文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 34 讲 空间直线、平面的垂直（精讲）
题型目录一览
①垂直性质的简单判定
②线面垂直的判定
③线线垂直的判定
④面面垂直的判定
一、知识点梳理
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
二、判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平
面内的两条相交直
判断定理
线都垂直，则该直
线与此平面垂直
两个平面垂直，则 _
在一个平面内垂直
面⊥面⇒线⊥面
于交线的直线与另 _a
一个平面垂直
_
一条直线与两平行
平面中的一个平面
平行与垂直的关系
垂直，则该直线与
另一个平面也垂直
_a _b
两平行直线中有一
条与平面垂直，则
平行与垂直的关系
另一条直线与该平
面也垂直三、性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
_a _b
垂直于同一平面的两
性质定理
条直线平行
文字语言 图形语言 符号语言
_
垂直于同一直线
垂直与平行的关系
的两个平面平行
如果一条直线垂
直于一个平面，
线垂直于面的性质 则该直线与平面
内所有直线都垂
直
四、平面与平面垂直
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．
（如图所示，若 ，且 ，则 ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
五、判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一
个平面的垂线，
_
则这两个平面垂
直六、性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，则
一个平面内垂直于
交线的直线与另一 _
个平面垂直
性质定理
_a
【常用结论】
1.证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质 ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ ）．
2.证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（ ）；
③面面垂直的性质（ ）；
平行线垂直平面的传递性（ ）；
⑤面面垂直的性质（ ）．
3.证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（ ）．
二、题型分类精讲
题型 一 垂直性质的简单判定策略方法
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【典例1】（单选题）若l为一条直线， 为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A． B．若
C． D．若
【题型训练】
一、单选题
1．若 、 是两个不重合的平面，
①若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ；
②设 、 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 ；
③若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 ；
以上说法中成立的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若 ∥ ， ，则 ∥ ， ②若 ， ，则 ，
③若 ， ，则 ∥ ， ④若 ， ， ，则
其中正确的命题是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
3．已知 ， ， 是3条不同的直线， ， ， 是3个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则4．设 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
5．设 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
6．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
7．下列命题中，不正确的是（ ）
A．夹在两个平行平面间的平行线段相等
B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C．若直线 平面 ， ，则过点 且平行于直线 的直线有无数条，且一定在 内
D．已知m，n为异面直线， 平面 ， 平面 ，若直线 满足 ， ， ， ，则
与 相交，且交线平行于
8．已知 ， ， 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ， ， ，则下
列命题错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
二、多选题
9．已知 ， 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
10．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
11．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
12．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若 ， ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
三、填空题
13．给出下列四个命题：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；
④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的命题共有 个．
14．已知 是两个不同的平面， 是平面 及 之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：
① ；② ；③ ；④ .
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示）
题型二 线面垂直的判定
策略方法 判定线面垂直的四种方法
【典例1】如图，在正方体 中，E，F分别是棱 ， 的中点，求证： 平面
EAB．
【题型训练】
一、解答题
1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面
BDE. 证明：BD⊥平面PAC2．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是梯形， ，且 ， ， .
(1)若F为PA的中点，求证 平面PCD
(2)求证 平面PCD.
3．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 是棱 的中点，求证： 平面 ．
4．如图,在四棱锥 中,底面ABCD为正方形, 底面ABCD, ,E为线段PB的中点,F为
线段BC的中点．(1)证明: 平面PBC;
(2)求点P到平面AEF的距离．
5．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，
平面 平面 .证明： 平面
6．如图，在底面是矩形的四棱锥 中， 底面 ， ， 分别是 ， 的中点.
(1)若 ，求四棱锥 的体积；
(2)求证： 平面 .
7．如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且
．(1)求证： 平面PAC
(2)若M是PC的中点，求三棱锥 的体积．
8．已知 的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证：
(1)BC⊥平面PAC；
(2)PB⊥平面AMN.
9．如图，在三棱柱 中， 平面ABC，D，E分别为AC， 的中点， ，
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点D到平面ABE的距离．10．如图四棱锥 中，四边形 为等腰梯形， ，平面 平面 ，
， ， ， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积．
11．如图所示,在长方体 中,AB=2,BC=2, ,M为棱 上一点．
(1)若 ,求异面直线 和 所成角的正切值;
(2)若 ,求证BM⊥平面 ．
12．如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点， ，且 ， ．求
证： 平面 ．13．如图，在四棱柱 中，底面ABCD为平行四边形， ，∠BAD=60°，平面
平面ABCD， ， ，E为 上的一点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 平面BDE，求三棱锥 的体积．
14．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 为棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；(2)若 ，求三棱锥 的体积.
