文档文本内容
专
题
九
平
面
解
析
几
何
／
１１３
９．４ 抛物线及其性质
§
点Ｐ ｘ ｙ 在抛物线内 ｙ２ ｐｘ
（１） （ ０， ０） ⇔ ０＜２ ０；
点Ｐ ｘ ｙ 在抛物线上 ｙ２ ｐｘ
（２） （ ０， ０） ⇔ ０＝２ ０；
点Ｐ ｘ ｙ 在抛物线外 ｙ２ ｐｘ ．
考点一 抛物线的定义及标准方程 （３） （ ０， ０） ⇔ ０＞２ ０
２．直线与抛物线的位置关系
１．抛物线的定义
（１）
设直线ｌ
：
ｙ
＝
ｋｘ
＋
ｂ
，
抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０），
直线与抛物线
平面内与一个定点Ｆ和一条定直线ｌ Ｆ ｌ 的距离相 {ｙ ｋｘ ｂ
等的点
（１
的
）
轨迹叫做抛物线
，
定点Ｆ叫做抛物线
（
的焦
∉
点
）
，
定直线ｌ
交点的个数等价于方程组
ｙ２
＝
＝２
＋
ｐｘ
，解的组数
，
也等价于方程ｋｙ２
叫做抛物线的准线． ｐｙ ｂｐ 解的个数．
－２ ＋２ ＝０
定义的实质可归结为 一动三定一转化 一个动点Ｐ 当ｋ 时 若Δ 则直线和抛物线相交 有两个公共点
（２） “ ”： ， ａ． ≠０ ， ＞０， ， ；
一个定点Ｆ 抛物线的焦点 一条定直线ｌ 抛物线的准线 一 若Δ 则直线和抛物线相切 有一个公共点 若Δ 则直线和
（ ）， （ ）， ＝０， ， ； ＜０，
个定值 抛物线的离心率 一个转化 抛物线上的点与焦点的 抛物线相离 无公共点．
１（ ）， （ ，
距离可转化成该点到准线的距离 ． 当ｋ 时 直线ｙ ｂ与抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 相交 有一个
） ｂ． ＝０ ， ＝ ＝２ （ ＞０） ，
定义中定点与定直线的位置关系为 定点Ｆ不能在定直 公共点．特别地 当直线ｌ的斜率不存在时 设ｌ ｘ ｍ 则当ｍ
（３） ： ， ， ： ＝ ， ＞０
线ｌ上．若定点Ｆ在定直线ｌ上 则动点的轨迹为过点Ｆ且垂直 时 ｌ与抛物线相交 有两个公共点 当ｍ 时 ｌ与抛物线相切
， ， ， ； ＝０ ， ，
于ｌ的一条直线 因此在用抛物线定义解决动点轨迹问题前 应 有一个公共点 当ｍ 时 ｌ与抛物线相离 无公共点．
， ， ； ＜０ ， ，
首先判断定点与定直线的位置关系． 直线与抛物线相离 无交点 时 常求抛物线上的点到
（２） （ ） ，
２．抛物线的标准方程 此直线的距离的最小值．方法有两种 一是将距离ｄ写成一个变
，
在抛物线中 记焦点Ｆ到准线ｌ的距离为ｐ 以抛物线的焦 量的函数 利用函数求之 二是利用切线法求．
， ， ， ，
点Ｆ到准线ｌ的垂线段的中点为坐标原点 以抛物线的轴为坐标 相切时 求切线斜率 一种方法是利用Δ 求 另一种
， （３） ， ， ＝０ ，
轴建立坐标系 可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程ｙ２ 方法是利用导数求．
，
ｐｘ ｘ２ ｐｙ 其中ｐ ． ３．焦点弦的性质
＝±２ ， ＝±２ ， ＞０
以抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 为例 设ＡＢ是抛物线的过焦点的一
＝２ （ ＞０） ，
考点二 抛物线的几何性质 条弦 焦点弦 Ｆ是抛物线的焦点 Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ａ Ｂ在
（ ）， ， （ １， １）， （ ２， ２）， 、
１．抛物线的标准方程与几何性质 准线上的射影为Ａ Ｂ 则有以下结论
１、 １， ：
标准 ｙ２
＝２
ｐｘ ｙ２
＝－２
ｐｘ ｘ２
＝２
ｐｙ ｘ２
＝－２
ｐｙ
ｘ ｘ
ｐ２
ｙ ｙ ｐ２
方程 ｐ ｐ ｐ ｐ （１） １ ２＝ ， １ ２＝－ ；
（ ＞０） （ ＞０） （ ＞０） （ ＞０） ４
若直线ＡＢ的倾斜角为θ 且Ａ位于ｘ轴上方 Ｂ位于ｘ
（２） ， ，
图形 ｐ ｐ
轴下方 则 ＡＦ ＢＦ
， ｜ ｜＝ θ，｜ ｜＝ θ；
１－ｃｏｓ １＋ｃｏｓ
对称轴 ｘ轴 ｙ轴 ｐ
① ② ＡＢ ｘ ｘ ｐ ２ 其中θ为直线ＡＢ的倾斜角 抛
顶点 Ｏ （３）｜ ｜＝ １＋ ２＋ ＝ ２θ（ ），
（０，０） ｓｉｎ
( ｐ ) ( ｐ ) ( ｐ ) ( ｐ ) 物线的通径长为 ｐ 通径是最短的焦点弦
几 焦点 Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ ２ ， ；
何 性 质 准 方 线 程 ｘ ＝ ２ － ， ｐ ０ ③ － ｘ ２ ＝ ， ｐ ０ ｙ ＝ ０， － ２ ｐ ④ ０ ｙ ， ＝ － ２ ｐ （４） Ｓ △ ＡＯＢ＝ ２ｓ ｐ ｉｎ ２ θ（ 其中θ为直线ＡＢ的倾斜角 ）；
２ ２ ２ ２
范围 ｘ ｙ Ｒ ｘ ｙ Ｒ ｙ ｘ Ｒ ｙ ｘ Ｒ １ １ ２ 为定值
≥０， ∈ ≤０， ∈ ≥０， ∈ ≤０， ∈ （５） ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｐ ；
离心率 ｅ ｜ ｜ ｜ ｜
＝１ 以ＡＢ为直径的圆与抛物线的准线相切
２．抛物线的焦半径与焦点弦 （６） ；
以ＡＦ 或ＢＦ 为直径的圆与ｙ轴相切
（７） （ ） ；
物线焦
抛
点
物
的
线
直
上
线
任
与
意
抛
一
物
点
线
Ｐ （
相
ｘ
交
０， ｙ
形
０）
成
到
的
焦
线
点
段
Ｆ
称
的
为
距
抛
离
物
称
线
为
的
焦
焦
半
点
径
弦
， 过
．
抛
（８）
以Ａ
１
Ｂ
１
为直径的圆与直线ＡＢ相切
，
切点为Ｆ
，∠
Ａ
１
ＦＢ
１
°
＝９０ ；
设两交点分别为Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则有以下结论 Ａ Ｏ Ｂ 三点共线 Ｂ Ｏ Ａ 三点也共线．
（ １， １）， （ ２， ２）， ： （９） ， ， １ ， ， ， １
标准
ｙ２ ｐｘ ｐ ｙ２ ｐｘ ｐ ｘ２ ｐｙ ｐ ｘ２ ｐｙ ｐ
知识拓展 １．如图所示
，
ＡＢ是抛物线ｘ２
＝２
ｐｙ
（
ｐ
＞０）
的过焦
方程 ＝２ （ ＞０） ＝－２ （ ＞０） ＝２ （ ＞０） ＝－２ （ ＞０）
