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第九章 直线和圆的方程
5/
1
真题多维细目表
考题 考点 考向 情境载体 关键能力 考查要求 核心素养
新 高 考 直线与圆、圆与
２０２２ 求切线方程 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ 圆的位置关系
Ⅰ １４
由直线与圆有交
新 高 考 直线与圆、圆与 数学概念建构
２０２２ 点求参数的取值 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ 圆的位置关系 数学运算学习
Ⅱ １５ 范围
新 高 考
２０２２ 直线的方程 求直线方程 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ
Ⅱ １６
点到直线的距离
新 高 考 直线与圆、圆与 数学运算
２０２１ 公式、圆的方程及 数学原理习得 运算求解 综合性
ꎬ 圆的位置关系 数学抽象
Ⅰ １１ 应用
全 国 乙
２０２１ 直线的方程 点到直线的距离 数学原理习得 运算求解 基础性 数学运算
文ꎬ
１４
课 标 直线与圆、圆与 直线与圆相切、直 数学运算
２０２０ Ⅰ 数学运算学习 运算求解 综合性
理ꎬ 圆的位置关系 线方程 逻辑推理
１１
课 标 直线与圆、圆与 数学运算
２０２０ Ⅰ 求弦长的最值 数学运算学习 运算求解 综合性
文ꎬ 圆的位置关系 逻辑推理
６
2
命题规律与备考策略
近几年对本章内容的考查方式及题目难度变化不 针对本章的知识特点 备考时要突出重点和细
ꎬ
大 主要考查直线 圆的方程及位置关系 考查直线方程 化考点 和其他知识的交汇融合点应予以重点关注
ꎬ 、 ꎬ ꎬ ꎬ
的求解 直线过定点问题的求解 含参直线方程中参数 例如与基本不等式 函数等知识相结合的最值问题
、 、 、
取值范围的求解 直线与圆位置关系中涉及弦长与切线 等.同时注重数形结合思想 等价转化等思想方法的
、 、
方程的求解 以常规题型 常规解法为主要方向 常结合 应用.
ꎬ 、 ꎬ
基本不等式 函数 三角形面积等知识考查最值问题.
、 、9.1 直线方程与圆的方程
考点清单
学生用书P75 知识结构化 考点清单化
考点一 直线的方程
１.直线的倾斜角与斜率
倾斜角的取值范围
(１) :[０ꎬπ)ꎻ
当直线ＡＢ不垂直于ｘ轴时 过Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 两点的
(２) ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)
ｙ ｙ
直线的斜率为ｋ ２－ １.
＝ｘ ｘ
２－ １
２.直线方程的几种形式
名称 条件 方程 适用范围
斜率 ｋ 与点(ｘ ꎬ 直线的斜率必
点斜式 ０ ｙ ｙ ｋ(ｘ ｘ)
ｙ ) － ０＝ － ０ 存在
０
斜率ｋ与直线在ｙ 直线的斜率必
斜截式 ｙ ｋｘ ｂ
轴上的截距ｂ ＝ ＋ 存在
两点 (ｘ ꎬ ｙ )ꎬ ｙ ｙ ｘ ｘ 直线的斜率必
两点式 １ １ － １ － １
(ｘ ꎬｙ ) ｙ ｙ ＝ｘ ｘ 存在且不为零
２ ２ ２－ １ ２－ １
直线的斜率必
直线在 ｘ 轴上的
ｘ ｙ 存在且不为零ꎬ
截距式 截距ａ与直线在ｙ ａ ＋ ｂ ＝１ 且 直 线 不 过 轴上的截距ｂ
原点
平面直角坐标
Ａｘ Ｂｙ Ｃ 一般式 ——— ＋ ＋ ＝ ０ 系 内 的 所 有
(Ａ２ Ｂ２ )
＋ ≠０ 直线
注意 当直线与ｘ轴不垂直时 直线的方程可设为ｙ ｋｘ
ꎬ ＝ ＋
ｂ 当直线与ｙ轴不垂直时 直线的方程可设为ｘ ｍｙ ｎ 注意
ꎻ ꎬ ＝ ＋ ꎬ
理解ｍ ｎ的含义.
