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特训03 期末解答压轴题（九年级上册+下册）
一、解答题
1．如图，在 中， ， ，点D为 的中点，连接 ，将线段 绕点D顺
时针旋转 得到线段 ，且 交线段 于点G， 的平分线 交 于点H．
(1)如图1，若 ，则线段 与 的数量关系是______， ______；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点C作 交 于点F，连接 ， ．
①试判断四边形 的形状，并说明理由；
②求证： ；
(3)如图3，若 ， ，过C作 交 于点F，连接 ， ，请直接写出
的值（用含m的式子表示）．
【答案】(1) ； ．
(2)①四边形 是正方形，理由见解析；②
(3) ，理由见解析
【分析】（1）先利用直角三角形的斜边中线性质得到， ，进而证明 是等边三角形，
证得 ，利用旋转性质和正切定义可求得 ， ；
1（2）①根据角平分线的定义和平行线的性质证得 ，再根据等腰三角形的判定证
得 ，进而可得四边形 是正方形；
②先证明 得到 ，再证明 得到 ，
，进而证明 ， ，得到 ，利用相似三角
形的性质得到 ，进而可求解；
（3）如图3，过点D作 于点N，先根据含30度角的直角三角形性质得到 ， ，
，再利用正切定义求得 ， ，利
用角平分线的定义和平行线的性质得到 ， ，证明 ，利用相
似三角形的性质即可得结论．
【解析】（1）解：在 中， ，点D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
（2）解：①四边形 是正方形，理由如下，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
2∴ ，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴四边形 是正方形．
②由（1）可知， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
由①知 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（3）解： ．理由如下：
如图3，过点D作 于点N，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
3∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
∵ ∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，又 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质
及解直角三角形、菱形和正方形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知
识，知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
2．如图，已知四边形 和四边形 都是正方形，连接 ．
(1)如图1，若点E，F分别在边 ， 上，则
4①点G 线段 上；（填“在”或“不在”）
②线段 与 之间的数量关系为
(2)如图2，将正方形 绕点B顺时针方向旋转α（ ），试探究线段 与 之间的数量关
系，并证明你的结论；
(3)若正方形 旋转到使点A，E，F在同一直线上时，如图3所示，延长 交 于点H．已知
， ， ，直接写出 的长．
【答案】(1)①在， ②
(2) 见解析
(3)
【分析】（1）①根据正方形的性质有 ， ， ，结合图形可知：直
线 与 重合，即问题得解；②在 和 中，结合余弦的定义可得 ，
，即 ，问题得解；
（2）连接 ，根据正方形的性质有： ， ，即有 ，再根据
旋转有 ，即可证明 ，问题随之得解；
（3）根据 ，点 、 、 三点共线，可得 ，根据（2）可知 ，
即有 ，进而可得 ，再证明 ，即有 ，设
，则 ，即可得 ，则 ，进而有
，结合 ，即可求解．
【解析】（1）①∵四边形 和四边形 都是正方形，
5∴ ， ， ，
∴结合图形可知：直线 与 重合，
∴点G 在线段 上,
故答案为：在；
②∵在 和 中，有： ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
证明如下：连接 ，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ， ，
在 和 中
有： ， ，
∴ ，
由旋转的性质得 ，
∴ ，
∴ ，
6∴ ；
（3）解：∵ ，点 、 、 三点共线，
∴ ，
∵根据（2）可知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
则由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，余弦函数等知识，
7正确理解正方形的性质，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
3．已知：如图，抛物线 与坐标轴分别交于点 ， ， ，点 是线段
上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点 运动到什么位置时， 的面积有最大值？
(3)过点 作 轴的垂线，交线段 于点 ，再过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，请问是否存
在点 使 为等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由待定系数法求出直线 的解析式，过点 作 轴的平行线，交 于 ，设
，则 ，则 ，表示出 ，根据二
