北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.4 抛物线及其性质
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点
A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.|BF|-1 B.|BF|2-1
|AF|-1 |AF|2-1
C.|BF|+1 D.|BF|2+1
|AF|+1 |AF|2+1
答案 A 过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,
则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.
S
可知 △BCF=
S
△ACF
1
·|CB|·|CF|·sin∠BCF
2
1
·|CA|·|CF|·sin∠BCF
2
|CB| |BN|
= =
|CA| |AM|
|BF|-1
= ,故选A.
|AF|-1
2.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交
点.若⃗FP=4⃗FQ,则|QF|=( )
7 5
A. B.3 C. D.2
2 2
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答案 B ∵⃗FP=4⃗FQ,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|
|QM| |PQ|
=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则 = ,即
|FN| |PF|
|QM| 3
= .∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.
4 4
5
3.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x,y)是C上一点,|AF|= x,则x=( )
0 0 0 0
4
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 A 由y2=x得2p=1,即p=1,因此焦点F(1 ),准线方程为l:x=-1,设A点到准线的距离为d,由抛
,0
2 4 4
1 5
物线的定义可知d=|AF|,从而x+ = x,解得x=1,故选A.
0 0 0
4 4
评析 本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A到准线的距离是解题的关键.
4.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点
(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
p
答案 C ∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=x + =5得M
M
2
( 5- p , √ 2p ( 5- p) ) .从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为 (5 , 1√ 2p ( 5- p) ) ,
2 2 2 2 2
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∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2=1√ ( p),即p2-10p+16=0,解得
2p 5-
2 2
p=2或p=8,∴抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.
5.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的
方程为( )
A.y=x-1或y=-x+1
√3 √3
B.y= (x-1)或y=- (x-1)
3 3
C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)
√2 √2
D.y= (x-1)或y=- (x-1)
2 2
答案 C 设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B作AA,BB 垂直于准线于A,B.由抛物线
1 1 1 1
|BC| |BC| 1
的定义可设|BF|=|BB|=t,|AF|=|AA|=3t.由三角形的相似得 = = ,
1 1 |AB| 4t 2
π π 2
∴|BC|=2t,∴∠BCB= ,∴直线l的倾斜角α= 或 π.
1
6 3 3
又F(1,0),∴直线AB的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.
6.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).若点M到该抛
0
物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.2√2 B.2√3 C.4 D.2√5
答案 B 由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0).
p
由|MF|= +2=3得p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
2
∴点M的坐标为(2,±2√2),∴|OM|=√4+8=2√3,
故选B.
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7.(2011课标文,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为
C的准线上一点,则△ABP的面积为( )
A.18 B.24 C.36 D.48
答案 C 设抛物线方程为y2=2px(p>0).
p
∵当x= 时,|y|=p,
2
|AB| 12
∴p= = =6.
2 2
又P到AB的距离始终为p,
1
∴S = ×12×6=36.
△ABP
2
评析 本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识,明确准线上任一点到直线l的距离为p.
8.(2017山东,理14,文15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物
a2 b2
线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
√2
答案 y=± x
2
解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法.
设A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
{x2=2py,
p p p
因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4× =y 1 + +y 2 + ,即y 1 +y 2 =p①.由 x2 y2 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所
2 2 2 - =1
a2 b2
以y+y=2pb2 ②.由①②可得b=√2,故双曲线的渐近线方程为y=±√2x.
1 2
a2 a 2 2
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思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y+y 的值(用p表示).再联立双曲线和抛物线的方程,消去
1 2
b
x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y+y.从而得 的值,近而得渐近线方程.
1 2
a
b
解题关键 求渐近线方程的关键是求 的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、|BF|为焦半
a
径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y+y 这个
1 2
整体来建立等量关系便可求解.
9.(2012陕西理,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水
面宽 米.
答案 2√6
解析 建立坐标系如图所示.
则抛物线方程为x2=-2py.
∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±√6.
∴水位下降1米后,水面宽为2√6米.
评析 本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.
10.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
答案 9
解析 设M(x,y),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x+1=10,∴x=9,即点M到y轴的距
0 0 0 0
离为9.
