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03 立体几何（30题）
常用公式
1.斜二测画法:
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
侧面展开图 侧面积公式 表面积 体积
圆
1
棱柱
柱 S 圆柱侧＝2πrl S 表＝S 侧＋2S底 V＝Sh
圆柱
圆 S 圆锥侧 ＝πrl S ＝S ＋S
表 侧 底
锥 圆锥
圆 棱台
台
S 圆台侧 ＝π(r1 圆台 S表＝S
侧
＋S
上
＋S
下
＋r2)l
棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面 球 2
S＝4πR
的面 积--不外乎三角形面积,平行四边形面
积
3. 平行
图形 符号 应用
线面平行的判定 线线平行
线面平行
线面平行的性质 线面平行
线线平行
面面平行的判定 线面平行
面面平行
面面平行的性质 面面平行
线线平行
面面平行
线面平行
4 .垂直
图形 符号 应用
线面垂直的判 线线垂直
定 线面平行
线面垂直的性 线面垂直
质 线线平行
面面垂直的判 线面垂直
定 面面垂直
面面垂直的性 面面垂直
质 线面垂直线面垂直
线线垂直
一、点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量AP在直线l上的投影向量为⃗AB
＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
二、点到平面的距离
已知平面 的法向量为 , 是平面 内的任一点， 是平面 外一点,过点 作则平面 的垂线 ，交平面
于点 ,则点 到平面 的距离为 （如图）.
三、异面直线所成角
若 分别为直线 的方向向量， 为直线 的夹角，则 .
四、直线与平面所成角
1、夹角定义：设 是直线 的方向向量, 是平面 的法向量,直线与平面的夹角为 .则 .
五、平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为这两个平面的
夹角.
若 分别为平面 的法向量， 为平面 的夹角，则 .
基础通关练
1．（2026·河北沧州·二模）如图，四棱锥 中，底面 是梯形， ， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ,求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
22．（2026·山东·模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面
为等腰梯形，且 为 的中点．
(1)求直线 与平面 的夹角；
(2)若 ，平面 与 交于点 ，求线段 的长度．
3．（2026·广东·一模）如图，平面 平面 ，四边形 与 都是直角梯形，
．
(1)求证： ， ， ， 四点共面；
(2)设 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
4．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为2的正方
形， 为 中点，且 ．
3(1)求证： 平面 ；
(2)已知 为线段 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
5．（2026·江西九江·一模）如图，四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，且平面
平面 ， .
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
6．（2026·新疆·一模）如图，在三棱锥 中， 两两垂直，
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求二面角 的余弦值．
7．（2026·山东·一模）已知正方体 ，E，F分别是 ， 的中点，如图所示．
4(1)求 与 所成角的大小；
(2)求证： 平面 ．
8．（2026·上海长宁·一模）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ， ，
， ，直线 与平面 所成的角的大小为 ．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)点 在线段 上，直线 平面 ，求二面角 的余弦值．
9．（2026·江西抚州·二模）如图，在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， .
(1)证明：平面 平面 .
(2)求点 到平面 的距离.
(3)求平面 和平面 夹角的余弦值.
10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，直三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ，
5的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
中档提升练
11．（2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥 中， ，平面 平面 ，平面 平
面 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正切值为2，求三棱锥 的体积.
12．（2026·江西九江·二模）如图，在圆台 中，上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，轴截面为四边形
6， 在下底 上， ， 为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
13．（2026·河北·二模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，侧面 为正三角
形，平面 平面 ，点 为棱 上一点， 分别为 中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点 为 中点，点 关于平面 的对称点为点 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
14．（2026·甘肃金昌·三模）如图，在四棱柱 中， ，底面 是边长为1的正方形，
，点 是 上异于 的一点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若点E是 上的点， ， ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
715．（2026·江西·三模）如图，在直三棱柱 中， ，且
．
(1)证明： 平面 .
(2)在答题卡上，作出平面 与AC的交点，并说明你的理由.
(3)求平面 与平面 夹角的正切值.