点的一条弦 焦点弦 分别过Ａ Ｂ作抛物线的切线 交于点Ｐ
焦半 ｐ ｐ ｐ ｐ （ ）， ， ， ，
ｘ ｘ ｙ ｙ 连接ＰＦ 则有以下结论
径长 ⑤ ＋ ０ － ０ ⑥ ＋ ０ － ０ ， ：
２ ２ ２ ２
焦点
ｐ ｘ ｘ ｐ （ｘ ｘ ） ｐ ｙ ｙ ｐ （ｙ ｙ ）
弦长 ＋（ １＋ ２） ⑦ － １＋ ２ ＋（ １＋ ２） ⑧ － １＋ ２
考点三 直线与抛物线的位置关系
１．点Ｐ（ｘ ，ｙ ）与抛物线ｙ２ ｐｘ（ｐ ）的位置关系
０ ０ ＝２ ＞０
A
版
高
考
数
学
／
１１４
ｐ Ｎ ａ 是 抛 物 线 的 对 称 轴 上 一 点 则 ＭＮ
点Ｐ的轨迹是一条直线 即抛物线的准线ｌ ｙ （ ，０） ， ｜ ｜ｍｉｎ
（１） ， ： ＝－ ； { ａ ａ ｐ
２ ｜ ｜（ ≤ ），
（２） 两切线互相垂直 ， 即ＰＡ ⊥ ＰＢ ； ＝ ｐａ ｐ２ ａ ｐ ．
２ － （ ＞ ）
ＰＦ ＡＢ
（３） ⊥ ； ３．弦中点
（４） 点Ｐ的坐标为 æ è ç ｘ Ａ＋ ｘ Ｂ ，－ ｐ ö ø ÷． 设ＡＢ为抛物线的一条弦 ， ＡＢ中点为Ｍ （ ｘ ０， ｙ ０） ．
２ ２ ｐ
２．非焦点弦性质 （１） 若抛物线为ｙ２ ＝２ ｐｘ ， 则ｋ ＡＢ＝ｙ ；
（１） 已知直线ｌ与抛物线 ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 交于 Ａ 、 Ｂ 两点 ， 若 ｘ ０
ＯＡ
⊥
ＯＢ
，
则直线ｌ过定点
（２
ｐ
，０），
反之亦成立
；
（２） 若抛物线为ｘ２ ＝２ ｐｙ ， 则ｋ ＡＢ＝ ｐ ０． （ 其中ｐ ≠０， ｙ ０≠０）
已知Ｍ ｘ ｙ 是抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 上任意一点 点
（２） （ ０， ０） ＝２ （ ＞０） ，
线的准线距离转化为抛物线上的点到焦点的距离．在解题时要准
确把握题设条件 进行有效转化．
，
经典例题教师用书
考法一 求与抛物线定义有关问题的方法
例 （２０１９陕西榆林二模，７）已知抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 上的点
＝２ （ ＞０）
例１ （２０２０山东济宁６月三模，７）已知抛物线Ｃ ｙ２
（１） ： Ｍ到其焦点Ｆ的距离比点Ｍ到ｙ轴的距离大 １ 则抛物线的标
ｘ的焦点为Ｆ 过点Ｆ的直线与抛物线Ｃ的两个交点分别为 ，
＝４ ， ２
准方程为
Ａ Ｂ 且满足→ＡＦ Ｆ→Ｂ Ｅ为ＡＢ的中点 则点Ｅ到抛物线准线的 （ ）
， ， ＝２ ， ， ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ
距离为 Ａ． ＝ Ｂ． ＝２ Ｃ． ＝４ Ｄ． ＝８
（ ） 解析 抛物线ｙ２ ｐｘ（ｐ ）上的点Ｍ到其焦点Ｆ的距离
＝２ ＞０
１１ ９ ５ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ｐ
