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第 7 讲 解三角形应用举例
一、选择题
1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，
C两点之间的距离为( )
A. km B. km
C. km D.2 km
解析 如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，∴AC
＝2×＝(km).
答案 A
2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，
30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏
东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(
)
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析 如图所示，易知，
在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里).
答案 A
3.(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离
都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南
偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )
A.a km B. a km
C.a km D.2a km
解析 由题图可知，∠ACB＝120°，
由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB
＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km).
答案 B
4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船
从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，
水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A.8 km/h B.6 km/h
C.2 km/h D.10 km/h
解析 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为 km/h，由题意知
v
sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得 ＝6.
v
选B.
答案 B
5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平
面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，
CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等
于( )
A.5 B.15
C.5 D.15
解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，所以BC＝15.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
答案 D
二、填空题
6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东
15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方
向航行了 30分钟后到达 C处，又测得灯塔在海轮的北偏东
75°的方向，则海轮的速度为________海里/分.
解析 由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，
所以海轮航行的速度为＝(海里/分).
答案
7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮
台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两
条船相距________m.
解析 如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝
×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m).
答案 10
8.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高
为________m.
解析 如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA
＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝
(m).
在△ACD中，由余弦定理得，
AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，
∴CD＝AC＝(m).
答案
三、解答题
9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛
屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出
发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的
方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值.
解 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14海里/时.
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，
得＝，
即sin α＝＝＝.
10.(2015·安徽卷)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，
求AD的长.
解 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－
(－36)＝90，
所以a＝3.
又由正弦定理，得sin B＝＝＝，
由题设知0
