文档内容
考点巩固卷 16 空间向量与立体几何(六大考点)
考点01：法向量的秒杀
方法1、眼神法：给定一个几何体中，若所求平面的法向量直接可以从图中看出，则此平
面垂线的方向向量即为平面的法向量．
方法2、待定系数法：步骤如下：
①设出平面的法向量为 ．
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量
， ．
③根据法向量的定义建立关于 的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组 有无数多个解，只需给
中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的
法向量就不同，但它们是共线向量．
方法三：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）
向量 ， 是平面 内的两个不共线向量，则向量
是平面 的一个法向量.
1．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得直线 的方向向量为 与平面 的法向量垂直，由向量垂直的坐
标运算即可求解．
【详解】 ，则有直线 的方向向量为 与平面 的法向量垂直，
即 ，
解得 ．
故选：B．
2．已知 为平面 的一个法向量， ，则下列向量是平面 的一个法向量
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
试卷第2页，共3页【分析】由 ，可知平面 的法向量与平面 的法向量 共线，由选项判断
即可求解.
【详解】记 ，因为 ，所以 ，
故 是平面 的一个法向量，故D正确.
易知A，B，C中的向量均不与向量 平行，所以均不能作为平面 的一个法向量.
故选：D.
3．已知 ， ， ，则平面 的法向量与 的夹角
的余弦值为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】求解法向量，即可由夹角公式求解.
【详解】设 为平面 的一个法向量，则由 ，
可得 ，令 ，得 ， ，∴ .
，
由于法向量的方向不能确定，
故平面 的法向量与 的夹角的余弦值也可能为 .
故选：B
4．已知点 ，则下列向量可作为平面 的一个法向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设平面 的一个法向量为 ，利用 列方程求解即
可.
【详解】由 知 ，
设平面 的一个法向量为 ，所以 ，
取 ，解得 ，选项D符合，
另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线.
故选：D
5．在空间直角坐标系 中， ， ， ，则平面 的一
个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设平面 的一个法向量为 ，利用 列方程求解即
可.
【详解】由已知 ，
设平面 的一个法向量为 ，
取 ，解得 ，
试卷第4页，共3页选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.
故选：A.
6．已知正方体 的棱长为2，E为棱 的中点，以A为坐标原点建立空间
直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设平面ABE的法向量为 ，然后由 ， 可求出其法向量.
【详解】由题意可得 ， ， ，
所以 ，
设平面ABE的法向量为 ，
由 ，得到 ，取 ，则 ，
所以平面ABE的一个法向量为 ，
所以 是平面ABE的法向量.故选：C.
7．已知 ，若平面 的一个法向量为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用法向量和平面内直线的方向向量之间的关系求解即可.
【详解】由 得：
，
面 的一个法向量为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
故选：C．
试卷第6页，共3页8．已知直线 ， 的方向向量分别为 ， ，且直线 ， 均平行于平
面 ，平面 的单位法向量为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【分析】根据平面法向量的性质进行求解即可.
【详解】设平面 的单位法向量为 ，
因为直线 ， 均平行于平面 ，
所以有 ，
由 可得： 或 ，
故选：D
9．已知 ， ， ，则平面 的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点坐标分别表示出向量 ，再由空间向量垂直的坐标表示即可求出法向量.
【详解】由题可知 ， ．
设 是平面 的法向量，
则 ， ．
所以 ，可得取 ，则 ， ．
于是 是平面 的一个法向量．
故选：C．
10．已知平面内的两个向量 ， ，则该平面的一个法向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用法向量的定义、求法进行计算.
【详解】显然 与 不平行，设该平面的一个法向量为 ，
则有 ，即 ，
令 ，得 ，所以 ，故A,B错误，
令 ，得 ，则此时法向量为 ，故D错误.
故选：C.
考点02：空间直角坐标系构建策略
①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系
②：利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系
③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系
④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
⑤：利用底面正三角形，构建空间直角坐标系
⑥：利用底面正方形的中心，构建空间直角坐标系
11．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为
上一点且满足 ， ， 分别为 ， 的中点．
试卷第8页，共3页(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）以 为原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立空间直角坐
标系，计算 ，进而可得答案；
（2）求出平面 的法向量⃗n=(x,y,z)， ，利用线面角的向量公式求解即
可.
【详解】（1）因为 平面 ， ，
如图以 为原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，因为 ，所以
．
（2）设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)， ，则 ，即 ，取 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
又 ，所以 ，
所以直线 与平面 所成角的大小为 ．
12．如图，在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，F为AB的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2) ．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明 ,再通过线面平行的判定定
理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面 与平面 的法向量，根据
向量法求二面角的公式即可求解.
【详解】（1）以 为原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图
试卷第10页，共3页所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
， ， ．
因为 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 ，取 ，则 ， ．
所以， 是平面 的一个法向量，
又因为 平面 ，
所以 为平面 的一个法向量，
则 ，设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
13．如图，三棱台 中， 为等边三角形， ， 平面
ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点D到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用 ，结合
平面 ，得出 平面 ；
（2）利用向量的夹角公式即可求解；
（3）利用点到平面的距离的向量法公式，即可求解．
【详解】（1）因为侧棱 底面 ， 为等边三角形，所以过点 作 ，
则以为点A为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立
试卷第12页，共3页如下图所示的空间直角坐标系，
设 长为 ，则
， ，
因为 ，所以 ，则有 ， ．
所以 ， ， ， ， ， ， ．
证明：因为 ， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
又因为 ．
所以 ，所以 ，又因为 平面 ，所以 平面
．
（2）因为 为中点，所以 ，则 ，
有 ，又 ，设直线 与平面 所成角为 ，
，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3）因为 ，平面 的法向量为 ，
所以，点D到平面 的距离为 ．
14．如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，
，且 底面 ，点 满足 ，点 是棱 上的一个点(包括端点)．
(1)求证： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由题意可建立适当空间直角坐标系，得到 、 后借助空间向量共线定
理即可得证；
（2）求出平面 与平面 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得点 具体
位置，再借助点到平面距离公式求解即可得.
