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专题突破卷 03 导数中的公切线问题
题型一 求在曲线上一点处的切线方程
1．已知函数 则 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数结合导函数求出 ，再根据点斜式得出直线方程.
【详解】当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以 ， ．
则所求的切线方程为 ，即 ．
故选：B.2．若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】求出 的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程 ，再设与
曲线 相切的切点为 ，求得函数 的导数，由导数的几何意义求出切线的
斜率，解方程可得 的值，进而得到 的值.
【详解】由曲线 ，得 ，
在 处的切线斜率为 ，当 时， ，
曲线 在 处的 ，即 ，
曲线 ，导数为 ，
设切点为 ，则 ，解得 ，切点在切线 上，
即有 ，得 .
故选：A.
3．定义在R上的偶函数 满足 ，当 时， ，若
，下列命题：
① 是周期函数；
②函数 的图象在 处的切线方程为 ；
③函数 的图象与函数 的图象的所有交点的横坐标之和为12；
④ ．
其中正确命题的个数为（ ）
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】对于①，由 ，由函数为偶函数，可得函数的周期为2，从而即
可判断；对于②，先求解 时的函数解析式，利用导数求解切线斜率，点斜式求解
直线方程即可求解；对于③，画出 和 的的图象，数形结合即得解；对于
④，利用函数的周期性求解即可．
【详解】因为 ，所以 的图象关于 对称，
又 是R上的偶函数，则 ，
所以 ，即 ，
所以函数 为周期函数，最小正周期为2，故①正确；
当 时， ，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 的在 处的切线方程为 ，即 ，故②错误；
因为 ，
所以 的图象关于直线 对称，
画出 和 的图象如图所示：由图可得 和 的图象有12个交点，且关于直线 对称，
则所有交点的横坐标之和等于12×1＝12，故③正确；
因为 的周期为2，所以 ，故
④正确．
故选：B．
4．在平面直角坐标系 中，已知点 为抛物线 ： 上一点，若抛
物线 在点 处的切线恰好与圆 ： 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 的坐标代入抛物线的方程，解得 ，可得抛物线的方程，由导数的几何意义
可得 处切线的斜率和方程，求得圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件，解方程可得
的值．
【详解】由点 为抛物线 上一点，可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ，
由 ，可得 ，则 ，
所以抛物线在 处的切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ．
圆 的圆心为 ，半径为 ，
又抛物线 在点 处的切线恰好与圆 相切，可得 ，
解得 或 （舍去）．
故选：C．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5．若函数 ，则 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，代入直线的点斜式方程化简即可求解.
【详解】由题知， ，则 ，则该切线方程为 ，即
.
故选：A.
6．已知函数 ，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B． 为减函数
C．
D．曲线 在点 处的切线方程为
【答案】C
【分析】先计算出 ，再代入算出 ，即可判断A；利用导数的单调性，得到
的最大值小于零，即可判断B；由 ， 为减函数，即可判断C；
求出 ，由导数的几何意义 即为在点 处的切线的斜率，再求出 ，由点
斜式写出切线方程，即可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，故A正确；
因为 ，设 ，则 ，由 得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 恒成立，所以 为减函数，故B正确；
因为 ，函数 是减函数，所以 ，故C错误；
由 ， ，
则 在点 处的切线方程为 ，
即 ，故D正确.
故选：C.
7．已知曲线 在点 处的切线与抛物线 也相切，则实数 的值为
（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】C
【分析】先利用导数的几何意义求出 在 处的切线方程，与抛物线方程
联立，利用 求出 的值，再验证可得答案.
【详解】 ， ，
所以曲线 在点 处的切线为： ，即 ．
联立 与 ，得 ，依题意可知 ，所以 或
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1．
当 时， 不是抛物线，舍去．
故选：C
8．已知曲线 与 ，下面结
论不正确的是（ ）
A． 有公切线
B． 在区间 上均达到一个极大值点和极小值点，则
C．不等式 在 一定成立
D．记点 处 的切线夹角的正切值绝对值是
【答案】C
【分析】选项A，利用 的图象可由 的图象向左平移
个单位得到，得到 是 的一条公切线，即可求解；选项B，两曲线的最小正周
期为 ，而 的图象可由 的图象向左平移 个
单位得到，再利用 的图象与性质，即可求解；选项C，根据条件得到
，即可求解；选项D，利用导数的几何意义，求出切线的
斜率，即可求解.