、
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ７４
考点二 圆的方程
１.圆的标准方程
方程 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ 表示圆心为 ａ ｂ 半径为ｒ
(１) ( － ) ＋( － ) ＝ ( >０) ( ꎬ )ꎬ
的圆的标准方程
ꎻ
特别地 以原点为圆心 ｒ ｒ 为半径的圆的标准方程为
(２) ꎬ ꎬ ( >０)
ｘ２ ｙ２ ｒ２.
＋ ＝
２.圆的一般方程
( Ｄ ) ２ ( Ｅ ) ２ 方程 ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ 可变形为 ｘ ｙ
＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ０ ＋ ＋ ＋
２ ２
Ｄ２ Ｅ２ Ｆ
＋ －４ .
＝
４
( Ｄ Ｅ )
当 Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 时 方程表示以 为圆心
(１) ＋ －４ >０ ꎬ － ꎬ－ ꎬ
２ ２
Ｄ２ Ｅ２ Ｆ
＋ －４ 为半径的圆
ꎻ
２
( Ｄ Ｅ )
当Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 时 方程表示一个点
(２) ＋ －４ ＝０ ꎬ － ꎬ－ ꎻ
２ ２
当Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 时 方程不表示任何图形 (３) ＋ －４ <０ ꎬ ꎻ
已知Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 则以ＰＱ为直径的圆的方程为
(４) ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ
ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ .
( － １)( － ２)＋( － １)( － ２)＝０
拓展 符合特定条件的某些直线构成一个直线系ꎬ常见的
直线系方程有如下几种:
( )过定点Ｍ(ｘ ꎬｙ )的直线系方程为ｙ ｙ ｋ(ｘ ｘ )(不包
１ ０ ０ － ０＝ － ０
含直线ｘ ｘ )ꎻ
＝ ０
( )和直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 平行的直线系方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ′
２ ＋ ＋ ＝０ ＋ ＋ ＝０
(Ｃ′ Ｃ)ꎻ
≠
( )和直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 垂直的直线系方程为Ｂｘ Ａｙ Ｃ′ ꎻ
３ ＋ ＋ ＝０ － ＋ ＝０
( )经过两相交直线Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ (Ａ２ Ｂ２ )和Ａ ｘ Ｂ ｙ
４ １ ＋ １ ＋ １＝０ １＋ １≠０ ２ ＋ ２ ＋
Ｃ (Ａ２ Ｂ２ )的交点的直线系方程为 Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ
２＝０ ２＋ ２≠０ １ ＋ １ ＋ １＋
λ(Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ ) (不包括直线Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ ).
２ ＋ ２ ＋ ２ ＝０ ２ ＋ ２ ＋ ２＝０
具有某些共同特征的圆的集合称为圆系ꎬ它们的方程叫做
圆系方程.常见的圆系方程有如下几种:
( )过直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 与圆ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ (Ｄ２ Ｅ２
１ ＋ ＋ ＝０ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０ ＋ －
Ｆ )交点的圆系方程为ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)
４ >０ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝
(λ Ｒ).
０ ∈
( )过圆Ｃ :ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ (Ｄ２ Ｅ２ Ｆ )和圆
２ １ ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＝０ １＋ １－４ １>０
Ｃ :ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ (Ｄ２ Ｅ２ Ｆ )交点的圆系方程
２ ＋ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２＝０ ２＋ ２－４ ２>０
为ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ λ(ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ ) (λ )
＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＋ ＋ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝０ ≠－１
(其中不含圆Ｃ ꎬ因此注意检验Ｃ 是否满足题意ꎬ以防丢
２ ２
解).
题型方法
学生用书P76 题型经典 方法实用
一、对称问题的处理方法 ìｎ ｂ ( Ａ )
ï －
１.中心对称 ïｍ ａ －Ｂ ＝－１ꎬ
Ｂ ｍ ｎ 则有í － 解得ｍ ｎ 即可得对称
{ｘ ａ ｘ ( ꎬ )ꎬ ï ａ ｍ ｂ ｎ ꎬ ꎬ
点Ｐ ( ｘ ꎬ ｙ ) 关于点Ｏ ( ａ ꎬ ｂ ) 的对称点Ｑ ( ｘ ０ꎬ ｙ ０) 满足 ｙ ０＝２ ｂ － ｙ. ꎬ î ïＡ ＋ ２ ＋ Ｂ ＋ ２ ＋ Ｃ ＝０ꎬ
０＝２ －
点Ｂ的坐标.