试卷第14页，共3页【详解】（1）因为 底面 ，且底面 为正方形，且 、 底面
，
所以 ， ， 两两互相垂直，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)， ， ， ， ，
则 ， ，有 ，故 ；
（2） ，因为点 满足 ，点 是棱 上的一个点（包括端点），
所以 ，设 ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ， ，则 ，
由题可得 轴 平面 ，则平面 的一个法向量为 ，
因为二面角 角的余弦值为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
因为 ，所以点 到平面 的距离为 ．15．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面
是 的中点， .
(1)求证： .
(2)若㫒面直线 与 所成的角为 ，求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析(2) .
【分析】（1）设 的中点为 ，连接 ，根据题意已知条件证明直线 两
两垂直，从而建立空间直角坐标系，令 ，写出相应点的坐标，利用向量法证明
从而得 ；
（2）由（1）写出 的坐标，利用异面直线所成角的向量表示求出 的值，在求出四
棱锥 的体积即可.
试卷第16页，共3页【详解】（1）设 的中点为 ，连接 ，
由四边形 是矩形，得 .
是 的中点， .
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 直线 两两垂直.
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间直角
坐标系 ，设 .
依题意得， ，
.
，
，即 .
（2）由（1）可得 ，
异面直线 与 所成的角为 ，
，解得 ，
由（1） 平面 ，
所以 为四棱锥 的高，且 ，四棱锥 的体积为 .
16．如图， 为正方体．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明详见解析(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量垂直证明；
（2）利用向量法，线面角的求法求解.
【详解】（1）解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立
空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则
因为 ，
试卷第18页，共3页且 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）可知， 为平面AB1C的一个法向量，
又 ，
所以
所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为 ，
故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为
17．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点E在线段
上，且 ， 分别为 、 、 的中点.求证：
(1)平面 平面 ；
(2)平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直；（2）利用空间向量法证明 平面 ，再根据线面垂直的性质得到面面平行；
【详解】（1）证明：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示
空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， ， .
因为 ， ， ，
所以 ， .
所以 ， ，即 ， .
又 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ， ， ，
所以 ， .
所以 ， .
试卷第20页，共3页因为 平面 ，所以 平面 .
又由（1）知 平面 ，所以平面 平面 .
18．如图，直三棱柱 中， ， ， ， ， 是
的中点．
(1)求直线 的一个方向向量；
(2)求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系后，写出 的坐标即可求解；
（2）写出 的坐标，然后证明 即可.
【详解】（1）
由题意知， 两两垂直，故以点B为原点，分别以 、 与 的方向为 与 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
所以 、 、 、 、
、 ．
则 ，是直线 的一个方向向量
（2）因为M是 的中点，所以 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ．
19．在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形， ， ，O
为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.
(1)求证： ；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
(3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【分析】（1）证明出 ， 平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，
计算出 ，得到垂直关系；
（2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案；
（3）求出两平面法向量，求出面面角的余弦值.
试卷第22页，共3页【详解】（1）因为 ，O为CD的中点，
所以 ．
又因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PCD，
所以 平面ABCD．
因为 ， ， ，所以 ．
取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系
，
则O(0,0,0)， ， ， ，P(0,0,1)， ．
， ，
因为 ，
所以 ．
（2）设平面PAB的一个法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，即 ，
解得 ，令 ，则 ，则 ．
设直线PC与平面PAB所成的角为 ，
又 ，则 ，
所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 ．
（3）设平面POB的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
解得 ，令 ，则a=2，故 ．
设平面POB与平面PAB的夹角为 ，
则 ．
故平面POB与平面PAB的夹角的余弦值为 ．
20．如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，
为 中点．求证： 平面 ．
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明 、 ，即可得证.
【详解】如图以 为原点，建立空间直角坐标系，
试卷第24页，共3页则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，则 ，即 ，
，则 ，即 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ．
考点03：坐标处理距离问题
结论1：《点线距离》 《异面直线求距离问题》
推导过程：已知直线 的方向向量是 ，点 则直线 与直线 夹角
为θ，则
结论2：《点面距离》
提示： 分别是平面外及平面上的两点， 是平面的法向量
结论3：《线面距离》
提示： 分别是直线上及平面上的任意两点， 是平面的法向量结论4：《面面距离》
提示： 分别是平面1及平面2的任意两点， 是平面2的法向量
结论5：《点点距离》
提示： 与 , 的距离为
21．如图 的外接圆 的直径 ， 垂直于圆 所在的平面，BD//CE，
，BC=BD=1， 为 上的点.