次函数的性质即可得到答案．
（3）由待定系数法求出直线 的解析式，过点 作 轴的平行线，交 于 ，设 ，
8则 ，则 ，据 列式计算即可．
【解析】（1）∵点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设抛物线解析式为 ，
故 ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入直线 的解析式得： ，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
如图，过点 作 轴的平行线，交 于 ，
设 ，则 ，
9则 ，，
∴
，由此可得，
当 ， 最大为 ，
当 时， ，
∴ ．
（3）根据（2）得直线 的解析式为： ，
根据题意，得 ， ，
10设 ，则 ，
则 ， ，
根据题意 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 （舍去）或 （舍去）
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
故 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的
关键．
4．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点．
11(1)直接写出A，B，C点的坐标；
(2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E
点坐标；
(3)如图2所示，过 作两条直线分别交抛物线于第一象限点 ， ，交 轴于 ， ， ．当
为定值时，直线 是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含 的式子表示）；若不经
过，请说明理由．
【答案】(1)点 、 、 的坐标分别为： 、 、
(2)点 的坐标为：
(3)直线PQ过点
【分析】（1）对于 ，当 时， ，当 时， 或3，即可求解；
（2）①当 是边时，用数形结合的方法求出点 ，即可求解；当 在 上方时，同理可解；②
当 是对角线时，由 ，即可求解．
（3）求出 ，同理可得： ，进而求解．
【解析】（1）对于 ，当 时， ，
当 时， 或3，
即点 、 、 的坐标分别为： 、 、 ；
12（2）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ， ，
①当 是边时，如下图，
当 在 下方时，
设 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，
则由 ， ， ， 四点组成的平行四边形面积 ，
则 ，
由 知， ，
则 ，
则点 ，
则直线 的表达式为： ，
联立 和 并解得： （舍去）或 ，
即点 ；
点 向右平移3个单位向下平移3个单位得到点 ，
则点 向右平移3个单位向下平移3个单位得到点 ，
故点 ；
当 在 上方时，
13同理可得：直线 的表达式为： ，
经验证，该方程和抛物线无交点，
即无解；
②当 是对角线时，如下图：
则 ，
设点 ，则点 ，
则 ，
则 ，
该方程无解；
综上，点 的坐标为： ；
（3）经过定点，理由：
设点 、 的坐标分别为： 、 ，
由点 、 坐标得，直线 的表达式为： ，
当 时， ，
同理可得： ，
则 ，
即 ，
设直线 的表达式为： ，
14联立 和二次函数表达式并整理得： ，
则 ， ，
则 ，
即 ，
则 的表达式为： ，
则直线 过点 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形面积的计算、平行四边形的性质，分类讨论是本
题解题的关键．
5．如图，已知 内接于 平分 ，交 于点E，交 于点D，连接 ．
(1)求证： ；
(2)作 于点N，G为 中点，连接 ．
①若 ，求 的长；
②作 于点M，连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②6
【分析】（1）证明出 ，结合 即可证明 ；
（2）作 于点H，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 ，可得
15，结合 得出 ，再由勾股定理求
解即可；②设 ，则由 可知， ，可得
，延长 ，过点D作 于点H，过点D作 于点I，连接 ．可得
，再证明 可得结论．
【解析】（1）∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）①作 于点H，
∵ ，G为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②设 ，则由 可知， ，
由 平分 ，
∴ ．
16∴
．
延长 ，过点D作 于点H，过点D作 于点I，连接 ．
∵ ，
∴
∴ ．
由 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
由于等底等高， ，
，
在 中， ，
17∴ ，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定，解直角三角形等知
识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
6．综合与实践
提出问题：在一次数学活动课的学习中，小明同学发现：“等边三角形外接圆上任意一点到三个顶点的距
离的平方和等于边长平方的两倍”
(1)初步探究：如图①， 为等边三角形， 是 外接圆 上任意一点，证明 的思
路如下，图②中，在 上截取 ，连接 ，先证明 为等边三角形，再证明
，由此得出 ．请写出 的证明过程
(2)继续探究：如图②，设 ， ， ， ，求证
