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格致课堂
第八章 立体几何初步
一、单选题
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．（1）是棱台 B．（2）是圆台
C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱
【答案】C
【解析】对于（1），由于几何体上下底面不相似，所以不是棱台，A选项错误.
对于（2），由于几何体上下底面不平行，所以不是圆台，B选项错误.
对于（3），几何体是棱锥，所以C选项正确.
对于（4），几何体有两个平面平行且全等，侧面都是平行四边形，故是棱柱，所以D选项错误.
故选：C.
2．若 为两条异面直线 外的任意一点，则（ ）
A．过点 有且仅有一条直线与 都平行
B．过点 有且仅有一条直线与 都垂直
C．过点 有且仅有一条直线与 都相交
D．过点 有且仅有一条直线与 都异面
【答案】B
【解析】因为若点 是两条异面直线 外的任意一点，则过点 有且仅有一条直线与 都垂直，选
B
3．如图，四棱柱 中， 分别是 、 的中点，下列结论中，正确的是（ ）格致课堂
A． B． 平面
C． 平面 D． 平面
【答案】D
【解析】连接 交 于 ，由于四边形 是平行四边形，对角线平分，故 是 的中点.因
为 是 的中点，所以 是三角形 的中位线，故 ，所以 平面 .故选D.
4．一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆柱底面半径为为r， ，格致课堂
则圆柱的高为 ，
其侧面积 ，根据二次函数性质，
当 时，侧面积取得最大值 .
故选：C
5．如图，三棱锥 中， ， ，M，N分别为
， 的中点，则异面直线 与 所成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
取 中点 ,连接 ,又因为 为 中点,故 ,故 与 所成角即为 与 所
成的角.由题得 ,又 为 的中点, , ,所以格致课堂
, .
故 ,又 .
又 ,故
所以异面直线 与 所成角余弦值为 .
故选：B.
6．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑
堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面
的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ，其中 ，若 ，当
“阳马”即四棱锥 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ，格致课堂
，当且仅当 时，取等号．
∴ ．
故选C．
7．三棱锥 中， 互相垂直， ， 是线段 上一动点，若直线 与
平面 所成角的正切的最大值是 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
是线段 上一动点，连接 ，∵ 互相垂直，∴ 就是直线 与平面 所
成角，当 最短时，即 时直线 与平面 所成角的正切的最大．
此时 ， ，在直角△ 中，
．
三棱锥 扩充为长方体，则长方体的对角线长为 ，
∴三棱锥 的外接球的半径为 ，
∴三棱锥 的外接球的表面积为 ．
选B.格致课堂
8．在三棱锥 中， 底面ABC， ，E，F分别为棱PB，PC的中点，过E，F的平
面分别与棱AB，AC相交于点D，G，给出以下四个结论：
① ；② ；③ ；④ .
则以上正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为E，F分别为棱PB，PC的中点，所以 ，可得 平面ABC，
平面EFGD与平面ABC的交线为DG，所以 ，故①正确；
当截面EFGD与棱AB的交点D是AB的中点时， ，否则PA与ED相交，故②错误；
由 底面ABC，可得 ，由 可得 ，又 ，
所以 ，所以 平面PAB，所以 ，故③正确；
只有当截面EFGD与AC的交点G是AC的中点时， ，此时可得 ，
否则AC与FG不垂直，故④错误.所以正确结论的个数是2.
故选： ．
二、多选题
9．已知两条直线 ， 及三个平面 ， ， ，则 的充分条件是（ ）．
A． ， B． ， ，
C． ，β∥γ D． ， ，
【答案】ABC
【解析】由面面垂直定理可以判断 正确，
对于选项 ， ， ， ，也可以得到 ，故 错.
故选： .格致课堂
10．在正四面体 中， ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，下面四个结论中正确的是（ ）
A． 平面 B． 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】ABD
【解析】
A． ､ 分别是 ､ 的中点，
，则 平面 ，故A正确．
B． ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，
， ，即 平面 ，
，
平面 ，故B正确．
D． ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，
， ，即 平面 ，
面 ，
平面 平面 ，
故D正确，
只有C错误，
故选：ABD．格致课堂
11．在三棱锥D-ABC中， ，且 ， ，M，N分别是棱BC，
CD的中点，下面结论正确的是（ ）
A． B． 平面ABD
C．三棱锥A-CMN的体积的最大值为 D．AD与BC一定不垂直
【答案】ABD
【解析】根据题意，画出三棱锥D-ABC如下图所示，取 中点 ，连接 ：
对于A，因为 ，且 ， ，
所以 为等腰直角三角形，
则 且 ，
则 平面 ，
所以 ，即A正确；
对于B，因为M，N分别是棱BC，CD的中点，
由中位线定理可得 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即B正确；
对于C，当平面 平面 时，三棱锥A-CMN的体积最大，
则最大值为 ，即C错误；格致课堂
对于D，假设 ，由 ,且 ,
所以 平面 ，则 ，
又因为 ，且 ，
所以 平面 ，由 平面 ，则 ，
由题意可知 ，因而 不能成立，因而假设错误，所以D正确；
综上可知，正确的为ABD，
故选：ABD.
