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第 4 节 直线、平面平行的判定与性质
考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面
平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关
空间图形的平行关系的简单命题.
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
a⊄α，
判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条 b α，
定理 直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥b
⊂
a∥α
⇒
a∥α，
一条直线和一个平面平行，如果过该直
性质 a β，
线的平面与此平面相交，那么该直线与
定理 α∩β＝
⊂
交线平行.
b a∥b
2.平面与平面平行
⇒
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示
a β，
如果一个平面内的两条相交直
判定 b β，
⊂
线与另一个平面平行，那么这
定理 a∩b＝P，
⊂
两个平面平行
a∥α，b∥α α∥β
两个平面平行，则其中一个平 ⇒
性质 α∥β，a α a∥β
面内的直线平行于另一个平面
⊂ ⇒
两个平面平行，如果另一个平
性质 α∥β，α∩γ＝a，
面与这两个平面相交，那么两
定理 β∩γ＝b a∥b
条交线平行
⇒
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2.三种平行关系的转化
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
或在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.
2.下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )
A.直线a上有无数个点不在平面α内
B.直线a与平面α内的所有直线平行
C.直线a与平面α内无数条直线不相交
D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
答案 D
解析 因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此 a和平面α内的任意
一条直线都不相交，故选D.
3.(2022·昆明诊断)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是
“α∥β”的( )
⊂
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据m α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交
线平行即可得到m∥β；
⊂
反之，α∥β，m α，所以 m 和 β 没有公共点，所以 m∥β，即由 α∥β 能得到
m∥β.
⊂
所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
4.(2021·太原质检)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
⊂
D.存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
⊂ ⊂
答案 D
⊂ ⊂
解析 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A；
若α∩β＝l，a α，a∥l，则a∥β，故排除B；
若α∩β＝l，a α，a∥l，b β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C；
⊂
故选D.
⊂ ⊂
5.在正方体ABCD－A B C D 中，下列结论正确的是________(填序号).
1 1 1 1①AD ∥BC ；
1 1
②平面AB D ∥平面BDC ；
1 1 1
③AD ∥DC ；
1 1
④AD ∥平面BDC .
1 1
答案 ①②④
解析 如图，
因为AB綉C D ，
1 1
所以四边形AD C B为平行四边形.
1 1
故AD ∥BC ，从而①正确；
1 1
易证BD∥B D ，AB ∥DC ，
1 1 1 1
又AB ∩B D ＝B ，BD∩DC ＝D，
1 1 1 1 1
故平面AB D ∥平面BDC ，从而②正确；
1 1 1
由图易知AD 与DC 异面，故③错误；
1 1
因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BDC ，BC 平面BDC ，
1 1 1 1 1 1
所以AD ∥平面BDC ，故④正确.
1 1 ⊂
6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形
EFGH的形状为________.
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.考点一 直线与平面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定
例1 如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD
上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
证明 法一 如图所示，作 PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接
MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，
又PM∥AB∥QN，
∴＝＝＝，∴＝.
又AB綉DC，∴PM綉QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴PQ∥MN.
又MN 平面BCE，PQ⊄平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
⊂
法二 如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM.
则PM∥平面BCE，∵PM∥BE，
∴＝，又AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，
∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，
∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，
∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ 平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
角度2 直线与平面平行的性质
⊂
例 2 (2022·许昌质检)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，
AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的
点.
(1)若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点；
(2)求点C到平面PBD的距离.
(1)证明 因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
⊂
因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，
又因为BC 平面PBC，所以BC∥PM，
因为EF∥平面PAD，EF 平面PBC，
⊂
所以EF∥PM，从而得EF∥BC.
⊂
因为E为PB的中点，所以F为PC的中点.
(2)解 因为PA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，
所以PB＝＝2，PD＝＝2，
BD＝＝2，
所以S ＝PB·＝6.
△DPB
设点C到平面PBD的距离为d，由V ＝V ，得S ·d＝S ·PA＝××BC×AB×PA，
C－PBD P－BCD △DPB △BCD
则6d＝×2×2×2，解得d＝.
