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2025新教材数学高考第一轮复习
专题九 平面解析几何
9.1 直线和圆
五年高考
考点1 直线的方程
1.(2018北京理,7,5分,中)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的
距离.当θ,m变化时,d的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2020课标Ⅲ文,8,5分,中)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( )
A.1 B.√2C.√3 D.2
考点2 圆的方程
1.(2020北京,5,4分,易)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为
( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.(2018天津文,12,5分,易)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为
.
3.(2022全国甲文,14,5分,易)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M
的方程为 .
4.(2022全国乙,文15,理14,5分,中)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程
为 .
考点3 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2020课标Ⅱ理,5,5分,易)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的
距离为 ( )
√5 2√5 3√5 4√5
A. B. C. D.
5 5 5 5
2. (2023新课标Ⅰ,6,5分,易)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则
sin α= ( )
√15 √10 √6
A.1 B. C. D.
4 4 4
3.(2020课标Ⅰ理,11,5分,中)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过
点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
4.(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分,中)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列
说法正确的是 ( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
5.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分,中)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 (
)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
6.(2023全国乙理,12,5分,难)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与
☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=√2,则⃗PA·⃗PD的最大值为 ( )
1 √2 1
A. + B. +√2
2 2 2
C.1+√2D.2+√2
7.(2023新课标Ⅱ,15,5分,易)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满
8
足“△ABC的面积为 ”的m的一个值: .
5
8.(2022新高考Ⅰ,14,5分,中)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方
程: .
9.(2022 新高考Ⅱ,15,5 分,中)设点 A(-2,3),B(0,a),若直线 AB 关于 y=a 对称的直线与圆
(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
三年模拟
综合基础练
1.(2023天津武清月考,7)已知直线l :x-3y=0,l :x+ay-2=0,若l ⊥l ,则a= ( )
1 2 1 2
1 1
A. B.− C.3 D.-3
3 3
2.(2023山东威海第十中学月考,1)过直线x+y=2与x-y=0的交点,且平行于向量v=(3,2)的直线方程为( )
A.3x-2y-1=0 B.3x+2y-5=0
C.2x-3y+1=0 D.2x-3y-1=0
3.(2024届湖北武汉硚口起点质检,6)过点( √3 ) π的直线l与圆x2+y2-6y=0
− ,0 且倾斜角为
3 3
交于A,B两点,则弦AB的长为 ( )
A.4√2B.2√2C.2√10D.√10
4.(2024届重庆一中阶段测,3)直线l:ax+y+1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则a的取
值范围是 ( )
A.[-1,2]
B.(-∞,-1)∪[2,+∞)
C.[-2,1]∪(2,3)
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
5.(2023河北唐山二模,5)已知圆C :x2+y2-2x=0,圆C :(x-3)2+(y-1)2=4,则C 与C 的位置关系
1 2 1 2
是 ( )
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
6.(2024届广东深圳开学模考,5)“a≥√5”是“圆C :x2+y2=1与圆C :(x+a)2+(y-2a)2=36存在公
1 2
切线”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.( 多 选 )(2024 届 湖 南 常 德 开 学 考 ,13) 已 知 圆 C:(x-1)2+(y-2)2=16, 直 线 l:(2m+1)x+
(m+1)y-7m-4=0,则 ( )
A.直线l恒过定点
B.直线l能表示平面直角坐标系内每一条直线
C.对任意实数m,直线l都与圆C相交
D.直线l被圆C截得的弦长的最小值为2√11
8.(多选)(2023湖南新高考教学教研联盟联考,11)设k∈R,过定点A的动直线l :x+ky=0和过
1
定点B的动直线l :kx-y+3-k=0交于点P,M是圆C:(x-2)2+(y-4)2=4上的任意一点,则下列说
2
法正确的有( )4
A.直线l 与圆C相切时,k=
1
3
B.M到l 距离的最大值是2+2√5
1
C.直线l 与圆C相交的最短弦长为2√2
2
D.|PA|+|PB|的最大值为2√10
9.(2024届天津四十七中期中,12)已知直线l:2x-y-2=0被圆C:x2+y2-2x+4y+m=0截得的线段
2√5
长为 ,则m= .
5
10.(2023广东汕头二模,13)与圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x+y=0对称的圆的标准方程是
.
11.(2023广东惠州一模,14)过点P(1,1)的弦AB将圆x2+y2=4的圆周分成两段圆弧,要使这
两段弧弧长之差最大,则|AB|= .
12.(2023广东一模,14)在平面直角坐标系中,等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2
√3,则边AC所在直线斜率的一个可能值为 .