４ （２０１９湖 ４ 南三湘名校联盟 ２ 第二次联考，９ ４ ）已知直线ｌ 比点Ｍ到ｙ轴的距离大 １ ，由抛物线的定义可得ｘ Ｍ＋ ＝ ｘ Ｍ＋
（２） １： ２ ２
ｘ
＝－１，
ｌ
２：
ｘ
－
ｙ
＋１＝０，
Ｐ为抛物线ｙ２
＝４
ｘ上任意一点
，
则点Ｐ到直 １ ，
∴
ｐ
＝１
，
∴
抛物线方程为ｙ２
＝２
ｘ．故选
Ｂ．
线ｌ 与ｌ 的距离之和的最小值为 ２
１ ２ （ ） 答案 Ｂ
２
Ａ．２ Ｂ． ２ Ｃ．１ Ｄ．
２ 考法二 抛物线焦点弦问题的求解方法
解析 （ ）由ｙ２ ｘ得抛物线的焦点坐标为（ ， ），准线方
１ ＝４ １ ０ 例２ 已知抛物线ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 直线ｙ ｋ ｘ
程为ｘ ，设Ａ（ｘ ，ｙ ），Ｂ（ｘ ，ｙ ）， →ＡＦ Ｆ→Ｂ， （１） ＝８ ， ＝ （ －
＝ Ａ － Ｆ １ ＢＦ １ ， １ ｘ ２ （ ２ ｘ ∵ ）， ＝ ｘ ２ ｘ ， 与抛物线相交于Ｐ Ｑ两点 则 １ １
∴ ｜ ｜＝２｜ ｜ ∴ １＋１＝２ ２＋１ ∴ １＝２ ２＋１ ２） ， ，
｜
ＦＰ
｜
＋
｜
ＦＱ
｜
＝ （ ）
∵ ｜
ｙ
１｜＝２｜
ｙ
２｜
，
∴
ｙ２
１＝４
ｙ２
２
，
∴
ｘ
１＝４
ｘ
２
，
∴
ｘ
１＝２
，ｘ
２＝ ２
１ ．
Ａ． １ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．４
２
线段ＡＢ的中点Ｅ 到抛物线准线的距离为 １ ［（ｘ ） 过抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点Ｆ作斜率大于 的直线ｌ
∴
２
１＋１ ＋
交抛
（
物
２
线
）
于Ａ Ｂ两点
＝２
Ａ在
（
Ｂ
＞０
的
）
上方 且ｌ与准线交于
０
点Ｃ 若
， （ ）， ，
（ｘ ）］ ９ ．故选 ＡＦ
２＋１ ＝
４
Ｂ． Ｃ→Ｂ
＝４
Ｂ→Ｆ
，
则｜
ＢＦ
｜
＝ （ ）
（ ）设抛物线的焦点为Ｆ．如图所 ｜ ｜
２
示，作ＰＭ ｌ 于点Ｍ，ＰＮ ｌ 于点Ｎ， ５ ５
⊥２ ⊥１ Ａ．
３
Ｂ．
２
Ｃ．３ Ｄ．２
由抛物线ｙ２
＝４
ｘ知其准线方程为ｘ
＝ （２０２０新高考Ⅰ，１３，５ 分）斜率为 的直线过抛物线
，由抛物线定义可知点Ｐ到直线ｌ ： （３） ３
ｘ －１ 的距离 ＰＮ 等于点Ｐ到焦点 １ Ｆ Ｃ ： ｙ２ ＝４ ｘ的焦点 ， 且与Ｃ交于Ａ ， Ｂ两点 ， 则 ｜ ＡＢ ｜＝ ．
＝－１ ｜ ｜ 解题导引 题设中直线斜率未知 结合四个选项中的
的距离 ＰＦ ， 点Ｐ到直线ｌ 的距离 （１） ，
｜ ｜ ∴ １ 结果均与ｋ无关 故可考虑用特值法求解 若用一般方法 则先
与点Ｐ 到直线 ｌ 的距离之和 ＰＭ ， ； ，
２ ｜ ｜＋ 设出Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 由抛物线的定义知 ＦＰ ｘ ＦＱ
ＰＮ ＰＭ ＰＦ ，当 Ｐ，Ｍ，Ｆ 三点 （ １， １）， （ ２， ２）， ｜ ｜＝ １＋２，｜ ｜
｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜ ｘ ｘ
共线时， ＰＭ ＰＦ 取得最小值，为点Ｆ（ ， ）到直线ｌ ：ｘ ｙ ｘ 观察所求式子 １ １ １＋ ２＋４ 联立直线
｜ ｜＋｜ ｜ １ ０ ２ － ＋１ ＝ ２＋２， ＦＰ ＋ ＦＱ ＝ｘ ｘ ｘ ｘ ，
｜ ｜ ｜ ｜ １ ２＋２（ １＋ ２）＋４
的距离，即为 ｜１－０＋１｜ ．故选 ． 与抛物线方程消去ｙ后 再根据根与系数的关系 用整体代入的
＝０ １ ２ ＋ （ －１ ）２ ＝ ２ Ｂ 技巧求解． ， ，
答案 （ ）Ｂ （ ）Ｂ 解析 （ ）解法一：不妨设ｋ ，则直线方程为ｙ ｘ ，
１ ２ １ ＝１ ＝ －２
方法总结 抛物线中有关距离问题的求法 {ｙ ｘ ，
联立 ＝ －２ 消去ｙ，得ｘ２ ｘ ，设Ｐ（ｘ ，ｙ ），Ｑ（ｘ ，ｙ ），
主要把握两个转化 一是把抛物线上的点到焦点的距离转 ｙ２ ｘ， －１２ ＋４＝０ １ １ ２ ２
： ＝８
化为抛物线上的点到准线的距离 二是把抛物线上的点到抛物 则ｘ ｘ ，ｘ ｘ ，
； １＋ ２＝１２ １ ２＝４
专
题
九
平
面
解
析
几
何
／
１１５
由抛物线定义知
｜
ＦＰ
｜＝
ｘ
１＋２
，
｜
ＦＱ
｜＝
ｘ
２＋２
， （
３
）解法一：在抛物线ｙ２
＝４
ｘ中，
２
ｐ
＝４
，
∵
斜率为
３
的直线
ｘ ｘ ｐ
所以 １ １ １ １ １＋ ２＋４ 倾斜角θ π， 过焦点的弦长 ＡＢ ２ ４ ４ １６．
｜
ＦＰ
｜
＋
｜
ＦＱ
｜
＝ ｘ
１＋２
＋ ｘ
２＋２
＝ ｘ
１
ｘ
２＋２
（ｘ
１＋
ｘ
２
）
＋４
＝ ＝
３
∴ ｜ ｜＝
ｓｉｎ
２θ＝
２ π
＝
３
＝
３
ｓｉｎ
１２＋４ １ ，故选 ． ３ ４
４＋２×１２＋４
＝
２
Ａ 解法二：设Ａ（ｘ
１
，ｙ
１
），Ｂ（ｘ
２
，ｙ
２
），由已知可得抛物线ｙ２
＝４
ｘ的
解法二：由题意知ｋ ≠０ ．由ｙ２ ＝８ ｘ可得焦点Ｆ的坐标为（ ２ ， 焦点为Ｆ（ １ ， ０ ），过点Ｆ且斜率ｋ ＝ ３ 的直线方程为ｙ ＝ ３ （ｘ －１ ），
），因此直线ｙ ｋ（ｘ ）过焦点．设Ｐ（ｘ ，ｙ ），Ｑ（ｘ ，ｙ ），则 ＦＰ {
０ ＝ ｘ １＋ ２ ｐ ＝ ｘ １＋２ ， ＝ ｜ ＦＱ － ｜ ２ ＝ ｘ ２＋２ ．联立 {ｙ ｙ２ ＝ ＝ ｋ １ ８ （ ｘ ｘ ， １ －２ ）， 消 ２ 去 ２ ｙ，得ｋ ｜ ２ｘ２ － ｜ 联立 { ｙ ｙ２ ＝ ＝４ ３ ｘ （ ， ｘ －１ ）， 消去ｙ，得 ３ ｘ２ －１０ ｘ ＋３＝０ ， ∴ ｘ ｘ １ １ ｘ ＋ ２ ｘ ＝ ２＝ １ ， １ ３ ０，
ｋ２
（
８＋４
ｋ２）ｘ
＋４
ｋ２
＝０
．则 ｘ
１＋
ｘ
２＝
８＋
ｋ
４
２
，ｘ
１
ｘ
２＝４
．
∴ ｜ Ｆ
１
Ｐ ｜ ＋ ｜ Ｆ
１
Ｑ ｜ ＝ ∴ ｜ ＡＢ ｜＝ １＋ ｋ２ （ｘ １＋ ｘ ２ ）２ －４ ｘ １ ｘ ２ ＝ １＋３× １００ －４＝ １６．
９ ３
８＋４
ｋ２
解法三： 直线ＡＢ过抛物线的焦点Ｆ（ ， ）且斜率为 ，
