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９０
８．４ 直线、平面垂直的判定和性质
§
考点二 平面与平面垂直的判定和性质
１．二面角的平面角
考点一 直线与平面垂直的判定和性质 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
，
１．直线与平面垂直 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面．如果
，
直线与平面垂直的定义 记棱为ｌ 那么两个面分别为α β的二面角记作α ｌ β．
（１） ， 、 － －
如果直线ｌ和平面α内的 任意一条 直线都垂直 我们就 在二面角的棱上任取一点 以该点为垂足 在两个半平面内分
① ， ， ，
说直线ｌ与平面α垂直 记作ｌ α． 别作垂直于棱的射线 则两射线所构成的角叫做二面角的平面角．
， ⊥ ，
直线与平面垂直的判定和性质 ２．面面垂直的判定和性质
（２）
类别 文字语言 图形语言 符号语言 类别 文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面 ｌ ａ ｌ ｂ } 两个平面相交 如果它 ＡＯＢ 是二面
⊥ ，⊥ ， ∠
内的 两条相交直线都垂 ａ ｂ Ｏ 们所成的二面角是直 角α ｌ β 的平
② ∩ ＝ ⇒ － －
直则该直线与此平面垂直 ａ α ｂ α 二面角 就说这两个平 面角 且 ＡＯＢ
， ⊂ ， ⊂ ， ， ∠
即线线垂直 线面垂直 ｌ α 面互相垂直 ° 则α β
判定 （ ⇒ ） ③ ⊥ 判定 ＝９０ ， ⊥
如 条 另 果 垂 一 两 条 直 也 条 于 垂 平 一 直 行 个 于 直 平 这 线 面 个 中 ， 平 那 的 面 么 一 ａ ａ ∥ ⊥ ｂ α } ⇒ ｂ ⊥ α 如 平 平 果 面 面 一 互 的 个 相 垂 平 垂 线 面 ， 直 则 过 这 即 另 两 线 一 面 个 个 ｌ ｌ ⊥ ⊂ α β} ⇒⑥ β ⊥
（ α
垂直 面面垂直
⇒ ）
如果一条直线和一个平面
垂直 则这条直线垂直于 ａ α} 如果两个平面垂直 ， 则 α ⊥ β ü ï
， ⊥ ａ ｂ 其中一个平面内垂直 α β ａ ï
平面内任意一条直线 即 ｂ α ⇒④ ⊥ ∩ ＝ ý ｌ α
线面垂直 线线垂直 （ ⊂ 于交线的直线垂直于 ｌ ⊂ β ï ï ⇒⊥
性质 ⇒ ） 另一个平面 ｌ ａ þ
⊥
性质
垂直于同一个平面的两 ａ ⊥ α} ａ ｂ 如果两个相交平面同 α β ｌ}
条直线平行 ｂ α ⇒ ∥ 时垂直于第三个平面 ∩ ＝