考点二 抛物线的几何性质
k
1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
x
1 3
A. B.1 C. D.2
2 2
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k
答案 D 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y= (k>0)得k=1×2=2,故选D.
x
评析 利用垂直得到点P的坐标是求解的关键.
1
2.(2015课标Ⅰ文,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重
2
合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B 抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设椭圆E的方程
为x2 +y2 =1(a>b>0),因为离心率e=c=1,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|AB|=2b2 =2×12=6.故选B.
a2 b2 a 2 a 4
评析 本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.
3.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
p p p
答案 B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=- ,由题设知- =-1,即 =1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.
2 2 2
1
4.(2014安徽文,3,5分)抛物线y= x2的准线方程是( )
4
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
1 p
答案 A 由y= x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=- =-1.故选A.
4 2
5.(2013四川文,5,5分)抛物线y2=8x的焦点到直线x-√3y=0的距离是( )
A.2√3 B.2 C.√3 D.1
答案 D 由抛物线方程知2p=8⇒p=4,故焦点F(2,0),由点到直线的距离公式知,F到直线x-√3y=0的距离
|2-√3×0|
d= =1.故选D.
√1+3
评析 考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式,考查运算求解能力.
6.(2012课标理,8,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|
AB|=4√3,则C的实轴长为( )
A.√2 B.2√2 C.4 D.8
答案 C 如图,AB为抛物线y2=16x的准线,
由题意可得A(-4,2√3).
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设双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),则有16-12=a2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.
评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.
7.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4
√2,|DE|=2√5,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x
1
,2
√2
),则x
1
=(2√2) 2 =4,由题意可知|OA|=|OD|,得(4) 2 +8=(p) 2
2p p p 2
+5,解得p=4.故选B.
思路分析 设出抛物线C的方程,根据已知条件得出点A的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p的方程,解方程得
出结论.
8.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l,l,直线l 与C交于
1 2 1
A,B两点,直线l 与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
2
A.16 B.14 C.12 D.10
答案 A 如图所示,设直线AB的倾斜角为θ,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A,B,
1 1
|AG| |AF|-p
则|AF|=|AA|,|BF|=|BB|,过点F向AA 引垂线FG,得 = =cos θ,
1 1 1 |AF| |AF|
p p
则|AF|= ,同理,|BF|= ,
1-cosθ 1+cosθ
2p 4
则|AB|=|AF|+|BF|= ,即|AB|= ,
sin2θ sin2θ
π π
因l 与l 垂直,故直线DE的倾斜角为θ+ 或θ- ,
1 2
2 2
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4
4 4 4 4 16
则|DE|= ,则|AB|+|DE|= + = =(1 ) 2 = ,
cos2θ sin2θ cos2θ sin2θcos2θ sin2θ sin22θ
2
则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.
方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径.
如图,在抛物线y2=2px(p>0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为θ,
|AE| |AF|-p
则在△FEA中,cos θ=cos∠EAF= = ,
|AF| |AF|
p p
则可得到焦半径|AF|= ,同理,|BF|= ,
1-cosθ 1+cosθ
1 1 2
熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如: + = 等的
|AF| |BF| p
帮助很大.
9.(2015四川理,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线
段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
答案 D 当直线AB的斜率不存在,且0<r<5时,有两条满足题意的直线l.
当直线AB的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,k >0和k <0时各有一条满足题意的直线l.
AB AB
x +x y + y
1 2 1 2
设圆的圆心为C(5,0),A(x,y),B(x,y),M(x,y),则x= ,y= ,
1 1 2 2 0 0 0 0
2 2
y - y
y - y 2 1 2
∴k AB = 2 1= y2 y2 = .
x -x 2- 1 y
2 1 0
4 4
y
∵k CM = 0 ,且k AB k CM =-1,∴x 0 =3.
x -5
0
∴r2=(3-5)2+
y2
>4(∵y
0
≠0),即r>2.