２.轴对称
直线关于直线的对称可以转化为点关于直线的对称问题
设点Ａ ａ ｂ 关于直线 Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ｂ 的对称点为 (２)
(１) ( ꎬ ) ＋ ＋ ＝０( ≠０) 来解决.
例1 已知直线ｌ ｘ ｙ 点Ａ .求
:２ －３ ＋１＝０ꎬ (－１ꎬ－２) :
点Ａ关于直线ｌ的对称点Ａ′的坐标
(１) ꎻ
直线ｍ ｘ ｙ 关于直线ｌ的对称直线ｍ′的方程 解析 解法一 所求圆的圆心在直线ｘ ｙ 上 可设
(２) :３ －２ －６＝０ ꎻ :∵ ＋ ＝０ ꎬ∴
直线ｌ关于点Ａ 对称的直线ｌ′的方程. 所求圆的圆心为 ａ ａ .
(３) (－１ꎬ－２) ( ꎬ－ )
解析 设Ａ′ ｘ ｙ 所求圆与直线ｘ ｙ 相切
(１) ( ꎬ )ꎬ ∵ － ＝０ ꎬ
ìｙ ａ
ï ＋２ ２ 半径ｒ ２｜ ｜ ａ .
ïｘ ＝－１ꎬ ∴ ＝ ＝ ２｜ ｜
由题意得í ＋１ ３ ２
ï ï ｘ －１ ｙ －２ 又所求圆截直线ｘ ｙ 所得的弦长为 圆心 ａ ａ 到直
î２× －３× ＋１＝０ꎬ － －３＝０ ６ꎬ ( ꎬ－ )
２ ２ ａ
ì 线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜２ －３｜
ïｘ ３３ － －３＝０ ＝ ꎬ
ï ＝－ ꎬ ( ) ２
解得í ï ïｙ ４ １３ . ∴ Ａ′ － １ ３ ３ ３ ꎬ １ ４ ３ . ∴ ｄ２ ＋ æ è ç ６ ö ø ÷ ２ ＝ ｒ２ ꎬ 即(２ ａ －３) ２ ＋ ３ ＝２ ａ２ ꎬ 解得ａ ＝１ꎬ∴ 圆Ｃ的方
î ＝ ２ ２ ２
１３
在直线ｍ上取一点 如Ｍ 程为 ( ｘ －１) ２ ＋( ｙ ＋１) ２ ＝２ .
(２) ꎬ (２ꎬ０)ꎬ
则Ｍ 关于直线ｌ的对称点必在ｍ′上. 解法二 : 设所求圆的方程为 ( ｘ － ａ ) ２ ＋( ｙ － ｂ ) ２ ＝ ｒ２ ( ｒ >０)ꎬ
(２ꎬ０)
设Ｍ的对称点为Ｍ′ ａ ｂ 则圆心 ａ ｂ 到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜ ａ － ｂ －３｜
( ꎬ )ꎬ ( ꎬ ) － －３＝０ ＝ ꎬ
ì ａ ｂ ì
ï ＋２ ＋０ ïａ ６ ２
ï２× －３× ＋１＝０ꎬ ï ＝ ꎬ ａ ｂ ２
则í ２ ２ 解得í １３ ｒ２ ( － －３) ３ 即 ｒ２ ａ ｂ ２ .
ï ï ｂ －０ ２ ï ïｂ ３０ ∴ ＝ ２ ＋ ２ ꎬ ２ ＝( － －３) ＋３①
îａ × ＝－１ꎬ î ＝ ꎬ ａ ｂ
－２ ３ １３ 所求圆与直线ｘ ｙ 相切 ｜ － ｜ ｒ
( ) ∵ － ＝０ ꎬ∴ ＝ ꎬ
则Ｍ′ ６ ３０ . ２
ꎬ 即 ａ ｂ ２ ｒ２.