【详解】对于选项A，因为 的图象可由 的图象向左
平移 个单位得到，则 是 的一条公切线，所以选项A正确，
对于选项B，因为 和 的最小正周期均为 ，
又 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到，
所以 在区间 上均达到一个极大值点和极小值点，则 ，所以
选项B正确；
对于选项C，由 ，得到 ，
即 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，
又 ，所以不满足 ，所以选项C错误，
对于选项D，由 ，得到 ，
由 ，得到 ，
所以点 处 的切线的斜率分别为
， ，
所以两切线夹角的正切值绝对值是 ，所选项D正确，
故选：C.
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9．设A，B，C，D为抛物线 上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，
平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线 和直线 的距离分别为 ， ，
已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】设 ， ， ， ，由导数的几何意义求得
，由 ， ，可得 ，则有 ，
又 ，得 ，可求 的值.
【详解】由题意可设 ， ， ， .
抛物线方程 ，即 ，由 ，所以点D处切线的斜率为 ，
， ， ，
因此 ，即 ，平行于 轴，则点D到直线 和直线 的距离相等，即 .
又 ， ，所以 .
所以 .
故选：B.
10．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点坐标为 ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标 ，关于
的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导
数确定函数的图象后可得.
【详解】因为 ，则 ，
设切点坐标为 ，则切线斜率 ，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则切线方程为 ，整理得 ，
又因为切线过点 ，则 ，
设 ，函数定义域是 ，
则直线 与曲线 有两个不同的交点，
则 ，
当 时， 恒成立， 在定义域内单调递增，不合题意；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，且当 趋近于 或 时， 趋近于 ，
结合图象可知 ；
综上所述： .
故选：B.
11．已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在 处的
切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质求出当 时函数 的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可.
【详解】当 时， ，函数 是偶函数，
当 时， ， ，
当 时， ，
，即曲线 在 处切线的斜率为-5.
而 ，所以曲线 在 处的切线方程为： .
所求即为 .
故选：A.
12．曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可.
【详解】由 ，得 ，则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
令 ，得 ，令 ，得 ，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .
故选：C
13．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由题意， 的导函数 ，故曲线 在点 处的切线斜率为
，
则切线方程 ，即 ，
故选：B.
14．已知二次函数 （ 且 ）的图象与曲线 交于点P，与x轴交
于点A（异于点O），若曲线 在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求解直线l的斜率，即可根据垂直关系得 ，结合 ，
即可求解.
【详解】易知 ，设 ，
联立 与 可得 ，故 ，
由 得 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 .
故选：B.
15．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就是函数 的
零点 ，取初始值 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为
的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，一直继续下去，得到，它们越来越接近 ．设函数 ， ，用牛顿迭代法得到
，则实数 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】求得 在 的切线方程，代入 求解即可．
【详解】 ， ， ，
则 在 处的切线方程为 ，
由题意得，切线过 代入得， ，解得 ，
故选：D．
题型二 求过一点的切线方程
16．已知曲线 的一条切线方程为 ，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据切线的斜率的几何意义可知 ，求出切点，代入切线即可求
出 .
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】设切点为
因为切线 ，
所以 ，
解得 （舍去）
代入曲线 得 ，
所以切点为
代入切线方程可得 ，解得 .
故选：D.
17．若过点 可以作两条直线与曲线 相切，则下列选项正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设切点 ，根据切线经过点 ，得到 ，令
，转化为 与 有两个不同的交点求解.
【详解】设切点 ，
因为 ，所以 ，
所以点P处的切线方程为 ，
又因为切线经过点 ，
所以 ，即 ，令 ，
则 与 有两个不同的交点，
，
当 时， 恒成立，所以 单调递增，不合题意；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 ，则 ，即 ，
故选：B
18．若过点 可以作曲线 的两条切线，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入 ，得到 ，
构造 ，求导，得到函数单调性，从而得到 ，结
合当 时， ，当 时， ，从而得到答案.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导，得 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
由题意可知，点 在直线 上，可得 .
令 ，则 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，且当 时， ，当 时， ，
又直线 与曲线 的图象有两个交点，
所以 的取值范围为 .