⊥ ， α γ ｌ γ
那么它们的交线垂直 ⊥ ⇒⊥
β γ
２．直线与平面所成的角 于第三个平面 ⊥
定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的
知识拓展 垂直问题的转化方向图
（１） ：
锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平
⑤
面 我们说它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平
， ； ，
面内 我们说它们所成的角是 °的角．
， ０
线面角θ的取值范围 ° θ °．
（２） ：０ ≤ ≤９０
常用结论 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 在垂直关系中 线面垂直是核心 已知线面垂直 既可为证
（１） ， ， ，
过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 明线线垂直提供依据 又可为利用判定定理证明面面垂直做好
（２） ，
直线ｌ和平面α ｌ α ｌ和α
铺垫．应用面面垂直的性质定理时
，
一般需作辅助线
，
基本作法是
⊂ ｌ α
的位置关系 或ｌ α ⊥ 斜交 过其中一个平面内不在棱上的一点作交线的垂线 从而把面面
∥ ，
θ（直线ｌ与平面α 垂直问题转化为线面垂直问题 进而可转化为线线垂直问题．
θ ° θ ° θ ° ，
所成的角）的取值范围 ＝０ ＝９０° ０ ＜ ＜９０
专
题
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体
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考法一 证明直线与平面垂直的方法
例１ 如图所示 在四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ 中 ＡＢ 平面 ＰＡＤ
， － ， ⊥ ，
ＡＢ ＣＤ ＰＤ ＡＤ Ｅ是ＰＢ的中点 Ｆ是 在 ＡＢＣ中 Ｄ Ｅ分别为ＡＣ ＡＢ的中点
∥ ， ＝ ， ， Ｒｔ△ ， ， ， ，
ＤＥ ＢＣ ＢＣ ＡＢ ＤＥ ＡＢ
ＤＣ上的点 且ＤＦ １ ＡＢ ＰＨ为 ＰＡＤ ∴ ∥ ，∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，
， ＝ ， △ ＳＡ ＳＢ ＳＥ ＡＢ．
２ ∵ ＝ ，∴ ⊥
中边ＡＤ上的高．求证 又ＤＥ ＳＥ 平面ＳＤＥ 且ＳＥ ＤＥ Ｅ
