文档内容
第 03 讲 圆的方程 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．已知“ ”是“ ”表示圆的必要不充分条件，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
若表示圆，则 ，
解得 .
“ ”是“ ”表示圆的必要不充分条件，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
2．点 为圆 上一动点，点 到直线 的最短距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
解：圆 的圆心为 ，半径 ，则圆心 到直线 的距离为
，所以直线与圆相离，则点 到直线 的最短距离为圆心到直线的距离再减
去半径．所以点 到直线 的最短距离为 ．
故选：C．
3．已知圆 上仅有一点到直线 的距离为1，则实数a的值为（ ）．
A．11 B． C．1 D．4
【答案】C
圆的标准方程是 ，圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ．
因为圆 上仅有一点到直线 的距离为1，
所以圆的半径 ，解得 ．故选：C．
4．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是 的ON边上的两
个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时， 最大？问题的答案是：当且仅当 的外接
圆与边OM相切于点C时， 最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P、Q的坐标分别是（2，
0），（4，0），R是y轴正半轴上的一动点，当 最大时，点R的纵坐标为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
因为点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0）是x轴正半轴上的两个定点，点R是y轴正半轴上的一动点，
根据米勒定理，当 的外接圆与y轴相切时， 最大，由垂径定理可知，弦 的垂直平分线必经
过 的外接圆圆心，所以弦 的中点为（3，0），故弦 中点的横坐标即为 的外接圆半径，
即 ，由垂径定理可得，圆心坐标为 ，故 的外接圆的方程为 ，所
以点R的纵坐标为 .
故选：C.
5．某圆经过 两点，圆心在直线 上，则该圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为圆经过 两点，
所以圆心在中垂线 上，
联立 解得圆心 ，所以圆的半径 ，
故所求圆的方程为 ，
故选：D
6．已知正三角形ABC的边长为 ，平面ABC内的动点P，满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．13 C． D．
【答案】A
如图所示，建立直角坐标系，则 ， ， ，
满足 ，
点P的轨迹方程为 ，表示圆心为 ，半径为1的圆，
由图可知， 的最大值为 ，
所以 最大值是 .
故选：A.
7．如图，点A，B，D在圆Γ上，点C在圆Γ内， ，若 ，且 与
共线，则圆Γ的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
以C为原点，BC和CD坐在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
则 ，
设圆的一般方程为则 ，解得 ，所以
所以圆的周长为
故选：B
8．已知点 ，点M是圆 上的动点，点N是圆 上的动点，则
的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
如图,
圆 的圆心 ，
圆 的圆心 ，
这两个圆的半径都是 .
要使 最大，需 最大，且 最小，由图可得， 最大值为 ， 的最小值为 ，
故 最大值是 ，
点 在直线 上， 关于 的对称点为 ，
直线 与 的交点为原点O，
则 ，
故 的最大值为 .
故选：D.
二、多选题
9．设有一组圆 ： ，下列命题正确的是（ ）
A．不论 如何变化，圆心 始终在一条直线上
B．所有圆 均不经过点
C．经过点 的圆 有且只有一个
D．所有圆的面积均为
【答案】ABD
A选项，圆心为 ，一定在直线 上，A正确；
B选项，将 代入得： ，其中 ，方程无解，即所有圆 均不经过点 ，B
正确；
C选项，将 代入得： ，其中 ，故经过点 的圆 有两个，故C错误；
所有圆的半径为2，面积为4.
故选：ABD
10．直线 与圆 的大致图像可能正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
A：直线不经过第四象限，所以 ，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；
B：直线不经过第一象限，所以 ，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；
C：直线不经过第一象限，所以 ，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有
，在圆的方程中，令 ，
得 或 ，因为 ，
所以 ，因此本选项可能正确；
D：直线不经过第二象限，所以 ，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有
，在圆的方程中，令 ，
得 或 ，因为 ，
所以 ，因此本选项不可能正确，
故选：AC
三、填空题
11．若圆 上有且仅有三个点到直线 的距离为1，则 _______．
【答案】
圆 化为 ，圆心为 ，半径为2，因为圆上有且仅有三个点到直
线 距离是1，所以圆心到直线 的距离是圆的半径的一半，即
，解得 ．
故答案为：
12．直角坐标平面 中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足 ，则点P的轨迹方程是
___________.
【答案】
设点 ，
∵ ，
∴∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
因此点P的轨迹方程是 .