感悟提升 1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b α，a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
⊂ ⇒
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α a∥β).
⊂ ⇒
2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作
⇒
辅助平面确定交线.
训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段
EF的中点.
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置
关系，并证明你的结论.
(1)证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，
所以AM∥OE.
又因为OE 平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
⊂
(2)解 l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
⊂又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
⊂
例3 如图，四棱柱ABCD－A B C D 的底面ABCD是正方形.
1 1 1 1
(1)证明：平面A BD∥平面CD B ；
1 1 1
(2)若平面ABCD∩平面B D C＝l，证明：B D ∥l.
1 1 1 1
证明 (1)由题设知 BB 綉 DD ，所以四边形 BB D D 是平行四边形，所以
1 1 1 1
BD∥B D .
1 1
又BD⊄平面CD B ，B D 平面CD B ，
1 1 1 1 1 1
所以BD∥平面CD B .
1 1 ⊂
因为A D 綉B C 綉BC，
1 1 1 1
所以四边形A BCD 是平行四边形，
1 1
所以A B∥D C.
1 1
又A B⊄平面CD B ，D C 平面CD B ，
1 1 1 1 1 1
所以A B∥平面CD B .
1 1 1 ⊂
又因为BD∩A B＝B，BD，A B 平面A BD，所以平面A BD∥平面CD B .
1 1 1 1 1 1
(2)由(1)知平面A BD∥平面CD B ，
1 1⊂1
又平面ABCD∩平面B D C＝l，
1 1
平面ABCD∩平面A BD＝BD，
1
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－A B C D 中，四边形BDD B 为平行四边形，
1 1 1 1 1 1
所以B D ∥BD，所以B D ∥l.
1 1 1 1
感悟提升 1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两
条直线是相交直线.训练2 如图，在三棱柱ABC－A B C 中，E，F，G分别为B C ，A B ，AB的中
1 1 1 1 1 1 1
点.
(1)求证：平面A C G∥平面BEF；
1 1
(2)若平面A C G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.
1 1
证明 (1)∵E，F分别为B C ，A B 的中点，∴EF∥A C ，
1 1 1 1 1 1
∵A C 平面A C G，EF⊄平面A C G，
1 1 1 1 1 1
∴EF∥平面A C G，
⊂ 1 1
又F，G分别为A B ，AB的中点，ABB A 为平行四边形，
1 1 1 1
∴A F＝BG，且A F∥BG，
1 1
∴四边形A GBF为平行四边形，
1
则BF∥A G，
1
∵A G 平面A C G，BF⊄平面A C G，
1 1 1 1 1
∴BF∥平面A C G，
⊂ 1 1
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A C G∥平面BEF.
1 1 ⊂
(2)∵平面ABC∥平面A B C ，平面A C G∩平面A B C ＝A C ，平面A C G与平
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
面 ABC 有公共点 G，则有经过 G 的直线，设交 BC 于点 H，则 A C ∥GH，得
1 1
GH∥AC，
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点.
考点三 平行关系的综合应用
例4 如图，在正方体ABCD－A B C D 中，P，Q分别为对角线BD，CD 上的点，
1 1 1 1 1
且＝＝.(1)求证：PQ∥平面A D DA；
1 1
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面 PQR∥平面A D DA？请给出证
1 1
明.
(1)证明 连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD ，
1
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以＝＝，
又因为＝＝，所以＝＝，
所以PQ∥MD .
1
又MD 平面A D DA，PQ⊄平面A D DA，
1 1 1 1 1
故PQ∥平面A D DA.
⊂ 1 1
(2)解 当的值为时，能使平面PQR∥平面A D DA.
1 1
如图，证明：因为＝，
即＝，故＝.所以PR∥DA.
又DA 平面A D DA，PR⊄平面A D DA，
1 1 1 1
所以PR∥平面A D DA，
⊂ 1 1
又PQ∥平面A D DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
1 1
所以平面PRQ∥平面A D DA.
