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专题 8.5 球的外接和内切
题型一 长（正）方体的外接球
题型二 线面垂直模型
题型三 对棱相等模型
题型四 共斜边模型
题型五 球心在外心正上方模型
题型六 面面垂直模型
题型七 折叠模型
题型八 外接球的最值问题
题型九 内切球
题型一 长（正）方体的外接球
例1．（2023·河南·校联考模拟预测）棱长为2的正方体 的外接球的球心为
O，则四棱锥 的体积为（ ）
A． B． C．2 D．
例2．（2023·江苏·高一专题练习）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方
体的表面积为18，则这个球的体积为（ ）
A． B． C． D．
练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
，这个长方体外接球的面积是（ ）
A． B． C． D．
练习2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体 的底面是边长为2
的正方形，若 ，则该长方体的外接球的表面积为___________练习3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体 的底面是边长为
的正方形，若 ，则该长方体的外接球的表面积为__________.
练习4．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）已知长方体
中， ， ，若 与平面 所成的角的余弦值为 ，则该长方体外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九
章算术注》中，称一个正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱所组成的公共部分为“牟合方
盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比
应为 ，若“牟合方盖”的体积为 ，则正方体的体积为______，正方体的外接球的表
面积为______.
题型二 线面垂直模型
例3．（2023·湖南·校联考模拟预测）在直三棱柱 中，已知 ，
， ，则该三棱柱外接球的表面积为_______________．
例4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，已知二面角 的棱是
， ， ，若 ， ， ，且 ， ，则
二面角 的大小为______，此时，四面体 的外接球的表面积为______．练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）在矩形 中， 平面
，则 与平面 所成的角是_____．四棱锥 的外接球的表面
积为____．
练习7．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）在三棱锥 中，
平面 ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
练习8．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形 中， ，现
将 沿 折起，使异面直线 与 所成角为 ，且 为锐角，则折后三棱
锥 外接球的表面积为_________．
练习9．（2023春·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 ，点 为 上靠近 的三等分点，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
练习10．（2023春·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知三棱锥
的体积为6，且 .则该三棱锥外接球的表面积为______.
题型三 对棱相等模型
例5．（2022春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）已知三棱锥 中，
， ，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为
______.
例6．（2022春·山西朔州·高二朔州市朔城区第一中学校校考期末）已知 四点在半径为 的球面上，且 ， ， ，则三棱锥
的体积是__________．
练习11．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 中，对棱 ，
， ，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为
________.
练习12．（2023·全国·高三专题练习）在四面体 中，
，则四面体 外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
练习13．（2023·全国·高三专题练习）四面体 中， ，
，则此四面体外接球的表面积为 _____．
练习14．（2022秋·天津和平·高三天津二十中校考期中）已知 、 、 、 四点在半径
为 的球面上，且 ， ， ，则三棱锥 的体
积是______．
练习15．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥 中，
，若 均在半径为2的球面上，则 的最
大值为_________．
题型四 共斜边模型
例7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、
踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是
指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物
质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面
上有四个点 ， 平面 ，则该鞠（球）的表
面积为（ ）A． B． C． D．
例8．（2022·贵州贵阳·高一阶段练习）已知三棱锥 ，在底面 中，
， 面 ， ，则此三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
练习16．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知 为球 的
表面的四个点， 平面 ， ，则球 的表面积等于
__________.
练习17．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥 中， 平面 ， ，
．过点 分别作 ， 交 于点 ，记三棱锥
的外接球表面积为 ，三棱锥 的外接球表面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习18．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，边长为3的正方形 所在平面与矩
形 所在的平面垂直， ． 为 的中点， ，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
练习19．（2022·全国·高三校联考专题练习）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结
了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥
称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑
的组合体，已知 平面 ，四边形 为正方形， ， ，若鳖臑
的外接球的体积为 ，则阳马 的外接球的表面积等于
A． B． C． D．
练习20．（2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）已知三棱锥 的
各顶点都在同一球面上，且 平面 ，若该棱锥的体积为 ， ， ，
，则此球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
题型五 球心在外心正上方模型
例9．（2023·全国·校联考二模）在正四棱台 中，上､下底面边长分别为
，该正四棱台的外接球的表面积为 ，则该正四棱台的高为__________.
例10．（2023春·高一课时练习）正四面体 内接于半径为 的球，求正四面体的棱
长.练习21．（2022春·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）底面是正多边形，顶点
在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该
四棱锥的体积为 ，则该四棱锥的外接球的体积为_________．
练习22．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）埃及金字塔是地球上的古文明之一，
随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人
设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为 的正四棱锥，那
么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________ ．（注：球壳厚度不计）.