故答案为：
四、解答题
13．已知 的三个顶点分别为 ， ， ，求：
(1) 边上中线 所在直线的方程；
(2) 边的垂直平分线 的方程；
(3) 的外接圆方程．
【答案】(1) (2) (3)
(1)解：设 边的中点 的坐标为 ，则 ， ，
所以 边的中线 过点 ， 两点，
由截距式得 所在直线方程为 ，即 ；
(2)解：直线 的斜率 ，则直线 的垂直平分线 的斜率 ，
由（1）知， 中点 的坐标为 ，
由点斜式得直线 的方程为 ，即 ；
(3)解：设 的外接圆方程为 ，将 ， ， ，
代入方程得 ，解得 ， ， ，
所以 的外接圆的方程为 ．
14．在平面直角坐标系 中，曲线 与两坐标轴的交点都在圆 上.
(1)求圆 的方程；
(2)已知 为坐标原点，点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程.
【答案】(1) (2)
(1)由 ，令 ，解得 或 ；令 ，得 ，
所以圆 过 .
设圆 的方程为 ，
，解得 ，
所以圆 的方程为 .
(2)设 ，则 ，
将 的坐标代入圆 的方程得 ，
即 .
B 能力提升
1．已知点 在圆 上，点 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于8
B．点 到直线 的距离大于2
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】D
∵ ，
过 、 的直线方程为 ，即 ，
圆 的圆心坐标为 ，
圆心到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离的范围为 ， ，
∵ ，∴A错误；
∵ ，∴B错误；
如图：当过 的直线与圆相切时，满足 最小或最大 点位于 时 最小，位于 时 最大)，此时
，
，故C错误，D正确．
故选：D．
2．过点 的直线 与圆 交于 两点，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
圆 ： 的圆心为 ，
当 最小时，圆心 到直线 的距离最长，此时， 和 垂直，
∵
∴ 直线的斜率等于 ，
用点斜式写出直线 的方程为 ，即 ，
故选：B.3．已知 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
点 在圆 上， ,
则 ，
如图，当 与圆相切时， 取得最小值 ，所以 ，此时点 .
故选：C
4．若直线 被圆 截得的弦长为4，则 的最小值是
（ ）
A．9 B．4 C． D．
【答案】A
由题意得圆的标准方程为 ，且圆心为 ，半径为 .
∵直线被圆截得的弦长为4，∴圆心在直线上，∴ ，即 .
又 ， ，∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，∴ 的最小值是9.
故选：A.
C 综合素养
1．已知点 在圆： 上运动．试求：(1) 的最值；
(2) 的最值；
【答案】(1)最大值为 ，最小值为 ；(2)最大值为 ，最小值为 ．
(1)解：设圆 的圆心为 ，半径 ，点 在圆上，
所以 表示 到定点 的距离的平方，因为 ，所以
，即 ，所以 ，即 的最大值为 ，最小值
为 ；
(2)解：点 在圆上，则 表示圆上的点 与点 的连线的斜率，根据题意画出图形，当 与
（或 重合时，直线 与圆 相切，
设直线 解析式为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
，即 ，
的最大值为 ，最小值为 ．
2．在平面直角坐标系xOy中，点 ，直线 ，圆C： ．
(1)求b的取值范围，并求出圆心坐标
(2)若圆C的半径为1，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)有一动圆M的半径为1，圆心在l上，若动圆M上存在点N，使 ，求圆心M的横坐标a的取
值范围．
【答案】(1) 的取值范围为 ，圆心 坐标为 (2) 或
(3)
(1) 化为 ，
由 得 ，∴ 的取值范围为 ，圆心 坐标为 .
(2)由（1）知圆心 的坐标为 ，当半径为1时，
圆 的方程为： ，将 代入 ，
得 ，∴ 在圆 外，
设所求圆 的切线方程为 ，即 ，∴ .
∴ ，∴ ，
∴ 或者 ，∴所求圆 的切线方程为： 或者 ，
即 或 .
(3)∵圆 的圆心在直线 ： 上，所以，设圆心 ，又半径为1，
则圆 的方程为： ，
又∵ ，
∴点 在 的中垂线 上， 的中点 得直线 ： ，
∴点 应该既在圆 上又在直线 上，即圆 和直线 有公共点.
∴ ，∴ .
综上所述， 的取值范围为： .