： ， ⊂ ， ∩ ＝ ，
ＰＨ 平面ＡＢＣＤ ＡＢ 平面ＳＤＥ．又ＳＤ 平面ＳＤＥ ＡＢ ＳＤ．
（１） ⊥ ； ∴ ⊥ ⊂ ，∴ ⊥
ＥＦ 平面ＰＡＢ． 在 ＳＡＣ中 ＳＡ ＳＣ Ｄ为ＡＣ的中点 ＳＤ ＡＣ．
（２） ⊥ △ ， ＝ ， ，∴ ⊥
解题导引 结合已知条件分析可知 欲证 ＰＨ 平面 又ＡＣ ＡＢ 平面ＡＢＣ 且ＡＣ ＡＢ Ａ ＳＤ 平面ＡＢＣ．
（１） ， ⊥ ， ⊂ ， ∩ ＝ ，∴ ⊥
ＡＢＣＤ 只需证ＰＨ ＡＢ 由ＡＢ 平面ＰＡＤ得证 注意使用分析 （２） 由于ＡＢ ＝ ＢＣ ， Ｄ为ＡＣ的中点 ， 所以ＢＤ ⊥ ＡＣ ，
， ⊥ ， ⊥ （
法 找出使线面垂直成立的充分条件 欲证ＥＦ 平面ＰＡＢ 由 可知 ＳＤ 平面ＡＢＣ 且ＢＤ 平面ＡＢＣ ＳＤ ＢＤ
（１） ， ⊥ ， ⊂ ，∴ ⊥ ，
， ）；（２） ⊥ ，
可转化为证与ＥＦ平行的直线垂直于平面ＰＡＢ 再结合已知条件 又ＳＤ
，
ＡＣ
⊂
平面ＳＡＣ
，
且ＳＤ
∩
ＡＣ
＝
Ｄ
，∴
ＢＤ
⊥
平面ＳＡＣ．
，
ＰＤ ＡＤ 取ＰＡ的中点Ｍ 证明ＭＤ 平面ＰＡＢ即可．
例 （２０１７广东广州一模，１９）如图 在直角梯形ＡＢＣＤ
＝ ， ， ⊥ ①，
中 ＡＤ ＢＣ ＡＢ ＢＣ ＢＤ ＤＣ 点Ｅ是ＢＣ边的中点 将 ＡＢＤ
证明 （ ）因为ＡＢ 平面ＰＡＤ，ＰＨ 平面ＰＡＤ，所以ＰＨ ， ∥ ， ⊥ ， ⊥ ， ， △
１ ⊥ ⊂ ⊥ 沿ＢＤ折起 使平面ＡＢＤ 平面ＢＣＤ 连接ＡＥ ＡＣ ＤＥ 得到如图
ＡＢ．因为ＰＨ为 ＰＡＤ中边ＡＤ上的高，所以ＰＨ ＡＤ． ， ⊥ ， ， ， ，
△ ⊥ 所示的几何体．
因为ＡＢ ＡＤ Ａ，ＡＢ 平面ＡＢＣＤ，ＡＤ 平面ＡＢＣＤ， ②
∩ ＝ ⊂ ⊂ 求证 ＡＢ 平面ＡＤＣ
所以ＰＨ 平面ＡＢＣＤ． （１） ： ⊥ ；
⊥ 若ＡＤ ＡＣ与其在平面ＡＢＤ内的正投影所成角的正
（ ）如图，取ＰＡ的中点Ｍ，连接ＭＤ，ＭＥ． （２） ＝１，
２ 切值为 求点Ｂ到平面ＡＤＥ的距离．
因为Ｅ是ＰＢ的中点， ６，
所以ＭＥ １ ＡＢ，ＭＥ ＡＢ．
＝ ∥
２
又因为ＤＦ １ ＡＢ，ＤＦ ＡＢ，
＝ ∥
２
所以ＭＥ ＤＦ，ＭＥ ＤＦ，
＝ ∥
所以四边形ＭＥＦＤ是平行四边形，所以ＥＦ ＭＤ． 图 图
∥ ① ②
因为ＰＤ ＝ ＡＤ，Ｍ是ＰＡ的中点，所以ＭＤ ⊥ ＰＡ． 解题导引
因为ＡＢ 平面ＰＡＤ，ＤＭ 平面ＰＡＤ，所以ＭＤ ＡＢ．
⊥ ⊂ ⊥
因为ＰＡ ＡＢ Ａ，ＰＡ 平面ＰＡＢ，ＡＢ 平面ＰＡＢ， （１）
∩ ＝ ⊂ ⊂ 由平面ＡＢＤ 平面ＢＣＤ及