(1)证明： ；
(2)当 为 的中点时，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）证明 平面 ，利用线面垂直的性质即可得到 ；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用点到面的距离公式求解即可﹒
是圆 的直径， ，
【详解】（1）∵CE⊥平面 ， 平面 ，∴CE⊥AC，
又∵CE∩BC=C， 、 平面 ，
平面 ，∵BM⊂平面 ，∴AC⊥BM；
（2）由(1)和已知条件可知，CA、CB、CE两两垂直，故以C为原点，CA、CB、CE
分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C−xyz：
试卷第26页，共3页( 1 3)
则C(0，0，0)，A(√3,0,0),B(0,1,0),D(0,1,1),E(0,0,2),M 0, , ，
2 2
⃗CA=(√3,0,0)，C ⃗
D=(0,1,1)
，⃗CM= ( 0, 1 , 3)
2 2
设平面CAD的法向量为⃗n=(x,y,z)，
→ →
{
n⋅CA=0 {√3x=0 { x=0
则 ⇒ ，令 ，则 ，即⃗n=(0,1,−1)，
→ → y+z=0 z=−1
n⋅CD=0
|1 3|
−
由点到平面的距离公式知，点 到平面 的距离 |⃗CM⋅⃗n| 2 2 √2
d= = =
|⃗n| √2 2
22．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， 平面 ，
E为PD中点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量后，借助点到平面的距离公式计算即
可得；
（3）利用空间向量求出线面角的正弦值，再利用三角函数的基本关系求线面角的余弦值即
可.
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
∵ 为 中点， 为 中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2）由底面 是矩形且 平面 ，
故可以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
试卷第28页，共3页则 ，令 ，得 ，
则点 到平面 的距离 ；
（3）由 轴 平面 ，故平面 的法向量可为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
23．如图，在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上，且 ．
(1)求四棱锥 的表面积
(2)若点 在棱 上，且 到平面 的距离为 ，求点 到直线 的距离．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据三角形以及梯形面积公式即可求解，
（2）建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量法求解即可.【详解】（1）由 ， ,所以 ,
,
所以
, ,
故四棱锥 的表面积为
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所
示空间直角坐标系，
则 ,0, ， ,4, ， ,4, ， ，其中 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 令 ，则平面 的法向量 ，
设 到平面 的距离为 ， ，
试卷第30页，共3页由于 ，解得 ，
故 ，
点 到直线 的距离为 ．
24．如图，在四棱柱 中， 平面 ，底面 是平行四边形，
．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）证明出 平面 ，建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法
向量为 ， ，求出 ，再利用角三角函数的基本关系求
解即可；
（2）直接利用空间向量求解点到面的距离即可．
【详解】（1）连接 ， 相交于点O，连接 ， 相交于点 ，
由 ，可得 为等边三角形，
又由O为 的中点，可得 ， ， ，因为 ， ，
所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
由上知 ， ， 两两垂直，以O为坐标原点， ， ， 分别为x，y，z轴建
立如图所示的空间直角坐标系，
有O(0,0,0)，A(√3,0,0)， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
由 ， ，
有 ，
取 ， ， ，可得平面 的一个法向量为 ，
（1）由 ，
有 ， ， ，
有 ，
试卷第32页，共3页故直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（2）由 ，有 ，
可得点 到平面 的距离为 ．
25．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， 为线段
的中点， ， 为线段 上的动点.
(1)证明： ；
(2)当 为线段 的中点时，求点 到面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出 平面 和 平面 ，进而可得
；
（2）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出
平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离．
【详解】（1） 平面 ， 平面 ，
∴BC⊥PD，
又 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
，
中， 为 的中点， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， .
（2）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系D−xyz，则 ，A(1,0,0)， ， ，
所以 ， ， ，
设 为平面 的法向量，
则 ，令 ，则y=−1,z=1，故 ，
则点 与平面 的距离 .
26．如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形， ，
PB=PD， ，点E，F分别为棱 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的大小为 .
①求二面角 的余弦值；
②求点F到平面 的距离.
试卷第34页，共3页3√13
【答案】(1)证明见详解(2)① ；②
13
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，通过证明 ，再证 平面 .
（2）先证 平面 ，以 的交点为原点，建立空间直角坐标系，用空间向量
的方法求二面角和点到面的距离.
【详解】（1）如图：
取 中点 ，连接 ， .
因为 为 中点，所以 且 ，
又四边形 为菱形，且 为 中点，所以 且 ，
所以 且 .
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）如图：
连接 ， ，交于点 ，
因为四边形 为菱形，所以 ，且 为 ， 的中点，
又因为PB=PD，所以 ， ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，易得 为直线 与平面 所成的角的平面角，
则 ，又 ， ， ，所以 ， ， ， ，
以 为原点，建立如图空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B(1,0,0)， ，
， ， ， .
所以 ， ， ， .
①设平面 的法向量为
则 ，取 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 .
所以二面角 的余弦值为： .
②点 平面 的距离为： .
27．如图，在三棱柱 中，棱 的中点分别为 在平面 内的射
影为D， 是边长为2的等边三角形，且 ，点F在棱 上运动（包括端点）．
试卷第36页，共3页(1)若点 为棱 的中点，求点 到平面 的距离；
(2)求锐二面角 的余弦值的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用空间向量法求点到面的距离即可；
（2）用动点引入变量表示动向量，再用空间向量法求二面角的余弦值，最后利用关于变量
的函数求取值范围即可.
【详解】（1）连接 ，依题意可知 平面 ，由于 平面 ，
所以 ，
由于三角形 是等边三角形，所以 ， ，
又 ，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ，
又 ，故 ， ，则 ， ，
设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，
1 1 1
则 ，令 ，则 ， ，
故 ，又 ，
所以点 到平面 的距离为 .
（2）设 ， ，
则 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x ,y ,z )，
2 2 2
则 ，令 ，则 ， ，
故 ，
设锐二面角 为 ，
则 ，
令 ，
所以 ，设 ，
试卷第38页，共3页则 ，
二次函数 的开口向上，对称轴为 ，
所以当 时，该二次函数单调递增，
所以当 时，该二次函数有最小值 ，
当 时，该二次函数有最大值 ，
所以 ，即 .
