文档内容
第 2 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
[考情分析] 高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是空间线面关系的命题的
真假判断；二是体积、表面积的求解；解答题以垂直或平行关系的证明为主，中等难度．
考点一 空间直线、平面位置关系的判定
核心提炼
判断空间直线、平面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，
并结合有关定理进行判断．
例1 (1)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(
)
A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
B．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
(2)如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，M，N分别为棱C D ，C C的中点，下列说法
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正确的有________．(填序号)
①直线AM与CC 是相交直线；
1
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB 是异面直线；
1
④直线AM与DD 是异面直线．
1
规律方法 对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线
面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；
若得出矛盾，则假设不成立．
跟踪演练1 (1)(2022·湖南师大附中模拟)在长方体ABCD－ABC D 中，直线AC与平面
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ABD 的交点为M，O为线段BD 的中点，则下列结论不正确的是( )
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A．A，M，O三点共线
B．M，O，A，A四点共面
1
C．B，B，O，M四点共面
1D．A，O，C，M四点共面
(2)设点E为正方形ABCD的中心，M为平面ABCD外一点，△MAB为等腰直角三角形，且
∠MAB＝90°，若F是线段MB的中点，则( )
A．ME≠DF，且直线ME，DF是相交直线
B．ME＝DF，且直线ME，DF是相交直线
C．ME≠DF，且直线ME，DF是异面直线
D．ME＝DF，且直线ME，DF是异面直线
考点二 空间角
核心提炼
(1)异面直线所成的角：先通过平移直线，作出异面直线所成的角，再通过解三角形求角．
(2)线面角：先找出斜线在平面上的射影，斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为线面角，
作线面角的关键是作平面的垂线．
(3)二面角：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点
作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，即可得到二面角的平面角．
例2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ改编)已知正方体 ABCD－ABC D ，则下列结论正确的是
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________．(填序号)
①直线BC 与DA 所成的角为90°；
1 1
②直线BC 与CA 所成的角为90°；
1 1
③直线BC 与平面BBDD所成的角为45°；
1 1 1
④直线BC 与平面ABCD所成的角为45°.
1
(2)如图，在正四棱柱ABCD－ABC D 中，AA ＝2AD，E为侧棱DD 上一点，若直线BD∥
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平面AEC，则二面角E－AC－B的正切值为________．
易错提醒 异面直线所成的角的范围是，线面角的取值范围是，二面角的取值范围是[0，
π]．
跟踪演练2 (1)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝
PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.
(2)(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－ABC D 中，已知BD与平面ABCD和平面AABB所
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成的角均为30°，则( )
A．AB＝2AD
B．AB与平面ABC D所成的角为30°
1 1
C．AC＝CB
1
D．BD与平面BBC C所成的角为45°
1 1 1
考点三 空间平行、垂直关系
核心提炼
平行关系及垂直关系的转化
考向1 平行、垂直关系的证明
例3 (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为
AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F－
ABC的体积．
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考向2 翻折问题
例4 (2022·西北工业大学附属中学模拟)如图1，在正方形ABCD中，M，N，E分别为
AB，AD，BC的中点，点 P在对角线 AC上，且＝.将△AMN，△BMC，△DNC分别沿
MN，MC，NC折起，使A，B，D三点重合(记为点F)，得到四面体MNCF，如图2.
(1)若正方形ABCD的边长为12，求图2所示的四面体MNCF的体积；
(2)在图2中，求证：EP∥平面FMN.
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跟踪演练3 (2022·西安模拟)如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，M，N分别是线段AB，
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AC 的中点．
1
(1)求证：MN⊥AA；
1
(2)在线段BC 上是否存在一点P，使得平面MNP∥平面ABC？若存在，指出点P的具体位
1
置；若不存在，请说明理由．
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