１３ １３ ( － ) ＝２ ②
易知ｍ与ｌ不平行 设ｍ与ｌ的交点为Ｎ 又 圆心在直线ｘ ｙ 上 ａ ｂ .
ꎬ ꎬ ∵ ＋ ＝０ ꎬ∴ ＋ ＝０③
{ ｘ ｙ {ａ
则由 ２ －３ ＋１＝０ꎬ得Ｎ . ＝１ꎬ
ｘ ｙ (４ꎬ３) 联立 解得 ｂ
３ －２ －６＝０ ①②③ꎬ ＝－１ꎬ
又 ｍ′经过点Ｎ 由两点式得直线 ｍ′的方程为 ｘ
∵ (４ꎬ３)ꎬ∴ ９ － ｒ ＝ ２ꎬ
４６ ｙ ＋１０２＝０ . 故圆Ｃ的方程为 ( ｘ －１) ２ ＋( ｙ ＋１) ２ ＝２ .
(３) 设Ｐ ( ｘ ꎬ ｙ ) 为ｌ′上任意一点 ꎬ 则Ｐ ( ｘ ꎬ ｙ ) 关于点Ａ (－１ꎬ－２) 解法三 : 设所求圆的方程为ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝０( Ｄ２ ＋ Ｅ２ －４ Ｆ >
的对称点为Ｐ′ ｘ ｙ
(－２－ ꎬ－４－ )ꎬ ( Ｄ Ｅ ) Ｄ２ Ｅ２ Ｆ
Ｐ′在直线ｌ上 ｘ ｙ 则圆心为 半径ｒ ＋ －４ .
∵ ꎬ∴２(－２－ )－３(－４－ )＋１＝０ꎬ ０)ꎬ － ꎬ－ ꎬ ＝
化简得 ｘ ｙ 直线ｌ′的方程为 ｘ ｙ . ２ ２ ２
２ －３ －９＝０ꎬ∴ ２ －３ －９＝０ 圆心在直线ｘ ｙ 上
二、求圆的方程的方法 ∵ ＋ ＝０ ꎬ
Ｄ Ｅ
１.选择方程的原则 即Ｄ Ｅ .
∴ － － ＝０ꎬ ＋ ＝０①
已知条件多与圆心 半径有关 或与切线 弦长 弧长 圆心角 ２ ２
(１) 、 ꎬ 、 、 、 、 又 圆Ｃ与直线ｘ ｙ 相切
距离等有关 ꎬ 则设圆的标准方程为 ( ｘ － ａ ) ２ ＋( ｙ － ｂ ) ２ ＝ ｒ２ ( ｒ >０)ꎻ ∵ Ｄ Ｅ － ＝０ ꎬ
(２
Ｅ
)
ｙ
已
Ｆ
知圆上
Ｄ２
的
Ｅ
三
２
个
Ｆ
点的坐
.
标时 ꎬ 设圆的一般方程为ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ
∴
－ ２ ＋ ２
＝
Ｄ２ ＋ Ｅ２ －４ Ｆ
ꎬ
即Ｄ２
＋
Ｅ２
＋２
ＤＥ
－８
Ｆ
＝０
.