综合拔高练
1.(2024届湖南长沙周南中学开学考,7)如图,一次函数y=x+4的图象与x轴,y轴分别交于
点A,B,点C(-2,0)是x轴上一点,点E,F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点,当△CEF的
周长最小时,点E,F的坐标分别为 ( )
A.E( 5 3),F(0,2) B.E(-2,2),F(0,2)
− ,
2 2
C.E( 5 3),F( 2) D.E(-2,2),F( 2)
− , 0, 0,
2 2 3 3
2.(2023广东潮州二模,4)已知圆M:x2+y2-4x+3=0,则下列说法正确的是 ( )
A.点(4,0)在圆M内
B.若圆M与圆C:x2+y2-4x-6y+a=0恰有三条公切线,则a=9
C.直线x-√3y=0与圆M相离D.圆M关于直线4x+3y-2=0对称
3.(多选)(2024届云南三校联考(一),10)点P是直线y=3上的一个动点,过点P作圆x2+y2=4
的两条切线,A,B为切点,则 ( )
A.存在点P,使得∠APB=90°
4√5
B.弦长|AB|的最小值为
3
C.点A,B在以OP为直径的圆上
D.线段AB经过一个定点
4.(多选)(2023广东二模,12)在平面直角坐标系中,已知正方形ABCD四边所在直线与x轴
的交点分别为(0,0),(1,0),(2,0),(4,0),则正方形ABCD四边所在直线中过点(0,0)的直线的斜
率可以是 ( )
3 3 1
A.2 B. C. D.
2 4 4
5.(多选)(2024 届浙江杭州二中第一次月考,11)已知点 A(-1,0),B(1,0),点 P 为圆 C:x2+y2-
6x-8y+17=0上的动点,则( )
A.△PAB面积的最小值为8-4√2
B.|AP|的最小值为2√2
5π
C.∠PAB的最大值为
12
D.⃗AB·⃗AP的最大值为8+4√2
6.(2024届湖北黄冈浠水一中阶段测,14)已知直线l:kx-y-2k+2=0被圆C:x2+(y+1)2=16所截
得的弦长为整数,则满足条件的直线l有 条.
答案 9专题九 平面解析几何
9.1 直线和圆
五年高考
考点1 直线的方程
1.(2018北京理,7,5分,中)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的
距离.当θ,m变化时,d的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
2.(2020课标Ⅲ文,8,5分,中)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( )
A.1 B.√2C.√3 D.2
答案 B
考点2 圆的方程
1.(2020北京,5,4分,易)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为
( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 A
2.(2018天津文,12,5分,易)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为
.
答案 x2+y2-2x=0
3.(2022全国甲文,14,5分,易)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M
的方程为 .
答案 (x-1)2+(y+1)2=5
4.(2022全国乙,文15,理14,5分,中)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程
为 .
答案 (x-2)2+(y-3)2=13 或(x-2)2+(y-1)2=5 或 ( 4) 2 ( 7) 2 65 ( 8) 2+(y-1)2=169
x− + y− = 或 x−
3 3 9 5 25
(写出一个即可)考点3 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2020课标Ⅱ理,5,5分,易)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的
距离为 ( )
√5 2√5 3√5 4√5
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 B
3. (2023新课标Ⅰ,6,5分,易)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则
sin α= ( )
√15 √10 √6
A.1 B. C. D.
4 4 4
答案 B
3.(2020课标Ⅰ理,11,5分,中)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过
点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
答案 D
4.(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分,中)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列
说法正确的是 ( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
答案 ABD
5.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分,中)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 (
)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
答案 ACD
6.(2023全国乙理,12,5分,难)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与
☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=√2,则⃗PA·⃗PD的最大值为 ( )1 √2 1
A. + B. +√2
2 2 2
C.1+√2D.2+√2
答案 A
7.(2023新课标Ⅱ,15,5分,易)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满
8
足“△ABC的面积为 ”的m的一个值: .
5
1 1
答案 2或-2或 或− (写出一个即可)
2 2
8.(2022新高考Ⅰ,14,5分,中)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方
程: .
