文档内容
第7讲 抛物线
最新考纲 考向预测
抛物线的方程、几何性质
1.了解抛物线的实际背景，掌握抛物线 及与抛物线相关的综合问
的定义、几何图形和标准方程，以及它 题是命题的热点．题型既
命题趋势
们的简单几何性质. 有小巧灵活的选择题、填
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步 空题，又有综合性较强的
体会数形结合的思想． 解答题.
核心素养 数学运算、逻辑推理
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
y2＝－2px(p＞ x2＝2py (p＞ x2＝－2py (p
y2＝2px(p＞0)
标准方程 0) 0) ＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下焦半径(其中
|PF|＝x ＋ |PF|＝－x ＋ |PF|＝y ＋ |PF|＝－y ＋
0 0 0 0
P(x ，y ))
0 0
常用结论
与焦点弦有关的常用结论
(以图为依据)
设A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
(1)y y ＝－p2，x x ＝.
1 2 1 2
(2)|AB|＝x ＋x ＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
1 2
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)．
常见误区
1．定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动
点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
2．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物
线是不是标准方程，以及是哪一种标准方程．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．
( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )
(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x ，y )，Q(x ，y )两点，如果x
1 1 2 2 1
＋x ＝6，则|PQ|等于( )
2
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：选B.抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，根据题意可
得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x ＋1＋x ＋1＝x ＋x ＋2＝8.
1 2 1 2
3．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准
方程是( )A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．x2＝－y D．y2＝－8x
解析：选AB.设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线
方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线
方程为x2＝－8y.
4．抛物线y＝－x2的焦点坐标是________．
解析：抛物线的标准方程为x2＝－8y，所以焦点坐标是(0，－2)．
答案：(0，－2)
5．(易错题)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，
则抛物线C的方程是________．
解析：由题意知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.
答案：y2＝±4x
抛物线的定义
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A
到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3 C．6 D．9
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|
＋|PF|的最小值为________．
【解析】 (1)通解：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，y )，所以y＝
A
18p.又点A到焦点(，0)的距离为12，所以 ＝12，所以(9－)2＋18p＝122，即p2＋
36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C.
光速解：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因
为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点
P ，则|P Q|＝|P F|.
1 1 1
则有|PB|＋|PF|≥|P B|＋|P Q|＝|BQ|＝4.
1 1
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【答案】 (1)C (2)4【引申探究】
1．(变问法)若本例(2)条件不变，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝
0的距离之和的最小值是________．
解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由
抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准
线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线
3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
答案：2
2．(变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．
因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
(1)利用抛物线的定义可解决的常见问题
①轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹
是否为抛物线.
②距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注
意在解题中利用两者之间的相互转化.
[提醒] 一定要验证定点是否在定直线上.
(2) 抛物线定义的应用规律
[提醒] 建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即
函数的定义域．(2020·高考北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P
是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线( )
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
解析：选B.如图所示，P为抛物线上异于O的一点，则PF＝PQ，所以QF的垂
直平分线过点P.故选B.
抛物线的标准方程及性质
(1)(2020·山西晋城一模)已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F
是抛物线C的焦点，O为坐标原点．若|PF|＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为(
)
A．y2＝6x B．y2＝2x
C．y2＝x D．y2＝4x
(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．
已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 (1)过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q.
因为∠PFO＝，|PF|＝2，所以|PQ|＝，|QF|＝1，不妨令点P坐标为.将点P的坐
标代入y2＝2px，得3＝2p，解得p＝3(负值舍去)，故抛物线C的方程为y2＝6x.故
选A.
(2)由题意，不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
由|AB|＝4，|DE|＝2，
可取A，D，
设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，故选B.
【答案】 (1)A (2)B
(1)求抛物线标准方程的方法
①先定位：根据焦点或准线的位置；
②再定形：即根据条件求p.
(2)抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标
准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
1．若动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x D．x2＝－4y
解析：选A.设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝
－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆圆心的轨迹方程为y2＝4x.故选A.
2．(2020·沈阳质量检测(一))已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在
抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．
解析：设△AOB的边长为a，则A，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以a2＝
3×a，所以a＝6.