即锐二面角 的余弦值的取值范围为 .
28．如图，在四面体 中， 平面 ，点 在线
段 上.
(1)当点 是线段 中点时，求点 到平面 的距离；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间
直角坐标系，利用空间向量法可求得 到平面 的距离；（2）设点 ，其中 ，利用空间向量法可得出关于 的方程，解出 的值，即
可得解.
【详解】（1）由 平面 ， ，得 两两垂直，
以点 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图：
由 为 的中点，则A(0,0,0)、 、 、 ，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)， ， ，
则 ，取 ，得 ，而 ，
所以点 到平面 的距离为 .
（2）设点 ， ， ， ，
设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，则 ，取 ，得
1 1 1 1
，
显然平面 的一个法向量为 ，
则 ，解得 ，
试卷第40页，共3页此时点 为 的中点，所以 .
29．如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截而得到的，其中
， ， ， ．
(1)求 到平面 的距离．
(2) 与平面 平行吗？请说明理由．
【答案】(1) ；(2)不平行，理由见解析.
【分析】（1）以 为原点建立空间直角坐标系，求出 及平面 的法向量，再利
用点到平面距离的向量求法求解.
（2）由（1）中坐标系，求出 ，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.
【详解】（1）显然直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ，设 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面
，
则 ，同理 ，即四边形 为平行四边形，有 ，
即 ，解得 ，即 ，则 ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
而 ，则点 到平面 的距离为 .
（2）由（1）知， ，而平面 的法向量为
由 ，得 与 不垂直，
所以 与平面 不平行.
30．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， 分别是 的中点，
是边长为2的等边三角形， ．
(1)证明： ；
试卷第42页，共3页(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由等边三角形三线合一可得 ，再由侧棱垂直于底面 可得
面 即可得出结论；
（2）可由等体积法 计算即可得出.
【详解】（1）法一: 是等边三角形，且 是 中点
面 ， 面
面 ， 面 ，且 面
面
法二：取 的中点 ，则 面 ，可知 两两垂直，
如图以 为 轴， 为 轴， 为 轴，则 ， ，B(−1,0,0)，
；
所以 ， ，则 ，即 ；（2）法一：由题可知： ；
在 中， ， ；
取 中点 ，在 中， ，
边上的高为 ；
；
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
解得 ，即点 到平面 的距离为 ．
法二： ， ， ， ，
设面 的法向量为⃗n=(x,y,z)， ；
试卷第44页，共3页设点 到面 的距离为 ，
故点 到平面 的距离为 .
考点04：坐标处理角度问题
结论1：异面直线所成角
①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解
②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式 求出
关键是求出 及 与
结论2：线面角
提示： 是线 与平面法向量的夹角， 是线 与平面的夹角
结论3：二面角的平面角
提示： 是二面角的夹角，具体 取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则
取正，若为钝角则取负.
31．如图，在四棱锥 中， ，底面 为正方形，
， 分别为 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由线面平行的判定证明即可；
（2）首先由已知证明出 ， ，再建立空间直角坐标系，根据面面夹角的
向量公式求解即可．
【详解】（1）因为 分别为 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 ， ，
在 中，由余弦定理得，
，即 ，
所以 ，即 ，同理可得 ，
因为 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，同理 ，又 平面 ， ，
试卷第46页，共3页所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ， ，又 ，
则以点 为原点，以 所在直线为 轴，建立如图空间直角坐标系，
在 中， ，
则 ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
由图可知，平面 的法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值 ．
32．如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ．
（i）求证： 平面 ；
（ii）设平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；
（2）（i）借助线面垂直的判定定理即可得；
（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 四点共面，
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ；
试卷第48页，共3页（2）（i）取 的中点 ，连接 ，
由（1）知 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 与 全等，
所以 ，即 ，
因为 ，
又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ；
（ii）由（i）知 平面 ，而 平面 ，
所以 ，
因为 ，
建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ， ，所以 ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z), 则
令 ，则 ，于是 ，
因为 为平面 的法向量,
设二面角 为 ，由图可得
所以 ,
所以二面角 的余弦值为 ，
则二面角 的正弦值为
33．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， 为等边三角形，
平面 平面 ， ．点 在线段 上．
(1)若 ，在 上找一点 ，使得 四点共面，并说明理由；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余
试卷第50页，共3页弦值．
【答案】(1) 为靠近 点的 四等分点，理由见解析(2) (3)
【分析】（1）当 为靠近 点的 四等分点时，结合已知条件可得 ∥ ，而 ∥
，则 ∥ ，从而可得结论；
（2）取 中点 ，连接 ， ，由面面垂直可得 平面 ，再由 结合
菱形的性质可得 ，则得 平面 ，然后求出 ，再利用等体积法可求
得点 到平面 的距离；
（3）以 为原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向建立如图所示的空
间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）当 为靠近 点的 四等分点时， 四点共面，
理由如下：
因为 ，所以 ，
所以 ∥ ，
因为四边形 是菱形，所以 ∥ ，
所以 ∥ ，所以 四点共面；
（2）取 中点 ，连接 ， ．
因为 为等边三角形， ，
所以 ， ， ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ∥ ，所以 ．
因为 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．所以 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ；
（3）由（2）知， ， ， 两两垂直，
所以以 为原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向建立如图所示的空间
直角坐标系．
则 ， ，A(1,0,0)， ，
所以 ， ， ．
设 ，则 ， ．
得 ，则 ．
又 平面 ，则取平面 的法向量 ．
设 与平面 所成的角为 ，则
，
试卷第52页，共3页化简整理得 ，解得 ．
则 ， ．
设平面 的法向量 ，则 ,
令 ，则取平面 的法向量 ，
又平面 的法向量 ．
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
34．如图，在四棱锥 中，已知底面 为矩形， ，平面 平面
.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，点 在棱 上，且二面角 的大小为 .①求证： ；
②设 是直线 上的点，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；② .