0
另一方面,由AB的中点为M知B(6-x,2y-y),
1 0 1
∵点B,A在抛物线上,∴(2y-y)2=4(6-x),①
0 1 1
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=4x,②
y2 1
1
由①,②得
y2
-2y
0
y
1
+2
y2
-12=0,
1 0
∵Δ=4
y2
-4(2
y2
-12)>0,∴
y2
<12.
0 0 0
∴r2=(3-5)2+
y2
=4+
y2
<16,∴r<4.
0 0
综上,r∈(2,4),故选D.
10.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|
=( )
√30
A. B.6 C.12 D.7√3
3
答案 C 焦点F的坐标为(3 ),直线AB的斜率为√3,所以直线AB的方程为y=√3( 3),
,0 x-
4 3 3 4
√3 √3 1 7 3
即y= x- ,代入y2=3x,得 x2- x+ =0,
3 4 3 2 16
设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
21
则x+x= ,
1 2
2
3 21 3
所以|AB|=x+x+ = + =12,故选C.
1 2
2 2 2
11.(2018课标Ⅲ理,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两
点.若∠AMB=90°,则k= .
答案 2
解析 本题考查抛物线的几何性质及应用.
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y
解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x= +1,设A
k
{ y
( y
1+1,y
),B( y
2+1,y
),将直线方程与抛物线方程联立得 x=
k
+1, 整理得y2-4y-4=0,从而得
k 1 k 2 k
y2=4x,
4
y+y= ,y·y=-4.
1 2 1 2
k
∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴
⃗MA
·
⃗MB
=0,即( y
1+2
)·( y
2+2
)+(y
1
-1)(y
2
-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.
k k
{y2=4x ,①
解法二:设A(x,y),B(x,y),则 1 1
1 1 2 2
y2=4x ,②
2 2
②-①得 y2 - y2 =4(x 2 -x 1 ),从而k= y 2 - y 1= 4 .
2 1 x -x y + y
2 1 1 2
设AB的中点为M',连接MM'.
∵直线AB过抛物线y2=4x的焦点,
∴以线段AB为直径的☉M'与准线l:x=-1相切.
∵M(-1,1),∠AMB=90°,
∴点M在准线l:x=-1上,同时在☉M'上,
∴准线l是☉M'的切线,切点为M,且M'M⊥l,
y + y
1 2
即MM'与x轴平行,∴点M'的纵坐标为1,即 =1⇒y+y=2,
1 2
2
4 4
故k= = =2.
y + y 2
1 2
疑难突破 运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.
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12.(2013浙江理,15,4分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为
线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l的斜率等于 .
答案 ±1
解析 设直线AB方程为x=my-1,A(x,y),B(x,y),联立直线和抛物线方程,整理得,y2-4my+4=0,由根与系数关
1 1 2 2
系得y+y=4m,y·y=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知: =2,解得m2=1或m2=0(舍去),
1 2 1 2 √(2m) 2+(2m2-1-1) 2
故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切,为满足题意的极限情况).
13.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线
的焦点坐标为 .
答案 (1,0)
解析 本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.
由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,
不妨令A在B的上方,则A(1,2√a),B(1,-2√a),
故|AB|=4√a=4,得a=1,
故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).
14.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半
轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 .
答案 (x+1)2+(y-√3)2=1
解析 本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程.
由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,
因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,
所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,
所以OA=√3,即t=√3,
故圆C的方程为(x+1)2+(y-√3)2=1.
方法总结 求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D,E,F)的方程组,
从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把圆的方程设为标准形式,同时
应考虑数形结合思想的运用.
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15.(2014陕西文,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为 .
答案 x=-1
p
解析 由抛物线方程知p=2,故该抛物线的准线方程为x=- =-1.故填x=-1.
2
16.(2018课标Ⅰ文,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.
(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;
(2)证明:∠ABM=∠ABN.
解析 (1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).
1 1
所以直线BM的方程为y= x+1或y=- x-1.
2 2
(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.
当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x,y),N(x,y),则x>0,x>0.
1 1 2 2 1 2
由{y=k(x-2),
y2=2x
2
得ky2-2y-4k=0,可知y+y= ,yy=-4.
