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专 题
九
平
面
解
析
几
何
／
９９
专题九 平面解析几何
９．１ 直线与圆
§
过定点Ｐ ｘ ｙ 的直线系方程 Ａ ｘ ｘ Ｂ ｙ ｙ
（１） （ ０， ０） ： （ － ０）＋ （ － ０）＝ ０
Ａ Ｂ不同时为 也可以表示为ｙ ｙ ｋ ｘ ｘ 和ｘ ｘ
（ 、 ０）， － ０＝ （ － ０） ＝ ０；
平行于直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 的直线系方程 Ａｘ
考点一 直线的方程 （２） ＋ ＋ ＝０（ ＋ ≠０） ：
Ｂｙ Ｃ Ｃ Ｃ
１．直线的倾斜角
＋ ＋ ０＝０（ ≠ ０）；
垂直于直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 的直线系方程 Ｂｘ
（３） ＋ ＋ ＝０（ ＋ ≠０） ：
对于一条与 ｘ 轴相交的直线 如果把 ｘ 轴绕着交点按
（１） ， Ａｙ Ｃ
逆时针 方向旋转到和直线重合时 所转的最小正角记为α － ＋ ０＝０；
① ， ， 过两条已知直线 ｌ Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 和 ｌ
那么α就叫做直线的倾斜角． （４） １： １ ＋ １ ＋ １＝０（ １＋ １≠０） ２：
Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 交点的直线系方程 Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ
规定 当直线ｌ与ｘ轴平行或重合时 它的倾斜角为 ． ２ ＋ ２ ＋ ２＝０（ ２＋ ２≠０） ： １ ＋ １ ＋ １＋
（２） ： ， ０ λ Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ λ Ｒ 这个直线系不包括直线ｌ Ａ ｘ Ｂ ｙ
范围 直线的倾斜角α的取值范围是 ［ ， ） ． （ ２ ＋ ２ ＋ ２）＝０（ ∈ ， ２： ２ ＋ ２ ＋
（３） ： ② ０ π Ｃ 解题时 注意检验ｌ 的方程是否满足题意 以防丢解 ．
２．直线的斜率 ２＝０， ， ２ ， ）
考点二 圆的方程
定义 当直线ｌ的倾斜角α π时 其倾斜角α的正切
（１） ： ≠ ，
２ 圆的方程
值 α叫做这条直线的斜率 斜率通常用小写字母ｋ表示 则ｋ
ｔａｎ ， ，
名称 方程 圆心 半径
α．
＝ｔａｎ
范围 全体实数Ｒ． 标准 （ｘ ａ）２ （ｙ ｂ）２ ｒ２
（２） ： － ＋ － ＝ （ａ，ｂ） ｒ
斜率公式 经过两点Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ ｘ ｘ 的 方程 （ｒ ）
（３） ： １（ １， １）， ２（ ２， ２）（ １≠ ２） ＞０
直线的斜率公式为ｋ Ｐ １ Ｐ ２ ＝③ ｙ ｘ ２ ２ － － ｙ ｘ １ １ ． 一 方 般 程 ｘ （ ２ Ｄ ＋ ２ ｙ ＋ ２ Ｅ ＋ Ｄ ２ － ｘ ４ ＋ Ｆ Ｅ ＞ ｙ ＋ ０ ） Ｆ ＝０ ( － Ｄ ２ ， － Ｅ ２ ) １ ２ Ｄ２ ＋ Ｅ２ －４ Ｆ
３．直线方程的几种形式
温馨提示 方程 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 中 若没有给出ｒ
名称 方程 说明 适用条件 （１） （ － ） ＋（ － ） ＝ ， ＞
则圆的半径为 ｒ 实数ｒ可以取负值．
０， ｜ ｜，
ｋ是斜率
斜截式 ｙ ｋｘ ｂ ， （２） 方程ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＝０ 中 ， 若Ｄ２ ＋ Ｅ２ －４ Ｆ ＝０， 方程表示
＝ ＋ ｂ是纵截距 与ｘ轴不 ( Ｄ Ｅ )
点 若Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 方程不表示任何图形．
ｙ ｙ ｘ ｙ 是直线上的已知点 垂直的直线 － ，－ ； ＋ －４ ＜０，
点斜式 － ０＝ （ ０， ０） ， ２ 圆的 ２ 一般方程的形式特点
ｋ （ ｘ － ｘ ０） ｋ是斜率 （３）
ｘ２ 和ｙ２ 的系数相等且大于
：
ｙ ｙ ｘ ｘ 与两坐标轴 （ｉ） ０；
－ １ － １ ｘ ｙ ｘ ｙ 是直线上 没有含ｘｙ的二次项
两点式 ｙ ｙ ＝ｘ ｘ （ １， １），（ ２， ２） 均不垂直的 （ｉｉ） ；
２－ １ ２－ １ 的两个已知点 Ａ Ｃ 且Ｂ 是二元二次方程Ａｘ２ Ｂｘｙ Ｃｙ２ Ｄｘ Ｅｙ
ｘ ｘ ｙ ｙ 直线 （ｉｉｉ） ＝ ≠０ ＝０ ＋ ＋ ＋ ＋
（ １≠２，１≠２） Ｆ 表示圆的必要不充分条件．
＋ ＝０
不过原点且与
截距式 ｘ ｙ ａ是直线的横截距 ， 两坐标轴均不 （４） 已知Ｐ （ ｘ １， ｙ １）， Ｑ （ ｘ ２， ｙ ２）， 则以ＰＱ为直径的圆的方程
ａ ＋ ｂ ＝１ ｂ是直线的纵截距 为 ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ ．
垂直的直线 （ － １）（ － ２）＋（ － １）（ － ２）＝０
Ｃ 考点三 两直线的位置关系
当Ｂ 时 是直线的
＝０ ，－ Ａ
１．两条直线的位置关系
横截距
斜截式 一般式
Ａｘ Ｂｙ Ｃ 一般式 （ Ａ ＋ ２ ＋ Ｂ ＋ ２ ≠ ＝ ０） ０ 当Ａ ≠０， Ｂ ≠０ 时 ，－ Ｂ Ａ ， 所有直线 ｌ １： ｙ ＝ ｋ １ ｘ ＋ ｂ １， ｌ ２： ｙ ＝ ｋ ２ ｘ ＋ ｂ ２ ｌ １： Ａ １ ｘ ＋ Ｂ １ ｙ ＋ Ｃ １＝０， ｌ ２： Ａ ２ ｘ ＋ Ｂ ２ ｙ ＋ Ｃ ２＝０
Ｃ Ｃ 相交 ｋ ｋ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
－ Ａ ，－ Ｂ 分别为直线的斜 １≠ ２ １ ２－ ２ １≠０
{Ａ Ｂ Ａ Ｂ {Ａ Ｂ Ａ Ｂ
率 横截距 纵截距 平行 ｋ ｋ 且ｂ ｂ １ ２－ ２ １＝０，或 １ ２－ ２ １＝０，