【分析】（1）利用面面垂直的性质得到 平面 ，再利用线面垂直的性质得到
，结合条件及线面垂直的判定定理，即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，①求出平面 和平面 的法向量，结合条件得到
，从而有 ，即可证明结果；②设 ，结合①
中结果，利用线面角的向量法，得到 ，即可求出结果.
【详解】（1）在四棱锥 中，
因为底面 为矩形，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，且 ，
所以 平面 .
（2）①以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ，所以 ，
试卷第54页，共3页因为点 在棱 上，所以设 或 显然不满足题设 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
所以 ， 是平面 的一个法向量，
所以 ，
因为二面角 的大小为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
此时， ，
，所以 ，
所以 ，即 .
②因为 是直线 上的点，所以设 ，
由①可得 ，所以 ，平面 的一个法向量 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .令 ，则 ，
则 ，
当 时， ，
当 时， ，
令 ，则 ，则 ，
所以当 ，即 时， ，
即直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
35．如图，直三棱柱 的体积为6， 的面积为4．
(1)求 到平面 的距离；
(2)设 为 的中点， ，平面 平面 ，求平面 与平面 夹
角的正弦值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用等体积法，由 可构造方程求得结果；
（2）利用线面垂直的判定与性质可证得 平面 ，以 为坐标原点建立空间直角
坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
试卷第56页，共3页【详解】（1）由题意知 ；
设点 到平面 的距离为 ，
，解得： ，
即点 到平面 的距离为 .
（2）取 的中点 ，连接 ，
， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ；
三棱锥 为直三棱柱， 平面 ，
又 平面 ， ；
， 平面 ， 平面 ，
平面 ，则 ，且 .
以 为坐标原点，以 正方向为 轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐
标系 ，
由（1）知，点 到平面 的距离为 ，则 ，， ，
， ，
， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量⃗m=(x,y,z)，
则 ，解得 ，令 ，得 ，
；
设平面 的法向量⃗n=(a,b,c)，
则 ，解得 ，令 ，得 ， ；
，
设平面 与平面 夹角为 ，则
则平面 与平面 夹角的正弦值为 .
36．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，四边形 为
梯形， ， ， ， ， ， ， 交 于点 ，
点 在线段 上，且 .
试卷第58页，共3页(1)证明： 平面 .
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据三角形边角关系可证明相似，即可得 ,即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可.
【详解】（1） 平面 平面 ，且两平面交于 ，又 ，
平面 .
在 中， ， ， .
且 ， 是等腰直角三角形，
， .
， ，
又 ， 为等腰直角三角形， .
， ，
又 ，所以 ， 平面 , 平面 ，
平面 .
（2）由（1）得 平面 ，且 ，所以建立如图所示空间直角坐标系.可得 ， ， ，
即 ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
解得 .
平面 的法向量为 .
设二面角 为 ，所以 ，
则 .
37．如图所示，在几何体 中，四边形 和 均为边长为2的正方形，
， 底面 ，M、N分别为 、 的中点， .
(1)求证： 平面 ；
试卷第60页，共3页(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【分析】（1）依据题意建立以A为原点，分别以 ， ， 方向为x轴、y轴、z轴
正方向建立空间直角坐标系 ，求出 和平面 的一个法向量，计算 即可
得证.
（2）由（1）得直线 的的方向量 ，平面 的一个法向量 ，设直线
与平面 所成角为 ，则由 即可得解.
（3）求出平面 的一个法向量 ，计算 ，则由计算结果即可得解.
【详解】（1）如图，以A为原点，分别以 ， ， 方向为x轴、y轴、z轴正方向
建立空间直角坐标系 ，
由题意可得A(0,0,0)， ， ， ， ， ，
， ， ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为⃗n =(x ,y ,z )，则 ，
1 1 1 1故 ，即 ，则 ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）得直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为
，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）设平面 的一个法向量 ，由（1）可得 ，
，
则 ，故 ，即 ，
令 ，得 ，
所以 ，
试卷第62页，共3页所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
38．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面 平面ABCD，
是边长为8的正三角形， ，且 ，点G，H分别是BC，BF的中点．
(1)设AE与平面DGH相交于点M，求 的值；
(2)求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH，得
，且 ，又 ，得 平面CDEF，得 ，可得CDNF是平
行四边形，则 ，得 ；
（2）取AD的中点O，连接OE，可得 平面ABCD，以O为原点，OA，OG，OE所
在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面BDM和
平面CDM的一个法向量，利用向量夹角的余弦公式，即可求出平面BDM与平面CDM夹
角的余弦值
【详解】（1）
延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH，
∵ ，H是BF的中点，
∴ ，且 ，
∵G，H分别是BC，BF的中点，∴ ，
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
平面 ，
又平面 平面 ，
∴ ，
∴ ，
∵ABCD是正方形，
∴ ，
∴CDNF是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）取AD的中点O，连接OE，
∵ 是正三角形，
∴ ，
∵平面 平面ABCD，
∴ 平面ABCD，
以O为原点，OA，OG，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设 是平面BDM的一个法向量，
则 ，∴ ，
取 ，则 ， ，
试卷第64页，共3页∴ ，
设 是平面CDM的一个法向量，
则 ，∴ ，
取 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为 ．
39．如图，在长方体 中， ， ，点E在棱AB上移动.