12．如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则 （ ）
A．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 与 所成角的取值范围是
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
A B C D
【解析】对于选项A,连接 ,由正方体可得 ,且 平面 1 1 1 1,则 ,所以
平面 ,故 ；同理,连接 ,易证得 ,则 平面 ,故A正确；
对于选项B, ,因为点 在线段 上运动,所以 ,面积为定值,且 到平格致课堂
面 的距离即为 到平面 的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；
对于选项C,当点 与线段 的端点重合时, 与 所成角取得最小值为 ,故C错误；
对于选项D,因为直线 平面 ,所以若直线 与平面 所成角的正弦值最大,则直线 与直
线 所成角的余弦值最大,则 运动到 中点处,即所成角为 ,设棱长为1,在Rt DC B中,
1 1
△
,故D正确
故选：ABD
三、填空题
13．如图，点 在正方形 所在的平面外， ，则 与 所成角的度数为
____________.
【答案】
【解析】构造正方体 ，如图所示：格致课堂
显然 为等边三角形，则 ，
即PA与BD所成的角是 .
14．如图，在直角梯形 中， ，将 沿 折起，
使得平面 平面 .在四面体 中，下列说法正确的序号是____________.
①平面 平面 ，②平面 平面 ，③平面 平面 ，④平面 平面
【答案】②
【解析】∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB= BC=1，∠A＝90°，在 中，BD= ，
BC=2， ，由余弦定理得 ，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面
ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又由AD⊥AB， ∴AB⊥平面
ADC，又AB 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故填②．
⊂格致课堂
15．如图，在正方体 中，点 为线段 的中点.设点 在线段 上，直线 与平
面 所成的角为 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
由题意可得：直线OP于平面ABD所成的角α的取值范围是 ，
1
不妨取AB=2．在Rt AOA 中，sin∠AOA = ，
1 1
△
sin∠C OA=
1 1
，
∴ 的取值范围是 .
16．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为 的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的
实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则 的值为____________.格致课堂
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为 ，体积为 ，半球的体积为 ，水（小圆锥）的体积为 ，如图
则 ，所以 ， ，解得 ，
所以 ， ， ，
由 ，得 ，解得 .
故答案为：
四、解答题
17．图（1）为一个几何体的表面展开图.
（1）沿图中虚线将它折叠起来，是哪一种几何体？画出其空间图形.
（2）需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？若图（2）是棱长为6的正方体，试在图中
画出这几个几何体的一种组合情况.
【答案】（1）这个几何体是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱推，作图见解析（2）需要3个
这样的几何体，作图见解析
【解析】（1）这个几何体是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱推，如图（3）.格致课堂
（2）需要3个这样的几何体.如图（4），分别为四棱锥 ， ， （答
案不唯一）
18．如图，四棱锥 ， 平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形， ， ，
，E为PB中点.
（1）求证： 平面PCD；
（2）求证： .
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，
E为PB中点， ，且 ，
又 ， ，格致课堂
， ,
为平行四边形，即 ，
又 平面PCD， 平面PCD，
所以 平面PCD.
（2）由 平面ABCD，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
， 平面 ，
又 平面 ， .
19．如图所示，已知 平面 ， ， 分别是 ， 的中点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）若 ， ，求直线 与平面 所成的角.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】（1）因为 , 分别是 , 的中点,
所以 .格致课堂
又 平面 且 平面 ,
所以 平面 .
（2）因为 平面 , 平面 ,
所以 .
又 且 ,
所以 平面 .
又 平面 ,
所以平面 平面 .
（3）因为 平面 ,所以 为直线 与平面 所成的角.
在直角 中, , ,
所以 .
所以 .
故直线 与平面 所成的角为 .
20．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 面 ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ;
（2）设 ， ，三棱锥 的体积 ，求A到平面PBC的距离．格致课堂
【答案】（1）证明见解析 （2） 到平面 的距离为
【解析】(1）设BD交AC于点O，连结EO．
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB
又EO 平面AEC，PB 平面AEC
所以PB∥平面AEC．
（2）
由 ，可得 .
作 交 于 ．
由题设易知 ，所以
故 ，
又 所以 到平面 的距离为
法2：等体积法
由 ，可得 .
由题设易知 ,得BC格致课堂
假设 到平面 的距离为d，
又因为PB=
所以
又因为 (或 )，
，
所以
21 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 ， ， ，
， ，点 为棱 的中点.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正切值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
【解析】（1）如图，取 中点 ，连接 .格致课堂
由于 分别为 的中点， 故 ，且 ，又由已知，可得 且
，故四边形 为平行四边形，所以 .
因为 底面 ，故 ，而 ，从而 平面 ，因为 平面 ，
于是 ，又 ，所以 .
（2）连接 ，由（Ⅰ）有 平面 ，得 ，
而 ，故 .
又因为 ， 为 的中点，故 ，从而 ，所以 平面 ，
故平面 平面 .
所以直线 在平面 内的射影为直线 ，
而 ，可得 为锐角，
故 为直线 与平面 所成的角.
依题意，有 ，而 为 中点，可得 ，进而 .
故在直角三角形 中，
与平面 所成的角的正切值为
所以直线格致课堂
22．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，点 在面 内的射影为 ，
，点 到平面 的距离为 ，且直线 与 垂直．
（Ⅰ）在棱 上找一点 ，使直线 与平面 平行，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角 的大小．
【答案】（Ⅰ）点 为 中点时直线 与平面 平行，证明详见解析；（Ⅱ） ．
【解析】（Ⅰ）点 为 中点时直线 与平面 平行，
证明：连接 ，交 于点 ，则点 为 的中点，因为点 为 中点，
故 为 的中位线，则 ， 平面 ， 平面 ，所以 与平面 平
行．
（Ⅱ）根据题意 ， 底面 ， 底面 ，则有 ，
，所以 平面 ，
由（Ⅰ）可知 ，又 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
取 中点 ，连接 ，由于 是 中点，则 ， ，
∴ 为二面角 的平面角，其为钝角，
那么 ， 所成的角即为二面角 的补角，格致课堂
等腰直角 中， ，
因此二面角 的大小为 ．