、 、 ① １＝ ２ １≠ ２ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ
注意 当直线与ｘ轴不垂直时 可设直线的方程为ｙ １ ２－ ２ １≠０ １ ２－ ２ １≠０
（１） ， ＝ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ
ｋｘ ＋ ｂ ； 当不确定直线的斜率是否存在时 ， 可设直线的方程为ｋｙ ＋ ｘ 重合 ｋ １＝ ｋ ２ 且ｂ １＝ ｂ ２ Ｂ １ Ｃ ２－ ２ １ ＝ １ ２－ ２ １ ＝ １ ２－
＋ ｂ ＝０ ． ２ １＝０
特殊直线的方程 过Ｐ ｘ ｙ 且垂直于ｘ轴的直线方 特别地 当直线ｌ 与ｌ 垂直时 ｋ ｋ Ａ Ａ Ｂ Ｂ ． （２） ， １（ １， １） ， １ ２ ， １· ２＝－１， １ ２＋ １ ２＝０
程为ｘ ｘ 过Ｐ ｘ ｙ 且垂直于ｙ轴的直线方程为 ｙ ｙ ． ２．距离公式
＝ １； １（ １， １） ④ ＝ １
知识拓展 常见的直线系方程 两点间的距离 平面上的两点Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 间
（１） ： １（ １， １）、 ２（ ２， ２）
A
版
高
考
数
学
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１００
的距离公式 ：｜ Ｐ １ Ｐ ２｜＝② （ｘ １－ ｘ ２ ）２ ＋ （ｙ １－ ｙ ２ ）２ ． （１） 过圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｒ２ 上一点Ｐ （ ｘ ０， ｙ ０） 的切线方程为ｘ ０ ｘ ＋ ｙ ０ ｙ
特别地 原点 Ｏ 与任一点 Ｐ ｘ ｙ 的距离 ＯＰ ｒ２
， （０，０） （ ， ） ｜ ｜ ＝ ；
过圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 上一点Ｐ ｘ ｙ 的切线方程
离
＝
ｄ
ｘ
＝
（
２
③
２
＋
）
ｙ
点
２
｜
．
Ａ
到
ｘ ０
直
＋ Ａ Ｂ ２
线
ｙ ０ Ｂ
的
＋ ２ Ｃ
距
｜
离
．
： 点Ｐ （ ｘ ０， ｙ ０） 到直线Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝０ 的距
为
为
（
Ａ
ｘ
， （
（
０
Ｂ
－
３
２
，
ａ
）
）
则
）
过
（
过 圆
ｘ
－
Ａ
（ ａ
ｘ 、
）
２ Ｂ
－
＋
＋
ｙ
（
两 ２
） ｙ
＝
０
点
＋
－
ｒ２
（ ｂ
的 外
）
直
（
－
一
ｙ
线
－
）
点
ｂ
方
）
＝
＝
Ｐ 程 （
ｒ２
为 ｘ
；
０， ｘ ｙ ０ ０ ｘ ） ＋ 作 ｙ ０ 圆 ｙ
（
＝ 的
０
ｒ
，
２ ； 两
０）
条切线 ， 切点
（３）
两条平行 ＋ 线间的距离
：
两条平
Ｃ
行线
Ｃ
Ａｘ
＋
Ｂｙ
＋
Ｃ
１＝０
与Ａｘ
＋
引圆的
（４
切
） 过
线
圆
切
ｘ
点
２ ＋
为
ｙ２ ＋
Ｔ
Ｄｘ
则
＋ Ｅ
切
ｙ
线
＋ Ｆ
长
＝０
Ｐ
（
Ｔ
Ｄ２ ＋ Ｅ２
ｘ
－
２
４ Ｆ
ｙ２
＞０
Ｄ
）
ｘ
外一
Ｅｙ
点
Ｆ
Ｐ
．
（ ｘ ０， ｙ ０）
Ｂｙ ＋ Ｃ ２＝０（ Ｃ １≠ Ｃ ２） 间的距离ｄ ＝④ ｜ Ａ １－ ２ Ｂ ２ ２ ｜ ． ４．直线 ， 与圆相交 ， ｜ ｜＝ ０＋ ０＋ ０＋ ０＋
＋ 直线与圆相交时 若ｌ为弦长 ｄ为弦心距 ｒ为半径 则有ｒ２ ｄ２
知识拓展 用点到直线的距离公式时 直线方程必须 ， ， ， ， ＝
（１） ， ｌ２
化为一般式 还要注意公式中的分子含有绝对值符号 分母含有 即ｌ ｒ２ ｄ２ 求弦长或已知弦长求其他量时 一般用此公式．
， ， ＋ ， ＝２ － ， ，
４
根号．
求两平行线间的距离时 可转化为其中一条直线上的点 考点五 圆与圆的位置关系
（２） ，
到另一条直线的距离 也可以代入公式求解 但此时必须先将两 １．圆与圆的位置关系
， ，
直线方程转化为一般形式且ｘ ｙ的系数分别对应相等． 设两圆的圆心距为ｄ 两圆的半径分别为Ｒ ｒ Ｒ ｒ 则
、 ， ， （ ＞ ），
点到几种特殊直线的距离 可直接求出
（３） ， ： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
点Ｐ ｘ ｙ 到ｘ轴的距离ｄ ｙ
（ｉ） （ ０， ０） ＝｜ ０｜；
点Ｐ ｘ ｙ 到ｙ轴的距离ｄ ｘ
（ｉｉ） （ ０， ０） ＝｜ ０｜； 图形
点Ｐ ｘ ｙ 到与ｘ轴平行的直线ｙ ａ的距离ｄ ｙ ａ
（ｉｉｉ） （ ０， ０） ＝ ＝｜ ０－ ｜；
点Ｐ ｘ ｙ 到与ｙ轴平行的直线ｘ ｂ的距离ｄ ｘ ｂ ．
（ｉｖ） （ ０， ０） ＝ ＝｜ ０－ ｜ 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
考点四 直线与圆的位置关系
公共点个数
０ １ ２ １ ０
１．点与圆的位置关系
ｄ Ｒ ｒ的关系 ｄ Ｒ ｒ ｄ Ｒ ｒ Ｒ ｒ ｄ Ｒ ｒ ｄ Ｒ ｒ ｄ Ｒ ｒ
根据点到圆心的距离ｄ与圆的半径ｒ的大小判断 ｄ ｒ ， ， ＞ ＋ ＝ ＋ － ＜ ＜ ＋ ＝ － ＜ －
（１） ： ＞
点在圆外 ｄ ｒ 点在圆上 ｄ ｒ 点在圆内． 公切线条数
⇔ ； ＝ ⇔ ； ＜ ⇔ ４ ３ ２ １ ０
根据点Ｍ ｘ ｙ 与圆的方程 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 的关
（２） （ ０， ０） （ － ） ＋（ － ） ＝ 知识拓展 圆系方程
系判断
ｘ ： ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 点在圆外 （１） 同心圆系方程 ：（ ｘ － ａ ） ２ ＋（ ｙ － ｂ ） ２ ＝ ｒ２ （ ｒ ＞０）， 其中ａ ， ｂ是
（ ０－ ） ＋（ ０－ ） ＞ ⇔ ； 定值 ｒ是参数
ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 点在圆上 ， ；