所以ＭＤ 平面ＰＡＢ，所以ＥＦ 平面ＰＡＢ． ⊥ ＤＣ ＡＢ
⊥ ⊥ ＢＤ ＤＣ得ＤＣ 平面ＡＢＤ→ ⊥ ＡＢ 平
方法总结 证明线面垂直的常用方法及关键 ⊥ ⊥ ⊥
→面ＡＤＣ
ＡＤ ＡＢ
证明直线和平面垂直的常用方法 线面垂直的判定定 ⊥
（１） ：①
理 直线垂直于平面的传递性 ａ ｂ ａ α ｂ α 面面平 ＣＤ
；② （ ∥ ， ⊥ ⇒ ⊥ ）；③ 由（ ）得 ＤＡＣ为ＡＣ 由 ＤＡＣ
行的性质 ａ α α β ａ β 面面垂直的性质． （ ） １ ∠ ｔａｎ∠ ＝ＡＤ＝ ６
（ ⊥ ， ∥ ⇒ ⊥ ）；④ ２ 与平面ＡＢＤ所成的角 → →
证明线面垂直的关键是证线线垂直 而证明线线垂直需 及ＡＤ 得ＣＤ
（２） ， ＝１ ＝ ６
借助线面垂直的性质．
利用 ＡＢＤ ＤＣＢ 利用Ｖ Ｖ 得点Ｂ
经典例题教师用书 △ ∽△ Ｂ － ＡＤＥ＝ Ａ － ＢＤＥ
得直角梯形各边边长→到平面ＡＤＥ的距离
例 Ｓ是 ＡＢＣ所在平面外的一点 且ＳＡ ＳＢ ＳＣ Ｄ为斜边
Ｒｔ△ ， ＝ ＝ ，
ＡＣ的中点． 解析 （ ）证明：因为平面ＡＢＤ 平面ＢＣＤ，平面ＡＢＤ 平
１ ⊥ ∩
求证 ＳＤ 平面ＡＢＣ 面ＢＣＤ ＢＤ，ＢＤ ＤＣ，ＤＣ 平面ＢＣＤ，所以ＤＣ 平面ＡＢＤ．
（１） ： ⊥ ； ＝ ⊥ ⊂ ⊥
若ＡＢ ＢＣ 求证 ＢＤ 平面ＳＡＣ． 因为ＡＢ 平面ＡＢＤ，所以ＤＣ ＡＢ，
（２） ＝ ， ： ⊥ ⊂ ⊥
解题导引 又因为ＡＤ ＡＢ，且ＤＣ ＡＤ Ｄ，
⊥ ∩ ＝
所以ＡＢ 平面ＡＤＣ．
⊥
（ ）由（ ）知ＤＣ 平面ＡＢＤ，所以ＡＣ在平面ＡＢＤ内的正投
２ １ ⊥
影为ＡＤ，即 ＤＡＣ为ＡＣ与其在平面ＡＢＤ内的正投影所成角．
∠
ＣＤ 证明 如图所示 取ＡＢ的中点Ｅ 连接ＳＥ ＤＥ 依题意得 ＤＡＣ ，
（１） ， ， ， ， ｔａｎ∠ ＝ＡＤ＝ ６
因为ＡＤ ，所以ＣＤ ．
＝１ ＝ ６
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设ＡＢ ＝ ｘ（ｘ ＞０ ），则ＢＤ ＝ ｘ２ ＋１ ， 设平面Ｂ １ ＣＥ 的法向量为 ｍ ＝ （ｘ １ ，ｙ １ ，
ｚ ），
因为 ＡＢＤ ＤＣＢ，所以 ＡＢ ＤＣ ，即 ｘ ６ ， １
△ ∽△ ＡＤ＝ＢＤ １ ＝ ｘ２ ＋１
则
ì
í
ïï ｍ·Ｂ→ １ Ｃ ＝ ２ ｙ １－ ６ ｚ １＝０ ，
解 由 得 于 ｘ ＡＢ ＝ ２ 平 ，故 面 Ａ Ａ Ｂ Ｄ ＝ Ｃ，Ａ ２ Ｃ ，ＢＤ 平 ＝ 面 ３ Ａ ， Ｄ ＢＣ Ｃ， ＝３ ． î ïïｍ·Ｃ→Ｅ ＝ ２ ｘ １－ ２ ２ｙ １＋ ２ ６ｚ １＝０ ，
⊥ ⊂
