，
所以 ，所以 在 上单调递减函数，
所以 ，即 ．因为 ，所以
当z=a，即D、E重合时，截面为边长为 的正三角形，其面积为 ．
1
综上所述： ．故④正确．
故选：B
二、多选题
2．在空间直角坐标系 中，已知点 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．点 关于 平面对称的点的坐标为
B．若平面 的法向量 ，则直线 平面
C．若 ， 分别为平面 ， 的法向量，则平面 平面
D．点 到直线 的距离为
【答案】ACD
【解析】对于A：因为 ，所以点 关于 平面对称的点的坐标为 ，故A正确；
对于B：因为 ， ，所以 ，因为平面 的法向量 ，所以
，所以直线 与平面 不平行，故B错误；
对于C：因为 、 ，所以 ，因为 ， 分别为平面 ， 的法向
量，所以平面 平面 ，故C正确；
对于D：因为 ， ，所以 ，所以点 到直线 的距离，故D正确；
故选：ACD
3．直三棱柱 ，中， ， ，点D是线段 上的动点（不含端点），
则（ ）
A． 平面 B． 与 不垂直
C． 的取值范围为 D． 的最小值为
【答案】AD
【解析】依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2
A：因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确．
B：如图1，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴， 为z轴，
设 ，则 ，
当 时， ，当 且 时 与 不垂直，故B错误．
C：判断以 为直径的球与 的交点情况，
如图3，取 中点F，则 ， ，
所以以 为直径的球与 没有交点．所以 ，故C错误．
D：将面 ，翻折至与 共面，此时点C与 重合，所以 的最小值为 ，且 ，
故D正确．
故选：AD图1图2图3
三、填空题
4．如图，在棱长为 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为底面 内一点，给
出下列三个论断：
① ；② ；③ ．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________．
【答案】若 ，则 ；若 ，则 ．
【解析】如图，建立空间直角坐标系则
设 ，则
而
所以以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出两个正确的命题：
若 ，则
若 ，则
答案任填其中一个即可
故答案为：若 ，则 （若 ，则 ）
5．如图，在正方体 中， 分别为棱 ， 的中点，则 与平面 所成角的正
弦值为___________．
【答案】
【解析】在正方体 中以 分别为 轴建立空间直角坐标系．设正方体 的棱长为2，则 ， ．
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，取 ，则 ，设
与平面 所成角为 ，
则 ．
故答案为：
四、解答题
6．如图，在三棱柱 中， ， ．
（1）证明：平面 平面 ．
（2）设P是棱 的中点，求AC与平面 所成角的正弦值．【解析】（1）设 ．
在四边形 中，∵ ， ，连接 ，
∴由余弦定理得 ，即 ，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ， ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．
（2）取AB中点D，连接CD，∵ ，∴ ，
由（1）易知 平面 ，且 ．
如图，以B为原点，分别以射线BA， 为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，
则 ， ， ， ， ， ．
， ，设平面 的法向量为 ，则 ，
得 ，令 ，则取 ，
， ，
AC与平面 所成角的正弦值为 ．
7．如图，ABCD是边长为6的正方形，已知 ，且 并与对角线DB交于G，H，
现以ME，NF为折痕将正方形折起，且BC，AD重合，记D，C重合后为P，记A，B重合后为Q．
（1）求证：平面 平面HGQ；
（2）求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，
则 ， ．
再取 中点 ，连接 ， ，易得 ， ，
于是，四边形 为平行四边形，得 ，
从而 ， ，
那么 平面 ，
又 平面 ，
故平面 平面 ．（2）以与 垂直的直线为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系，则，
， ， ， ， ，
设平面 的法向量
， ， ，
由 ， 得：
，取 ，得 ，
所以平面 的法向量 ．
同理可得：平面 的法向量 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ．8.如图所示，在直四棱柱 中，底面ABCD是等腰梯形， ， ，
，四边形 是正方形．
（1）指出棱 与平面 的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面 截该四棱柱所得的截面
补充完整；
（2）求二面角 的余弦值．
【解析】（1）E为 的中点．
作图如下：如图，取 的中点E，连接DE， ．（2）设 在平面 内的射影为O，点F在AB上，且 ．
以O为坐标原点，OF， ， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ．
所以 ，
由图可知二面角 为锐角，故其余弦值为 ．
9.如图，圆锥PO的母线长为 ， 是⊙ 的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC． ，
．（1）证明： ；
（2）设点Q满足 ，其中 ，且二面角 的大小为 ，求 的值．
【解析】（1）∵ ， ， ，
∴
∵平面PAC⊥平面PBC且平面PAC 平面 ， 平面PBC， ，
∴PB⊥平面PAC，又 平面PAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是正三角形， ，
∵
∴ ；
（2）在平面ABC内作 交BC于M，
以O为坐标原点，OM，OB，OP所在直线分别为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系 如图所示：
易知 ， ，所以 ， ， ， ，
， ，
设平面OBC的法向量 ，
依题意 ，即 ，
不妨令 ，得 ，
易知平面OQB的法向量 ，
由 可知 ，
即 ，解得
10.如图，在三棱柱 中， 底面 ， 的中点为 ，四面体 的体积为 ，
四边形 的面积为 ．
（1）求 到平面 的距离；
（2）设 与 交于点O， 是以 为直角的等腰直角三角形且 ．求直线 与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因为 为 的中点， ，所以 ，
设 到平面 的距离为h，则 到平面 的距离为 ，
因为 ，
即 ，
即 ，得 ，即 到平面 的距离．
（2）因为 是以 为直角的等腰直角三角形，由（1）知 ，所以
，
如图，以 ， ， 所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 ．
则点 ， ， ， ， ．
则 ， ， ．设平面 的法向量为 ，
则由 解得 ．
令 ，则 ，于是平面 的一个法向量为 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
．
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