ｘ １ １ ＋２ ＋ｘ ２ １ ＋２ ＝ｘ １ ｘ ２＋
ｘ
２ １ （ ＋ ｘ
ｘ
１ ２ ＋ ＋ ｘ ４ ２ ） ＋４ ＝
４＋
２ （ ８
ｋ２
＋
ｋ２
４ ｋ
＋
２
４
）
＋４
＝ ２ １ ．故选 Ａ ． 消去 ∴ ｙ并 直 化 线 简 Ａ
∵
Ｂ 得 的
３
方 ｘ２
－
程
１
为
０
ｘ
＋
ｙ
３
＝
＝０
３ ， （ Δ ｘ
＝
－
１
１
０
）
０
，
－
代
３６
入
＝
１
６
抛
４
０
＞
物
０
线 ．设 方 Ａ 程 （ｘ
１
ｙ ， ２
３
ｙ ＝
１
） ４ ， ｘ
（ ）解法一：过Ａ，Ｂ作准线的垂线，垂足分别为Ｍ，Ｎ， Ｂ（ｘ ，ｙ ），则ｘ ｘ １０．过Ａ，Ｂ分别作准线ｘ 的垂线，垂足
２ ２ ２ １＋ ２＝ ＝－１
由抛物线的定义可知， ＢＮ ＢＦ ， ＡＭ ＡＦ ， ３
｜ ｜＝｜ ｜ ｜ ｜＝｜ ｜ 分别为Ｅ，Ｄ，则 ＡＢ ＡＦ ＢＦ ＡＥ ＢＤ ｘ ｘ ｘ
Ｃ→Ｂ Ｂ→Ｆ， Ｃ→Ｂ Ｂ→Ｆ ，令 Ｂ→Ｆ ａ（ａ ），则 Ｃ→Ｂ ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝ １＋１＋ ２＋１＝ １
∵ ＝４ ∴ ｜ ｜＝４｜ ｜ ｜ ｜＝ ＞０ ｜ ｜＝
ｘ １６．
４ ａ， ｜ ＢＮ ｜＝ ａ． ∵ ＢＮ ∥ ＡＭ， ∴ ｜ Ａ
Ｂ
Ｍ
Ｎ
｜ ＝ ｜
Ｃ
Ｃ
Ｂ
Ａ ｜，
＋ ２＋２＝
３
｜ ｜ ｜ ｜ 答案 （ ）Ａ （ ）Ａ （ ）１６
又 ｜ ＣＡ ｜ ＝ ｜ ＣＢ ｜＋｜ ＢＦ ｜＋｜ ＡＦ ｜ ＝４ ａ ＋ ａ ＋｜ ＡＭ ｜ ， ∴ Ａ ａ Ｍ ＝ １ ２ ３ ３
｜ ｜ 方法总结 １．求解与抛物线的焦点弦有关的问题时 应充
，
５ ａ 分利用抛物线焦点弦的性质．
ａ ＡＦ
４ ，解得 ＡＭ ５ ａ，因此｜ ｜ ３ ５ ，故选 ． ２．熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关
ａ ＡＭ ｜ ｜＝ ＢＦ ＝ ａ ＝ Ａ
５ ＋｜ ｜ ３ ｜ ｜ ３ 的选择题与填空题的关键 如例 可利用焦点弦的性质
解法二：设 ＡＦ ａ（ａ ）， ＢＦ ｂ（ｂ ）， ， ２（１）
｜ ｜＝ ＞０ ｜ ｜＝ ＞０
过Ａ，Ｂ作准线的垂线，垂足分别为Ｍ，Ｎ， １ １ ２ 求解．
ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｐ
则有 ＢＦ ＢＮ ｂ， ＡＦ ＡＭ ａ， ｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜＝｜ ｜＝ ｜ ｜＝｜ ｜＝
因为Ｃ→Ｂ Ｂ→Ｆ，所以 ＣＢ ＢＦ ，即 ＣＢ ＢＮ ．
＝４ ｜ ｜＝４｜ ｜ ｜ ｜＝４｜ ｜
又ＢＮ ＡＭ，所以 ＣＢＮ ＣＡＭ，
∥ △ ∽△
ＣＢ ＣＡ
所以｜ ｜ ｜ ｜，
ＢＮ ＝ ＡＭ
｜ ｜ ｜ ｜
所以 ＣＡ ＡＭ ，即有 ｂ ｂ ａ ａ，
｜ ｜＝４｜ ｜ ４ ＋ ＋ ＝４
ａ ＡＦ
变形可得 ５ ，即｜ ｜ ５ ，故选
ｂ ＝ ＢＦ ＝ Ａ．
３ ｜ ｜ ３