所以ＡＢ ＡＣ，又Ｅ为ＢＣ的中点， 令ｚ ，得ｍ （ ， ， ）．
⊥ １＝１ ＝ ０ ３ １
ＢＣ 设平面ＡＢ Ｃ的法向量为ｎ （ｘ ，ｙ ，ｚ ），
所以由平面几何知识得ＡＥ ３ ， １ ＝ ２ ２ ２
＝ ＝ {
２ ２ ＢＣ 则
ｎ·Ｂ→
１
Ｃ
＝ ２
ｙ
２－ ６
ｚ
２＝０
，
因为ＢＤ
⊥
ＤＣ，Ｅ为ＢＣ的中点，所以ＤＥ
＝
２
＝
２
３ ， ｎ·→ＡＣ
＝－ ２
ｘ
２＋ ２
ｙ
２＝０
，
令ｙ ，得ｎ （ ， ， ），
所以Ｓ １
(
３
) ２ (
１
) ２
２．
２＝ ３ ＝ ３ ３ １
△ ＡＤＥ＝ ２ ×１× ２ － ２ ＝ ２ 则 〈ｍ，ｎ〉 ｍ·ｎ ４ ２ ７，
因为ＤＣ
⊥
平面ＡＢＤ， ｃｏｓ ＝
｜
ｍ
｜｜
ｎ
｜
＝
３＋１× ３＋３＋１
＝
７
由图可知二面角Ａ Ｂ Ｃ Ｅ为锐二面角，
所以Ｖ Ｖ １ ＣＤ·Ｓ ３． － １ －
Ａ
－
ＢＣＤ＝ Ｃ
－
ＡＢＤ＝
△
ＡＢＤ＝
３ ３ 则二面角Ａ Ｂ Ｃ Ｅ的余弦值为２ ７．
设点Ｂ到平面ＡＤＥ的距离为ｄ． － １ －
７
方法总结 证明面面垂直的常用方法
则由 １ ｄ·Ｓ Ｖ Ｖ １ Ｖ ３，得ｄ ６，
△ ＡＤＥ＝ Ｂ － ＡＤＥ＝ Ａ － ＢＤＥ＝ Ａ － ＢＣＤ＝ ＝ １．利用面面垂直的定义 作出两平面构成的二面角的平面
３ ２ ６ ２ （
角 计算平面角为 °
即点Ｂ到平面ＡＤＥ的距离为 ６． ， ９０ ）；
２．利用面面垂直的判定定理 ａ β ａ α α β
２ ： ⊥ ， ⊂ ⇒ ⊥ ；
３．证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂
考法二 证明平面与平面垂直的方法 ， →
直 面面垂直来实现的 因此 在关于垂直问题的论证中要注意
→ ， ，
例２ （２０２０ 山东仿真联考，１８）在斜三棱柱 ＡＢＣ 线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化．
－ 、 、
经典例题教师用书
Ａ Ｂ Ｃ 中 ＡＢＣ为等腰直角三角形 ＡＡ ＡＢ ＡＣ
平 １ 面 １ Ｂ １ Ｂ １ 证 Ｃ ， １ 明 △ Ｃ ⊥ 平 平 面 面 Ｂ ＡＢ Ｃ Ｃ Ｅ ， 点 平 Ｅ 面 为 Ｂ 棱 Ｂ Ａ Ｃ ， １ Ａ Ｃ 的 １＝ 中点 ２ ，∠ ＝ Ｂ １ ２ ＢＣ ＝ ＝ ６ ２ ０ °． ２， 例 ＥＡ （ Ｄ ２ 为 ０１ 等 ８ 边 河 三 南 角 洛 形 阳 底 一 面 模， Ａ １ Ｂ ９ ＣＤ ）如 为 图 等 ， 腰 在 梯 四 形 棱 满 锥 足 Ｅ Ａ － Ｂ ＡＢＣ Ｃ Ｄ Ｄ 中 ＡＤ ，