答案：6
3．(2020·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，
则|PF|的最小值为________．
解析：由题意知x2＝y，则F，
设P(x ，2x)，
0
则|PF|＝
＝ ＝2x＋，
所以当x＝0时，|PF| ＝.
min答案：
直线与抛物线的位置关系
(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l
与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若AP＝3PB，求|AB|.
【解】 设直线l：y＝x＋t，A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x ＋x ＋，由题设可得x ＋x ＝.
1 2 1 2
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x ＋x ＝－.
1 2
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由AP＝3PB可得y ＝－3y .
1 2
由可得y2－2y＋2t＝0.
所以y ＋y ＝2.从而－3y ＋y ＝2，故y ＝－1，y ＝3.
1 2 2 2 2 1
代入C的方程得x ＝3，x ＝.
1 2
故|AB|＝.
解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要
用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛
物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x |＋|x |＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长
1 2
公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系
采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[注意] 涉及弦的中点、斜率时，可采用“点差法”求解．
1．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐
标为3，则此抛物线方程为( )
A．x2＝y B．x2＝6y
C．x2＝－3y D．x2＝3y解析：选D.设点M(x ，y )，N(x ，y )．
1 1 2 2
由消去y得x2－2ax＋2a＝0，
所以＝＝3，即a＝3，
所以所求的抛物线方程是x2＝3y.
2．(多选)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于
A，B两点，交抛物线C的准线于D点，若BD＝2BF，|FA|＝2，则( )
A．F(3，0)
B．直线AB的方程为y＝
C．点B到准线的距离为6
D．△AOB(O为坐标原点)的面积为3
解析：选BCD.如图，不妨令点B在第一象限，设点K为准线与x轴的交点，分
别过点A，B作抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的垂线，垂足分别为G，E，因为BD
＝2BF，所以点F为BD的中点，又|BE|＝|FB|，所以|BE|＝|BD|，所以在Rt△EBD
中，∠BDE＝30°，所以|AD|＝2|AG|＝2|AF|＝2×2＝4，所以|DF|＝|AD|＋|FA|＝6，
所以|BF|＝6，则点B到准线的距离为6，故C正确；因为|DF|＝6，所以|KF|＝3，所
以p＝3，则F，故A错误；由∠BDE＝30°，易得∠BFx＝60°，所以直线AB的方程
为y＝tan 60°·＝，故B正确；连接OA，OB，S ＝S ＋S ＝××6×sin 60°
△AOB △OBF △AOF
＋××2×sin 60°＝3，故D正确．故选BCD.
思想方法系列16 破解抛物线中的最值问题
求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数
思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．
技法一 定义转换法
已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，B(－1，1)，点P到直线l：x＝－
的距离为d，求d＋|PB|的最小值．【解】 由题意得抛物线y2＝2x的焦点F，直线l是抛物线的
准线，如图，连接BF，PF，所以d＝|PF|，则d＋|PB|＝|PF|＋|PB|
≥|BF|＝ ＝，当且仅当B，P，F三点共线时取等号，所以d＋|PB|
的最小值为.
与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，
将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时
所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．
技法二 平移直线法
抛物线 y＝－x2上的点到直线 4x＋3y－8＝0 距离的最小值是
________．
【解析】 方法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相
切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得
消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切线方程
为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2 上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这
两条平行线间的距离d＝＝.
方法二：由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物
线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是 T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′| ＝－
x＝m
2m＝－，
所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，所以抛物线y
＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.
【答案】
若抛物线上的点P到直线l的距离最小，则过点P与l平行的直线与抛物线
相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切
的直线，然后求两平行直线间的距离．
技法三 函数法
针对上面的典例2，我们给出第三种解决方法：
方法三：设P(x，－x2)，则点P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝＋，在抛物线y＝－x2中，x∈R，所以当x＝时，d取得最小值，即抛物线y＝－x2上
的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.
若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小
值为________．
【解析】 由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3，0)，则|PQ|≥|PA|－|
AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当PA取得最小值时，|
PQ|最小，设P(x ，y )，则y＝x ，|PA|＝＝＝，当且仅当x ＝时，|PA|取得最小值，此
0 0 0 0
时|PQ|取得最小值－1.
【答案】 －1
解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公
式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方
程设出动点坐标．
[A级 基础练]
1．抛物线y＝上一点P到焦点的距离为3，则点P到x轴的距离为( )
A．1 B．2 C. D.