(3)拓展探究：如图③，点 为正六边形 的外接圆上一点，设 ， ， ， ，
， ， ．试探究 ， ， ， ， ， 与 之间的数量关系
【答案】(1)见解析
(2)见解析
18(3)
【分析】（1）根据提供的证明思路证明即可；
（2）由（1）可知 ，设 与 的交点为 ，先证明 ，求得 ，再证明
，可得 ，整理后即可证明；
（3）连接 、 、 ，则 是等边三角形，由（2）可得 ，过点 作
交于点 ，求出 ，可得 ，同理 也是等边三角形，可得 ，
即可探索出 ．
【解析】（1）证明： 是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）可知 ，
， ， ，
，
设 与 的交点为 ，
19，
，
，
，
，即 ，
，
， ，
，
，
，
整理可得： ；
（3）解：连接 、 、 ，
多边形 是正六边形，
是等边三角形，
点在正六边形 的外接圆上，
又 ， ， ，
由（2）可得 ，
过点 作 交于点 ，
，
20，
，
，
，
，
同理 也是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质，三角形全等的判定及性质，等边三
角形的性质，正六边形的性质，灵活应该结论是解题的关键．
7．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ， ，则
的值为___________；
21(2)如图2，在矩形 中， ，点 是 上的一点，连接 ， ，且 ，则 的
值为___________；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形 中， ，点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交
的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ；
【拓展延伸】
(4)如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点 落在点 处得
，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，得到答案；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，列出比例式，证明结论；
（4）过点 作 于点 ，连接 交 于点 ， 与 相交于点 ，根据正切的定义得到
，根据勾股定理分别求出 、 ，根据三角形的面积公式求出 ，计算即可．
【解析】（1）解：设 与 交于点 ，如图所示：
四边形 是正方形，
， ，
22，
，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，即 ，
故答案为：1；
（2）解：设 与 交于点 ，如图所示：
四边形 是矩形，
， ， ，
∴ ，
，
，
，
，
又∵ ，
，
，
，
23，
故答案为： ；
（3）证明：过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示：
，
，
四边形 为矩形，
， ，
，
，
，
，
，
；
（4）解：过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，如图所示：
， ，
，
，
，
，
24，
在 中， ，
，即 ，设 ，则 ，
，
，
或 （线段长的负值舍去），
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的
性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
8．如图1，已知抛物线 经过点 ， 两点，且与y轴交于点C．
(1)求b，c的值．
25(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得 的面积最大？求出点P的坐标及 的面积最
大值． 若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点E为线段 上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于
的直线交于点F，当 面积取得最小值时，求点E坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点P坐标为 ， 的面积最大值是
(3)
【分析】（1）将A、B两点坐标代入 即可求出 ；
（2）由（1）得到抛物线的解析式为 ，求出点 ，设点 ，
，连接 ，作 轴交 于M，利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，
则 ，得到 ，得到 ，从而可求出 的面
积最大值及点P的坐标；
（3）连接 ，证明 ，则 ， 是等腰直角三
角形，当 最小时， 面积取得最小值.由点E在线段 上，则当 时， 最小. 此时点E
是 中点，由中点坐标公式即可得到点E坐标．
【解析】（1）将 ， 两点坐标代入 得：
，
解得： ；
（2）存在．理由如下：
26由（1）得到抛物线的解析式为 ，
当 时，
∴点 ，
设点 ， ，
连接 ，作 轴交 于M，
设直线 的解析式为 ，
由 ， 可得
,
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，则 ，
，
∵ ，
当 时，
∴ 的面积最大值为 ；
27当 时， ，
∴点P坐标为 ；
（3）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴当 最小时， 面积取得最小值.
∵点E在线段 上，
∴当 时， 最小.
∵ 是等腰直角三角形，
∴此时点E是 中点，
∵ ， ，
∴ .