△ ， ， ∥ ，
（１） ： １ ⊥ １ １ ；
（２） 求二面角Ａ － Ｂ １ Ｃ － Ｅ的余弦值． ＝ ＤＣ ＝ １ ＡＢ ， 且ＡＥ ⊥ ＢＤ．
２
证明 平面ＥＢＤ 平面ＥＡＤ
（１） ： ⊥ ；
若 ＥＡＤ的面积为 求点Ｃ到平面ＥＢＤ的距离．
（２） △ ３，
解析 （ ）证明：分别取ＢＣ，Ｂ Ｃ的中点Ｏ和Ｆ，连接ＯＡ，
１ １
ＯＦ，ＥＦ，Ｂ Ｏ．因为ＡＢ ＡＣ，Ｏ为ＢＣ的中点，所以ＡＯ ＢＣ，因为 解题导引
１ ＝ ⊥
平面ＢＢ Ｃ Ｃ 平面ＡＢＣ，且平面ＢＢ Ｃ Ｃ 平面ＡＢＣ ＢＣ，所以
１ １ ⊥ １ １ ∩ ＝
ＡＯ 平面ＢＢ Ｃ Ｃ．因为Ｆ是Ｂ Ｃ的中点，Ｏ是ＢＣ的中点，所以
⊥ １ １ １
ＦＯ ＢＢ ，且ＦＯ １ ＢＢ ，因为点Ｅ为棱Ａ Ａ的中点，ＡＡ ＢＢ ，
∥ １ ＝ １ １ １ １
２
所以ＡＥ ＢＢ ，且ＡＥ １ ＢＢ ，所以ＦＯ ＡＥ，且ＦＯ ＡＥ，
∥ １ ＝ １ ∥ ＝
２
所以四边形ＡＯＦＥ是平行四边形，则ＥＦ ＡＯ．
∥
因为ＡＯ 平面ＢＢ Ｃ Ｃ，所以ＥＦ 平面ＢＢ Ｃ Ｃ，
⊥ １ １ ⊥ １ １
因为ＥＦ 平面Ｂ ＣＥ，所以平面Ｂ ＣＥ 平面ＢＢ Ｃ Ｃ． 解析 （ ）证明：如图，取ＡＢ的中点Ｍ，连接ＤＭ，由题意可
⊂ １ １ ⊥ １ １ １
（ ）由题意得Ｂ Ｏ ＢＣ，则Ｂ Ｏ 平面ＡＢＣ，故ＯＡ，ＯＣ，ＯＢ
２ １ ⊥ １ ⊥ １ 知四边形ＢＣＤＭ为平行四边形， ＤＭ ＣＢ ＡＤ １ ＡＢ， （ 分）
两两垂直．以Ｏ为坐标原点，Ｏ→Ａ，Ｏ→Ｃ，Ｏ→Ｂ 的方向分别为ｘ，ｙ，ｚ轴 ∴ ＝ ＝ ＝
２
１
的正方向，建立如图所示的空间直角坐标 １ 系Ｏ ｘｙｚ， 即点Ｄ在以线段ＡＢ为直径的圆上，
－
æ ö ＢＤ ＡＤ， （ 分）
则Ａ（ ２ ， ０ ， ０ ），Ｃ（ ０ ， ２ ， ０ ），Ｂ １ （ ０ ， ０ ， ６ ），Ｅ è ç ２ ， ２ ２， ２ ６ ø ÷， 又 ∴ ＡＥ ⊥ ⊥ ＢＤ，且ＡＥ ∩ ＡＤ ＝ Ａ， ３
ＢＤ 平面ＥＡＤ． （ 分）
æ ö ∴ ⊥ ４
故Ｂ→ １ Ｃ ＝ （ ０ ， ２ ， － ６ ），Ｃ→Ｅ ＝è ç ２ ， － ２， ６ ø ÷，→ＡＣ ＝ （ － ２ ， ２ ， ∵ ＢＤ ⊂ 平面ＥＢＤ， ∴ 平面ＥＢＤ ⊥ 平面ＥＡＤ． （ ６ 分）
２ ２
），
０
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题
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何 ／
９３