16．（2026·甘肃金昌·三模）如图，在 中， 是 的中点， 是 上的点，
.将 沿 折起，使点 至点 处，且二面角 的大小为 ，设 是 上靠近 的三等分
点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
17．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知梯形 中， ，点 是 的中
点，将 沿 折起到 的位置，使二面角 的大小为 ．
8(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求二面角 的正弦值．
18．（2026·江西·三模）如图，平面四边形 中 且 ，
绕 旋转到 的位置，使得 且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求四棱锥 的高；
(3)求二面角 的正弦值.
19．（2026·上海·二模）如图，在底面半径为2，侧面积为 的圆锥
中，A、B、C为底面圆周上不同的三个点，
(1)求直线OB与平面PAC所成角的正弦值
(2)设点D为线段PB上的动点（不含端点P和B），求证直线OA与CD不垂直
20．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，在平行六面体 中，底面 是边长为1的正方
9形， ， ， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的大小.
冲刺满分练
21．（2026·广东中山·三模）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，
， .以 为直径的球面分别交 ， 于 ， 两点（ ， 异于所在棱端点）.
(1)证明： 平面 ；
(2)求异面直线 与 的夹角；
(3)求三棱锥 的体积.
22．（2026·天津·二模）如图，在四棱台 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方
10形， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)已知点 在棱 上，且三棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
23．（2026·河北邢台·二模）如图，在平行六面体 中，底面 为菱形且 ， 与
底面 所成角为 ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值；
(3)若 ，求三棱锥 外接球的体积.
1124．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，在梯形 中， ， ， 的中点且 ，
的内角 的对边分别为 ，且满足 ，点 为边 上一点，当
面积最大时，将 沿 翻折得到四棱锥 （如图2），点 为线段 的中点．
(1)若 ，求 的长；
(2)若四棱锥 的体积等于2，是否存在点N使得MN与平面PBC所成角的余弦值为 ，若存在，求出点
N位置，若不存在，请说明理由．
25．（2026·河南·模拟预测）如图，四棱锥 的底面为矩形， ， ，平面 平面
ABCD．
(1)若 ， ，
①求四棱锥 的体积；
②求平面APD与平面CPD的夹角的余弦值．
(2)设点B在直线AP上的射影为H，点H到平面ABCD的距离为d，求 的最大值．
1226．（2026·河南开封·二模）如图，在三棱锥 中，点E，F分别在棱 ， 上， 平面 ，
平面 ．
(1)证明： ；
(2)记直线 与平面 所成的角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，证明： 为定值；
(3)若 ，E为线段 的中点，设平面 与平面 的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面
的距离的最大值．
27．（2026·山东聊城·二模）在梯形 中， ， ， 、 分别是 、 的中点， ，
，如图1所示．沿 将梯形 折起，得到一个多面体 ，如图2所示．
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，
①求多面体 的体积；
②求直线 与平面 所成角的正弦值．
1328．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图1，在直角梯形ABCD中，已知 ， ，将
沿BD翻折，使平面 平面BCD.如图2， 的中点为O.
(1)求证： 平面BCD；
(2)若AD的中点为G，线段AC上靠近A点的三等分点为H.
（i）求平面 与平面 夹角的余弦值.
（ii）设平面 内一动点为P，当线段PD与线段PC的长度之和最小时，求直线PC与平面 成角的正弦值.
29．（2026·重庆渝中·模拟预测）如图，在棱长为4的正四面体 中， 分别为棱 、 、 上的
点，且 ， ， ， ， .
(1)若 ， .
（i）证明： ；
（ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)若 满足 ，设四面体 的体积为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.（注：当
时，四面体 的体积记为 ）.
1430．（2026·重庆·模拟预测）如图，在四面体 中， ， ， ， 与 间的距离为
（即与 、 同时垂直相交的线段长为 ），且 .
(1)求证： ；
(2)若这个四面体被平行于棱 、 的平面 截成两部分，设 、 到平面 的距离比为 ，求证：这个四面
体被平面 分成的两部分（棱 和 交四面体组成的五面体与棱 和 交四面体组成的五面体）的体积比是
.
15