解析：选B.由题意知x2＝4y，所以抛物线的准线方程为y＝－1.由抛物线的定
义，得y ＋1＝3，所以y ＝2，所以点P到x轴的距离为2.故选B.
P P
2．(2020·湖南省湘东六校联考)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的
点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝－4y D．x2＝－8y
解析：选C.依题意，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则＋3＝4，所以p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝－4y，故选C.
3．(2020·高考全国卷Ⅲ)设 O 为坐标原点，直线 x＝2 与抛物线 C：y2＝
2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A. B.
C．(1，0) D．(2，0)
解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，
－2)，由OD⊥OE，可得OD·OE＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为.
4．顶点在坐标原点，焦点为F(0，1)的抛物线上有一动点A，圆(x＋1)2＋(y－
4)2＝1上有一动点M，则当|AM|＋|AF|取得最小值时＝( )
A．3 B. C．2 D.
解析：选B.由题知，抛物线方程为x2＝4y，其准线为y＝－1，设d＝|AF|为A到
准线的距离，则|AM|＋|AF|的最小值等于圆心(－1，4)到准线的距离减去半径，此
时A，则|AM|＝，|AF|＝，所以＝.
5．(多选)(2020·山东德州期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l
的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物
线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4 B.DF＝FA
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
解析：选ABC.如图所示：分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分
别为点E，M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，
所以倾斜角为60°，因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|
＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|
AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，所以 p＝4，A选项正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，
PF∥AE，所以F为AD的中点，则DF＝FA，B选项正确；因为∠DAE＝60°，所以
∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线的定义)，C选项正确；因为|BD|＝2|
BF|，所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D选项错误．故选ABC.
6．点M(2，1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，则a的值为________．
解析：易知a≠0，抛物线的方程化为标准形式为x2＝y，因为点M(2，1)到抛物
线的准线的距离为2，所以当a>0时，＝＝1，得a＝；当a<0时，＝－＝3，得a＝
－.
答案：或－7．(2020·福建泉州3月适应性线上测试)已知C：y2＝2px(p>0)的准线l与x轴
交于点A，点B在C上，F为抛物线焦点，△ABF是面积为2的等腰直角三角形，
则C的方程为________．
解析：由于△ABF是面积为2的等腰直角三角形，所以|AF|＝|BF|＝p，所以B，
所以·p·p＝2，所以p＝2.所以C的方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝
5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：设A(x ，y )，B(x ，y )，则由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝5，即x ＋＋x ＋＝
1 1 2 2 1 2
5，则x ＋x ＝，所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.
1 2
答案：
9．一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸
(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽
3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由．
解：不能．理由如下：建立如图所示的平面直角坐标系，设矩
形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
将B点坐标代入得9＝－2p·(－3)，
所以p＝.
所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
因为车与箱共高4.5 m，
所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x ，－0.5)，则x＝，
0
所以|x |＝＝，
0
所以2|x |＝＜3，故此车不能通过隧道．
0
10．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设 M 为曲线 C 上一点，曲线 C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行，且
AM⊥BM，求直线AB的方程．
解：(1)设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ≠x ，y ＝，y ＝，x ＋x ＝2，
1 2 1 2 1 2
故直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝x.
设M(x ，y )，由(1)及题设知x ＝1，于是M.
3 3 3
设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1，1＋m)，|MN|＝.
将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.
由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x ＝1±.
1，2
从而|AB|＝|x －x |＝2.
1 2
由题设知|AB|＝2|MN|，
即＝，
解得m＝或m＝－(舍)．
所以直线AB的方程为y＝x＋.