②
２ ＋ .求 ＋ 圆的 ＝０ 方 ( 程的 ＋ 方 － 法 ４ >０) ２ ( Ｄ Ｅ ２ )
待定系数法 根据题意 选择方程形式 标准方程或一般 又知 圆 心 － ꎬ－ 到 直 线 ｘ － ｙ － ３ ＝ ０ 的 距 离
(１) :① ꎬ ( ２ ２
方程 根据条件列出关于ａ ｂ ｒ或Ｄ Ｅ Ｆ的方程组 解 Ｄ Ｅ
)ꎻ② ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎻ③
出ａ ｂ ｒ或Ｄ Ｅ Ｆ 代入所选的方程中即可. － ＋ －３ æ ö２
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ｄ ２ ２ 由已知得ｄ２ ç ６÷ ｒ２
几何法 在求圆的方程的过程中 常利用圆的一些性质或 ＝ ꎬ ＋è ø ＝ ꎬ
(２) : ꎬ ２ ２
定理直接求出圆心和半径 ꎬ 进而可写出标准方程.常用的几何 即 ( Ｄ － Ｅ ＋６) ２ ＋１２＝２( Ｄ２ ＋ Ｅ２ －４ Ｆ ) . ③
性质 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 圆心在任一 {Ｄ
:① ꎻ② ＝－２ꎬ
弦的中垂线上 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心在一条 联立 解得 Ｅ
ꎻ③ ꎬ ①②③ꎬ ＝２ꎬ
直线上.
Ｆ
＝０ꎬ
例2 已知圆Ｃ的圆心在直线ｘ
＋
ｙ
＝０
上
ꎬ
圆Ｃ与直线ｘ
－
ｙ
＝０
故圆Ｃ的方程为ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＋２
ｙ
＝０
.
相切 且截直线ｘ ｙ 所得的弦长为 则圆Ｃ的方程为 答案 ｘ ２ ｙ ２ 或ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ
ꎬ － －３＝０ ６ꎬ ( －１) ＋( ＋１) ＝２( ＋ －２ ＋２ ＝０)
.
第
九
章
直
线
和 圆
的
方
程
１ ７５
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 直线的方程 答案 Ｂ 学生用书P234
１.(２０２０课标 Ⅲ 文ꎬ８ꎬ５分ꎬ综合性)点 (０ꎬ－１) 到直线ｙ ＝ ｋ ( ｘ ＋ ２.(２０１９上海春ꎬ１６ꎬ５分ꎬ综合性)以 ( ａ １ꎬ０)ꎬ( ａ ２ꎬ０) 为圆心的
距离的最大值为 两圆均过 与ｙ轴正半轴分别交于 ｙ ｙ 且满
１) ( )
(１ꎬ０)ꎬ (０ꎬ １)ꎬ(０ꎬ ２)ꎬ
Ａ.１ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ.２
( ) 则其圆心到原点的距离的最小值为
足 ｙ ｙ 则点 １ １ 的轨迹是 ４)ꎬ ( )
ｌｎ １＋ｌｎ ２＝０ꎬ ａ ꎬａ ( )
１ ２ Ａ.４ Ｂ.５ Ｃ.６ Ｄ.７
直线 圆 椭圆 双曲线 答案 Ａ
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
答案 Ａ ２.(２０２０课标 ꎬ文８ꎬ理５ꎬ５分ꎬ综合性)若过点 的圆与
Ⅱ (２ꎬ１)
ｘ２ ｙ２ 两坐标轴都相切 则圆心到直线 ｘ ｙ 的距离为
３.(２０２２新高考 ꎬ１６ꎬ５分ꎬ综合性)已知直线ｌ与椭圆 ꎬ ２ － －３＝０ ( )
Ⅱ ＋
６ ３
在第一象限交于Ａ Ｂ两点 ｌ与ｘ轴 ｙ轴分别交于Ｍ Ｎ两 ５ ２ ５ ３ ５ ４ ５
＝１ ꎬ ꎬ 、 ꎬ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
５ ５ ５ ５
点 且 ＭＡ ＮＢ ＭＮ 则ｌ的方程为 . 答案 Ｂ
ꎬ ｜ ｜＝｜ ｜ꎬ｜ ｜＝２ ３ꎬ
答案 ｘ ｙ ３.(２０２２全国甲文ꎬ１４ꎬ５分ꎬ基础性)设点Ｍ在直线 ｘ ｙ
＋ ２ －２ ２＝０ ２ ＋ －１＝０
ｘ２ ｙ２ 上 点 和 均在 Ｍ上 则 Ｍ的方程为 .
