文档内容
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
(精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．已知两圆分别为圆 和圆 ，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
由题意得，圆 圆心 ，半径为7；圆 ，圆心 ，半径为4，
两圆心之间的距离为 ，因为 ，故这两圆的位置关系是相交.
故选：B.
2．已知圆 与直线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
圆的标准方程是 ，圆心为 ，半径为2，所以 ，解得 ．
故选：A．
3．已知圆 ： ，圆 ： ，若圆 与圆 内切，则实数a的值
是（ ）
A． B．2 C． 或2 D．1或
【答案】C
由题可知圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ，因为圆 与圆 内切，所以
，解得 或 ．
故选：C．
4．直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D圆 的圆心为 ,半径 ,
直线 的方程化为一般形式为 .
，设圆心到直线 的距离为 ，则 ，
，解得 .
故选：D.
5．已知 是圆 内一点，则过点 最短的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
圆 ，即 ，则该圆的半径为 ，圆心为 ，
M到圆心的距离 ，
过点 最短的弦长为 = ．
故选：A
6．已知圆C： 和两点 ， 若圆C上存在点P，使得 为直角，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
圆C： 的圆心 ，半径为1，
由 ，可知点P在以AB为直径的圆M上，圆心 ，半径为m．
点P在圆C上，即圆C和圆M有交点，
，
又 ，解得： ．
故选：B．
7．已知点 分别为圆 与圆 的任意一点，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B的圆心为 ,半径 ，
的圆心为 ,半径 ，
圆心距 ，
∴两圆相离，
∴ ，
故选：B.
8．若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
方程 是恒过定点 ，斜率为k的直线，
曲线 ，即 ，是圆心为 ，半径 在直线 及右侧的半圆，
半圆弧端点 ，在同一坐标系内作出直线 与半圆C： ，如图，
当直线 与半圆C相切时，由 得切线PT的斜率 ，
当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C均有两个公共点，
包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点，直线PA的斜率 ，
所以直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 .
故选：A
二、多选题
9．若直线 与曲线 有公共点，则实数m可以（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
解：由题知 ，两边平方整理得 ，
所以，曲线 是以 为圆心，半径为2左半圆，如图，
当直线 与曲线 相切时，由 ，解得 ，
当直线过点 时， ，
所以，结合图形可知，实数m的取值范围是： ．
故实数m可以为 内的任意值.
故选：BC
10．阿波罗尼斯 古希腊数学家，约公元前 年 的著作 圆锥曲线论 是古代世界光辉的科学成果，
它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距
离的比为常数 且 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆C：
和点 ，若圆C上存在点P，使 其中O为坐标原点 ，则t的取值可
以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB设 ，由 得 ，
整理得 ，即 ，
依题意可知，圆 与圆 有交点，
两圆圆心分别为 和 ，两圆半径分别为 和 ，
圆心距为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 的取值可以是 和 .
故选：AB
三、填空题
11．直线l过点 截圆 所得的弦长等于 ，则直线l的方程是___________．
【答案】 或
因为圆的半径为2，弦长为 ，所以圆心 到直线l的距离 ，
当直线l斜率不存在时， ，满足题意；
当直线l斜率存在时，设 ，由圆心到直线距离为1得 解得 ，所以l的
方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
12．已知圆 ： ，圆 ： ， 、 分别是圆 ， 上动点 是
轴上动点，则 的最大值是_________.
【答案】 ##
由题设， 且半径 ， 且半径 ，
所以 ，即圆 包含圆 ，
又 、 分别是圆 ， 上动点 是 轴上动点，
要使 的最大， 共线且 在 的两侧，
所以 .
故答案为：
四、解答题
13．已知圆M的圆心在直线 上，圆M与y轴相切，且圆M截x轴正半轴所得弦长为 ．(1)求圆M的标准方程；
(2)若过点 且斜率为k的直线l交圆M于A、B两点，且点 ，当 的面积为 ，求直线
l的方程．
【答案】(1) ；(2) .
(1)设圆M的圆心 ，半径为r，则由已知可得 ，
所以 ，所以圆的方程为 ．
(2)根据题意，设直线l的方程为 ，
则圆心M到直线l的距离 ，则 ，
又由 ，则P到直线l的距离 ，
若 的面积为 ，则有 ，
解可得： ，则直线l的方程为 ．
14．如图，圆 ，点 为直线 上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点
分别为A，B.
(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；
(2)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S､T两点，求 的最小值.