（ ０－ ） ＋（ ０－ ） ＝ ⇔ ； 过直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 与圆ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ 交点的圆
ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 点在圆内． （２） ＋ ＋ ＝０ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０
（ ０－ ） ＋（ ０－ ） ＜ ⇔ 系方程 ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ λ Ａｘ Ｂｙ Ｃ λ Ｒ
２．直线与圆的位置关系的判定 ： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ （ ＋ ＋ ）＝０（ ∈ ）；
过圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 和圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ
设直线ｌ Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 圆Ｃ ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ （３） １： ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＝０ ２： ＋ ＋ ２ ＋ ２
： ＋ ＋ ＝０（ ＋ ≠０）， ：（ － ） ＋（ － ） ＝ Ｆ 交点的圆系方程 ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ λ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ
ｒ２ ｒ ｄ为圆心 ａ ｂ 到直线ｌ的距离 联立直线和圆的方程 ＋ ２＝０ ： ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＋ （ ＋ ＋ ２ ＋ ２
（ ＞０）， （ ， ） ， ， Ｆ λ 该圆系不含圆Ｃ 解题时 注意检验圆Ｃ 是
消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ． ＋ ２）＝０（ ≠－１）（ ２， ， ２
否满足题意 以防漏解 ．
判断方法 ， ）
２．两圆相交时，公共弦所在直线的方程
位置关系 图形 公共点个数
代数法 几何法 设圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ
１： ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＝０， ２： ＋ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２＝
若两圆相交 则有一条公共弦 两圆方程相减得 Ｄ Ｄ ｘ
０， ， ， （ １－ ２） ＋
相交 Δ ｄ ｒ Ｅ Ｅ ｙ Ｆ Ｆ 即圆Ｃ 与Ｃ 的公共弦所在直线的方程．
＞０ ＜ ２ （ １－ ２） ＋ １－ ２＝０， １ ２
知识拓展 当两圆相交时 两圆方程相减 所得的直线
（１） ， ，
方程即为两圆公共弦所在的直线方程 这一结论的前提是两圆
相切 Δ ｄ ｒ ，
＝０ ＝ １ 相交 如果不确定两圆是否相交 两圆方程相减得到的方程不一
， ，
定是两圆公共弦所在的直线方程．
两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
相离 Δ ｄ ｒ （２）
＜０ ＞ ０ 求公共弦长时 几何法比代数法简单且易求．
（３） ，
３．与圆的切线有关的结论
专
题
九
平
面
解
析
几
何
／
１０１
的方程为ｘ ｙ 或ｘ ｙ ．
－４ ＝０ ＋ －５＝０
（ ）由已知设直线ｙ ｘ的倾斜角为α，则所求直线的倾斜
２ ＝３
α
角为 α．因为 α ，所以 α ２ｔａｎ ３ ．
考法一 求直线的倾斜角和斜率 ２ ｔａｎ ＝３ ｔａｎ２ ＝ ２α＝－
１－ｔａｎ ４
( [ ]) 又直线经过点 Ａ（ ， ），因此所求直线方程为 ｙ
例１ 直线 ｘ α ｙ α π π 的倾斜角的 －１ －３ ＋３＝
２ ｃｏｓ － －３＝０ ∈ ，
６ ３ ３ （ｘ ），即 ｘ ｙ ．
取值范围是 － ＋１ ３ ＋４ ＋１５＝０
（ ） ４
[ ] [ ] [ ) [ ] （ ）当斜率不存在时，直线方程为ｘ ，满足题意．
π π π π π π π ２π ３ －５＝０
Ａ． ， Ｂ． ， Ｃ． ， Ｄ． ， 当斜率存在时，设斜率为ｋ，则直线方程为ｙ ｋ（ｘ ），
６ ３ ４ ３ ４ ２ ４ ３ －１０＝ －５
解析 直线 ｘ α ｙ 的斜率ｋ α， ｋ
２ ｃｏｓ － －３＝０ ＝２ｃｏｓ 即ｋｘ ｙ ｋ ．根据题意有｜１０－５ ｜ ，解得ｋ ３ ．
因为α
[
π，π
]
，所以 １ α ３，
－ ＋１０－５ ＝０
ｋ２
＋１
＝５ ＝
４
∈ ≤ｃｏｓ ≤ 所求直线方程为 ｘ ｙ ．
６ ３ ２ ２ ∴ ３ －４ ＋２５＝０
所以直线的斜率ｋ ＝２ｃｏｓ α ∈ ［ １ ， ３ ］． 综上，所求直线方程为ｘ －５＝０ 或 ３ ｘ －４ ｙ ＋２５＝０ ．
（ ）由题意可知，所求直线的斜率为 ．
设直线的倾斜角为θ，则有 θ ［ ， ］． ４ ±１
[
ｔａｎ
]
∈ １ ３ 又过点（
３
，
４
），所以由点斜式得ｙ
－４＝±
（ｘ
－３
）．
又θ ［ ， ），所以θ π，π ， 故所求直线的方程为ｘ ｙ 或ｘ ｙ ．
∈ ０ π ∈ － ＋１＝０ ＋ －７＝０
４ ３
[ ] 方法总结 １．求直线方程可分为两种类型 一是根据题目条
即倾斜角的取值范围是 π，π ． ：
件选择相应的直线方程形式 写出方程 这是直接法 二是根据直线
４ ３ ， ， ；
答案 Ｂ 在题目中所具有的某些性质 先设出方程 含参数或待定系数 再