[B级 综合练]
11．(多选)(2020·山东枣庄、滕州期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2
＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.设准线l与x轴的交点为K，P为抛物线C上异
于点O的任意一点，P在准线l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点
Q，过点Q作QN⊥PE交EP的延长线于点N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则(
)
A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF|
C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF|
解析：选ABD.由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，A正确．
由题意，得PN∥QF.又PQ是∠FPN的平分线，所以∠FQP
＝∠NPQ＝∠FPQ，所以|PF|＝|QF|，B正确．由PQ是外角
平分线，QN⊥PE，QM⊥PF，得|QM|＝|QN|，从而有|PM|＝|
PN|.若|PN|＝|MF|，则有|PM|＝|FM|.又QM⊥PF，所以|QP|＝|
QF|，所以△PFQ为等边三角形，∠FPQ＝60°，也即有∠FPE＝60°，这只是在特殊
位置才有可能，因此C错误．连接EF，因为|PE|＝|PF|＝|QF|，PE∥QF，所以四边
形EPQF是平行四边形，所以|EF|＝|PQ|.显然|EK|＝|QN|，所以|KF|＝|PN|，所以D
正确．故选ABD.12．过点(－2，1)斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则由k的
值组成的集合为________．
解析：设l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由方程组得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，①当k＝0时，y＝1，此时x＝，l与抛物线
仅有一个公共点；②当k≠0时，由Δ＝－16(2k2＋k－1)＝0，得k＝－1或k＝，所
以k的值组成的集合为.
答案：
13．斜率为k(k≠0)的直线l与抛物线y＝x2交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，O为
1 1 2 2
坐标原点．
(1)当x ＋x ＝2时，求k；
1 2
(2)若OB⊥l，且|AB|＝3|OB|，求|AB|.
解：(1)由已知可得y ＝x，y ＝x，
1 2
所以y －y ＝x－x＝(x ＋x )(x －x )＝2(x －x )，
1 2 1 2 1 2 1 2
此时直线l的斜率k＝＝2.
(2)因为OB⊥l，所以k ＝－，
OB
又因为k ＝＝＝x ，
OB 2
所以x ＝－，
2
又由(1)可知，x ＋x ＝＝k，
1 2
从而x ＝k－x ＝k＋，
1 2
所以|AB|＝|x －x |＝，
1 2
|OB|＝＝＝ ＝.
因为|AB|＝3|OB|，所以＝，
化简得|k3＋2k|＝3，解得k＝±1，
所以|AB|＝＝3.
14．(2020·福建厦门质量检测)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点(1，0)的直线l与
抛物线交于A，B两点，OA·OB＝－3.
(1)求抛物线的方程；
(2)以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，当点C在y轴上时，求△ABC的面
积．
解：(1)依题意，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
联立消去x整理得y2－2pmy－2p＝0，
Δ＝4p2m2＋8p>0，则y ＋y ＝2pm，y y ＝－2p.
1 2 1 2又x x ＝·＝1，
1 2
所以OA·OB＝x x ＋y y ＝1－2p＝－3，所以p＝2.
1 2 1 2
故抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设线段AB的中点为M(x ，y )，C(0，y )，
M M C
由(1)知y ＝2m，x ＝2m2＋1.
M M
由抛物线的方程知(1，0)为抛物线的焦点，
则直线AB过焦点，由抛物线的定义得|AB|＝x ＋x ＋p＝2x ＋2＝4m2＋4.
1 2 M
易知直线CM所在直线的斜率为－m，所以|CM|＝|x －0|＝(2m2＋1)．
M
因为在等腰直角三角形ABC中，AB为斜边，M为AB中点，所以|AB|＝2|CM|，
即4(m2＋1)＝2·(2m2＋1)，整理得m2＝.
所以S ＝|AB|·|CM|＝|AB|2＝(2＋4)2＝7＋4.
△ABC
[C级 创新练]
15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中的“勾股”部分
讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的直角边中较小者为“勾”，另一
长直角边为“股”，斜边为“弦”．设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛
物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于
点C.若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|BC|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝3x
C．y2＝4x D．y2＝6x
解析：选B.由|AB|＝3，|BC|＝3，得|AC|＝＝6，所以∠CAB＝60°.又|AB|＝|AF|，
连接BF，所以△ABF是正三角形，且F是线段AC的中点，则p＝，所以抛物线的
方程为y2＝3x.
16．(2020·山东潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反
射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线
经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于
x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一
点B射出，则△ABM的周长为( )
A.＋ B．9＋
C.＋ D．9＋
解析：选D.对于y2＝4x，令y＝1，得x＝，即A，
结合抛物线的光学性质，得AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
与抛物线方程联立可得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，据此可得x x ＝1，所以x ＝＝4，故|AB|＝x ＋x ＋p＝.
A B B A B
将x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，
故|MB|＝＝.
故△ABM的周长为|MA|＋|AB|＋|BM|＝＋＋＝9＋，故选D.