答案 x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)
9.(2022 新高考Ⅱ,15,5 分,中)设点 A(-2,3),B(0,a),若直线 AB 关于 y=a 对称的直线与圆
(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
答案 [1 3]
,
3 2
三年模拟
综合基础练
1.(2023天津武清月考,7)已知直线l :x-3y=0,l :x+ay-2=0,若l ⊥l ,则a= ( )
1 2 1 2
1 1
A. B.− C.3 D.-3
3 3
答案 A
2.(2023山东威海第十中学月考,1)过直线x+y=2与x-y=0的交点,且平行于向量v=(3,2)的
直线方程为( )
A.3x-2y-1=0 B.3x+2y-5=0
C.2x-3y+1=0 D.2x-3y-1=0
答案 C
3.(2024届湖北武汉硚口起点质检,6)过点( √3 ) π的直线l与圆x2+y2-6y=0
− ,0 且倾斜角为
3 3
交于A,B两点,则弦AB的长为 ( )
A.4√2B.2√2C.2√10D.√10
答案 A4.(2024届重庆一中阶段测,3)直线l:ax+y+1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则a的取
值范围是 ( )
A.[-1,2]
B.(-∞,-1)∪[2,+∞)
C.[-2,1]∪(2,3)
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
答案 D
5.(2023河北唐山二模,5)已知圆C :x2+y2-2x=0,圆C :(x-3)2+(y-1)2=4,则C 与C 的位置关系
1 2 1 2
是 ( )
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
答案 C
6.(2024届广东深圳开学模考,5)“a≥√5”是“圆C :x2+y2=1与圆C :(x+a)2+(y-2a)2=36存在公
1 2
切线”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
7.( 多 选 )(2024 届 湖 南 常 德 开 学 考 ,13) 已 知 圆 C:(x-1)2+(y-2)2=16, 直 线 l:(2m+1)x+
(m+1)y-7m-4=0,则 ( )
A.直线l恒过定点
B.直线l能表示平面直角坐标系内每一条直线
C.对任意实数m,直线l都与圆C相交
D.直线l被圆C截得的弦长的最小值为2√11
答案 ACD
8.(多选)(2023湖南新高考教学教研联盟联考,11)设k∈R,过定点A的动直线l :x+ky=0和过
1
定点B的动直线l :kx-y+3-k=0交于点P,M是圆C:(x-2)2+(y-4)2=4上的任意一点,则下列说
2
法正确的有( )
4
A.直线l 与圆C相切时,k=
1
3
B.M到l 距离的最大值是2+2√5
1
C.直线l 与圆C相交的最短弦长为2√2
2
D.|PA|+|PB|的最大值为2√10答案 BC
9.(2024届天津四十七中期中,12)已知直线l:2x-y-2=0被圆C:x2+y2-2x+4y+m=0截得的线段
2√5
长为 ,则m= .
5
答案 4
10.(2023广东汕头二模,13)与圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x+y=0对称的圆的标准方程是
.
答案 (x-1)2+( 1) 2 5
y+ =
2 4
11.(2023广东惠州一模,14)过点P(1,1)的弦AB将圆x2+y2=4的圆周分成两段圆弧,要使这
两段弧弧长之差最大,则|AB|= .
答案 2√2
12.(2023广东一模,14)在平面直角坐标系中,等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2
√3,则边AC所在直线斜率的一个可能值为 .
3√3 √3
答案 - 或 (填一个即可)
5 7
综合拔高练
1.(2024届湖南长沙周南中学开学考,7)如图,一次函数y=x+4的图象与x轴,y轴分别交于
点A,B,点C(-2,0)是x轴上一点,点E,F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点,当△CEF的
周长最小时,点E,F的坐标分别为 ( )
A.E( 5 3),F(0,2) B.E(-2,2),F(0,2)
− ,
2 2
C.E( 5 3),F( 2) D.E(-2,2),F( 2)
− , 0, 0,
2 2 3 3
答案 C
2.(2023广东潮州二模,4)已知圆M:x2+y2-4x+3=0,则下列说法正确的是 ( )
A.点(4,0)在圆M内
B.若圆M与圆C:x2+y2-4x-6y+a=0恰有三条公切线,则a=9C.直线x-√3y=0与圆M相离
D.圆M关于直线4x+3y-2=0对称
答案 B
3.(多选)(2024届云南三校联考(一),10)点P是直线y=3上的一个动点,过点P作圆x2+y2=4
的两条切线,A,B为切点,则 ( )
A.存在点P,使得∠APB=90°
4√5
B.弦长|AB|的最小值为
3
C.点A,B在以OP为直径的圆上
D.线段AB经过一个定点
答案 BCD
4.(多选)(2023广东二模,12)在平面直角坐标系中,已知正方形ABCD四边所在直线与x轴
的交点分别为(0,0),(1,0),(2,0),(4,0),则正方形ABCD四边所在直线中过点(0,0)的直线的斜
率可以是 ( )
3 3 1
A.2 B. C. D.
2 4 4
答案 ABD
5.(多选)(2024 届浙江杭州二中第一次月考,11)已知点 A(-1,0),B(1,0),点 P 为圆 C:x2+y2-
6x-8y+17=0上的动点,则( )
A.△PAB面积的最小值为8-4√2
B.|AP|的最小值为2√2
5π
C.∠PAB的最大值为
12
D.⃗AB·⃗AP的最大值为8+4√2
答案 BCD
6.(2024届湖北黄冈浠水一中阶段测,14)已知直线l:kx-y-2k+2=0被圆C:x2+(y+1)2=16所截
得的弦长为整数,则满足条件的直线l有 条.
答案 9
