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期末考试点对点压轴题训练（五）（B卷26题）
1．如图，等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线
BD上一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
(1)如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C，求∠FCB的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下连接DG，求线段DG的长；
(3)如图3，点E不与点A重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，∠FBH＝∠FEH，EP⊥AB于点E，
交DB于点P，连接GP，∠GPF＝∠GEF，求 的值．
【答案】(1)30°；(2) ；(3)
【分析】（1）根据题意得∶ ∠FEG=60°，EF=EG，可得△EFG是等边三角形，从而得到∠GFB=60°，再
由△ABC是等边三角形，BD⊥AC，可得∠DBC=30°，即可求解；
（2）过D作DH⊥CG交于点H，根据△BFG和△ABC是等边三角形，可得BF=FG，在Rt△BCG中，根据
直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，进而得到CD=3，从而得到 ，
，再由勾股定理，即可求解；
（3）延长BC至点M，连接FM，使FM=BF，先证明△BEF≌△MHF，可得BE=HM，从而得到BE+BH
=BM，然后过点F作FN⊥BC于点N，则BM=2BN，设FN=x，则BF=2x，从而得到 ，即可求解．
【解析】（1）根据题意得∶ ∠FEG=60°，EF=EG，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠GFB=60°，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBC=30°，
∴∠FCB=∠BFG-∠CBD=30°；
（2）解：过D作DH⊥CG交于点H，
∵△BFG是等边三角形，
∴BF=GF，∠BFG=∠DFC=60°，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，∠DBC=30°，
∴∠DCF=90°-60°=30°，∠CBG=90°，
∵∠BCG=∠CBD=30°，
∴BF=CF，
∴CF=FG，
在Rt△BCG中，BC=6，∠BCG=30°，
∴CG=2BG，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠DCF=30°，∠CDB=90°，
∴ ，
∴CD=3，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，延长BC至点M，连接FM，使FM=BF，
∵∠CBD=30°，
∴∠M=∠CBD=30°，
∴∠BFM=120°，
∵∠FBH＝∠FEH，
∴∠FEH=30°，
∵EF=EG，∠FEG=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠EFG=∠FGE=∠FEG=60°，
∴∠FHE=30°，∠EFH=120°，
∴∠FHE=∠FEH， ∠EFH=∠BFM，
∴EF=FH，∠BFE=∠MFH，
∴△BEF≌△MHF，
∴BE=HM，
∴BE+BH=MH+BH=BM，
过点F作FN⊥BC于点N，则BM=2BN，
∵∠CBD=30°，∴BF=2FN，
设FN=x，则BF=2x，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质，三角形旋转的性质，三角形全等的判
定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
2． 在正方形ABCD中，点E是对角线BD上点.连接AE
（1）如图l，若 ， .求AE的长；
（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，点F在AB上，且 ，逹接CF.点G在EF上，
，延长BG交AC于点H.求证： ；
（3）如图3，在（l）的条件下，过点E作 交OC于点M，把 绕点O逆时针旋转 度（
）得 ，取 的中点K，连接CK，将CK顺时针旋转 得到CN，连接KN，过点
N作 于点R，当NR最大时，求线段KR的长.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） .