1 1 ⊂
感悟提升 三种平行关系的转化训练3 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是
AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为
平行四边形，所以O为AE的中点.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
⊂
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，
又DE⊄平面MNG，NG 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
⊂
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD⊄平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
⊂
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.1.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α，β平行于同一条直线
D.α，β垂直于同一平面
答案 B
解析 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当α内无数条直线互相平行时，
α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若
α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均
不是α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交
直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是α∥β的充
要条件.
2.下列命题中正确的是( )
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，
两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确.
3.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和
直线AC的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.AC在此平面内 D.平行或相交
答案 A
解析 把这三条线段放在正方体内可得如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，
∵EF 平面EFG，
⊂故AC∥平面EFG.
4.(2021·兰州诊断)如图所示的三棱柱ABC－A B C 中，过A B 的平面与平面ABC
1 1 1 1 1
交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
答案 B
解析 在三棱柱ABC－A B C 中，AB∥A B ，
1 1 1 1 1
∵AB 平面ABC，A B ⊄平面ABC，
1 1
∴A B ∥平面ABC.
1 ⊂1
∵过A B 的平面与平面ABC交于DE，
1 1
∴DE∥A B ，∴DE∥AB.
1 1
5.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面 α平行的棱有(
)
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
答案 C
解析 如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，
则EF∥GH.
∵EF⊄平面BCD，GH 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
⊂
又∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.
又EF 平面EFGH，CD⊄平面EFGH.
⊂
∴CD∥平面EFGH，
⊂
同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.
6.(2022·郑州模拟)如图，四棱柱ABCD－A B C D 中，四边形ABCD为平行四边
1 1 1 1
形，E，F 分别在线段 DB，DD 上，且＝＝，G 在 CC 上且平面 AEF∥平面
1 1
BD G，则＝( )
1
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，则△DEH∽△BEA，所以＝＝.
因为平面 AEF∥平面 BD G，平面 AEF∩平面 CDD C＝FH，平面 BD G∩平面
1 1 1
CDD C ＝D G，所以 FH∥D G.又四边形 CDD C 是平行四边形，所以
1 1 1 1 1 1
△DFH∽△C GD ，所以＝，因为＝＝，所以＝，因为＝，所以FD ＝C G，DF
1 1 1 1
＝CG，所以＝，故选B.
7.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，
n γ，且____________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使
该命题为真命题.
⊂
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________(填序号).
⊂ ⊂
答案 ①或③
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平
行或异面，②错误；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，
所以m∥n，③正确.
⊂
8.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在
棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.答案 ①④
解析 ①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
在②③中不能判定AB∥平面MNP.
9.在正四棱柱ABCD－A B C D 中，O为底面ABCD的中心，P是DD 的中点，
1 1 1 1 1
设Q是CC 上的点，则点Q满足条件________时，有平面D BQ∥平面PAO.
1 1
答案 Q为CC 的中点
1
解析 如图所示，设Q为CC 的中点，因为P为DD 的中点，所以QB∥PA.连接
1 1
DB，因为P，O分别是DD ，DB的中点，所以D B∥PO，又D B⊄平面PAO，
1 1 1
QB⊄平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，所以D B∥平面PAO，QB∥平面
1
PAO，又D B∩QB＝B，D B，QB 平面D BQ，所以平面D BQ∥平面PAO.故Q
1 ⊂ 1 ⊂ 1 1
为CC 的中点时，有平面D BQ∥平面PAO.
1 1 ⊂
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线
段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明 (1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD，E为AD中点，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四边形ABCE是平行四边形，
所以O为AC的中点.
又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，
因为FO 平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
⊂
(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，
因为PD 平面PAD，FH⊄平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
⊂
又因为O是BE的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，
因为AD 平面PAD，OH⊄平面PAD，
所以OH∥平面PAD.
⊂
又FH∩OH＝H，FH，OH 平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
⊂
又因为GH 平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
⊂
11.(2022·百校大联考)已知在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，
AB∥DC，DC＝2AB，Q为PC的中点.(1)求证：BQ∥平面PAD；
(2)若 PD＝3，BC＝，BC⊥BD，试在线段 PC 上确定一点 S，使得三棱锥 S－
BCD的体积为.