15．如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ，且 的面积为6．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)若 ，且 为锐角，求证： 平面 ．
16．如图1，在五边形 中，四边形 为正方形， ， ，如图2，将 沿
折起，使得 至 处，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为4，求 的长.
17．如图，在四棱锥 ，底面 为梯形，且 ， ，等边三角形 所在的
平面垂直于底面 ， .求证： 平面 ；18．如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点，且
， ， ．证明： 平面
19．如图所示的长方体 中，底面 是边长为2的正方形，O为 与 的交点，
，M是线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 .
20．在图1中， 为等腰直角三角形， ， ， 为等边三角形， 为AC边的中
点，E在BC边上，且 ，沿AC将 进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，OE，使得 .
(1)证明： 平面ABC；
(2)求点 到平面 的距离.
题型三 线线垂直的判定
策略方法
【典例1】如图，四棱锥 的底面是矩形， 平面 ，E，F分别 的中点，且
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ．
【题型训练】
一、解答题
1．如图，在四棱锥 中， 是边长为4的等边三角形，平面 平面 ， ，
， ， .(1)证明； ；
(2)求三棱锥 的体积.
2．如图，四棱锥 中，四边形ABCD为梯形， ， ， ，
， ，M，N分别是PD，PB的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证： ．
3．如图，矩形 所在的平面与平面 垂直，且 .已知 .
(1)求证： ；
(2)求四棱锥 的表面积.
4．如图，已知三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求棱锥 的体积.
5．如图，在三棱柱 中，中， ， 在平面 上的射影为 的
中点．
(1)证明： ．
(2)求多面体 的体积．
6．如图所示，在直四棱柱 中， ， ，且 是 的中
点.(1)证明： ；
(2)若 ，求四棱柱 的体积.
7．在三棱台 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 平面 ，且
， ．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积．
8．如图，在梯形 中， ， ， ， 为边 上的点， ， ，
将 沿直线 翻折到 的位置，且 ，连接 ．
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
9．如图，在多面体 中，四边形 是边长为 的菱形， ， 平面 ，平面 ， ．
(1)证明： ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求实数 的值．
10．在直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点，
.
(1)证明： ；
(2)求 到平面 的距离.
题型四 面面垂直的判定策略方法 证明面面垂直的两种方法
【典例1】如图，已知 平面 ， 为矩形， 分别为 的中点.
(1)证明： ；
(2)若 ，求证：平面 平面 .
【题型训练】
一、解答题
1．如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求 及三棱锥 的体积．
2．如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 底面ABCD．(1)证明：平面 平面PCD．
(2)若 ， ，E在棱AD上，且 ，求四棱锥 的体积．
3．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1) 平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
4．如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 点在平面 内的射影为A，且
， 为 中点.
(1)证明： 平面
(2)证明：平面 平面 .
5．如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD， ，CD=2AB．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)在侧棱PC上是否存在点M，使得 平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB
的中点．
(1)求证：EO 平面PDC；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD．
7．如图，在四棱锥 中， ，平面 平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD
的中点， ．
(1)求证：平面 平面PAD；(2)若 ，求几何体PABCEF的体积．
8．如图，在 中， ， ，D是线段AC上靠近点A的三等分点，现将
沿直线BD折成 ，且使得平面 平面CBD.
(1)证明：平面 平面PCB；
(2)求点B到平面PCD的距离.
9．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， 为 的中点，
为线段 上的点，且 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
10．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若 ， ， ．(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求四棱锥 的体积与表面积．
11．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡
除 中，底面 是边长为2的正方形， .
(1)证明：平面 平面 .
(2)求四棱锥 的体积.
12．在四棱锥 中， ， ， ， ， 为等边三角形，
．
(1)证明：平面 平面PBC；
(2)求点C到平面PAB的距离．13．如图，在四棱锥 中，底面四边形 为矩形，平面 平面 ， ，
， ，点 为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
14．多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直， ，
， ．
(1)求证：平面 平面DEF；
(2)求该多面体的体积．