【分析】（1）在Rt△AOE中，求出AO，OE，利用勾股定理解决问题即可．
（2）如图2中，过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，连接EC．首先证明△EFC是等腰直角三角形，再
证明AE＝BH，可得结论．
（3）如图3﹣1中，将线段CO绕点C顺时针旋转90°得到CT，连接TN，OK．证明△OCK≌△TCN
（SAS），推出OK＝TN，可得OK＝ E′M′＝ ，推出TN＝OK＝ ，由题意当NR经过点T时，NR
的值最大，如图3﹣2中，此时M′在OA上，连接OR，此时O，R，T，N共线．利用勾股定理求出KR即可．
【详解】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，AB＝BC＝7 ，∠ABC＝90°，
∴AC＝BD＝ AB＝14，
∴OA＝OB＝7，
∵BE＝10，
∴OE＝BE﹣OB＝10﹣7＝3，
∴ ．
（2）证明：如图2中，过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N．连接EC．
∵BD垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∵EF＝EA，
∴EC＝EF，
∵BD平分∠ABC，EM⊥AB，EN⊥BC，
∴EM＝EN，
∵∠EMF＝∠ENC＝90°，
在Rt△EMF和Rt△ENC中，
，∴Rt△EMF≌Rt△ENC（HL），
∴∠MEF＝∠NEC，
∵∠EMB＝∠MBN＝∠ENB＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∴∠FEC＝∠MEN＝90°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴CF＝ EF，
∵GB＝GE，EA＝EC，
∴∠GBE＝∠GEB，∠EAC＝∠ECA，
∵∠GEB+∠CEB＝90°，∠CEB+∠ECA＝90°，
∴∠GEB＝∠ECA，
∴∠EAO＝∠OBH，
在△AOE和△BOH中，
，
∴△AOE≌△BOH（ASA），
∴BH＝AE，
∵AE＝EF，CF＝ EF，
∴CF＝ BH．（3）解：如图3﹣1中，将线段CO绕点C顺时针旋转90°得到CT，连接TN，OK．
∵∠OCT＝∠KCN＝90°，
∴∠OCK＝∠TCN，
在△OCK和△TCN中，
，
∴△OCK≌△TCN（SAS），
∴OK＝TN，
由（1）可知，OE′＝OM′＝3，
∴E′M′＝ ，
∵E′K＝KM′，
∴OK＝ E′M′＝ ，
∴TN＝OK＝ ，
∵NR⊥BC，∴当NR经过点T时，NR的值最大，如图3﹣2中，此时M′在OA上，连接OR，此时O，R，T，N共线．
在Rt△OKR中，OK＝ ， ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、正方形的性质、旋转的性质，全等三角形的性质与判定等有关基本性
质，熟练掌握并灵活运用基本性质找到NR值最大所具备的条件是解题的关键．
3．【数学初探】
在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角 画出一个菱形，使 为该
菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作 的平分线AE，交BC于点E；②作
AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．(1)请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．
【深入探究】
雷同学开启大胆尝试，如图3，将 的中线BO延长至点D，使 ，连接AD，CD，平移图2中
的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测
量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．
(2)请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并小心求证．
【迁移应用】
(3)如图4，在（2）的条件下，若 ，且 时，求 的值．
【答案】(1)证明见解答．
(2) ．证明见解答．
(3) 的值为 ．
【分析】（1）先证明 ，可得 ，由于DF垂直平分AE，根据菱形的判定定理
即可证得结论；
（2）取DH的中点K，连接OK，利用三角形中位线定理可得： ， ，结合
，即可证得结论；
（3）取DF的中点K，连接AD，OK，过点D作 交BA的延长线于点T，过点B作 于点
R，过点O作 于点Q，由 可得 和 是等边三角形，设 ，则
， ，运用勾股定理、直角三角形性质及三角形面积可得： ， ，进而
求得答案．
(1)
证明：∵AE平分 ，
∴ ．
∵FG垂直平分AE，
∴∠AHF=∠AHG=90， ．
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴AE与FG互相垂直平分，
∴四边形AFEG是菱形；
(2)
解： ．
证明：如图1，取DH的中点K，连接OK，
∵ ，
∴点O是BD的中点，
∴OK是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ．
∵平移图2中的直线l恰好经过点D，
∴ ．
由（1）可知： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(3)
解：如图2，取DF的中点K，连接AD，OK，过点D作 交BA的延长线于点T，过点B作于点R，过点O作 于点Q，
由（1）（2）知： ， ， ．
∵ ，
∴ 和 是等边三角形，
设 ，则 ， ，
．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ，在 中， ，
∴ ，