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、圆周角定理、待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解
析式、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解答此题的关键．
289．等腰三角形 中 ，且内接于圆O，D、E为边 上两点（D在F、E之间），分别延长 、
交圆O于B、C两点（如图1），记 ， ．
(1)求 的大小（用α，β表示）；
(2)连接 ，交 于H（如图2）．若 ，且 ．求证： ；
(3)在（2）的条件下，取 中点M，连接 、 （如图3），若 ，
①求证： ， ；
②请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①见解析；② 或
【分析】（1）如图1中，连接 ．利用圆周角定理求解；
（2）证明 ， ，可得结论；
（3）①如图3中，连接 ，延长 交 于点I．证明 ，推出 ， ，再
证明 ，可得结论；
②连接 ， ．设 ，则 ， ，设 ，利用勾股定理求出m，n之
间的关系，可得结论．
【解析】（1）解：如图1中，连接 ．
29∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：如图2中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
30∴ ；
（3）①证明：如图3中，连接 ，延长 交 于点I．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
即 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
又 ，
31∴ ， ；
②解：连接 ， ．
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ， ，设 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
32【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于
中考压轴题．
10．如图1，点C是半圆 上一点（不与A，B重合），O为圆心， 交弧 于点D，交弦
于点E，连接 交 于点F．
(1)如图1，如果 ，求 的大小；
(2)如图2，如果 ，求 的值；
(3)连接 ，若圆O的直径为4，当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）可利用同圆中等弦对等弧以及垂径定理判断 的关系，再求弧所对的圆周角即可．
（2）根据题目给的 与 的比值构造相似三角形，利用相似三角形的性质表示含 的直角三角形
的三条边，利用解直角三角形计算正弦值即可．
（3）分类讨论， ，排除不符合题意的情况，针对不同情况，结合等腰三角形
“三线合一”的性质，圆的性质及勾股定理求解，相似三角形的性质求解即可．
【解析】（1）解：
是半径，
33（2）解：连接 ，
是直径
设
（3）解：当 时，
连接
∵半圆直径为4
34是等边三角形
当 时，
连接 ，过点 作 ，垂足为
设
解得：
35（3）因为点 在圆内，所以
∴ 不存在
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆和相似三角形的性质，三角函数值，熟练掌握圆和相似三角形的性质及三角函数
值的解法是解决本题的关键．
11．已知 是圆O中的两条弦， ，垂足为E，连接 ．
(1)如图1．求证： ；
(2)如图2，过点A作 于F， 交 于G，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下连接 ，若 恰好经过圆心O，若圆O的半径为5， ，求 的
长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
36【分析】（1）延长 交 于K，连接 ，先证明 ，得到 ，再证明
，由 ，即可证明 ；
（2）如图所示，连接 ，先证明 ，再由 ，得到 ，即
可推出 ，进一步证明 得到 ，再由 ，即可证明 ；
（3）先证明 再由 ，得到 ，证明 得到
，证明 ，得到 设 ，则 ，解直角三角形
得到 ， ，则 ，再求出 ， ，延长 交 于N，连接 ，得
到 ，求出 的长即可求出a的值得到答案．
【解析】（1）证明：延长 交 于K，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
37∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
设 ，则 ，
38∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
延长 交 于N，连接 ，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴
∴
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，全等三角形
的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
3912．如图，在 中， ，点 是 外接圆上的一点，且
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 ， ．点 为弧 上一点，过 作 于 点，求证： ；
(3)如图3，点 是弧 上一动点（不与 ， 重合），连 ， ， ．求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，根据已知得出 ，得出 ，即可得证；
（2）过点 作 垂足为 ，过点 作 于点 ，证明 ，进而即可得证；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 垂足为 ，过点 作 于点 ，连接 ，由