1 2 1 2
k
直线BM,BN的斜率之和为
k BM +k BN = y 1 + y 2 = x 2 y 1 +x 1 y 2 +2(y 1 + y 2 ).①
x +2 x +2 (x +2)(x +2)
1 2 1 2
y y
1 2
将x= +2,x= +2及y+y,yy 的表达式代入①式分子,可得
1 2 1 2 1 2
k k
2y y +4k(y + y ) -8+8
xy+xy+2(y+y)= 1 2 1 2 = =0.
2 1 1 2 1 2 k k
所以k +k =0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.
BM BN
综上,∠ABM=∠ABN.
方法总结 直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:
(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解
方程即可.
(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个
量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离
或点到直线的距离.
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(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一
些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的
表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.
失分警示 (1)由于忽略点M,N位置的转换性,使直线BM方程缺失,从而导致失分;
(2)由于不能将“∠ABM=∠ABN”正确转化为“k +k =0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.
BM BN
x2
17.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A,B为曲线C:y= 上两点,A与B的横坐标之和为4.
4
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
解析 本题考查直线与抛物线的位置关系.
(1)设A(x,y),B(x,y),则x≠x,y=x2 ,y=x2
,x+x=4,
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
4 4
于是直线AB的斜率k= y 1 - y 2=x 1 +x 2 =1.
x -x 4
1 2
x2 x
(2)由y= ,得y'= ,
4 2
x
3
设M(x,y),由题设知 =1,
3 3
2
解得x=2,于是M(2,1).
3
设直线AB的方程为y=x+m,
故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
x2
将y=x+m代入y= 得x2-4x-4m=0.
4
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x =2±2√m+1.
1,2
从而|AB|=√2|x-x|=4√2(m+1).
1 2
由题设知|AB|=2|MN|,
即4√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
方法总结 (1)直线与抛物线的位置关系
点差法:在已知“x+x”或“y+y”的值,求直线l的斜率时,利用点差法计算,在很大程度上减少运算过程中
1 2 1 2
的计算量.
(2)直线与圆锥曲线的位置关系
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已知直线与圆锥曲线相交,求参数时,一般联立直线与圆锥曲线的方程,消元后利用韦达定理,结合已知列方程
求解参数.求弦长时,可通过弦长公式|AB|= |x-x|= · 或|AB|=√ 1 ·|
√1+k2 1 2 √1+k2 √(x +x ) 2-4x x 1+
1 2 1 2 k2
y-y|=√ 1 · (k≠0)求解.
1 2 1+ √(y + y ) 2-4 y y
k2 1 2 1 2
18.(2016课标Ⅰ文,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点
P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
|OH|
(1)求 ;
|ON|
(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
解析 (1)由已知得M(0,t),P(
t2
).(1分)
,t
2p
又N为M关于点P的对称点,故N(t2 ),ON的方程为y=px,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x=0,x=
,t 1 2
p t
2t2
.
p
因此H(2t2
).(4分)
,2t
p
|OH|
所以N为OH的中点,即 =2.(6分)
|ON|
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分)
理由如下:
p 2t
直线MH的方程为y-t= x,即x= (y-t).(9分)
2t p
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y=y=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没
1 2
有其他公共点.(12分)
方法总结 将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题.
评析 本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力.得到交点的坐标是求解的关键.
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19.(2012课标理,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为
半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4√2,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
解析 (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=√2p.
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=√2p.
1 1
因为△ABD的面积为4√2,所以 |BD|·d=4√2,即 ·2p·√2p=4√2,解得p=-2(舍去)或p=2.
2 2
所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.
(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,
所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.
1
由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|,
2
√3 √3
所以∠ABD=30°,m的斜率为 或- .
3 3
√3 √3 2√3
当m的斜率为 时,由已知可设n:y= x+b,代入x2=2py得x2- px-2pb=0.
3 3 3
4
由于n与C只有一个公共点,故Δ= p2+8pb=0,
3
p
解得b=- .
6
p |b |
1
因为m的截距b= , =3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.
1 2 |b|
√3
当m的斜率为- 时,由图形的对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值也为3.
3
评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.
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