故选：C
19．已知点 不在函数 的图象上，且过点 仅有一条直线与 的图
象相切，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线和曲线相切得到 ，结合导数及函数零点的个数可得答案.
【详解】点 不在函数 的图象上，
则 ，即 ，
设过点 的直线与 的图象相切于 ，
则切线的斜率 ，整理可得 ，
则问题可转化为 只有一个零点，且 ，
令 ，可得 或 ，
当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
即当 时， 有极大值，当 时， 有极小值，
要使 仅有一个零点，
或
故选：B
20．已知函数 ，若函数 有4个零点，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知：函数 的零点个数即为 与 的交点个数，利用导数
求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出 的图象，如图所示
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！令 ，可得 ，
由题意可知：函数 的零点个数即为 与 的交点个数，
若 ，则 ，可得 ，
设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
则切线方程为 ，
代入点 ，可得 ，解得 ，
此时切线斜率为 ；
若 ，则 ，可得 ，
设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
则切线方程为 ，
代入点 ，可得 ，解得 ，
此时切线斜率为 ；结合图象可知 的取值范围为 .
故选：D.
21．若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设切点点 ，写出切线方程，将点 代入切线方程得
，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【详解】在曲线 上任取一点 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令函数 ，
则 .
当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
所以 .
设 ，
所以 ，
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
的图象如图：
由题意可知，直线 与 的图象有两个交点，则 .
故选：B
22．如图， 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线 为折痕将正方形在其下方的部分
向上翻折，使得每次翻折后点 都落在边 上，记为 ；折痕 与 交于点 ，点
满足关系式 ．以点 为坐标原点建立坐标系，若曲线 是由点 的轨迹及
其关于边 对称的曲线组成的，等腰梯形 的 分别与曲线 切于点
P、Q、 ，且 在x轴上．则梯形 的面积最小值为（ ）A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点
在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的
轨迹方程；利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰 的方程，分别令
和 求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形 面积，利
用基本不等式求出其最小值．
【详解】建立如图所示坐标系，设 ，
显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为 ，
由题意得B与 关于直线l对称 ，所以 ，
又 的中点 在直线l上，故 ，①
由于 ，得 ，
将 代入①得 ，
由每次翻折后点 都落在边 上，所以 ，即 ，
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以点M的轨迹方程 ，（ ），
所以曲线 的方程为 ， ，
设梯形 的面积为S，
点P的坐标为 ，
根据等腰梯形和抛物线的对称性得，点Q的坐标为 ，直线 的方程为 ．
对于 ，则 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
即： ，令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号且 ，
所以 时，梯形 的面积最小值为 ，
故选：B
23．若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点 ，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得
，结合 计算即可求解.
【详解】设 ，则 ，
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，
又该切线过原点，所以 ，
整理得 ①，因为曲线 只有一条过原点的切线，
所以方程①只有一个解，故 ，解得 .
故选：A
24．过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.
【详解】设切点为 ，
由 可得 ，
则过坐标原点的切线的斜率 ，
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 ，即 ，
解得 ，故过坐标原点的切线共有1条．
故选：A．
25．若曲线 （ 且 ）有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先设出切点，列出切线方程，再根据 ，构造函数
，根据导数求得 的单调性，即可得到关于参数 的不等式，解不等式
即可.
【详解】由 ，得 ．
设切点为 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
将点 的坐标代入切线方程，得 ，
所以 ，即 ．
显然 ，所以 ．设 （ 且 ），则 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 和 上分别单调递增．
又当 时， ，当 时， ，且 的极小值为 ，所
以 的大致图象如图．
由题意可知，函数 的图象与直线 有两个不同的交点，结合图象可知 ，
所以 ，所以 ．
故选：C．
26．已知 ，函数 的零点个数为 ，过点 与曲线 相
切的直线的条数为 ，则 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助分段函数性质计算可得 ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得 .
【详解】令 ，即 时， ，解得 ，
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！时， ，无解，故 ，
设过点 与曲线 相切的直线的切点为 ，
当 时， ，则有 ，
有 ，整理可得 ，即 ，
即当 时，有一条切线，
当 时， ，则有 ，
有 ，整理可得 ，
令 ，
则 ，
令 ，可得 ，
故当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
由 ，
，故 在 上没有零点，
又 ，
故 在 上必有唯一零点，
即当 时，亦可有一条切线符合要求，
故 .