练习23．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）（多选）正三棱锥 的底面边长为
3，高为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥 的表面积为
C．三棱锥 的外接球的表面积为
D．三棱锥 的内切球的表面积为
练习24．（2023·海南海口·统考模拟预测）在正三棱锥 中， ，则
该三棱锥外接球的表面积为______.
练习25．（2023·全国·校联考模拟预测）在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC
的中点，若 ，且 ，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．题型六 面面垂直模型
例11．（2023春·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）三棱锥 中， ，
平面 平面 ， ．若三棱锥 的外接球体积的取值范围是
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面
平面BCD， ， 为等边三角形，且 ，则球O的表面积为
_______.
练习26．（2023·山东烟台·统考二模）（多选）三棱锥 中，底面 、侧面
均是边长为2的等边三角形，面 面 ，P为 的中点，则（ ）．
A．
B． 与 所成角的余弦值为
C．点P到 的距离为
D．三棱锥 外接球的表面积为
练习27．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在四棱锥 中，侧面 底面 ，
侧面 是正三角形，底面 是边长为 的正方形，则该四棱锥外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
练习28．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知长方体 的体积为16，
， 与 相交于点E，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
练习29．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）在菱形 中， ，，将 绕对角线 所在直线旋转至 ，使得 ，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
练习30．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥
中，平面 平面 ，底面 为矩形，且 ．若
与平面 所成的角为 ，则四棱锥 外接球的表面积为______．
题型七 折叠模型
例13．（2023·全国·高一专题练习）已知等边 的边长为2，将其沿边 旋转到如图
所示的位置，且二面角 为 ，则三棱锥 外接球的半径为
____________
例14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）在三棱锥 中， 是边长为6的等边
三角形， ，三棱锥 体积的最大值是__________；当二面角
为 时，三棱锥 外接球的表面积是__________.
练习31．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在菱形ABCD中， ， ，将
沿 折起，使得 ．则得到的四面体 的外接球的表面积为______．练习32．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形 的边长为2，且 ，沿
把 折起，得到三棱锥 ，且二面角 的平面角为 ，则三棱
锥 的外接球的表面积为___________.
练习33．（2023·四川成都·统考一模）已知边长为 的菱形 中， ，沿对角
线 把 折起，使二面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
练习34．（2023·全国·高三专题练习）在边长为 的菱形 中， ，将
绕直线 旋转到 ，使得四面体 外接球的表面积为 ，则此时二面
角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
练习35．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形 的边长为 ， ，将
沿对角线 翻折，使点 到点 处，且二面角 的平面角的余弦值为 ，
则此时三棱锥 的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为（ ）
A． B． C． D．
题型八 外接球的最值问题
例15．（2023·江西新余·统考二模）表面积为 的球内有一内接四面体PABC，其中平面
平面 ， 是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例16．（2023春·广东深圳·高一翠园中学校考期中）设A，B，C，D是同一个半径为5的
球的球面上四点， ， ，则三棱锥 体积的最大值为
___________.练习36．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）一封闭圆台上、下底面半
径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为______．
练习37．（2023·广东潮州·统考模拟预测）已知圆柱的侧面积为 ，其外接球的表面积为
，则 的最小值为_____________．
练习38．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知正三棱柱 所有顶点
都在球O上，若球O的体积为 ，则该正三棱柱体积的最大值为________.
练习39．（2023春·安徽·高三安徽省郎溪中学校联考阶段练习）如图，已知正四棱锥
的所有棱长均为4，平面 经过 ，则平面 截正四棱锥 的外接球
所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习40．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为 的球内切于圆锥，则该圆
锥的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型九 内切球
例17．（2023·山东泰安·统考模拟预测）将半径为 ，圆心角为 的扇形围成一个圆锥
（接缝处忽略不计），则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例18．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）在底面是边长为4的正方形
的四棱锥 中，点 在底面的射影 为正方形 的中心，异面直线 与所成角的正切值为 ，则四棱锥 的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
练习41．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，平面 平面 ，
为边长为1的等边三角形，底面 为矩形.若四棱锥 存在一个内切球
（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的
内切球），则内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
练习42．（2023春·全国·高三专题练习）已知正四棱锥 的底面边长为4，侧棱长
为 ，其内切球 与两侧面 ， 分别切于点 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
练习43．（2023春·全国·高三专题练习）若正四棱锥 内接于球O，且底面
过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．
练习44．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形 为平行四边形，
， ， ，现将 沿直线 翻折，得到三棱锥 ，若
，则三棱锥 的内切球表面积为_______．
练习45．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1， ，将
沿AC翻折，当三棱锥 表面积最大时，其内切球表面积为______.