故 的值为 ．
【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形
性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，三角形中位线定理，菱形的判定等知识，解决
问题的关键是根据条件，画出图形，化归基本图形．
4．如图 ，长方形 ，点 ， 分别为边 ， 上两动点，将长方形左侧部分沿 所在直线折叠，
点 落在 边上点 处，点 落在点 处，连接 ， ， ， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)如图 ，若点 与点 重合， ，求线段 用含 代数式表示 ；
(3)连接 ，若 ，且 为等腰三角形，求 的值．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】 由折叠的性质可得 ， ，由余角的性质和等腰三角形的性质可求
解；
先证四边形 是菱形，由菱形的面积公式可求解；
因为 与 ， 与 关于 对称，所以 与 的交点 在对称轴上， ，设交点为 ，
由 ，推出 ， ， 分三种情形： 若 若
若 ，分别求解即可．
【详解】（1）由翻折变换的性质可知， ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接 ，
， ，
，，
，
，
由翻折变换的性质可知， ， ，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图 中，连接 ．
线段 ，线段 关于 对称，与 的交点 在对称轴上， ，设交点为 ， ．
，
，
，
，
，
若 ，
，
，
， ，
≌ ，
与已知 ，矛盾．
若 ，
，
，
中， ，
，
此种情形不存在．
若 ，
，
，
解得 负根已经舍去 ，
综上所述， 的值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定
和性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
5．【问题提出】在一节数学课上，王老师提出了一个数学问题：如图1-1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝5，PB＝12，PC＝13，求∠APB的度数．
(1)【问题探究】针对这个问题，某学习小组进行了如下尝试：如图1-2，将△APB绕点A逆时针旋转60°得
到 ，连接 ，得到等边 ．请根据该小组探究的思路求出∠APB的度数；
(2)【类比延伸】在等腰Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，其内部有一点P．如图2，连接PA，
PB，PC，若∠APC＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，连接PA，PC，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠CPQ＝90°，连接BQ，取BQ的中点M，连
接AM，PM，试判断 是否为定值，若为定值，请求出相应的值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)150°
(2)BP2=PC2+2AP2，理由见解析
(3) 是定值 ，理由见解析
【分析】（1）由旋转的性质可得PB=P'C=12，AP=AP'=5，∠PAP'=60°，∠AP'C=∠APB，由勾股定理的逆
定理可得∠PP'C=90°，即可求解；
（2）由旋转的性质可得AP=AP'，P'B=PC，∠APC=∠AP'B=135°，∠PAP'=90°，由勾股定理和等腰直角三角
形的性质可求解；
（3）由“SAS”可证 BMN≌△QMP，可得BN=PQ，∠MBN=∠MQP，由“SAS”可证 ABN≌△ACP，可得
AN=AP，∠BAN=∠P△AC，可得 APN是等腰直角三角形，即可求解． △
【详解】（1）解：∵将 APB△绕点A逆时针旋转60°得到 AP′C，
∴PB=P'C=12，AP=AP'=5△，∠PAP'=60°，∠AP'C=∠APB， △
∴△PAP'是等边三角形，
∴∠AP'P=60°，AP=PP'=5，
∵PC2=169，P'P2+P'C2=144+25=169，
∴PC2=P'P2+P'C2，
∴∠PP'C=90°，
∴∠AP'C=∠APB=150°；（2）解：BP2=PC2+2AP2，理由如下：
如图，将 APC绕点A顺时针旋转90°，得到 AP'B，连接PP'，
△ △
∵将 APC绕点A顺时针旋转90°，得到 AP'B，
∴AP=△AP'，P'B=PC，∠APC=∠AP'B=135°△，∠PAP'=90°，
∴∠AP'P=45°，P'P= AP，
∴∠BP'P=90°，
∴BP2=P'B2+P'P2，
∴BP2=PC2+2AP2；
（3）解： 是定值，等于 ，理由是：
如图，延长PM至N，使MN=PM，连接BN，AN，设AC与BQ交于点O，
∵点M是BQ的中点，
∴BM=MQ，
又∵MN=MP，∠BMN=∠PMQ，
∴△BMN≌△QMP（SAS），
∴BN=PQ，∠MBN=∠MQP，
∴BN=CP，
又∵△PQC是等腰直角三角形，∠CPQ=90°，∴PQ=PC，∠PQC=∠PCQ=45°，
∵∠AOQ=∠BAC+∠ABO=∠OQC+∠ACQ，
∴90°+∠ABO=45°+∠PQO+45°-∠ACP，
∴∠ACP=∠PQO-∠ABO，
又∵∠ABN=∠MBN-∠ABO，
∴∠ABN=∠ACP，
又∵AB=AC，
∴△ABN≌△ACP（SAS），
∴AN=AP，∠BAN=∠PAC，
∴∠PAN=∠BAC=90°，
∴△ANP是等腰直角三角形，
∵PM=MN，
∴AM=MP，AM⊥MP，
∴AP= MP，
∴ = ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等