故选：B.27．已知抛物线 ： ，过直线 ： 上的动点 可作 的两条切线，记切点
为 ，则直线 （ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
【答案】D
【分析】设 ，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设 ，
将其代入两切线方程，得到直线 的方程为 ，得到过定点 .
【详解】设 ，则 ， ，
由于 ，故过点 的切线方程为 ，
即 ，即 ，
同理可得过点 的切线方程为 ，
设 ，过点 的两切线交于点 ，
故 ，整理得 ，
同理 ，整理得 ，
故直线 的方程为 ，
斜率不为定值，AB错误，当 时， ，恒过点 ，C错误，D正确.
故选：D
28．已知点 是曲线 上任意一点，则 的最大值为（ ）
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断直线 与曲线的位置关系，利用式子
表示的几何意义，转化为点 与点 确定的直线同直线
夹角正弦最值求解即可.
【详解】依题意， ，令直线 ，显然 过点
，
由 ，得 ，显然 ，
即直线 与曲线 相离，且 ，则曲线 上的点 在直线 上方，
过 作 于 ，则 ，而 ，
因此 ，
令过点 的直线与曲线 相切的切点为 ，由 ，求导得 ，
则此切线斜率 ，解得 ，即切点为 ，
而点 在曲线 的对称轴上，曲线 在过点 的两条切线所夹含原点的区域及内部，当点 的坐标为 时，锐角 最大， 最大， 最大，
此时 ， ，
所以 的最大值为 .
故先：D
29．设点 (异于原点)在曲线 上，已知过 的直线 垂直于曲线 过点 的
切线，若直线 的纵截距的取值范围是 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】设 ，求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而表示出直
线 的方程，即可得到直线 的纵截距，再令 ，当 时利用均值不
等式计算可得，当 时推出矛盾.
【详解】设 ，由曲线 ，则 ，
所以 ，
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由直线 垂直于曲线 过点 的切线，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
令 ，则 ，即直线 的纵截距为 ，
设函数 ，
若 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
因为直线 的纵截距的取值范围为 ，则 ，解得 ；
若 ， ，当且仅当 ，即 时取等号，不
合题意；
综上可得 .
故选：B
30．已知 为函数 图象上一动点，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】先观察出函数关于 对称，在根据所求的式子可以判断 时比 的值要大，
所以只需研究 的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，
其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.
【详解】由函数解析式可知函数 关于 对称，设 ，不妨设则 ，当 ， ，
即当 时 的值要大于 时 的值，所以只需研究 的情况即可，
当 时， ，设 ，
则 ，
根据复合函数单调性可知： 时， 递增，当 ， 递减.
，所以 的几何意义是函数 上一点与点 的斜率，
设过点 的切线与函数 的交点坐标（即切点）为
， ，
所以切线的斜率 ，切线方程为 ，
把点 代入切线方程整理得：
，所以 或 ，设 ，
，
所以 在 单调递增，所以 ，
即 不合题意，所以 ，此时切线的斜率 ，
如图：
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！根据数形结合思想可知 的范围为 ，所以当 时， 最大，
此时 .
故选：A
题型三 已知切线求参数问题
31．函数 恰好有一零点 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题将函数 恰好有一零点 ，且 等价于 与 相切，
将切线斜率k和截距b求出来根据 即可求解.
【详解】函数 即 ，
因为函数 恰好有一零点 ，且 ，
则由指数函数图象特性 与 相切，
因为 ，设切点为 ，则切线斜率为 ，
切点在切线上，故 ，
所以由 得 .
故选：B.32．已知双曲线 的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线 在
处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则
（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意结合导数的几何意义可得 ， ，设直线OM的方程为 ，
则直线ON的方程为 ，进而可得 ， ，即可得结果.
【详解】由题意可知： ，即 ．
又因为 ，则 ，可得 ，
即曲线 在 处切线的斜率 ，
由题意可知：双曲线C的一条渐近线为 ，
即 ，解得 ，
所以双曲线C的方程为 ．
以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，可知 ，
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设直线OM的方程为 ，可知 ，
则直线ON的方程为 ，
联立方程 ，消去y整理得 ，
即 ，故 ，则 ，
同理可得： ，
所以 .