４.(２０２１全国乙文ꎬ１４ꎬ５分ꎬ基础性)双曲线 的右焦 ꎬ (３ꎬ０) (０ꎬ１) ☉ ꎬ ☉
－ ＝１ 答案 (ｘ )２ (ｙ )２
４ ５ －１ ＋ ＋１ ＝５
点到直线ｘ ｙ 的距离为 . ４.(２０２２全国乙ꎬ理１４ꎬ文１５ꎬ５分ꎬ创新性)过四点
＋２ －８＝０ (０ꎬ０)ꎬ(４ꎬ
答案 中的三点的一个圆的方程为
５ ０)ꎬ(－１ꎬ１)ꎬ(４ꎬ２)
５.(２０１１安徽ꎬ１５ꎬ５分ꎬ创新性)在平面直角坐标系中 如果ｘ .
ꎬ (
与ｙ 都是整数 ꎬ 就称点 ( ｘ ꎬ ｙ ) 为整点.下列命题中正确的是 答案 (ｘ )２ (ｙ )２ 或ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 或ｘ２ ｙ２
－２ ＋ －１ ＝５ ＋ －４ －６ ＝０ ＋ －
写出所有正确命题的编号 .
( ) )
①
存在这样的直线
ꎬ
既不与坐标轴平行又不经过任何整点
ꎻ
８ ｘ
－
１４ｙ
＝０
或ｘ２
＋
ｙ２
－
１６ｘ
－２
ｙ
－
１６
＝０
如果ｋ与ｂ都是无理数 则直线ｙ ｋｘ ｂ不经过任何整点 ３ ３ ５ ５
② ꎬ ＝ ＋ ꎻ ５.(２０１８天津文ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)在平面直角坐标系中 经过
直线ｌ经过无穷多个整点 当且仅当ｌ经过两个不同的整点 ꎬ
③ ꎬ ꎻ 三点 的圆的方程为 .
直线ｙ ｋｘ ｂ经过无穷多个整点的充分必要条件是 ｋ与ｂ (０ꎬ０)ꎬ(１ꎬ１)ꎬ(２ꎬ０)
④
都是有
＝
理数
＋ : 答案 ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＝０
ꎻ ６.(２０１４陕西ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)若圆Ｃ的半径为 其圆心与
存在恰经过一个整点的直线. １ꎬ
⑤ 点 关于直线ｙ ｘ对称 则圆Ｃ的标准方程为
答案 (１ꎬ０) ＝ ꎬ
①③⑤ .
考点二 圆的方程
学生用书P234 答案 ｘ２ (ｙ )２
１.(２０２０北京ꎬ５ꎬ４分ꎬ基础性)已知半径为 的圆经过点
＋ －１ ＝１
１ (３ꎬ
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ７６
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P235
考点一 直线的方程
Ａ.６ Ｂ.７ Ｃ.８ Ｄ.９
１.(２０２２福建龙岩一模ꎬ２)直线ｘ
＋
ａｙ
＋
ｂ
＝０
经过第一
、
二
、
四象 答案 Ｃ
限 则 ５.(２０２１重庆二模ꎬ７)已知实数ａ ｂ ｃ成等差数列 则点Ｐ
ꎬ ꎬ ꎬ (２ꎬ
ꎬ ( )
到直线ａｘ ｂｙ ｃ 的最大距离是
ａ ｂ ａ ｂ －１) ＋ ＋ ＝０ ( )
Ａ. <０ꎬ <０ Ｂ. <０ꎬ >０
ａ ｂ ａ ｂ
Ｃ. >０ꎬ <０ Ｄ. >０ꎬ >０ ２
答案 Ｃ Ａ. Ｂ.１ Ｃ. ２ Ｄ.２
２
２.(２０２２济南二模ꎬ１４)过直线ｘ ｙ 与ｘ ｙ 的交点 且平 答案 Ｃ
＋ ＝２ － ＝０ ꎬ
行于向量ｖ 的直线方程为
６.(２０２２河北九师联盟一模ꎬ１４)写出一条同时满足下列条件
＝(３ꎬ２) ( )
ｘ ｙ ｘ ｙ 的直线的方程 .