三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是AC上一点．连接DE，过D作
DF⊥DE交BC点于F，连接EF．
（1）如图1，EF与CD相交于点G：
①来证：AE＝CF；
②当AD＝CE，AC＝6时，求DG；
（2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的长．【答案】（1）①见解析；② ；（3）
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质证明△CDF≌△ADE，故可求解；
②过点D作DH⊥AC，交EF于M点，分别求出CE，HE，CF，再证明△FCE∽△MHE求出HM，DM，再
证明△FCG∽△MDG，得到 ，故可求解；
（2）取AD中点H，作HI⊥AD交DE于I点，过E点作EG⊥AD，先求出AH，DG，通过证明
△DHI∽△DGE，得到 ，求出HI，进而求出ID，作AJ⊥DE延长线于J点，证明
△DHI∽△DJA，得到 ，求出AJ、DJ，再求出IJ，利用角度的关系证明△AJI∽△ECM，可得
，求出CM，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，
∴AD=CD，△ACD、△BCD、△ABC都是等腰直角三角形
∴∠DAC=∠DCB
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=90°
∴∠CDF=∠ADE
∴△CDF≌△ADE
∴AE＝CF；
②过点D作DH⊥AC，交EF于M点
∵AC＝6=BC
∴AB=
∵D是AB中点
∴CD=AD=BD=
∵DH⊥AC∴CH=DH=AH=
∵AD＝CE，
∴CE=AD=
∴EH= -3
故AE=AH-EH=6-
∴CF=AE=6-
∵FC HM
∴△FCE∽△MHE
∴ ，即
解得MH=
∴DM=DH-HM=
∵FC HD
∴△FCG∽△MDG
∴ ，即
解得DG=
∴DG= ．（2）∵AE＝2，CE＝5
∴AC=7=BC
∴AB=
如图，取AD中点H，作HI⊥AD交DE于I点，过E点作EG⊥AD
∵点D为AB的中点，
∴AH=DH=
∵∠CAD=45°
∴△AGE是等腰直角三角形
∴EG=AG，AG2+EG2=AE2=4
∴AG= =EG
∴HG=AH-AG=
∴DG=DH+HG=
∵HI⊥AD，H是AD中点
∴△ADI是等腰三角形
∴AI=DI
∵HI⊥AD，EG⊥AD
∴HI EG
∴△DHI∽△DGE∴
∴HI=
∴ID=
作AJ⊥DE延长线于J点
∴∠DHI=∠DJA=90°
又∠HDI=∠JDA
∴△DHI∽△DJA
∴ ，代入可得AJ=
∴DJ=
∴IJ=DJ-ID=
∵DI=AI
∴∠IDA=∠IAD，∠AIJ=∠IDA+∠IAD=2∠ADE
∵∠CME＝2∠ADE，∴∠JIA=∠CME
又∠AJI=∠ECM，∴△AJI∽△ECM
∴ ，∴代入得CM= ，∴EM= ．【点睛】此题主要考查三角形与四边形综合，解题的关键是熟知等腰直角三角形、相似三角形的判定与性
质．
7．已知在 ABC中，∠ECF的两边与 ABC的边AB从左至右依次交于点E，F，且∠ECF＝ ∠ACB．
（1）如图1，若AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ACE绕点C逆时针旋转90°后，得到 BCG，连接FG．求证：
ECF≌ GCF；
（2）如图2，若AC＝BC，∠ACB＝120°，BF＝3，AE＝2，求线段EF的长；
（3）如图3，若∠ACB＝90°，AC＝2 ，BC＝ ，设AE＝y，BF＝x（0＜x＜1），请用含x的代数式表
示y（直接写出结果，不必写解答过程）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）先证出∠ECF=∠GCF，再通过SAS即可证△ECF≌△GCF；
（2）由（1）全等得：EF=FG，AE=BG，∠A=∠CBG，从而∠FBG=60°，在△BFG中，已知两角一边，作
GK⊥AB，通过解直角三角形可得FG的长即可；
（3）将△BCF顺时针旋转90°得到△NCG，过点C作CH⊥AB于H，CM⊥GN于M，延长GN交AB于点
D，得到∠GNC=∠FBC，CF=CG，BF=NG=x，证明矩形CMDH为正方形，得到CM=DH=CH=DM，由
（2）中△GCE≌△FCE，得到GE=FE=AB-AE-BF，利用面积法求出CH，证明DN为△ACH的中位线，在
△GDE中，利用勾股定理得到 ，化简可得结果．【详解】解：证明：（1） 绕点 逆时针旋转 后，得到 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
（2）如图，作 于 ，
由（1）同理可得： ，
， ，而 ，
， ，
，
，
，
，
在 中， ，
， ，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，
；
（3）如图，将△BCF顺时针旋转90°得到△NCM，过点C作CH⊥AB于H，过CM⊥GN于M，延长GN交AB于点D，
∴△CBF≌△CNG，∠CHF=∠CMN=90°，∠GCF=90°，
∴∠GNC=∠FBC，CF=CG，BF=NG=x，
又∵∠GNC+∠DNC=180°，
∴∠FBC+∠DNC=180°，
∴∠BDN=360°-（∠FBC+∠DNC）-∠ACB=90°，
∴四边形CMDH为矩形，
又∵∠GCM+∠GCH=∠MCH=90°，∠FCH+∠GCH=∠GCF=90°，
∴∠FCH=∠GCM，
在△FCH和△GCM中，
，
∴△FCH≌△GCM（AAS），
∴CM=CH，
∴矩形CMDH为正方形，
∴CM=DH=CH=DM，
又由（2）得：△GCE≌△FCE，
∴GE=FE=AB-AE-BF，
又∵在△ABC中，AC= ，BC= ，AB= =5，
∴GE=FE=5-x-y，
又∵S ABC= ，
△
∴CH=2，