， （ ），
确定其中的参数值或待定系数 然后写出方程 这是间接法．
方法总结 １．求倾斜角的取值范围 ， ，
２．求直线方程应注意的问题
求出斜率ｋ α的取值范围 若斜率不存在 则倾斜
（１） ＝ｔａｎ （ ， 选择直线方程时 应注意分类讨论思想的应用 选用点
角为 ° （１） ， ：
９０ ）； 斜式或斜截式时 需讨论直线的斜率是否存在 选用截距式时
利用正切函数的单调性 借助图象或单位圆确定倾斜角 ， ； ，
（２） ， 需讨论直线是否过原点．
α的取值范围．
求直线方程时 如果没有特别要求 求出的方程应化为
２．求斜率的常用方法 （２） ， ，
一般式Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ Ｂ不同时为 ．
当倾斜角不是 °时 斜率ｋ α ＋ ＋ ＝０（ ， ０）
（１） ９０ ， ＝ｔａｎ ；
经过两点 Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 的直线的斜率为 ｋ
（２） １（ １， １）， ２（ ２， ２） ＝ 考法三 对称问题
ｙ ｙ
２－ １ ｘ ｘ 例３ 已知直线ｌ ｘ ｙ 点Ａ 求
ｘ ｘ （ １≠ ２）； ：２ －３ ＋１＝０， （－１，－２）， ：
２－ １ 点Ａ关于直线ｌ的对称点Ａ′的坐标
Ａ （１） ；
方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ｂ 的直线的斜率为ｋ 直线ｍ ｘ ｙ 关于直线ｌ的对称直线ｍ′的方程
（３） ＋ ＋ ＝０（ ≠０） ＝－Ｂ； （２） ：３ －２ －６＝０ ；
直线ｌ关于点Ａ 对称的直线ｌ′的方程．
依据方向向量求斜率 以ａ ｍ ｎ ｍ 为方向向量 （３） （－１，－２）
（４） ， ＝（ ， ）（ ≠０）
ｎ 解题导引 设Ａ′ ｘ ｙ 由题意知ＡＡ′ ｌ及ＡＡ′的中点
的直线的斜率ｋ （１） （ ， ）， ⊥
＝ ｍ； 在直线ｌ上 列关于 ｘ ｙ 的方程组求解． 直线 ｍ与直线 ｌ 相
， ， （２）
利用导数的几何意义求切线的斜率． 交 可求出交点坐标 在直线ｍ上另取一点Ｍ 求Ｍ关于ｌ的对
（５） ， ， ，
称点Ｍ′ Ｍ′在直线ｍ′上 由交点和点Ｍ′即可求直线ｍ′的方程．
考法二 求直线的方程 ， ，
解法一 可以在ｌ上取两个不同点Ｂ Ｃ 求其关于点Ａ的对
（３） ： ， ，
例２ 根据所给条件求直线的方程 称点Ｂ′ Ｃ′ 由Ｂ′与Ｃ′在直线ｌ′上 可求ｌ′的方程．解法二 在ｌ′上
： ， ， ， ：
经过点Ｐ 且在两坐标轴上的截距相等 任取一点Ｐ ｘ ｙ 利用相关点法求ｌ′的方程．解法三 易知ｌ′ ｌ
（１） （４，１）， ； （ ， ）， ： ∥，
经过点Ａ 倾斜角等于直线ｙ ｘ的倾斜角的 可先设出ｌ′的方程 求出直线ｌ′上的一点坐标 再求解．
（２） （－１，－３）， ＝３ ， ，
倍 解析 （ ）设Ａ′（ｘ，ｙ），
２ ； １
直线过点 且原点到该直线的距离为
ìｙ ì
（３） （５，１０）， ５； ï ＋２· ２ ， ïｘ ３３，
经过点Ｂ 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． ïｘ ＝－１ ï ＝－
（４） （３，４）， 由已知得í ＋１ ３ 解得í １３
解析 （ ）设直线在ｘ，ｙ轴上的截距均为ａ，若ａ ，则直线 ï ｘ ｙ ï
１ ＝０ ï －１ －２ ， ïｙ ４ ．
î２× －３× ＋１＝０ î ＝
过点（ ， ）和（ ， ），所以直线的方程为ｙ １ ｘ，即ｘ ｙ ．若ａ ( ) ２ ２ １３
０ ０ ４ １ ＝ －４ ＝０ ４ Ａ′ ３３，４ ．
ｘ ｙ ∴ －
，则设直线的方程为 ，因为直线过点（ ， ），所以 ４ １３ １３
≠０ ａ ＋ ａ ＝１ ４ １ ａ （ ）在直线ｍ上取一点，如Ｍ（ ， ），
２ ２ ０
则Ｍ（ ， ）关于直线ｌ的对称点必在ｍ′上．
１ ，所以ａ ，所以直线的方程为ｘ ｙ ．综上可知，直线 ２ ０
＋ ａ ＝１ ＝５ ＋ －５＝０ 设Ｍ的对称点为Ｍ′（ａ，ｂ），则
A
版
高 考
数
学
／
１０２
ì ï
ï２×
ａ ＋２
－３×
ｂ ＋０
＋１＝０
， ì ï
ï
ａ
＝
６ ，
( )
答案 Ｂ
í ２ ２ 解得í １３ 则Ｍ′ ６ ，３０ ．
ïｂ ï 考法四 求圆的方程
ï －０ ２ ， ïｂ ３０， １３ １３
îａ × ＝－１ î ＝
－２ ３ １３ 例４ 在平面直角坐标系中 经过三点
易知 ｍ 与 ｌ 不平行， 设 ｍ 与 ｌ 的交点为 Ｎ， 则由 （１） ， （０，０），（１，１），
的圆的方程为 ．
{ ｘ ｙ ， ( ) （２，０）
２ －３ ＋１＝０ 得Ｎ（ ， ）． ｍ′经过点Ｎ（ ， ），Ｍ′ ６ ，３０ ， 圆心在直线 ｘ ｙ 上 且过点 Ａ Ｂ
ｘ ｙ ４ ３ ∵ ４ ３ （２） －２ －３＝０ ， （２，－３）， （－２，
３ －２ －６＝０ １３ １３ 的圆的方程为 ．
由两点式得直线ｍ′的方程为 ｘ ｙ ． －５）
∴ ９ －４６ ＋１０２＝０ 已知圆Ｃ的圆心在直线ｘ ｙ 上 圆Ｃ与直线ｘ ｙ
（ ）解法一：在直线ｌ上取点Ｂ（ ， ），Ｃ（ ， ）， （３） ＋ ＝０ ， － ＝０
则 ３ Ｂ，Ｃ关于点Ａ（ ， ）的对称 １ １ 点分别 ４ 为 ３ Ｂ′（ ， ）和 相切 ， 且截直线ｘ － ｙ －３＝０ 所得的弦长为 ６， 则圆 Ｃ 的方程为
－１ －２ －３ －５
．
Ｃ′（ ， ）， ｋ －５－
（
－７
）
２ ． 直线ｌ′的方程为ｙ ２ （ｘ
－６ －７ ∴ ＝ （ ）＝ ∴ ＋５＝ ＋ 解析 （ ）解法一：设圆的方程为ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ （Ｄ２
－３－ －６ ３ ３ １ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０ ＋
），即 ｘ ｙ ． {Ｆ ， {Ｄ ，
３ ２ －３ －９＝０ ＝０ ＝－２
解法二：设Ｐ（ｘ，ｙ）为ｌ′上任意一点， Ｅ２ Ｆ ），则 Ｄ Ｅ Ｆ ，解得 Ｅ ，
－４ ＞０ １＋１＋ ＋ ＋ ＝０ ＝０