（ ） ＢＤ 平面ＥＡＤ，且ＢＤ 平面ＡＢＣＤ， 解法二：因为平面ＡＤＰ 平面ＡＢＣＤ，平面ＡＤＰ 平面ＡＢＣＤ
２ ∵ ⊥ ⊂ ⊥ ∩
平面ＡＢＣＤ 平面ＥＡＤ． （ 分） ＡＤ，ＰＦ 平面ＡＤＰ，ＰＦ ＡＤ，所以ＰＦ 平面ＡＢＣＤ．
∴ ⊥ ７ ＝ ⊂ ⊥ ⊥
等边 ＥＡＤ的面积为 ， ＡＤ ＡＥ ＥＤ ． （ 分） 因为Ｇ为ＰＢ的中点，所以三棱锥Ｇ ＢＣＨ的高等于 １ ＰＦ，
∵ △ ３ ∴ ＝ ＝ ＝２ ８ －
取ＡＤ的中点Ｏ，连接ＥＯ，则ＥＯ ＡＤ，ＥＯ ， ２
⊥ ＝ ３ 因为Ｈ 为 ＣＤ 的中点，所以 ＢＣＨ 的面积是平行四边形
平面ＥＡＤ 平面ＡＢＣＤ，平面ＥＡＤ 平面ＡＢＣＤ ＡＤ， △
∵ ⊥ ∩ ＝
ＥＯ 平面 ＡＢＣＤ．由（ ）知 ＡＢＤ， ＥＢＤ 都是直角三角 ＡＢＣＤ的面积的 １ ，
∴ ⊥ １ △ △
４
形，
∴
ＢＤ
＝
ＡＢ２
－
ＡＤ２
＝２ ３
，
∴
Ｓ
△ ＥＢＤ＝ ２
１ ＥＤ·ＢＤ
＝２ ３
．
从而三棱锥Ｇ － ＢＣＨ的体积是四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的体积的 １ ．
（ 分） ８
１０
设点Ｃ到平面ＥＢＤ的距离为ｈ， 而Ｖ
Ｐ － ＡＢＣＤ＝
１ ·Ｓ
平行四边形ＡＢＣＤ
·ＰＦ
＝
１
×３ ３×
３
＝
３ ，
３ ３ ２ ２
由Ｖ Ｖ ，得 １ Ｓ ·ｈ １ Ｓ ·ＥＯ，
Ｃ － ＥＢＤ＝ Ｅ － ＢＣＤ ３ △ ＥＢＤ ＝ ３ △ ＢＣＤ 所以三棱锥Ｇ － ＢＣＨ的体积为 ３ ．
１６
又Ｓ １ ＢＣ·ＣＤ ° ， 解后反思 本题考查直线与平面垂直 平面与平面垂直的
△ ＢＣＤ＝ ｓｉｎ１２０ ＝ ３ ，
２ 判断定理和几何体的体积 考查空间想象能力以及计算能力．
，
ｈ ３． 点Ｃ到平面ＥＢＤ的距离为 ３． （ 分） 例 （２０１９湖南长沙模拟，１８）如图 在等腰直角三角形
∴ ＝ ∴ １２ １，
２ ２ ＡＢＣ中 Ａ ° ＢＣ Ｄ Ｅ分别是ＡＣ ＡＢ上的点 ＣＤ ＢＥ
例 （２０２０北大附中模拟，１７）如图 在平行四边形ＡＢＣＤ ，∠ ＝９０ ， ＝６， ， ， ， ＝ ＝
１， Ｏ为ＢＣ的中点．将 ＡＤＥ沿ＤＥ折起 得到如图 所示的四
中 ＡＢ ＢＣ 过Ａ点作ＣＤ的垂线 交ＣＤ的延长线于点Ｅ ２， △ ， ２
， ＝３， ＝２， ， ，
棱锥Ａ′ ＢＣＤＥ 其中Ａ′Ｏ ．
ＡＥ ．连接ＥＢ 交ＡＤ于点Ｆ 将 ＡＤＥ沿ＡＤ折起 使得点Ｅ － ， ＝ ３
＝ ３ ， ， △ ，
到达点Ｐ的位置 如图 ．
， ２
证明 平面ＢＦＰ 平面ＢＣＰ
（１） ： ⊥ ；