Ａ.３ －２ －１＝０ Ｂ.３ ＋２ －５＝０ ①②③ :
斜率小于
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ｃ.２ －３ ＋１＝０ Ｄ.２ －３ －１＝０ ① ０ꎻ 答案 Ｃ 在ｘ轴上的截距大于
② ０ꎻ
３.(２０２２重庆巴蜀中学３月适应性月考(八)ꎬ４)已知 Ｏ为坐 与双曲线 ｘ２ ｙ２ 有且仅有一个公共点.
③ － ＝１
标原点 直线ｌ ｙ ｋｘ ｋ 上存在一点Ｐ 使得 ＯＰ ４
ꎬ : ＝ ＋(２－２ ) ꎬ ｜ ｜＝ ２ꎬ
则ｋ的取值范围为 答案 ｙ １ ｘ (答案不唯一)
( ) ＝－ ＋１
２
Ａ.[ ３－２ꎬ ３＋２] 考点二 圆的方程
Ｂ.(－∞ꎬ２－ ３]∪[２＋ ３ꎬ＋∞) １.(２０２２ 哈尔滨三十二中期末ꎬ１２)已知圆 Ｃ 的圆心为
(２ꎬ
Ｃ.[２－ ３ꎬ２＋ ３] －３)ꎬ 且过点 (０ꎬ０)ꎬ 则圆Ｃ的方程为 ( )
ｘ ２ ｙ ２
Ｄ.(－∞ꎬ ３－２]∪[ ３＋２ꎬ＋∞) Ａ.( ＋２) ＋( －３) ＝５
答案 Ｃ ｘ ２ ｙ ２
Ｂ.( －２) ＋( ＋３) ＝５
４.(２０２１四川诊断性测试ꎬ９)已知直线ｌ ｂｘ ａｙ ａｂ ａ ｂ ｘ ２ ｙ ２ : － ＋ ＝０( ꎬ >０) Ｃ.( ＋２) ＋( －３) ＝１３
经过点Ｐ 则 ａ ｂ的最小值为 ｘ ２ ｙ ２
(－１ꎬ２)ꎬ ２ ＋ ( ) Ｄ.( －２) ＋( ＋３) ＝１３
答案 Ｄ ｍ ｙ ｍ 所过的定点为圆心 为半径 则圆Ｃ的方
＋( ＋１) ＋２ ＝０ ꎬ４ ꎬ
２.(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ８)过直线ｘ ｙ ｍ 上一点Ｐ作 程为
－ － ＝０ ( )
圆Ｍ ｘ ２ ｙ ２ 的两条切线 切点分别为Ａ Ｂ 若使 ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
:( －２) ＋( －３) ＝１ ꎬ ꎬ ꎬ Ａ.( ＋２) ＋( －２) ＝１６ Ｂ.( －２) ＋( －２) ＝１６
得四边形ＰＡＭＢ的面积为 的点Ｐ有两个 则实数ｍ的取值 ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
７ ꎬ Ｃ.( －２) ＋( ＋２) ＝１６ Ｄ.( ＋２) ＋( ＋２) ＝１６
范围为 答案 Ａ
( )
４.(２０２１广东珠海一模ꎬ１４)若方程ｘ２ ｙ２ λｘｙ ｋｘ ｙ ｋ λ
Ａ.(－５ꎬ３) Ｂ.(－３ꎬ５) ＋ ＋ ＋２ ＋４ ＋５ ＋ ＝
表示圆 则ｋ的取值范围为 .