(1)求证： .
(2)当点E为棱AB的中点时，求点E到平面 的距离.
(3)在棱AB上是否存在点M，使平面 与平面AMC所成的角为 ？若存在，求出AM
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)存在， .
【分析】（1）利用空间向量数量积为0，即可证明垂直；
（2）利用空间中点到平面的距离公式求解即可；
（3）利用空间向量求二面角即可.【详解】（1）以D为坐标原点，直线DA，DC， 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐
标系.
设 ， ，
则 ， ， ，A(1,0,0)， .
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）因为E为AB的中点，所以 ，
从而 ， ， .
设平面 的法向量为⃗n=(a,b,c)，则 ，
即 ，得 ，
从而 ，
所以点E到平面 的距离 .
（3）设这样的点M存在，且 ， ，平面 与平面AMC所成的角为 ，
则 ， ， ， ， .
试卷第66页，共3页设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，得 .
平面AMC的一个法向量 ，
所以 ，
由 ，解得 .
所以满足题意的点M存在，此时 .
40．如图，平行六面体 的体积为 ， ， ，
， ．
(1)求点A到平面 的距离；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）根据菱形的判定定理可以确定底面ABCD是菱形，结合线面垂直的判定定
理、面面垂直的判定定理和性质进行求解即可；（2）由（1）可知OD，0A， 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，根据平面法向量
的性质，结合空间向量夹角公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知底面是平行四边形，且O为底面的中心，
又因为 ，所以底面ABCD是菱形，
连结 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
又 平面ABCD，
所以 底面ABCD，又 平面 ，
所以平面 底面ABCD，
因为 底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ，
又根据底面ABCD是菱形，可知 ，
平面 ，
所以 平面 ，故A0为点A到平面 的距离．
因为 ， ，
所以△ACD是边长为4的正三角形，所以 ．
即点A到平面 的距离为2．
（2）由（1）可知OD，0A， 两两互相垂直，
以O为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
试卷第68页，共3页因为 为平行六面体 的高，又平行六面体 的体积为
，
所以 ，解得 ．
则O(0,0,0)， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，
取 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ，
故二面角 的正弦值为 ．考点05：坐标处理平行问题
线线平行：两个向量存在一定的倍数关系
线面平行：先求平面的法向量，然后法向量与线垂直即可
面面平行：先求其中一平面的法向量，然后让法向量与另一个平面垂直即可
41．如图，四棱锥 中， 底面 ， ，
分别为线段 上一点， .
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，先证四边形 为平行四边形，有
，再由线面平行的判定定理，得证；
（2）取 的中点 ，连接 ，以 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即
可.
【详解】（1）证明：由已知 得 ，取 的中点T，连接 ，
由N为 的中点知 ，
．又 ，故 ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
试卷第70页，共3页（2）取 的中点 ，连接 ，建立如图所示的空间坐标系 ．
，
不妨设 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，
，
取 ，则 .
设直线 与平面 所成角为
.
故直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
42．如图，在四棱锥 中， 底面ABCD，底面ABCD为直角梯形， ，
， ， ，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点.(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行，再利用面面平行的判定
定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）连接EC，设 与AC相交于点O，如图，
因为 ，且 ， ，
所以四边形 为矩形，
所以O为 的中点，又因为G为PB的中点，
所以OG为 的中位线，即 ，
因为 平面PEF， 平面PEF，
所以 平面PEF，
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以 ，
因为 平面PEF， 平面PEF，
所以 平面PEF，
因为 平面GAC， 平面GAC， ，
所以平面 平面GAC.
试卷第72页，共3页（2）因为 底面ABCD， 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ， ，因为 ，
所以PA,AB,AD两两互相垂直，
以A为原点，AB,AD,AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(0,0,0)， ，C(1,1,0)， ，P(0,0,1)，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，所以 ，
令 ，可得 ， ，所以 ，
设直线GC与平面 所成角为θ，则 ，
所以直线GC与平面 所成角的正弦值为 .
43．如图，在棱长均为2的四棱柱 中，点 是 的中点， 交平面
于点 ．(1)求证： 平面 ；
(2)已知：条件① 平面 ，条件② ，条件③平面 平面 ，
从这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱 存在且唯一确定，并求二
面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析
【分析】（1）连接 ，根据面面平行的性质得到 ，再证明 ，即可
得到 ，从而得证；
（2）若选择条件①②，①③，均可说明该几何体为棱长为 的正方体，从而建立空间直角
坐标系，利用空间向量法计算可得；选择②③，无法唯一确定该几何体.