若Ｇ为ＰＢ的中点 Ｈ为ＣＤ的中点 且平面ＡＤＰ 平面
（２） ， ， ⊥
ＡＢＣＤ 求三棱锥Ｇ ＢＣＨ的体积．
， －
证明 Ａ′Ｏ 平面ＢＣＤＥ
（１） ： ⊥ ；
求Ｏ到平面Ａ′ＤＥ的距离．
（２）
解题导引
利用勾股定理逆定理
由余弦定理计算ＯＤ的长
（ １ ） → 得到垂直关系
图 图
１ ２ 根据线面垂直的判定定理即可证明
→
解析 （ ）证明：在题图 的 ＢＡＥ中，ＡＢ ，ＡＥ ，
１ １ Ｒｔ△ ＝３ ＝ ３ 求出 ＯＤＥ和 结合等体积法转化
△
所以 ∠ ＡＥＢ ＝６０ °． （２） Ａ′ＤＥ的面积 → 即可得所求
△
在 ＡＥＤ中，ＡＤ ，ＡＥ ，所以 ＤＡＥ °．
Ｒｔ△ ＝２ ＝ ３ ∠ ＝３０ 解析 （ ）证明：在题图 中，易得ＯＣ ，ＡＣ ，ＡＤ
所以 ＡＦＥ °，即ＢＥ ＡＤ．所以在题图 中，ＰＦ ＡＤ，ＢＦ １ １ ＝３ ＝３ ２ ＝
∠ ＝９０ ⊥ ２ ⊥
ＡＤ．又因为ＡＤ ＢＣ，所以ＰＦ ＢＣ，ＢＦ ＢＣ．又因为ＰＦ，ＢＦ ２ ２ ，
⊥
平面ＢＦＰ，ＰＦ Ｂ
∥
Ｆ Ｆ，所以ＢＣ
⊥
平面ＢＦ
⊥
Ｐ，
⊂ 连接ＯＤ，ＯＥ，在
△
ＯＣＤ中，由余弦定理可得
∩ ＝ ⊥
又因为ＢＣ 平面ＢＣＰ，所以平面ＢＦＰ 平面ＢＣＰ． ＯＤ ＯＣ２ ＣＤ２ ＯＣ·ＣＤ ° ，由翻折可知Ａ′Ｄ
⊂ ⊥ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ４５ ＝ ５ ＝
（
２
）解法一：因为平面 ＡＤＰ
⊥
平面 ＡＢＣＤ，平面 ＡＤＰ
∩
平面
２ ２
，
∴
Ａ′Ｏ２
＋
ＯＤ２
＝
Ａ′Ｄ２，
∴
Ａ′Ｏ
⊥
ＯＤ．同理可证Ａ′Ｏ
⊥
ＯＥ，又ＯＤ
ＡＢＣＤ ＡＤ，ＰＦ 平面ＡＤＰ，ＰＦ ＡＤ，所以ＰＦ 平面ＡＢＣＤ． ＯＥ Ｏ， Ａ′Ｏ 平面ＢＣＤＥ．
＝ ⊂ ⊥ ⊥ ∩ ＝ ∴ ⊥
取ＢＦ的中点Ｏ，连接ＢＤ，ＧＯ，则ＧＯ ＰＦ，
∥
所以ＧＯ 平面ＡＢＣＤ，即ＧＯ为三棱锥Ｇ ＢＣＨ的高．
⊥ －
又ＧＯ １ ＰＦ １ ·ＰＡ· ° ３，
＝ ＝ ｓｉｎ３０ ＝
２ ２ ４ （ ）过Ｄ作ＤＨ ＢＣ交ＯＣ于Ｈ，则ＤＨ ，根据题意易求得
所以三棱锥Ｇ ＢＣＨ的体积Ｖ １ Ｓ ·ＧＯ １ １ Ｓ ２ ⊥ ＝１
－ ＝ ３ △ ＢＣＨ ＝ ３ × ２ △ ＢＣＤ ＤＥ ＝４ ， ∴ Ｓ △ ＯＤＥ＝ １ ×４×１＝２ ． ∵ Ｓ △ Ａ′ＤＥ＝ １ ×４× ８－４＝４ ， ∴ 由 ２ ２
３ １ ３ ３ ３ ３ ．
× ４ ＝ ６ × ２ × ４ ＝ １６ Ｖ Ａ′ － ＤＯＥ＝ Ｖ Ｏ － Ａ′ＤＥ 可得，Ｏ到平面Ａ′ＤＥ的距离为２× ３ ＝ ３．
４ ２