(1)证明 取PD的中点G，连接AG，GQ，
因为Q为PC的中点，
所以GQ∥DC，且GQ＝DC，
又因为AB∥DC，DC＝2AB，
所以GQ∥AB，GQ＝AB，
所以四边形ABQG是平行四边形，
所以BQ∥AG，
又BQ⊄平面PAD，AG 平面PAD，
所以BQ∥平面PAD.
⊂
(2)解 因为在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，
所以点B在线段CD的垂直平分线上，
又因为BC＝，BC⊥BD，
所以BD＝BC＝，
所以△BCD的面积S＝××＝1.
设点S到平面ABCD的距离为h，
所以×1×h＝，所以h＝2，
又PD⊥平面ABCD，PD＝3，
所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.
12.《九章算术·商功》记载了一个古代数学名词“堑堵”.即两底面为直角三角
形的直棱柱，亦即长方体的斜截平分体.如图所示，堑堵(即直三棱柱)ABC－DEF中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AD＝4，G是FC的中点，则下列说法错误的是(
)
A.点D到平面AGE的距离为
B.平面ABC内存在直线平行于平面AEG
C.三角形AGE为直角三角形
D.BE与AG的夹角为
答案 D
解析 设点 D 到平面 AGE 的距离为 h，则由 V ＝V 可知 h·×2×2＝
D－AGE E－ADG
×2××2×4，则h＝，A正确；
取ED，EA的中点M、N，连接MN，FM，GN，则MN∥FG，MN＝FG，
∴四边形MNGF为平行四边形，∴MF∥NG，
∵MF⊄平面AGE，NG 平面AGE，
∴MF∥平面AGE，而MF 平面DEF，平面ABC∥平面DEF，B正确；
⊂
依题意可知，AG＝2，EG＝2，EA＝2，∴AG2＋EG2＝EA2，∴AG⊥GE，
⊂
∴△AGE为直角三角形，C正确；
∵BE∥CG，∴∠AGC即为BE与AG所成的角(或其补角)，
∵G为CF的中点，CF＝AD＝4，AC＝2，
∴AC＝CG，
又CF⊥平面ABC，∴∠AGC＝，D错误.
13.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A B C D 中，M，N分别是A D ，A B 的
1 1 1 1 1 1 1 1
中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为
________.
答案解析 如图 1，分别取 B C ，C D 的中点 E，F，连接 EF，BE，DF，B D ，
1 1 1 1 1 1
ME，易知EF∥B D ∥BD，AB∥ME，AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边
1 1
形，则AM∥BE，又BD和BE为平面BDFE内的两条相交直线.
图1 图2
所以平面AMN∥平面BDFE，
即平面BDFE为平面α，BD＝，EF＝B D ＝，得四边形BDFE为等腰梯形，DF
1 1
＝BE＝，
在等腰梯形BDFE如图2中，
过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，
∴其高FG＝＝＝，
故所得截面的面积为
××＝.
14.如图，直四棱柱ABCD－A B C D 的底面是菱形，AA ＝4，AB＝2，∠BAD＝
1 1 1 1 1
60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点.
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(1)证明：MN∥平面C DE；
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(2)求点C到平面C DE的距离.
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(1)证明 如图，连接B C，ME.
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因为M，E分别为BB ，BC的中点，
1所以ME∥B C，且ME＝B C.
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又因为N为A D的中点，所以ND＝A D.
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由题设知A B 綉DC，
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可得B C綉A D，故ME綉ND，
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因此四边形MNDE为平行四边形，
所以MN∥ED.
又MN⊄平面C DE，DE 平面C DE，
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所以MN∥平面C DE.
1 ⊂
(2)解 过点C作C E的垂线，垂足为H.
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由已知可得DE⊥BC，DE⊥C C，
1
又BC∩C C＝C，BC，C C 平面C CE，
1 1 1
所以DE⊥平面C CE，
1 ⊂
故DE⊥CH.所以CH⊥平面C DE，
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故CH的长即为点C到平面C DE的距离.
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由已知可得CE＝1，C C＝4，
1
所以C E＝，故CH＝.
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从而点C到平面C DE的距离为.
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