【详解】（1）连接 ，如图1，
试卷第74页，共3页因为 交平面 于点 平面 ，
所以 平面 ，所以平面 平面 ．
又因为平面 平面 且平面 平面 ，
所以 ，
因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ．
（2）由（1）知 ，点 是 的中点，所以点 是线段 的中点．
若选择条件①②：
因为平面四边形 的棱长相等，而且对角线 ，
所以四边形 是正方形，
又因 平面 ，所以 ．
故如图2建立以 为坐标原点， 分别为 轴的空间直角坐标系，
则 ，，
设平面 的法向量为 ，
由 ，可取 ，
因为 平面 ，所以平面 的法向量为 ，
所以 ，
由题知，二面角 为钝角，所以二面角 的余弦值为 ．
若选择条件①③：
因为 平面 平面 平面 ，
所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
如图建立以 为坐标原点， 分别为 轴的空间直角坐标系，
则
，
设平面 的法向量为 ，
由 ，可取 ，
因为 平面 ，所以平面 的法向量为 ，
试卷第76页，共3页所以 ，
又由题意知，二面角 为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．
选择条件②③不合题意，
由条件② ，且平面四边形 的棱长相等，可得四边形 是正方形，
由条件③平面 平面 ，无法确定 与 ，
故几何体不能唯一确定．
44．如图，在四棱锥 中， 平面ABCD， ， ，
， ，点M是棱PC的中点．
(1)求证： 平面PAD；
(2)求平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，AE，根据E是PD的中点，得到 ，
，从而四边形ABME是平行四边形，得到 ，再利用线面平行的判定定理
证明；
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角
坐标系，求得平面BDM的一个法向量⃗n=(x,y,z)，平面PAB的一个法向量 ，
设平面PAB与平面BMD所成锐二面角的大小为θ，由 求解．【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接ME，AE，
因为E是PD的中点，M是PC的中点，
所以 ， ，又 ， ，
所以 ， ，
所以四边形ABME是平行四边形，所以 ，
又 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD．
（2）解：因为 平面ABCD，DA， 平面ABCD，
所以 ， ，又 ， ，所以 ．
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标
系，如图所示．
则 ，所以 ．
设平面BDM的一个法向量⃗n=(x,y,z)，又 ， ，
所以
令 ，解得 ， ，
所以平面BMD的一个法向量⃗n=(1,−1,1)．
设平面PAB的一个法向量 ，又 ， ，
所以
令 ，解得 ， ，
试卷第78页，共3页所以平面PAB的一个法向量 ，
设平面PAB与平面BMD所成锐二面角的大小为θ，
所以 ．
即平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值为 ．
45．如图1，在五边形 中， ， ， 且 ，将
沿 折成图2，使得 ， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，从而证明 平面 ， 平面
，即可得到平面 平面 ，即可得证．
（2）推导出 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，连接 ，以
为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量法能求出二面角 的正弦值．
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
， 为 的中点， ，
又 ， ．
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
为 的中点， ．
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 ， 平面 ， 平面 平面 ，
又BF⊂平面 ， 平面 ．
（2） ，由（1）知 ， ，
又 ， 为 的中点， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ，
连接 ， ， 为 的中点， ，
又平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
是 与平面 所成的角，即 ，
，设 ，则 ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
试卷第80页，共3页则 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设二面角 的平面角为 ，
，
所以 ，即二面角 的正弦值为 ．
46．如图，四棱锥 中，底面 是边长为4的菱形， ，
，E为 中点， 与 交点为O．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)若 ，求点C到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）只需证明 ，结合线面平行的判定定理即可得解；
（2）只需证明 平面 ，在结合面面垂直的判定定理即可得解；
（3）首先证明 面 ，由等体积法即可列方程求解.
【详解】（1）设 ，连结 ，
∵E为 中点，O为 中点，∴ ，又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2）连结 ，∵ ，O为 中点，∴ ，
又∵底面 为菱形，∴ ，∵ 且两直线在平面内，∴ 平面
，
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ；
（3）由（2）得： ，由 ，同理可得： ，
而 平面 ，
∴ 面 可求： ， ， ，
∴ ，
而 中， ，可求： ， ，
可求： ，
而 ，则 ，
则 即为所求点C到平面 的距离．
47．已知四棱锥 分别为 的中点， 平面 .
试卷第82页，共3页(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，二面角 的大小为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得 ，且 ，即可得到 ，
再由线面平行的判定定理，即可证明；
（2）方法一：作 交 ，连接 ，由二面角的定义可得 是二面角
的平面角，再由勾股定理代入计算，即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，
结合空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算，即可求解.
【详解】（1）因为 平面 平面 ，
又 ， 且PA∩PC=P， ， 平面
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
与 共面，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）法1：如图，作 交 于 ，连接 .
由 得 与 全等，
所以 ，所以 与 全等，
所以 ，且 ，
是二面角 的平面角，
，又因为 ，所以 ，
所以 ，在 中， ，由 ，解得 ，
所以 ，所以 .
法2：如图，以 为原点， 所在直线分别为 ， 轴，
建立空间直角坐标系.则 ， ， ，
设 ，则 ，
所以 ， ， ，
设面 的法向量为 ，
由 ，令 ，可得 ，
设面 的法向量为 ，由 ，
令 ，可得 .
设二面角 的大小为 ，则 ，所以 ，
.
48．如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，
试卷第84页，共3页， 分别为棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据条件得到 且 ，从而有四边形 为平行四边形，
得到 为 的中点，则有 ，再利用线面平行的判定定理，即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，再利用面面角的向量
法，即可求解.
【详解】（1）如图，连接 ，设 ，连接 ，
因为 分别是棱 的中点，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 为 的中点，
又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 ，
所以 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，平面 平面ABC=AB，所以 平面 ，得到 ，
以 为坐标原点，向量 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的
空间直角坐标系 ，
则 ，由 ，得到 ，
所以 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得到 ，令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
考点06： 坐标处理垂直问题
线线垂直：两个向量乘积等于0
试卷第86页，共3页线面垂直：线与平面中任意两条相交直线乘积等于0
面面垂直：求两个平面的法向量，然后两个法向量乘积等于0即可
49．如图所示， 是 的直径，点 是 上异于 的动点， 平面 ，
分别为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，二面角 的正弦值为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析(2)2
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明 平面 ，再由 即可得证；
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
分别求出平面 和平面 的法向量 ，结合向量夹角的坐标公式即可进一步求解.