（2）可得四边形 是正方形， ，继而即可求解．
【解析】（1）解：如图1，连接 ，
40∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图2，过点 作 垂足为 ，过点 作 于点 ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的直径，
∴ ，
41∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ,
∴ ；
（3）如图3所示，过点 作 于点 ，过点 作 垂足为 ，过点 作 于点E，
连接 ，则A、Q、E三点共线，
由（2）可得四边形 是正方形， ，
∴ ，
∴ ，
设正方形 的边长为 ，则 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，90度角所对的弦是直径，正方形的性质与判定，勾股定理，全等
三角形的性质与判定，掌握圆周角定理是解题的关键．
13．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点（A在B的左侧），
与x轴和y轴分别交于E，F两点．
42(1)当 时，求A、B两点的坐标；
(2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使 是以 为直角边的直角三角
形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，直线 、 分别交反比例函数 图象的另一支于点 和点 ，连接 、 和
， 交 轴于点 ， 交y轴于点G．若 ，
①求此时反比例函数的表达式．
②求四边形 的面积．
【答案】(1) ，
(2)点 的坐标为 或
(3)①反比例函数解析式为 ；②16
【分析】（1）解方程组即可得到结论；
（2）①过点 作 于 ，设 与 轴的交点为 ，如图1，解方程得到点 ， ．由
垂直的定义得到 ．根据相似三角形的性质得到 ，设直线 的解析式为
，解方程组得到点 的坐标为 或 ．
43（3）如图2，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，根据相似三角形的性质得到
．
①设 ， ，解方程得到 ．求得反比例函数解析式为 ．
②设直线 的解析式为 ，解方程得到直线 的解析式为 ．令 ，解得
，得到 ， ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）解：当 时，反比例函数解析式为 ，
联立 ，得 或 ，
所以 ， ．
（2）解：①若 ，
过点 作 于 ，设 与 轴的交点为 ，如图1，
令 ，解得 ，
点 ，
．
，
， ，
．
，
．
44又 ，
， ，
，
，
，即 ，
，
，
可设直线 的解析式为 ，
则有 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
∴联立得 ，
解得 或 ，
点 的坐标为 ．
②若 ，
同理可得：点 的坐标为 ．
综上所述：符合条件的点 的坐标为 或 ．
（3）解：如图2，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
45则有 ，
，
．
，
．
①设 ， ，
， ， ，
，即 ．
， 都在反比例函数 的图象上，
，
．
，
解得： ．
， ， ．
反比例函数解析式为 ．
②设直线 的解析式为 ，
46则有 ，解得 ，
直线 的解析式为 ．
令 ，解得 ，
，
，
．
根据轴对称的性质得到四边形 为平行四边形．
．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，待定系
数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．如图1，已知点 ， ，且a、b满足 ，平行四边形 的边 与
y轴交于点E，且E为 的中点，双曲线 上经过C、D两点．
(1)求k的值；
(2)点P在双曲线 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出
满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段AB为对角线作正方形 （如图3），点T是边 上一动点，M是 的中点， ，
47交 于N，当T在 上运动时， 的值是否发生变化，若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请
直接写出其值．
【答案】(1)8
(2)点 的坐标为： 或 或
(3) 为定值，等于
【分析】（1）由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，则点D向右平
移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点 ，将点C、D的坐标代入反比例函数表达式，即可
求解；
（2）由题意设 ， ，分三种情况：①若以 ， 为对角线，②若以 ， 为对角线，
③若以 ， 为对角线，根据平行四边形的性质及中点坐标公式求解即可；
（3）连 、 、 ，易证 ，故 ， ， ，
由此即可得出结论．
【解析】（1）解：由题意得： ，解得： ，
则点A、B的坐标分别为： ， ，
设点D的坐标为： ，
由点E是 的中点，由中点坐标公式得： ，
即 ，解得 ，
则点D的坐标为： ，
由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，
则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点
48将点C、D的坐标代入反比例函数表达式得： ，
解得： ，
则点C、D的坐标分别为： ， ；
则 ；
（2）∵由（1）知 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵点P在双曲线 上，点Q在y轴上，