则Ｐ（ｘ，ｙ）关于点Ａ（ ， ）的对称点为Ｐ′（ ｘ， ｙ）， Ｄ Ｆ ， Ｆ ，
－１ －２ －２－ －４－ ４＋２ ＋ ＝０ ＝０
∵
Ｐ′在直线ｌ上，
∴２
（
－２－
ｘ）
－３
（
－４－
ｙ）
＋１＝０
， 故圆的方程为ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＝０
．
化简得 ｘ ｙ ， 直线ｌ′的方程为 ｘ ｙ ． 解法二：可设Ｏ（ ， ），Ａ（ ， ），Ｂ（ ， ），
２ －３ －９＝０ ∴ ２ －３ －９＝０ ０ ０ １ １ ２ ０
解法三： ｌ′ ｌ， 设ｌ′的方程为 ｘ ｙ ｃ ，ｃ ． 则ｋ ，ｋ ，所以ｋ ·ｋ ，即ＯＡ ＡＢ，
∵ ∥ ∴ ２ －３ ＋ ＝０ ≠１ ＯＡ＝１ ＡＢ＝－１ ＯＡ ＡＢ＝－１ ⊥
在直线ｌ上取点Ｂ（ ， ），则点Ｂ关于Ａ（ ， ）的对称点 所以 ＯＡＢ是以Ａ为直角的直角三角形，
１ １ －１ －２ △
为Ｂ′（ ， ）， Ｂ′在直线ｌ′上， ｃ ， ｃ ， 则线段ＢＯ是所求圆的直径，
－３ －５ ∵ ∴ －６＋１５＋ ＝０ ∴ ＝－９
ｌ′的方程为 ｘ ｙ ．
∴ ２ －３ －９＝０ 因此圆心为线段ＡＢ的中点（ ， ），半径ｒ １ ＯＢ ，
方法总结 常见对称问题的求解方法 １ ０ ＝ ｜ ｜＝１
： ２
中心对称 故圆的方程为（ｘ ）２ ｙ２ ．
（１） －１ ＋ ＝１
若点Ｍ ｘ ｙ 与Ｎ ｘ ｙ 关于Ｐ ａ ｂ 对称 则由中点坐 （ ）解法一：设点Ｃ为圆心，因为点Ｃ在直线ｘ ｙ 上，
① （ １， １） （ ， ） （ ， ） ， ２ －２ －３＝０
{ｘ ａ ｘ 所以可设点Ｃ的坐标为（ ａ ，ａ）．又该圆经过Ａ，Ｂ两点，所以
标公式得 ＝２ － １， ２ ＋３
ｙ ｂ ｙ ． ＣＡ ＣＢ ，
＝２ － １ ｜ ｜＝｜ ｜
若直线关于直线外一点对称 则在已知直线上取一点 求 即 （ ａ ）２ （ａ ）２ （ ａ ）２ （ａ ）２，解得 ａ
② ， ， ２ ＋３－２ ＋ ＋３ ＝ ２ ＋３＋２ ＋ ＋５
出其对称点 ， 再利用两直线平行 ， 斜率相等 ， 由点斜式得到所求 ＝－２ ．所以圆心Ｃ的坐标为（ －１ ， －２ ），半径ｒ ＝ １０ ，
直线方程．
故所求圆的方程为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ．
＋１ ＋ ＋２ ＝１０
轴对称
（２） 解法二：设所求圆的标准方程为（ｘ ａ）２ （ｙ ｂ）２ ｒ２，
－ ＋ － ＝
① 点关于直线的对称 {（ ａ）２ （ ｂ）２ ｒ２，
若两点Ｐ ｘ ｙ 与Ｐ ｘ ｙ 关于直线ｌ Ａｘ Ｂｙ Ｃ 对
２－ ＋ －３－ ＝
称 则线段Ｐ Ｐ １（ 的 １， 中 １） 点在对 ２（ 称 ２ 轴 ， ｌ ２） 上 而且过点 ： Ｐ ＋ Ｐ 的 ＋ 直 ＝ 线 ０ 垂 由题意得 （ －２－ ａ）２ ＋ （ －５－ ｂ）２ ＝ ｒ２，解得 ａ ＝－１ ，ｂ ＝－２ ，ｒ２ ＝
， １ ２ { ｘ ｘ ， ｙ ｙ １， ２ ａ －２ ｂ －３＝０ ，
Ａ １＋ ２ Ｂ １＋ ２ Ｃ ，故所求圆的方程为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ．
直于对称轴ｌ 由方程组 · ＋ · ＋ ＝０，可得到点Ｐ １０ ＋１ ＋ ＋２ ＝１０
， ２ ２ １ 解法三：设圆的一般方程为ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ （Ｄ２ Ｅ２ Ｆ
Ａ ｙ ｙ Ｂ ｘ ｘ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０ ＋ －４
（ １－ ２）＝ （ １－ ２）， ( Ｄ Ｅ )
关于ｌ对称的点Ｐ 的坐标 ｘ ｙ 其中Ａ ｘ ｘ ． ）， 则 圆 心 坐 标 为 ， ， 由 题 意 得
２ （ ２， ２）（ ≠０， １≠ ２） ＞ ０ － －
直线关于直线的对称 ２ ２
② 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决 ， 有两种情 ì ï ï－ Ｄ －２× ( － Ｅ ) －３＝０ ，
况 一是已知直线与对称轴相交 二是已知直线与对称轴平行． í ２ ２ 解得Ｄ ，Ｅ ，Ｆ ．
： ； ï Ｄ Ｅ Ｆ ， ＝２ ＝４ ＝－５
经典例题教师用书 ï４＋９＋２ －３ ＋ ＝０
î Ｄ Ｅ Ｆ ，
例 （２０１８广东揭阳一模，３）若直线ｌ ｘ ｙ 与直线ｌ ４＋２５－２ －５ ＋ ＝０
ｍｘ ｙ ｂ 关于ｘ轴对称 则ｍ ｂ
１： －３ ＋２＝０ ２： 故所求圆的方程为ｘ２
＋
ｙ２
＋２
ｘ
＋４
ｙ
－５＝０
．
－ ＋ ＝０ ， ＋ ＝ （ ） （ ）解法一：设所求圆的方程为（ｘ ａ）２ （ｙ ｂ）２ ｒ２（ｒ ），
３ － ＋ － ＝ ＞０
１ １ ａ ｂ
Ａ． Ｂ．－１ Ｃ．－ Ｄ．１ 则圆心（ａ，ｂ）到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜ － －３｜，
３ ３ － －３＝０ ＝
解析 直线ｌ ：ｘ ｙ 关于ｘ轴对称的直线为ｘ ｙ ２
１ －３ ＋２＝０ ＋３ ＋２＝ （ａ ｂ ）２
．由题意知ｍ ． ｒ２ － －３ ３ ，即 ｒ２ （ａ ｂ ）２ ．
０ ≠０ ∴ ＝ ＋ ２ ＝ － －３ ＋３①
２ ２
ｙ ｂ 因为ｍｘ ｙ ｂ ，即ｘ ，且直线ｌ 与ｌ 关于ｘ轴 ａ ｂ
－ ＋ ＝０ －ｍ＋ｍ ＝０ １ ２ ∵ 所求圆与直线ｘ － ｙ ＝０ 相切， ∴ ｜ － ｜ ＝ ｒ，
对称， ２
（ａ ｂ）２ ｒ２．
ì ì ∴ － ＝２ ② ï ï－ｍ １ ＝３ ， ï ï ｍ ＝－ １ ， 又 ∵ 圆心在直线ｘ ＋ ｙ ＝０ 上， ∴ ａ ＋ ｂ ＝０ ． ③
所以有í 解得í ３ {ａ ，
ïｂ ï ＝１
î ï ｍ ＝２ ， î ïｂ ＝－ ２ ， 联立 ①②③ ，解得 ｂ ＝－１ ，
３
( ) ｒ ，
则ｍ ｂ １ ２ ． ＝ ２
＋ ＝－ ＋ － ＝－１ 故圆Ｃ的方程为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ．
３ ３ －１ ＋ ＋１ ＝２
专
题
九