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 是 的直径，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 分别是 的中点，所以 ，
所以 平面 ；
（2）如图，以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐
标系，
则 ， ，设 ，且 ，
所以 ， ，易知平面 的一个法向量为 ，设平面 的一个法向量 ，则 ，所以 ，
即 ，取 ，得 ，所以 ，
因为二面角 的正弦值为 ，则其余弦值的绝对值为 ，
所以 ，化简得， ，
又因为 ，所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，故 .
50．如图，在平行六面体 中， ，
(1)证明： 平面 ；
试卷第88页，共3页(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2) .
【分析】（1）利用向量数量积证明线线垂直，可证线面垂直；
（2）求平面 的法向量，运用向量法求点到平面的距离.
【详解】（1）(法一)
以 为坐标原点， 方向为 轴非负方向， 方向为 轴非负方向建立如图所示空间直
角坐标系，
则 ，
设 ， ， ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
再由 得 ，
则 ，则 ，故 ，
又 ， ， 平面 ，
则 平面 ；
(法二)，
则 ，
又 ， ， 平面 ，
则 平面 ；
（2）设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)，由（1）得 ，
则 ，不妨取 ，则 ，即 ，
又 ，设点到 到平面 的距离为 ，
则 ，故 到面 的距离为 .
51．如图，在平行四边形 中， ， ， 为边 上的点，
，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且三棱柱 的体
积为 .
(1)证明：平面 平面PAE；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）设 的中点为 ，连接 ，可以证明 平面 ，所以 ，
而 ，再由面面垂直的判定求解；
试卷第90页，共3页（2）以 的中点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量求解．
【详解】（1）证明：由 ， ， 为正三角形.
设 的中点为 ，连接 ，则 ，
则 .易知 ， ，
所以 .
所以， ， ，
故 平面 ， 平面 ，所以 .
又易知 中 ， ， ，
又 平面 ，
所以 平面 .
又 平面PAE，所以平面 平面PAE.
（2）由（1）知 ,
取 的中点 ，连接 ,则 ；又 平面 ，
以 的中点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴正方向，建立空间直角
坐标系，
如图所示，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，
令 ，则 ， ，故 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，
故 ，所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
52．在长方体 中，点E，F分别在 ， 上，且 ，
．
(1)求证： 平面AEF；
试卷第92页，共3页(2)当 ， ， 时，求平面AEF与平面 所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）分别由 ， ，得到 ， ，再利用线
面垂直的判定定理证明；
（2）分别以AB、AD、 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AC，求得平
面 的一个法向量⃗n=(x,y,z)，易得 是平面AEF的一个法向量，设平面AEF和
平面 所成的角为 ，由 求解.
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，又 ， 平面
所以 平面AEF；
（2）分别以AB、AD、 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AC，
因为 ， ， ，则 ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 ， ，
所以 ，所以可取 ，
又因为 平面AEF，
所以 是平面AEF的一个法向量 ，
设平面AEF和平面 所成的角为 ，
则 ，
所以平面AEF和平面 所成的角的余弦值为 ．
53．在三棱锥P—ABC中， ， ，E为AC的中点，
．
(1)求证：平面 平面ABC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
【答案】(1)证明见解析(2) ．
试卷第94页，共3页【分析】（1）先证 ，再证 平面 由线面垂直推出面面垂直即得；
（2）先证 平面 ，建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，利用点到平面距离
的向量公式计算即得.
【详解】（1） ，E为AC的中点，
又 ，且 平面 ，故 平面 ．
又 平面ABC，所以平面 平面ABC
（2）在三角形ABC中： ，
由（1）知 平面 ．因 平面 ．
又E为AC的中点，则 垂直平分AC， ，
，又
，即 ，又 平面 ，故得， 平面
.
故可以E为坐标原点，分别以 、 、 所在方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角
坐标系，如图.
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面PAB的一个法向量为 ，则
令 ，得 ．设点C到平面PAB的距离 ，则 ．
54．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
， ， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，即可得到 ，根据面面垂直的性质
得到 平面 ，从而证明 平面 ，即可得到 ，再由 ，
即可得证；
（2）由（1）可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
试卷第96页，共3页因为 平面 ，且 ，
所以 平面 .
（2）因为 ，由（1）知四边形 为矩形，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
取平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 .
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
55．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值；
(3)在（2）的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)√2(3)
【分析】（1）由面面垂直的判定定理求证；
（2）建立空间直角坐标系 ，由 求解；
（3）由 求解．
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
又 平面 平面 ，得 ，
而 平面 ，
得 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系 ，
试卷第98页，共3页不妨设 ，则 ，
得 ， ，
设平面 的一个法向量为： ，
则 ，取 ，得 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
得 ，得 ，
则 与平面 所成角的正切值为：
（3）解：
设平面 的一个法向量为： ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
得 ，
故平面 与平面 夹角的正弦值为：
56．如图①，在等腰梯形 中， ， ， ， ， 分别是线段
的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线 ， 折起，使得点 和点 重合，记为点 ，如图②.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面PAE与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解(2)
【分析】（1）通过证明 来证得 平面 ，由此证得平面
平面 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出平面PAE与平面 所成锐二面角的余弦
值.
【详解】（1）由题意可知：四边形ABEF是正方形，
则 ，且 ， 平面PEF，
所以 平面PEF，
因为 平面ABEF，所以平面 平面ABEF．
（2）如图，过点P作 于点O，过点O作BE的平行线交AB于点G，
因为平面 平面ABEF，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面ABEF．
又因为PO，EF，OG所在直线两两垂直，
所以分别以OG，OE，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
试卷第100页，共3页则 .
所以 .
设平面PAE的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，则 ，
1 1 1 1
设 ，则 ，可得 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
设z =2，则 ，可得 .
2
设平面PAE与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，
所以平面PAE与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
