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专题6.5 立方根（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024上·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末） 的立方根是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A． 的立方根是 B．1的平方根是1
C． 是2的平方根 D． 是 的平方根
3．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）2是哪一个数的立方根（ ）
A．4 B． C．8 D．
4．（2022下·四川泸州·七年级统考期末）一个正方体的体积扩大为原来的 倍，则它的棱长
为原来的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
5．（2022下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 的立方根为 ，则
的算术平方根是( )
A． B． C． D．
6．（2022下·河南周口·七年级统考阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.4的算术平方根是0.2 B． 是6的平方根
C．1的立方根为 D． 没有平方根
7．（2024上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果 ，则 B．如果 ， ，则
C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果 ，则
8．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 ，那么 的立方根为
（ ）
A．0 B． C．1 D．
9．（2021·江苏南京·统考中考真题）一般地，如果 （n为正整数，且 ），那么x
叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n
的增大而增大
10．（2023上·山西临汾·八年级统考期末）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正
方体和小正方体的体积分别为 和 ，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷
油漆的面积是（ ） ．
A．161 B．186 C．195 D．204
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·四川达州·八年级校考期末） ， ．
12．（2022上·山东东营·七年级校考开学考试）若 是 的立方根，则 的立方根是
13．（2019上·江西抚州·八年级统考期中）x是25的算术平方根，y是-64的立方根，则x+y
的值为 ．
14．（2022下·七年级课前预习）若 是5的立方根，则b＝ ，若 ＝－2，则a＝
．
15．（2023上·山东淄博·九年级沂源县实验中学校考期末）若按DY-570型科学计算器的
键后，再依次按键 ，则显示的结果为 ．
16．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）第一个等式： ；第二个等式：
；第三个等式： ；……根据所给的式子找出规律，并写出第
n个等式（用含n的式子表示，n为正整数） ．
17．（2022上·浙江衢州·七年级校考期中）观察被开方数a的小数点与立方根 的小数点的
移动规律，填空：a 0.001 1 1000 1000000
0.1 1 10 100
已知 ，则 ．
18．（2021·福建厦门·统考一模）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积
尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知
球的体积V，求其直径d的一个近似公式 .我们知道球的体积公式为 ，那么利
用开立圆术求直径相当于体积公式中的=
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2019上·七年级课时练习）计算：
（1） ； （2）
20．（8分）（2021上·八年级课时练习）求下列x的值．
（1） ； （2） ．
21．（10分）（2021上·河南平顶山·八年级统考期中）已知：一个正数a的两个不同平方根
分别是x+5和4x﹣15．
（1）求x的值； （2）求 a+1的立方根．
22．（10分）（2024上·四川乐山·八年级统考期末）已知正数 的两个不同平方根分别是
和 ， 的算术平方根是 .（1）求 和 的值； （2）求 的立方根.
23．（10分）（2023上·江西抚州·八年级校考期中）已知一个正方体的体积是 ，在
它的8个角上分别截去一个大小相同的小正方体，剩下的部分是 ，则截去的每个小正
方体边长是多少？截去的正方体边长可以是 吗？
24．（12分）（2021下·甘肃庆阳·七年级统考期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下
列问题；
b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，
相应的立方根的小数点就向___移动___位．
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知 ，则 ___， ___．
（3）类比上述立方根运算：已知 ，则 ___， ___．参考答案：
1．D
【分析】本题考查求一个数的立方根．根据立方根的定义，进行求解即可．
【详解】解： 的立方根是 ；
故选D．
2．B
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根、有理数的乘方的定义解决此题．
【详解】解：A．根据立方根的定义， 的立方根是 ，那么A正确，故A不符合题意；
B．根据平方根的定义，1的平方根是 ，那么B错误，故B符合题意；
C．根据平方根的定义，2的平方根是 ，得 是2的平方根，那么C正确，故C不符合题意．
D．根据有理数的乘方、算术平方根以及平方根的定义， ，9的平方根是 ，得 是
的平方根，那么D正确，故D不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根、有理数的乘方，熟练掌握平方根、算术平方根、立
方根、有理数的乘方的定义是解决本题的关键．
3．C
【分析】由 进行判断作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴2是8的立方根，
故选：C．
【点拨】本题考查了立方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4．A
【分析】根据正方体的体积公式计算并判断即可．
【详解】解：设原正方体的边长为 ，则体积为 ，
∴将体积扩大为原来的 倍，为 ，
∴扩大后的正方体的边长为 ，∴它的棱长为原来的 倍，
故选：A．
【点拨】本题考查了正方体的体积和立方根的应用，熟练应用立方根和正方体的体积计算方法是解答本题
的关键．
5．C
【分析】根据立方根的定义求出 的值，再代入求出 的值，最后由算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解： 的立方根为 ，
，
解得 ，
，
的算术平方根为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的
前提．
6．B
【分析】根据一个正数的平方根由两个互为相反数的实数组成、平方根的概念、立方根的概念判断即可．
【详解】A．0.4的算术平方根是 ，故错误，不符合题意；
B． 是6的平方根，故正确，符合题意；