∴设 ， ，
①若以 ， 为对角线，如图1所示，
由平行四边形的性质及中点坐标公式可得： ，即：
解得 ，
此时 ；
②若以 ， 为对角线，如图2所示，
49由平行四边形的性质及中点坐标公式可得： ，即：
解得 ，
此时 ；
③若以 ， 为对角线，如图3所示，
由平行四边形的性质及中点坐标公式可得： ，即：
解得 ，
50此时 ；
故点 的坐标为： 或 或 ；
（3）如图4，连接 、 ，
∵ 是 的中点， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
所以，四边形 中， ，
因为四边形 内角和为 ，
所以 ．
∴ ，
51∴ ．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四
边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论，在利
用中点坐标公式求解是解决第（2）小题的关键，通过构造全等三角形是解决第（3）小题的关键．
15．如图1，在平面直角坐标系 中，点 ，过函数 （ ，常数 ）图象上一点
作 轴的平行线交直线 ： 于点 ，且 ．
(1)求 的值，并写出函数 （ ）的解析式；
(2)过函数 （ ）图象上任意一点 ，作 轴的平行线交直线 于点 ，是否总有 成立？
并说明理由；
(3)如图2，若 是函数 （ ）图象上的动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，分别过点
作 的垂线交 轴于点 ，问是否存在点 ，使得矩形 的周长取得最小值？若存在，请
求出此时点 的坐标及矩形 的周长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， （ ）
(2)见解析
(3) 时，矩形 的周长取得最小值为4
52【分析】（1）由题意可得 ， ，求出点 ，即可得出 ，根据
得到 ，求出 ，从而得到点 的坐标，将点 的坐标代入函数解析式计算
即可；
（2）设 （ ），则 ，计算出 和 ，进行比较即可得到答案；
（3）设 （ ），则 ， ，从而得到 ， ，再表示出
矩形的周长进行计算即可得到答案．
【解析】（1）解：根据题意得： ， ，
在 中，当 时， ，
，
，
，
，
，
∴点 ，
将点 代入函数 （ ）得： ，
，
∴ （ ）；
53（2）解：设 （ ），则 ，
∴ ，
，
∴ ；
（3）解：存在满足题设条件的点 ，
设 （ ），则 ， ，
， ，
∴矩形 的周长
∴当 ，即 ， 时，矩形 的周长取得最小值为4．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求反比例函数解析式、勾股定理等知识，熟练掌握
以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
16．问题探究：如图1，在正方形 ，点 分别在边 上， 于点 点 分别
在边 上， ．
(1)①判断 与 的数量关系： _____ ；
54②推断： ______(填数值)；
(2)类比探究：如图2，在矩形 中， ．将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上的点
处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究 与 之间的数量关系，并
说明理由；
(3)拓展应用1：如图3，四边形 中， ， ， ，点
分别在边 上，求 的值．
(4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；1
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）①由正方形的性质得 ， ．所以 ，又知
，所以 ，于是 ，可得 ．
②证明四边形 是平行四边形即可解决问题．
（2）如图2中，过点 作 于 ．证明 即可解决问题．
（3）如图3，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，连接 ，证明
，得出 ，证明 ，可得出 ，由勾
股定理求出 ，则可得出答案．
（4）过点 作 交 的延长线于 ．利用相似三角形的性质求出 ， 即可解决问题．
【解析】（1）解：（1）①证明： 四边形 是正方形，
55， ．
．
，
．
．
，
．
故答案为： ．
②结论： ．
理由： ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：1．
（2）结论： ．
理由：如图2中，过点 作 于 ．
56根据折叠的性质可得， ，
，
， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
．
（3）如图3，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，连接 ，
， ， ，
四边形 是矩形，
， ， ，
， ， ，
，
，
57，且 ，
，且 ，
，
，
， ，
，
，
(不合题意，舍去)， ，
，
由（2）的结论可知： ．
（4）解：如图2中，过点 作 交 的延长线于 ．
，
设 ， ， ，
， ，
，
，
或 (舍弃)，
， ，
58，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相
似三角形解决问题．
17．课本再现：如图正方形 对角线 与 相交于点O，E为 上任意点（不与B，C重合），
作 交 于点F．
(1)在图1中解答下列问题：
Ⅰ．求证：
Ⅱ．当正方形 的面积为4时，小明发现以下结论：
① ；② ；③ ．其中正确的是___________（填序号）
59(2)如图2，当点P为线段 上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边 上两点，且
．问： 之间有何数量关系，并说明理由．
(3)如图3，将图2中正方形 改成矩形 ，且 ，其它条件不变，直接写出