平
面
解
析
几
何
／
１０３
解法二： 所求圆的圆心在直线ｘ ｙ 上， ａ ａ
∵ ＋ ＝０ 直线ｘ ｙ 相切，所以圆的半径为 ｜ ＋ ｜ ａ ，又由圆过
设所求圆的圆心为（ａ， ａ）． ＋ ＝０ ＝ ２｜ ｜
∴ － １ ２ ＋１ ２
ａ
又 所求圆与直线ｘ ｙ 相切， 半径ｒ ２｜ ｜ ａ ． 点（ ， ）得 （ａ ）２ （ａ ）２ ａ ，解得ａ ，所以圆心为
∵ － ＝０ ∴ ＝ ＝ ２｜ ｜ ２ ２ －２ ＋ －２ ＝ ２｜ ｜ ＝１
２ （ ， ），半径为 ，所以圆Ｃ的方程为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ．
又所求圆截直线ｘ ｙ 所得的弦长为 ，圆心（ａ， ａ） １ １ ２ －１ ＋ －１ ＝２
－ －３＝０ ６ － 答案 （ｘ ）２ （ｙ ）２
ａ －１ ＋ －１ ＝２
到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜２ －３｜，
－ －３＝０ ＝
２ 考法五 两直线的位置关系
æ ö２ （ ａ ）２
∴
ｄ２
＋è
ç ６
ø
÷
＝
ｒ２，即 ２ －３
＋
３
＝２
ａ２， 例１ 已知直线ｌ
１：
ａｘ
＋２
ｙ
＋６＝０
和ｌ
２：
ｘ
＋（
ａ
－１）
ｙ
＋
ａ２
－１＝０
．
２ ２ ２ 试判断ｌ 与ｌ 是否平行
解得ａ ＝１ ， ∴ 圆Ｃ的方程为（ｘ －１ ）２ ＋ （ｙ ＋１ ）２ ＝２ ． （１） 当ｌ ｌ １ 时 求 ２ ａ的值． ；
解法三：设所求圆的方程为ｘ２
＋
ｙ２
＋
Ｄｘ
＋
Ｅｙ
＋
Ｆ
＝０
（Ｄ２
＋
Ｅ２
－４
Ｆ （２） １⊥２ ，
( Ｄ Ｅ ) 解析 解法一：（ ）当ａ 时，直线ｌ 的方程为ｘ ｙ
），则圆心为 ， ，半径ｒ １ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ， １ ＝１ １ ＋２ ＋６＝
＞０ － － ＝ ＋ －４ ，直线ｌ 的方程为ｘ ，ｌ 不平行于ｌ ；
２ ２ ２ ０ ２ ＝０ １ ２
Ｄ Ｅ ａ
圆心在直线ｘ ｙ 上， ，即Ｄ Ｅ ， 当ａ 时，两条直线的方程可化为 ｌ ：ｙ ｘ ，ｌ ：ｙ
∵ ＋ ＝０ ∴ － ２ － ２ ＝０ ＋ ＝０ ① ≠１ １ ＝－ ２ －３ ２ ＝
又 圆Ｃ与直线ｘ ｙ 相切， { ａ
∵ － ＝０ １ ，
Ｄ Ｅ １ ｘ （ａ ），由ｌ ｌ － ＝ ａ 解得ａ ．
－ ＋ １－
ａ － ＋１ １∥２⇔ ２ １
（
－
ａ ），
＝－１
２ ２ １ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ， －３≠－ ＋１
∴ ２ ＝ ２ ＋ －４ 综上可知，当ａ ＝－１ 时，ｌ １∥ ｌ ２ ，否则ｌ １ 与ｌ ２ 不平行．
即（Ｄ Ｅ）２ （Ｄ２ Ｅ２ Ｆ）， （ ）当ａ 时，直线ｌ 与ｌ 不垂直；
－ ＝２ ＋ －４ ２ ＝１ １ ２
Ｄ２ Ｅ２ Ｄ·Ｅ Ｆ ． ａ
∴ ＋ ＋２ －８ ＝０② 当ａ 时，两条直线的方程可化为 ｌ ：ｙ ｘ ，ｌ ：ｙ
又知圆心 ( Ｄ ， Ｅ ) 到直线 ｘ ｙ 的距离 ｄ ≠１ １ ＝－ ２ －３ ２ ＝
－ － － －３ ＝ ０ ＝ ａ
２ ２ １ ｘ （ａ ），由ｌ ｌ 得 · １ ，解得ａ ２ ．
Ｄ Ｅ ａ － ＋１ １⊥２ － ａ＝－１ ＝
１－ ２ １－ ３
－ ２ ＋ ２ －３ ，由已知得ｄ２ ＋ æ è ç ６ ö ø ÷ ２ ＝ ｒ２， 解法二：（ １ ）由Ａ １ Ｂ ２－ Ａ ２ Ｂ １＝０ ，得ａ（ａ －１ ） －１×２＝０ ；
∴ ２ （Ｄ － Ｅ ＋６ ）２ ＋１２＝２ （Ｄ２ ＋ Ｅ ２ ２ －４ Ｆ）， ③ 由Ａ １ Ｃ ２－ Ａ ２ Ｃ １ { ≠ ａ（ ０ ， ａ 得 ） ａ（ａ２ －１ ） － ， １×６ { ≠ ａ２ ０ ， ａ ，
{Ｄ ， 因此ｌ ｌ －１ －１×２＝０ － －２＝０ ａ ．
＝－２ １∥２⇔ ａ（ａ２ ） ⇔ ａ（ａ２ ） ⇒ ＝－１
联立 ，解得 Ｅ ， －１ －１×６≠０ －１ ≠６
①②③ ＝２ 故当ａ 时，ｌ ｌ ，否则ｌ 与ｌ 不平行．
Ｆ ， ＝－１ １∥２ １ ２
＝０
故所求圆的方程为ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＋２
ｙ
＝０
． （
２
）由Ａ
１
Ａ
２＋
Ｂ
１
Ｂ
２＝０
，得ａ
＋２
（ａ
－１
）
＝０
，故ａ
＝
２ ．
３
答案 （
１
）ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＝０
（或（ｘ
－１
）２
＋
ｙ２
＝１
） （
２
）（ｘ
＋１
）２
＋ 方法总结 位置关系的判断方法选择
（ｙ ）２ （或ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ） （ ）（ｘ ）２ （ｙ ）２
＋２ ＝１０ ＋ ＋２ ＋４ －５＝０ ３ －１ ＋ ＋１ ＝２ １．若给的是斜截式方程 则选择运用斜率ｋ和截距ｂ来判断
（或ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＋２
ｙ
＝０
）
２．若给的是一般式方程
，
则用一般式方程Ａｘ Ｂｙ Ｃ 中
；
的
方法总结 １．选择方程的原则 ， ＋ ＋ ＝０
系数Ａ Ｂ来判断．
，
已知条件多与圆心 半径有关 或与切线 弦长 弧长 圆心 经典例题教师用书
（１） 、 ， 、 、 、
角 距离等有关 则设圆的标准方程为 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ 例 （２０１８广东江门４ 月模拟，３）已知三条直线 ｌ ｘ ｙ
、 ， （ － ） ＋（ － ） ＝ （ ＞０）； １：４ ＋ ＝１，
已知圆上的三个点的坐标时 设圆的一般方程为ｘ２ ｙ２ ｌ ｘ ｙ ｌ ｘ ｍｙ 若ｌ 关于ｌ 对称的直线与ｌ 垂直 则实
（２） ， ＋ ＋ ２： － ＝０，３：２ － ＝３， １ ２ ３ ，
Ｄｘ Ｅｙ Ｆ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ ． 数ｍ的值是