∴DH=CM=CH=2，
又∵CN=BC= ，
∴点N为AC中点，
又∵DN∥CH，
∴DN为△ACH的中位线，即D为AH中点，
∴DH= ，AD=DH=2，∴GD=DN+GN=x+1，DE=AE-AD=y-2，
在△GDE中， ，
∴ ，整理可得： ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊四边形的
判定和性质等知识，通过旋转构造出全等三角形是解题的关键．
8．已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转 （ ），得到线段BE，连接EA，EC．
(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE
的面积为______；
(2)当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之
间的数量关系，并证明．
【答案】(1)135，
(2)①作图见解析，45°；②
【分析】（1）过点E作 于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得
，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出， ，继而可证明 ，便可求解；
（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得 ，再根据三角形内角和定理
及等腰三角形的性质求出 ，即可求解；
②过点B作 垂足为H，由等腰三角形的性质得到 ，再证明
即可得到 ，再推出 为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系．
【详解】（1）
过点E作 于点K
四边形ABCD是正方形
BE平分∠ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转 （ ），得到线段BE
，
，四边形ABCE的面积为
故答案为：135，
（2）①作图如下四边形ABCD是正方形
由旋转可得，
② ，理由如下：
如图，过点B作 垂足为H
，∠EBC的平分线BF交EC于点G为等腰直角三角形
即
【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰
三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述
知识点是解题的关键．
9．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且 ＝4，将B 绕点B逆时针旋转a°
得到BE（0°＜a＜180°）．
(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S BCE；
△
(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．
①求线段BF的取值范围；
②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；
(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直
接写出BN的最大值与最小值．
【答案】(1)S BCE=6；
△
(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；
(3)BN的最小值为 - ，BN的最大值为2 ．【分析】（1）如图1，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，根据题意求得∠EBF=180°-∠EBA-
∠ABC=180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC上的高EF=2，代入面积公式算出结果；
（2）①如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，可证得四边形BCKE是平行四边形，得出：
BE=CK= =4，BC=6，再运用三角形三边关系即可求得答案；
②可证 EKB≌△BGA（AAS），得出BK=AG，由AG=AD-DG，即可推出结论；
（3）连△接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，可证 ABE是等腰直角三角形，
△
得出：AE= AB=4 ，再由点P是AE的中点，可得：BP⊥AE，且BP=AP=EP=2 ，利用勾股定理得
BQ= ，当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-NQ= - ，当点S与点E重合时，EM=0，
PN=0，此时，BN的最大值=BP=2 ．
（1）
解：如图1，过点E作EH⊥BC交CB的延长线于点H，
∴∠EHC=90°，
∵∠ABC=60°，∠EBA=90°，
∴∠EBH=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，
∵点 在BC边上且 =4，将B 绕点B逆时针旋转α°得到BE，
∴BE=B =4，
∴EH= BE= ×4=2，
又∵BC=6，
∴S BCE= BC•EH= ×6×2=6；
△
（2）
解：①如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，∵EF=FC，BF=FK，
∴四边形BCKE是平行四边形，
∴BE=CK= =4，BC=6，
在 BCK中，BC-CK＜BK＜BC+CK，
∴6△-4＜BK＜6+4，
即2＜2BF＜10，
∴1＜BF＜5；
②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD BC，AD=BC，BE=AB，
∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，
∴∠EBK=∠A，
∵EK BC，
∴EK AD，
∴∠EKB=∠BGA，
在 EKB和 BGA中， ，
△ △
∴△EKB≌△BGA（AAS），
∴BK=AG，
由①知：BK=2BF，
又∵AG=AD-DG，
∴2BF=BC-DG；
（3）
解：连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，∵∠ABE=90°，AB=BE=4，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= AB=4 ，
∵点P是AE的中点，
∴BP⊥AE，且BP=AP=EP=2 ，
∵N是AM的中点，P是AE的中点，
∴PN是 AEM的中位线，
∴PN E△M，
∴∠ANP=∠AME=90°，
∵点Q是AP的中点，
∴QN=PQ= AP= ，
在Rt BPQ中，BQ= ，
△
当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-NQ= - ，
当点S与点E重合时，EM=0，PN=0，
此时，BN的最大值=BP=2 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题．
10．已知 为等边三角形，其边长为 ．点 是 边上一动点，连接 ．
(1)如图 ，点 在 边上且 ，连接 交 于点 ．
①求证： ；
②求 的度数；(2)如图 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得线段 ，连接 交 于点 ．设 ， ，求
与 的函数关系式；
(3)如图 ，在（2）的条件下，延长 至点 ，且 ，连接 ， 在点 运动过程中，当
的周长为 时，求 的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3) 或
【分析】（1）①根据 证明三角形全等即可；
②利用全等三角形的性质求解即可；
（2）如图 ，在 上截取 ，连接 ， ，证明四边形 是平行四边形，推出
，可得结论；
（3）如图 ，延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ≌ ，推出
， ， ，由 的周长为 ，推出
，推出 ，过点 作 ，则
， ，推出 ，根据勾股定理得，
，构建方程求出 ，即可解决问题．
（1）
①证明： 是等边三角形，
， ，，
≌ ，
；
②解：由①知， ≌ ，
，
，
；
（2）
如图 ，在 上截取 ，连接 ， ，
同（1）①的方法知， ，由旋转知， ， ，
，
由（1）②知， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
等边 的边长为 ，
，
，
，即 ；
（3）
如图 ，延长 至 ，使 ，连接 ．为等边三角形
∴ ， ，
，
，
，
，
，
，
≌ ，
， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长为 ，
，
，
过点 作 ，则 ， ，
，根据勾股定理得， ，
，解得 或 ，
当 时， ， ，
过点 作 于点 ，则 ， ，
，
．
当 时， ， ，
， ， ，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行
四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压
轴题．
11．（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°， ，连接BD，CE．求证：
．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且 ，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量
关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，
点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且
，AB＝5，连接BE，BF．求BE+ BF的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据已知条件直接证明 ，再证明 ，从而可得 ，设
，则 ,根据勾股定理求得 ,求得 ，即可得证；
（2）根据题意可知， ，设 则 ,求得 ,分别求得 ,根据
，即可求得；
（3）根据（2）的方法，旋转放缩 ,缩小为原来的 ，使得 的落点为 , 的落点为 ，过点
作 于点 , 交 的延长线于点 ，作点 关于 的对称点 ,连接 ,则
,当点 三点共线时，取等于号，接下来根据相似的性质分别求得各边
的长度，最后根据勾股定理求得 即可求得最小值
【详解】（1） ∠ADE＝∠ABC＝90°，即
设 ，则 ,
（2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且
将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，
，
，
三点共线，，设 则
（3）如图，设 ,将 绕 点逆时针旋转 ，并缩小为原来的 ，
使得 的落点为 , 的落点为 ，
过点 作 于点 , 交 的延长线于点 ，
作点 关于 的对称点 ,连接
则 ，
当点 三点共线时，取等于号由作图知: ， 且 ,
，AB＝5
,
四边形 是矩形在 中，
在 中， ，
四边形 是矩形， ,
四边形 是矩形
,
，
在 中，
的最小值为
【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，旋转放缩法构造相似三角形，线段和最值问题，勾股定理，
正确的作出图形和辅助线是解题的关键．