之间的数量关系．
【答案】(1)Ⅰ见解析；Ⅱ②③
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）Ⅰ、证明 即可；Ⅱ、根据正方形的面积求出边长，根据 ，得到
，判断①， ，推出 ，判断②；连接 ，利用勾股
定理，判断③即可；
（2）过点 作 ，证明四边形 为正方形，得到 ，证明 ，
得到 ，进而得到 ，即可得出结论；
（3）过点 作 ，证明四边形 为矩形，再证明 ， ，
得到 ， ，推出 ， ，得到
，以及
，即可得出结论．
【解析】（1）Ⅰ、证明：∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
60∴ ；
Ⅱ、∵正方形 的面积为4，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；故①错误；
；故②正确；
连接 ，则在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；故③正确；
故答案为：②③；
（2） ；理由如下：
过点 作 ，则：
∵正方形 ，
∴ ， 平分 ，
∴ ，四边形 为正方形，
61∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ；
过点 作 ，则： ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
62∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．本题的综合
性强，难度较大，属于压轴题．
18．抛物线 交x轴于A，B两点（点A在点 B 的左边），交y轴于点C．
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)如图1，直线 经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足 的面积与 的
面积相等，求点D的横坐标；
(3)如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线 ， ， 是抛物线
上两点（P点在 点左侧），直线 交抛物线C对称轴于点E，过点 作y轴的平行线分别交x轴，直线
于F，H两点， 交x轴于点G，求证： ．
63【答案】(1) ，
(2)3或 或
(3)证明见解析
【分析】（1）当 时， ，求解方程即可求求出；
（2）由面积相等可得 ，先求直线 的解析式为 ，当 时，计算求解；
直线 关于直线 对称的直线为 ，当 时，计算求解即可得出；
（3）由题意可得平移后的函数解析式为 ，求出直线 的解析式，再表示出 点坐标，则
，求出直线 的解析式，再表示出 点的坐标，从而得到
，通过证明 ，即可证出最终结果．
【解析】（1）解：当 时， ,
解得 或 ,
，
（2）当 时， ,
,
当 时，
解得 或 ,
,
的面积与 的面积相等，
64,
直线 的解析式为 ,
当 时，
解得 或
点横坐标为3；
设直线AN的解析式为 ,
解得
,
与 轴的交点为 ，
点关于 的对称点为 ，
经过点 且与直线 平行的直线为 ,
当 时，
解得
或
点横坐标为3或 或
（3）证明：由题意可得平移后的函数解析式为 ,
，对称轴为直线 ，
设直线 的解析式为 ,
，
65解得
，
在对称轴上，
，
，
设直线 的解析式为 ,
解得
，
轴，
,
点在第四象限，
，
在 和 中，
,
．
66【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，函数图象平移
等知识，熟练掌握以上判定及性质的综合运用，并采用数形结合的方法是解题的关键．
19．如图1，直线 交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线 与x轴
的另一交点为 ．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接 ，求 面积的最大值；
②加图3，连接 ，将线段 绕O点顺时针旋转 ，得到线段 ，过点E作 轴交直线 于
F．求线段 的最大值及此时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)① 的面积最大为4；② 最大为3，D点的坐标
【分析】（1）先求出 的坐标，待定系数法求函数解析式即可；
（2）①连接 ，根据 ，转化为二次函数求最值即可；
②过点D作 于点H， 交y轴于点G，证明 ，设点D横坐标为m，则
，求出点E坐标，可得F点坐标为 ，表示出 ，然后根据二次函数的
性质求解即可．
【解析】（1）解：由题意可得，当 时， 当 时， ，解得 ，
67∴ ， ，
代入 得，
，解得： ，
∴ ；
（2）①连接 ， ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ，
∵D在第二象限，
∴ ，
∴
．
当 时， 的面积最大为4，
②如图，过点D作 于点H， 交y轴于点G，
∴ ，
68由旋转得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设点D横坐标为m，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵点D在第二象限， 绕点O顺时针旋转 得 ，
∴点E在第一象限．
∴点E坐标为 ，
∵ 轴交直线 于点F，
∴点F的纵坐标与点E纵坐标相等，
将F点纵坐标 代入 ，得 ，
解得： ，
∴F点坐标为 ，
∴ ，
69∴当 时， 最大，最大值为3，
当 时， ，
∴点D的坐标为 ，
∴线段 的最大值为3，此时点D的坐标为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，全等三角形的
判定和性质，旋转的性质，二次函数的应用等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是
解题的关键．
70