＋ ＋ ＝０（ ＋ －４ ＞０） （ ）
２．求圆的方程的方法
１ １
待定系数法 根据题意 选择方程形式 标准方程或一 Ａ．－８ Ｂ．－ Ｃ．８ Ｄ．
（１） ：① ， （ ２ ２
般方程 ）；② 根据条件列出关于 ａ ， ｂ ， ｒ 或 Ｄ ， Ｅ ， Ｆ 的方程 （ 组 ）； 解析 易知直线ｌ ： ｘ ｙ 关于直线ｌ ：ｘ ｙ 对称的直
解出ａ ｂ ｒ或Ｄ Ｅ Ｆ 代入所选的方程中即可． １ ４ ＋ ＝１ ２ － ＝０
③ ， ， ， ， ， 线方程为ｘ ｙ ，又ｌ ： ｘ ｍｙ ，故由题意得 （ ｍ）
几何法 在求圆的方程过程中 常利用圆的一些性质或定 ＋４ ＝１ ３ ２ － ＝３ １×２＋４× － ＝
（２） ： ，
理直接求出圆心和半径 进而可写出标准方程．常用的几何性质 ， ｍ １ ，故选 ．
， ０ ∴ ＝ Ｄ
有 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 圆心在任一弦的 ２
：① ；② 答案 Ｄ
中垂线上 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心在一条直线上．
；③ ，
经典例题教师用书
考法六 直线和圆的位置关系
例 （２０１９北京清华附中高二期中，１０）已知圆Ｃ的圆心在直
线ｘ ｙ 上 且圆Ｃ过点 并与直线ｘ ｙ 相切 则圆Ｃ 例２ 已知点Ｐ Ｍ 圆Ｃ ｘ ２ ｙ
－ ＝０ ， （２，２） ＋ ＝０ ， （ ２＋１，２－ ２）， （３，１）， ：（ －１） ＋（
的方程是 ． ２ ．
－２） ＝４
解析 本题考查圆的方程的求法，考查学生分析问题与解 求过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程
（１） ；
决问题的能力，体现数学运算的核心素养． （２） 求过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程 ， 并求出切线长．
因为圆心在直线ｘ ｙ 上，所以设圆心（ａ，ａ），又因为圆与 解题导引
－ ＝０
A
版
高
考
数
学
／
１０４
（ ）当直线ｌ垂直于ｘ轴时，直线ｌ的方程为ｘ ，
２ ＝－２
将ｘ 代入圆Ａ的方程，得（ ）２ （ｙ ）２ ，解得ｙ
＝－２ －２＋１ ＋ －２ ＝２０
，此时 ＭＮ ，则ｘ 符合题意．
＝２± １９ ｜ ｜＝２ １９ ＝－２
当直线ｌ与ｘ轴不垂直时，设直线ｌ的斜率为ｋ，
则直线ｌ的方程为ｙ ｋ（ｘ ），即ｋｘ ｙ ｋ ．
＝ ＋２ － ＋２ ＝０
解析 由题意得圆心为Ｃ（ ， ），半径ｒ ． 连接ＡＱ，因为Ｑ是ＭＮ的中点，所以ＡＱ ＭＮ，
１ ２ ＝２ ⊥
（
１
）
∵
（
２＋１－１
）２
＋
（
２－ ２－２
）２
＝４
，
∴
点Ｐ在圆Ｃ上． 所以 ( ｜ ＭＮ ｜ ) ２
＝
ｒ２
－｜
ＡＱ
｜
２，又
｜
ＭＮ
｜＝２ １９
，ｒ
＝２ ５
，
２
又ｋ ２－ ２－２ ， 切线的斜率ｋ １ ． 所以 ＡＱ ．
ＰＣ＝ ＝－１ ∴ ＝－ｋ ＝１ ｜ ｜＝ ２０－１９＝１
２＋１－１ ＰＣ ｋ
∴ 过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程是ｙ － （ ２－ ２ ） ＝ ｘ － （ ２＋１ ），即
即 ｜
ｋ
－
２
２
＋
｜
１ ＝１
，
∴
（ｋ
－２
）２
＝
ｋ２
＋１
．解得ｋ
＝ ４
３ ．
ｘ ｙ ．
－ ＋１－２ ２＝０ 所以直线ｌ的方程为ｙ ３ （ｘ ），即 ｘ ｙ ．
（ ） （ ）２ （ ）２ ， 点Ｍ在圆Ｃ外部． ＝ ＋２ ３ －４ ＋６＝０
２ ∵ ３－１ ＋ １－２ ＝５＞４ ∴ ４
当过点Ｍ的直线的斜率不存在时，直线方程为ｘ ，即ｘ 综上，满足题意的直线ｌ的方程为ｘ 或 ｘ ｙ ．
＝３ －３ ＝－２ ３ －４ ＋６＝０
．又点Ｃ（ ， ）到直线ｘ 的距离ｄ ｒ， 方法总结 圆的弦长的求法 几何法 设圆的半径为 ｒ
＝０ １ ２ －３＝０ ＝３－１＝２＝ ：① ： ，
当
∴
切
直
线
线
的
ｘ －
斜
３＝
率
０
存
是
在
圆
时
的
，
切
设
线
切
．
线方程为ｙ ｋ（ｘ ），即ｋｘ ｙ
弦心距为ｄ
，
弦长为ｌ
，
则 ( ｌ ) ２
＝
ｒ２
－
ｄ２
；②
代数法
：
设弦所在直线
－１＝ －３ － ２
＋１－３ ｋ ＝０ ，则圆心Ｃ到切线的距离ｄ ＝ ｜ ｋ －２＋ ｋ２ １
＋
－
１
３ ｋ ｜ ＝ ｒ ＝２ ， ｙ
ｙ
＝ ｋ
两
ｘ ＋
点
ｂ与
可
圆
列
（ ｘ
方
－ ａ
程
） ２
组
＋（ { ｙ ｙ －
＝
ｂ ｋ ） ｘ ２
＋
＝ ｂ
，
ｒ２ （ ｒ ＞０） 相交于
消去
Ａ （
ｙ
ｘ １
后
， ｙ
得
１），
到
Ｂ
一
（ ｘ
个
２，
２） ， ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２
解得ｋ ３ ． 切线方程为ｙ ３ （ｘ ），即 ｘ ｙ ． （ － ） ＋（ － ） ＝ ，
＝ ∴ －１＝ －３ ３ －４ －５＝０ 关于ｘ的一元二次方程 从而求得 ｘ ｘ ｘ ｘ 则弦长 ＡＢ
４ ４ ， １＋ ２， １ ２， ｜ ｜ ＝
综上可得，过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程为ｘ 或 ｘ ｙ ．
－３＝０ ３ －４ －５＝０ １＋ ｋ２ （ ｘ １＋ ｘ ２） ２ －４ ｘ １ ｘ ２ ．
ＭＣ （ ）２ （ ）２ ， 经典例题教师用书
∵ ｜ ｜＝ ３－１ ＋ １－２ ＝ ５
过点Ｍ的圆Ｃ的切线长为 ＭＣ ２ ｒ２ ． 例 （２０１８河北衡水中学五调，１３）设直线ａｘ － ｙ ＋３＝０ 与圆 （ ｘ －
∴ ｜ ｜ － ＝ ５－４＝１
方法总结 １．求过圆上一点（ｘ ，ｙ ）的切线方程的方法 １） ２ ＋（ ｙ －２） ２ ＝４ 相交于 Ａ ， Ｂ 两点 ， 且弦长为 ２ ３， 则 ａ 的值是
０ ０ ．
若切线斜率存在且不为零 则先求切点和圆心连线的斜率
， 解析 由题可知圆心为（ ， ），半径ｒ ， 圆心到直线ａｘ
１ ２ ＝２ ∴ －
ｋ 由垂直关系知切线斜率为 １ 由点斜式可求切线方程 若切