Ｃ.(－∞ꎬ－５)∪(３ꎬ＋∞) Ｄ.(－∞ꎬ－３)∪(５ꎬ＋∞) ０ ꎬ
答案 Ａ 答案 ( ꎬ ) ( ꎬ )
－∞ １ ∪ ４ ＋∞
３.(２０２０重庆育才中学３月月考ꎬ７)圆Ｃ是以直线ｌ ｍ ｘ
:(２ ＋１)
第
九
章
直
线
和
圆
的
方
程
１ ７７
B组 综合应用题组 学生用书P236
15分钟 20分
单项选择题(每小题５分ꎬ共２０分) ３.(２０２２广东江门３月模拟ꎬ８)已知Ｍ是圆Ｃ ｘ２ ｙ２ 上一
: ＋ ＝１
１.(２０２２福州一模ꎬ２)已知Ａ Ｂ Ｃ 则 个动点 且直线ｌ ｍｘ ｎｙ ｍ ｎ 与直线ｌ ｎｘ ｍｙ ｍ ｎ
(－ ３ꎬ０)ꎬ ( ３ꎬ０)ꎬ (０ꎬ３)ꎬ ꎬ １: － －３ ＋ ＝０ ２: ＋ －３ － ＝０
ＡＢＣ外接圆的方程为 ｍ ｎ Ｒ ｍ２ ｎ２ 相交于点Ｐ 则 ＰＭ 的取值范围是
△ ( ) ( ꎬ ∈ ꎬ ＋ ≠０) ꎬ ｜ ｜
Ａ.( ｘ －１) ２ ＋ ｙ２ ＝２ ( )
ｘ ２ ｙ２
Ｂ.( －１) ＋ ＝４ Ａ.[ ３－１ꎬ２ ３＋１]
ｘ２ ｙ ２
Ｃ. ＋( －１) ＝２ Ｂ.[ ２－１ꎬ３ ２＋１]
ｘ２ ｙ ２
Ｄ. ＋( －１) ＝４
答案 Ｄ Ｃ.[ ２－１ꎬ２ ２＋１]
２.(２０２２山东菏泽期末ꎬ８)瑞士著名数学家欧拉在 年提 Ｄ.[ ２－１ꎬ３ ３＋１]
１７６５ 答案 Ｂ
出定理 三角形的外心 重心 垂心位于同一直线上.这条直线
: 、 、 ４.(２０２２ 福建 ４ 月百校联合测评ꎬ８)在平面直角坐标系 ｘＯｙ
被后人称为三角形的 欧拉线 .在平面直角坐标系中作
“ ” 中 点Ａ在ｘ轴上 点Ｂ在ｙ轴上 ＡＢ 点Ｃ满足ＡＣ ＢＣ
ＡＢＣ ＡＢ ＡＣ 点Ｂ 点Ｃ 过其 欧拉线 上一 ꎬ ꎬ ꎬ｜ ｜＝２ꎬ ⊥ ꎬ
△ ꎬ ＝ ꎬ (－１ꎬ１)ꎬ (３ꎬ５)ꎬ “ ”
则点Ｃ到点Ｐ 的距离的最大值为
点Р作圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 的两条切线 切点分别为Ｍ Ｎ 则 ＭＮ ( ３ꎬ１) ( )
: ＋ ＝４ ꎬ ꎬ ꎬ ｜ ｜
的最小值为 ７
( ) Ａ.３ Ｂ. Ｃ.５ Ｄ.４
２
Ａ. ２ Ｂ.２ ２ Ｃ. ３ Ｄ.２ ３ 答案 Ｄ
答案 Ｂ
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P236
１.(多选)(２０２２５３原创题)已知直线ｌ ｋｘ ｙ ｋ ｋ 当ｋ 时 ＰＡ ＰＢ 取得最小值
: － －２ ＋１＝０( <０) Ｄ. ＝－１ ꎬ｜ ｜｜ ｜ ４
与ｘ轴 ｙ轴分别交于点Ａ Ｂ Ｏ为坐标原点 点Ｐ 则下 答案 ＢＣＤ
、 ꎬ ꎬ ꎬ (２ꎬ１)ꎬ
列命题中正确的是 ２.(２０２２ ５３原创题)已知圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 的弦ＡＢ且 ＡＢ
( ) : ＋ ＝１ ｜ ｜＝１ꎬ
Ａ.
使三角形ＡＯＢ的面积为
４
的直线ｌ恰有两条 点Ｐ
( ２ꎬ１)ꎬ
则
｜
→ＰＡ
＋
Ｐ→Ｂ
｜
的最小值是 .
ＯＡ ＯＢ 的最小值为 答案
Ｂ.｜ ｜＋｜ ｜ ３＋２ ２ ３
以ＡＢ为直径的圆一定过原点Ｏ
Ｃ.
