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第 7 讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
一、选择题
1.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(
)
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α相交
解析 ∵n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α.
⊂
答案 B
2.若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.在平面内 D.平行或在平面内
解析 ∵AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面.
则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
答案 D
3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则
下列点P中，在平面α内的是( )
A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1)
C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)
解析 逐一验证法，对于选项A，MP＝(1，4，1)，
∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，
∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.
答案 A
4.(2017·西安月考)如图，F是正方体ABCD－A B C D 的棱CD
1 1 1 1
的中点.E是BB 上一点，若D F⊥DE，则有( )
1 1
A.B E＝EB
1
B.B E＝2EB
1
C.B E＝EB
1
D.E与B重合
解析 分别以DA，DC，DD 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长
1
为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D (0，0，2)，设E(2，2，z)，D1F＝(0，1，－2)，DE＝
1
(2，2，z)，∵D1F·DE＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B E＝EB.
1
答案 A5.如图所示，在平行六面体ABCD－A B C D 中，点M，P，Q分
1 1 1 1
别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，
则：
①A M∥D P；
1 1
②A M∥B Q；
1 1
③A M∥平面DCC D ；
1 1 1
④A M∥平面D PQB .
1 1 1
以上说法正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，
∴A1M∥D1P，所以 A M∥D P，由线面平行的判定定理可知，A M∥面
1 1 1
DCC D ，A M∥面D PQB .①③④正确.
1 1 1 1 1
答案 C
二、填空题
6.(2017·武汉调研)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β
的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是
________.
解析 设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，
由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0 y＝z，
由m·AC＝0，得x－z＝0 x＝z，取x＝1，
⇒
∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.
⇒
答案 α∥β
7.(2016·青岛模拟)已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，
y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
解析 由条件得解得x＝，y＝－，z＝4，
∴x＋y＝－＝.
答案
8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD
＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面
ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的序号是________.
解析 ∵AB·AP＝0，AD·AP＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确.又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确.
由于BD＝AD－AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，
∴BD与AP不平行，故④错误.
答案 ①②③
三、解答题
9.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证
明：平面PQC⊥平面DCQ.
证明 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别
为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.
依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，
则DQ＝(1，1，0)，DC＝(0，0，1)，PQ＝(1，－1，0).
∴PQ·DQ＝0，PQ·DC＝0.
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC＝D，∴PQ⊥平面DCQ，
又PQ 平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
10.(2017·郑州调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
⊂
PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位
置，并证明；若不存在，说明理由.
(1)证明 ∵PA＝AD＝1，PD＝，∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.
又PA⊥CD，AD∩CD＝D，
∴PA⊥平面ABCD.
(2)解 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，
z轴建立空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，
C(1，1，0)，P(0，0，1)，
E，AC＝(1，1，0)，
AE＝.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则n＝(－1，1，－2).
假设侧棱PC上存在一点F，且CF＝λCP(0≤λ≤1)，
使得BF∥平面AEC，则BF·n＝0.
又∵BF＝BC＋CF＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，
∴BF·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，
∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点.
11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，
AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
A.(1，1，1) B.
C. D.
解析 设 AC 与 BD 相交于 O 点，连接 OE，由 AM∥平面
BDE，且 AM 平面 ACEF，平面 ACEF∩平面 BDE＝OE，
∴AM∥EO，
⊂
又O是正方形ABCD对角线交点，
∴M为线段EF的中点.
在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1).
由中点坐标公式，知点M的坐标.
答案 C
12.(2017·成都调研)如图所示，在正方体ABCD－A B C D 中，棱
1 1 1 1
长为a，M，N分别为A B和AC上的点，A M＝AN＝，则MN与
1 1
平面BB C C的位置关系是( )
1 1
A.相交 B.平行 C.垂直 D. 不能确定
解析 分别以C B ，C D ，C C所在直线为x，y，z轴，建立
1 1 1 1 1
空间直角坐标系，如图，∵A M＝AN＝a，
1
则M，N，
∴MN＝.
又C (0，0，0)，D (0，a，0)，
1 1
∴C1D1＝(0，a，0)，∴MN·C1D1＝0，∴MN⊥C1D1.
∵C1D1是平面BB C C的法向量，且MN⊄平面BB C C，∴MN∥平面BB C C.
1 1 1 1 1 1
答案 B
13.如图，正方体ABCD－A B C D 的棱长为1，E，F分别是棱
1 1 1 1
BC，DD 上的点，如果B E⊥平面ABF，则CE与DF的和的
1 1
值为________.
解析 以D A ，D C ，D D分别为x，y，z轴建立空间直角坐
1 1 1 1 1
标系，设CE＝x，DF＝y，
则易知E(x，1，1)，B (1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，
1
∴B1E＝(x－1，0，1)，∴FB＝(1，1，y)，
由于B E⊥平面ABF，
1
所以FB·B1E＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0 x＋y＝1.
答案 1
⇒
14.(2014·湖北卷改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A B C D 中，E，F，M，
1 1 1 1
N分别是棱AB，AD，A B ，A D 的中点，点P，Q分别在棱DD ，BB 上移动，且
1 1 1 1 1 1
DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2).
(1)当λ＝1时，证明：直线BC ∥平面EFPQ；
1
(2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存
在，说明理由.
(1)证明 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2，2，
0)，C (0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，M(2，1，2)，N(1，0，2)，BC1＝(－
12，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)，MN＝(－1，－1，0)，NP＝(－1，0，λ－2).
当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，
因为BC1＝(－2，0，2)，
所以BC1＝2FP，
即BC ∥FP.
1
而FP 平面EFPQ，
且BC ⊄平面EFPQ，
⊂1
故直线BC ∥平面EFPQ.
1
(2)解 设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由可得于是可取n＝(λ，－λ，1).
同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1).
则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，
即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.
故存在λ＝1±，使平面EFPQ⊥平面PQMN.