C．1的立方根是 ，故错误，不符合题意；
D． 中，当 时， 有平方根，故错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查算术平方根、平方根、立方根的概念，熟记概念是关键．
7．D
【分析】本题考查了平方根、立方根的性质．利用平方根、立方根的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、如果 ，则 或 ，故本选项不符合题意；
B、如果 ， ，不能判断 和 的关系，故本选项不符合题意；
C、平方根等于本身的数只有0，故本选项不符合题意；D、如果 ，则 ，故本选项符合题意；
故选：D．
8．B
【解析】略
9．C
【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】A. ， 16的4次方根是 ，故不符合题意；
B. ， ， 32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由 的判断可得： 错误，故不符合题意．
故选 ．
【点拨】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x
是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
10．B
【分析】先求出大正方体和小正方体的棱长，再求出零件的表面积即可求解．
【详解】解：∵大正方体的体积为 ，小正方体的体积为 ，
∴大正方体的棱长为 ，小正方体的棱长为 ，
∴大正方体的每个表面的面积为 ，小正方体的每个表面的面积为 ，
∴这个零件的表面积为： ．
∴要给这个零件的表面刷上油漆，则所需刷油漆的面积为 ．
故选：B．
【点拨】本题考查立方根，表面积．理解题意是解题的关键．11． 3； ．
【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义解答即可．
【详解】解： ，
，
故答案为：3； ．
【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根和立方根；正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的
平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一
个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
12．
【分析】先求出 的值，即可进一步求解．
【详解】解：∵ 是 的立方根
∴
即
∴
的立方根是
故答案为：
【点拨】本题考查了立方根的相关计算．掌握相关定义是解题关键．
13．1
【分析】根据算术平方根的定义求出x，立方根的定义求出y，然后相加计算即可得解．
【详解】解：∵x是25的算术平方根，
∴x=5，
∵y是-64的立方根，
∴y=-4，
所以，x+y=5-4=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了算术平方根和立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14． 1 -8【解析】略
15．
【分析】本题考查了计算器，解决本题的关键是熟记计算器的基础知识．
【详解】根据题意，得 ，
故答案为： ．
16．
【分析】根据前个等式找出分子和分母的规律求解即可．
【详解】∵第一个等式： ，即 ；
第二个等式： ，即 ；
第三个等式： ，即 ；
……
∴第n个等式： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查数字规律探索，根据所给等式找出规律是解题关键．
17．
【分析】根据题中所给规律可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
∵ ，
∴ ；
故答案为 ．
【点拨】本题考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键．18．3.375
【分析】将 代入 ，计算立方根即可得．
【详解】解：由题意，将 代入 得： ，
，
，
又 ，
，
即 ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．
19．（1） （2）
【分析】（1）先求立方根和算术平方根再加减计算；
（2）先求立方根和算术平方根再加减计算．
【详解】（1）原式= ；
（2）原式= ．
【点拨】本题考查了算术平方根和立方根的综合，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（1） ；（2） ．
【分析】（1）先求出 的值，然后根据立方根的定义求解即可；（2）先求出 的值，然后根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：（1）方程整理得： ，
开立方得： ，
解得 ；
（2）方程整理得： ，
则 ，
解得 ．
【点拨】此题考查了实数的立方根，解题的关键是注意整体思想的利用使运算简单．
21．（1）x＝2；（2）2
【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可；
（2）把（1）中求出的a的值代入 a+1，然后再求立方根即可．
【详解】解：（1）∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15，
∴（x+5）+（4x﹣15）＝0，
∴5x﹣10＝0，解得x＝2；
（2）由（1）得x＝2，
∴a＝（2+5）2＝49．
a+1＝ ×49+1＝7+1＝8，
∴ a+1的立方根是： ＝2．
【点拨】本题主要考查了平方根的性质、立方根的性质等知识点，一个正数的两个平方根互为相反数；一
个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
22．(1) ， .
(2)4
【分析】本题考查了平方根与立方根的应用；
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求得 ，进而求得 的值；（2）将 的值代入代数式，进而求得其立方根，即可求解．
【详解】（1）解∶ 依题意，
解得：
∴
∴
∵
∴
（2）∵ ， ，
∴
∴ 的立方根为4.
23．截得的每个小正方体的棱长是4cm．截去的正方体边长不可以是 ．
【分析】此题主要考查了立方根的应用，由于一个正方体的体积是 ，现在要在它的8个角上分别
截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是 ，设截得的每个小正方体的棱长 ，根据
已知条件可以列出方程 ，解方程即可求解，再求解大正方体的边长为 ，而截取的两个
正方体的边长之和大于 了，可得结论．
【详解】解：设截得的每个小正方体的棱长 ，依题意得
，
∴ ，
解得： ．
∴截得的每个小正方体的棱长是4cm．
∵正方体的体积是 ，
∴正方体的边长为 ，
当截去的正方体边长是 时，
∴ ，
∴截去的正方体边长不可以是 ．
24．(1)右；一；
(2)0.235；23.5；
(3)19.13；191.3【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相
应的立方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右，一；
（2）∵ 2.35，
∴ 0.235， 23.5，
故答案为：0.235，23.5；
（3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．
∵ 1.913，
∴ 19.13， 191.3．
故答案为：19.13，191.3．
【点拨】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所
求数字的值．