， － ｋ ， ； ａ ａ
ｙ 的距离ｄ ｜ －２＋３｜ ｜ ＋１｜ ，由垂径定理和勾股定理可
线斜率不存在或为零 则可直接写出直线的方程为 ｘ ｘ 或ｙ ＋３＝０ ＝ ａ２ ＝ ａ２
， ＝ ０ ＝ ＋１ ＋１
ｙ
０，
检
２
验
．求
该
过
直
圆
线
外
是
一
不
点
是
（
切
ｘ ，
线
ｙ
．
）的圆的切线方程的方法 得，弦长ｌ ＝２ ｒ２ － ｄ２，即 ２ ３＝２ ２ ２ －
（
ａ
ａ
２ ＋１
）２
， ∴３＝４－
（ａ
ａ２ ＋１
）２
，
０ ０ ＋１ ＋１
（１）
几何法
：
当切线斜率存在时
，
设斜率为ｋ
，
则切线方程为 即ａ２
＋１＝
（ａ
＋１
）２，解得ａ
＝０
．
ｙ ｙ ｋ ｘ ｘ 即ｋｘ ｙ ｙ ｋｘ 由圆心到切线的距离等于半 答案
－ ０＝ （ － ０）， － ＋ ０－ ０＝０，
０
径列出关于ｋ的方程 解方程即可得到ｋ的值 从而可得切线方
， ，
程 当切线斜率不存在时 可直接写出切线的方程为ｘ ｘ ． 考法七 圆和圆的位置关系
； ， ＝ ０
ｙ ｙ
（２
ｋ
） 代
ｘ
数
ｘ
法 ：
即
当
ｙ
切线
ｋｘ
斜
ｋ
率
ｘ
存
ｙ
在
代
时
入
， 设
圆
斜
的
率
方
为
程
ｋ
得
， 则
到
切
一
线
个
方
关
程
于
为
ｘ
例４ 已知圆Ｃ １： ｘ２ ＋ ｙ２ －２ ｘ ＋１０ ｙ －２４＝０ 和圆Ｃ ２： ｘ２ ＋ ｙ２ ＋２ ｘ
的
－
一
０
元
＝
二
（
次
－
方
０）
程
，
由
＝
Δ
－
求
０
得
＋ ０
ｋ
，
值 从而得到切
，
线方程 当切线
＋２ ｙ －８＝０， 则两圆的公共弦长为 ．
， ＝０ ， ； 解题导引
斜率不存在时 可直接写出切线的方程为ｘ ｘ ．
， ＝ ０
例３ 已知以点Ａ 为圆心的圆与直线ｌ ｘ ｙ
（－１，２） １： ＋２ ＋７＝
相切 过点Ｂ 的动直线ｌ与圆Ａ相交于Ｍ Ｎ两点 Ｑ是
０ ， （－２，０） ， ，
ＭＮ的中点．
求圆Ａ的方程
（１） ；
当 ＭＮ 时 求直线ｌ的方程．
（２） ｜ ｜＝２ １９ ，
解题导引 由直线ｌ 与圆Ａ相切求出圆Ａ的半径ｒ 从
（１） １ ，
而求出圆Ａ的方程． 当直线ｌ的斜率不存在时 写出直线ｌ的
（２） ，
方程 检验是否满足条件 当直线ｌ的斜率存在时 设出直线ｌ的
， ； ， 解析 易 知 两 圆 相 交． 联 立 两 圆 的 方 程 得
方程 ， 由 ｜ ＭＮ ｜＝２ ｒ２ － ｄ２ ＝２ ｒ２ －｜ ＡＱ ｜ ２ ＝２ １９ 及点到直线的 {ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ，
距离公式 可求出直线ｌ的斜率ｋ 从而得出ｌ的方程． ＋ －２ ＋１０ －２４＝０ 两式相减整理得ｘ ｙ ，
， ， ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ， －２ ＋４＝０ ＋ ＋２ ＋２ －８＝０
解析 （ ）设圆Ａ的半径为ｒ，因为圆Ａ与直线ｌ ：ｘ ｙ 即为两圆公共弦所在直线的方程．
１ １ ＋２ ＋７＝
解法一：设两圆相交于点Ａ，Ｂ， 相切，所以ｒ ｜－１＋４＋７｜ ，
０ ＝ ＝２ ５ {ｘ ｙ ，
５ 则Ａ，Ｂ两点的坐标满足方程组 －２ ＋４＝０
所以圆Ａ的方程为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ． ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ，
＋１ ＋ －２ ＝２０ ＋ ＋２ ＋２ －８＝０
专
题
九
平
面
解
析
几
何
／
１０５
{ｘ ， {ｘ ，
解得 ＝－４ 或 ＝０ Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．９
ｙ ｙ ． 解析 由题意可知，圆Ｃ 的圆心为（ ａ， ），半径为 ，圆
＝０ ＝２ １ －２ ０ ２
所以 ＡＢ （ ）２ （ ）２ ， Ｃ 的圆心为（ ，ｂ），半径为 ，因为两圆只有一条公切线，所以两
｜ ｜＝ ０＋４ ＋ ２－０ ＝２ ５ ２ ０ １
即公共弦长为 ．
２ ５ 圆内切，所以 （ ａ ）２ （ ｂ）２ ，即 ａ２ ｂ２ ．所以 １
解法二：ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 可化为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ， －２ －０ ＋ ０－ ＝２－１ ４ ＋ ＝１ ａ２ ＋
＋ －２ ＋１０ －２４＝０ －１ ＋ ＋５ ＝５０
则圆心坐标为（ ， ），半径ｒ ． æ ö ｂ２ ａ２ ｂ２ ａ２
１ －５ ＝５ ２ １ ç １ １ ÷·（ ａ２ ｂ２） ４ ·４ ，当
（ ） ｂ２ ＝èａ２ ＋ｂ２ ø ４ ＋ ＝５＋ａ２ ＋ ｂ２ ≥５＋２ ａ２ ｂ２ ＝９
圆心到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜１－２× －５ ＋４｜ ，
－２ ＋４＝０ ＝
( ｌ １ )
２
２ ＋
（
－２
）２ ＝３ ５ 且仅当
ａ
ｂ２
２ ＝
４
ｂ
ａ
２
２ ，且
４
ａ２
＋
ｂ２
＝１
，即ａ２
＝ ６
１ ，ｂ２
＝ ３
１ 时等号成立，所
设两圆的公共弦长为ｌ，由ｒ２ ｄ２ ，得ｌ ｒ２ ｄ２
＝ ＋ ＝２ － ＝ 以 １ １ 的最小值为 ．故选 ．
２ ａ２ ＋ｂ２ ９ Ｄ
（ ）２ （ ）２ ，即两圆的公共弦长为 ．
２ ５ ２ － ３ ５ ＝２ ５ ２ ５ 答案 Ｄ
答案
２ ５ 思路分析 由题意可得两圆内切，根据两圆的标准方程
经典例题教师用书
求出圆心和半径，利用两圆内切的性质可得 ａ２ ｂ２ ，再利用
例 （２０１８河南郑州外国语中学３ 月调研，９）已知圆 Ｃ ｘ ４ ＋ ＝１
２ ａ ） ２ ＋ ｙ２ ＝４ 和圆Ｃ ２： ｘ２ ＋（ ｙ － ｂ ） ２ ＝１ 只有一条公切线 ， 若ａ ，
１：
ｂ ∈
（
Ｒ
＋
“ １ ”的代换及基本不等式即可求得 ａ １ ２ ＋ｂ １ ２ 的最小值．
且ａｂ 则 １ １ 的最小值为
≠０， ａ２ ＋ｂ２ （ ）