【答案】(1)） ，直线 过定点 (2)
(1) ， ，∴故以P为圆心，以 为半径的圆P的方程为 ，
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，
直线AB的方程为 ，
即 ，所以 ，所以直线AB过定点 .
(2)设切线方程为 ，即 ，
故 到直线 的距离 ，即 ，
设PA，PB的斜率分别为 ， ，则 ， ，
把 代入 ，得 ，
，
当 时， 取得最小值 .
B 能力提升
1．设点 为直线 上一点，则由该点向圆 所作的切线长的最小值是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
解：由题知 ，
圆化简为： ，则圆心 ，半径为 ，
所以由点 向圆所作的切线长为：
，
当 时，切线长取得最小值4.
故选：C.
2．若圆 上恰有2个点到直线 的距离为1，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A因为圆心 到直线 的距离 ，
故要满足题意，只需 ，解得 .
故选：A.
3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 ( )的点的轨迹是
圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xoy中，已知 ， ，点P满足 ，
设点P的轨迹为圆C，下列结论中正确的个数是( )
①圆C的方程是
②过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为60°
③过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为
④在直线 上存在异于A，B的两点D，E，使得
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
①．在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ，
设 ，则 ，
化简可得圆 的方程为 ，故①正确；
②．圆心 ，半径为4，∴ ，
过点 向圆 引切线，设切点为 ， ，
则 ，∴ ，
∴ ，故②正确；
③．过点 作直线 ，若圆 上恰有三个点到直线 距离为2，
可设直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离为2，
即 ，解得 ，故③错误；
④．当 ， 时， ，故④正确．
故选：C．4．若直线 与曲线 ． 仅有一个公共点， 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：曲线 即 ，
即 ，
表示 为圆心， 为半径的圆的上半部分，
直线 恒过定点 ，
考查临界情况：
当直线过点 时，直线的斜率 ，此时直线与半圆有两个交点，
当直线过点 时，直线的斜率 ，此时直线与半圆有1个交点，
当直线与半圆相切时，圆心 到直线 的距离为1，且 ，
即 ，解得： ， 舍去）．
据此可得，实数 的取值范围是 ．
故选：D．
C 综合素养
1．已知圆 与圆 关于直线 对称，且被直线 截得的弦长为 ．
(1)求圆 的方程；
(2)若 ， 为圆 上两个不同的点， 为坐标原点．设直线 ， ， 的斜率分别为 ， ，当
时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)设圆 的标准方程为 ， ，
由题意得 ，
即 ，解得 ，所以圆 的圆心为 ，
又圆心 到 的距离 ，所以圆 的半径 ，
所以圆 的方程为 ．
(2)设点 ， ，直线 的方程为 ，
由 ，
得 ，
即 ①，
由 ，消去 ，
整理得 （*），
由韦达定理 ， ，
将其代入①整理得 ，
解得 ②，
由直线 与圆 相交，故 ，得 ，即 ，解得 或 ③，
又要使 ， ， 有意义，则 ， ，且 ，所以 不是方程（*）的根，
所以 ，即 且 ④，
由②③④得， 的取值范围为 ．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．
(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；
(2)圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12?若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0
(2)存在，点P的个数为2
(1)圆C的标准方程为 ，所以圆心C（2，0），半径为2．
因为l∥AB，且A（-1，0），B（1，2），
所以直线l的斜率为 ．
设直线l的方程为x-y+m=0，
则圆心C到直线l的距离为 ．
因为 ，
而 ，所以 ，
解得m=0或m=-4，
所以直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0．
(2)假设圆C上存在点P，设P（x，y），则 ，所以PA2+PB2= ，
整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．
因为 ，
所以圆（x-2）2+y2=4与圆x2+（y-1）2=4相交，
所以点P的个数为2．
3．已知圆 过点 ．
(1)求圆O的方程；
(2)过点 的直线l与圆O交于A，B两点，设点 ，求 面积的最大值，并求出此时直线l
的方程．
【答案】(1)
(2) 面积的最大值34.375，此时直线方程为 .
(1)解：因为圆 过点 ，
所以 ，
所以圆O的方程为 ；
(2)当直线的斜率不存在时：直线方程为 ，
此时 ，点P到直线的距离为 ，
所以 ，
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，
圆心到直线的距离为 ，
则 ，
点P到直线的距离为 ，
所以 ，
，
，当 ，即 ，
面积的最大值34.375，此时直线方程为 .
