文档内容
8.4 空间直线、平面的垂直
思维导图
知识点总结
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线a与平面α垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一个
平面内的两条相交直
判定定理 l⊥α
线垂直，那么该直线
与此平面垂直
⇒
垂直于同一个平面的
性质定理 a∥b
两条直线平行
⇒
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，
一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所
成的角是0°.
(2)范围：.3.二面角
(1)定义：一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫作二面角.
(2)二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱
的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.两个平面垂直
(1)两个平面垂直的定义
一般地，如果两个平面所成的二面角是 ，那么就说这两个平面互相垂直.
(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定 如果一个平面过另一个平面的
α⊥β
定理 ，那么这两个平面垂直
⇒
两个平面垂直，如果一个平面
性质 内有一直线垂直于这两个平面
l⊥α
定理 的 ，那么这条直线与另一个
平面垂直
⇒
[常用结论]
1.三个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个
重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
典型例题分析考向一
直线与平面垂直的判定与性质
1 (2023·镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，
点E为垂足.
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
感悟提升 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，
a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
⇒ ⇒
考向二 平面与平面垂直的判定与性质
2 如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.
感悟提升 1.面面垂直判定的两种方法与一个转化
(1)两种方法：
面面垂直的定义；
面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β).
(2)一个转化：
⊂ ⇒
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线
面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
2.面面垂直性质定理的应用
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直
线”.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.
3. (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，
底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角
形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明：EF∥平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
考向三 平行、垂直关系的综合应用
4. 如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为
正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理
由.
感悟提升 1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直性质及判定的综合应用.
2.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
3.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相
关定理、性质进行推理论证.
5.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上
不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是( )
A.平面ANS⊥平面PBC B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC D.平面ABC⊥平面PAC
6.(2023·长沙调研)如图所示，已知四边形 ABCD是由一个等腰直角△ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立
的是( )
A.CD⊥AB B.BC⊥AD
C.BD⊥AB D.BC⊥CD
7.(多选)(2023·青岛质检)四棱台ABCD－A B C D 的底面ABCD是正方形，AA ⊥平面ABCD，
1 1 1 1 1
则( )
A.直线AD与直线B D 所成角为45°
1 1
B.直线AA 与直线CC 异面
1 1
C.平面ABB A ⊥平面ADD A
1 1 1 1
D.CA ⊥AD
1
基础题型训练一、单选题
1．已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，且 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
2．下列命题
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直
④如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行
⑤圆锥的顶点与底面上任意一点的连线是圆锥的母线；
其中正确命题的是( )
A．①②③ B．①②⑤ C．①③ D．②③⑤
3．已知a，b是两条直线， 是一个平面，则下列判断正确的是（ ）
A． ， ，则 B． ， ，则
C． ， ，则 D． ， ， ，则
4．已知底面是正方形的直四棱柱 的外接球的表面积为 ，且 ，则 与底面
所成角的正切值为
A． B． C． D．
5．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， .三棱锥 的所有顶
点都在球 的表面上，则球 的半径为（ ）
A． B．C． D．
6．三棱锥 底面 是边长为 的正三角形， ， ， 两两成角相等， ，
， .则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ）
A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线
C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
8．已知l，m，n为空间中三条不同的直线， ， ， 为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有
（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ，l，m分别与 ， 所成的角相等，则
C．若 ， ， ，若 ，则
D．若 ， ， ，则
三、填空题
9．已知点 ， ， ， 在同一个球的球表面上， 平面 ， ， ， ，则
该球的表面积为________．
10．把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面 平面CBD.则空间四边形ABCD的对角线AC的长为__________.
11．如图为三棱锥 的平面展开图，其中 ， ，垂足为 ，则该三棱锥的
体积为______．
12．在梯形 中， ， ， ，将 沿对角线AC翻折到 ，
连结MD．当三棱锥 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．
四、解答题
13．已知正方体ABCD- 的棱长为2.
(1)求三棱锥 的体积；
(2)证明： .
14．在三棱锥 中， 平面ABC，平面 平面PBC.求证： .
15．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ， ， ， 分别为， 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 ．
16．如图所示，四棱锥 ，底面 为四边形， ， ， ，平面
平面 ， ， ，
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若四边形 中， ， ， 为 上一点，且 ，求三棱锥
体积.
提升题型训练一、单选题
1．若直线 平面 ，直线 平面 ，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面
2．设 、 、 表示不同的直线， 、 、 表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ，且 ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
③若 ，且 ，则 ；
④若 ， ， ，则 ．
则正确的命题个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
3．下列结论正确的是（ ）
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直
C．过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线
D．若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行
4．设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是
A．若 与 所成的角相等，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5．等于90°的二面角 内有一点 ，过 有 于点 ， 于 ，如果 ，则
到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P-ABCD中， ，点E为PB中点，若CE与PD所成的角余弦值为 ，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．如图，以等腰直角三角形斜边 上的高 为折痕，把 和 折成互相垂直的两个平面后，
某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B． 与平面 的法向量平行
C． D．平面 的法向量和平面 的法向量互相垂直
8．已知直线a，b，c两两异面，且 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．存在平面α，β，使 ， ，且 ，
B．存在平面α，β，使 ， ，且 ，
C．存在平面γ，使 ， ，且
D．存在唯一的平面γ，使 ，且a，b与γ所成角相等
三、填空题9．已知正方体 的棱长为1，则点B到直线 的距离为_________．
10．如图，已知三棱锥 的各棱长均为2，则平面 和平面 所成角的余弦值为：________．
11．已知六棱锥 的底面是正六边形， 平面 ， .则下列命题中正确的有
_____．(填序号)
PB⊥AD；
①平面PAB⊥平面PAE；
②BC∥平面PAE；
③直线PD与平面ABC所成的角为45°.
④
12．与不共面的四点等距离的平面有___________个.
四、解答题
13．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，
PB＝3，PC＝4，求三棱锥P－ABC的体积V.
14．如图，在四棱锥 中， ， 平面 ， ，点 为线段 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
15．如图，在五面体中，四边形 是矩形， 平面 ，且
， 分别为 的中点.
求证：（1） 平面 ；
（2） 平面 .
16．如图，在直四棱柱 中，四边形 是菱形， 分别是棱 ， 的中点．(1)证明：平面 平面 ．
(2)若 ， ，求点 到平面 的距离．