故选：A．
33．已知直线 恒在曲线 的上方，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线 与曲线切于点 ，根据题意由 在直线
上方，由 求解.【详解】解：设直线 与曲线切于点 ，
则 ，
所以切线方程为 ，
所以 ， ，
所以 ，
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 .
故选：A.
34．已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的
最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用已知条件求出切点的横坐标，从而得到 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】由于直线 与曲线 相切，
设切点为 ，且 ，所以 ，
则切点的横坐标 ，则 ，即 .
36
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当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1.
故选：D
35．贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形
软件通过它来精确画出曲线.三次函数 的图象是可由 ， ， ， 四点确定的贝塞
尔曲线，其中 ， 在 的图象上， 在点 ， 处的切线分别过点 ， .若
， ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意设出函数表达式，结合函数值、切线斜率建立方程组，待定系数即可得解.
【详解】设 ，则 ，
由题意 ，解得 ，所以 .
故选：C.
36．已知函数 ，曲线 在 处的切线与直线 平行，
则实数 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合导数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得： ，
根据导数的几何意义可得曲线 在 处的切线的斜率 ，
因为曲线 在 处的切线与直线 平行，
则 ，解得 .
故选：C．
37．若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设切点为 ，则由题意可知 ，
所以 .
故选：C
38．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造
性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．
雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ和一段圆弧 组成，如图所示．在适当的坐标系
下圆弧 所在圆C的方程为 ．若某运动员在起跳点M以倾斜角为
45°且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一
部分，则该抛物线的方程为（ ）
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得直线CM的方程为 ，与圆的方程联立，求得点M，再
设飞行轨迹的抛物线方程为 ，根据点M处的切线斜率为1和点M在抛物
线上求解.
【详解】解：由题意知 ，又 ，
∴直线CM的方程为 ，即 ．
由 ，得 或
即 或 ．又M为靠近y轴的切点，∴ ．
设飞行轨迹的抛物线方程为 ，
则 ，
∵在点M处的切线斜率为1，
∴ ，解得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
即抛物线方程为 ．
故选：A．39．已知函数 的图象在点 处的切线经过点 ，则实数m的值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由 列方程来求得 .
【详解】由题知， ，所以 .
故选：A
40．函数 的图象与直线 相切，则以下错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
【答案】C
【分析】根据切点和斜率列方程，从而判断出正确答案.
【详解】设 与直线 相切于点 ，
，则 ①，
所以切点为 ，而斜率为 ，
所以切线方程为 ，
则 ②.
由①②得 ， ，C选项错误，D选项正确.
所以当 时， ，A选项正确.
当 时， ，B选项正确.
故选：C
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41．已知曲线 ，过点 作该曲线的两条切线，切点分别为 ，则
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】求得切线方程为 ，根据题意，转化为关于 的方程
有两个不同的解 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
设切点坐标为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
所以 ，即 ，
因为过点 作该曲线的两条切线，
所以关于 的方程 有两个不同的解 ，
即关于 的方程 有两个不同的解 ，所以 .
故选：D.
42．已知 ，曲线 在点 处的切线 与直线 平行，则直
线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】利用导数的几何意义求出点 的坐标，然后利用点斜式可得出直线 的方程.
【详解】因为 ，其中 ，则 ，
直线 的斜率为 ，由 ，可得 ，且 ，即点 ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
43．已知函数 ，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为
和 ，若 ，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查导数的计算及几何意义．
【详解】由题意知 ，
因为 与曲线 相切，
所以 ，整理得 ，
同理 ，
则 ， 是方程 的两个实数根，
所以 ，
所以 ．
故选： .
44．若曲线 与直线 相切，则实数 （ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线方程列式求解.
【详解】直线 ，即 ，
对于 ，则 ，
设切点坐标为 ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，即 ，
由题意可得 ，解得 .
故选：B.
45．函数 在区间 的图象上存在两条相互垂直的切线，则 的取值范围
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】设切点横坐标为 ，所作切线斜率为 ，则 ，
当 时， ，故不存在 ；
当 时，满足： .
所以： .
故选：C.题型四 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
46．设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切线，
则 的值为 .
【答案】2
【分析】根据两曲线在 有公切线，则 是公共点，该点处的导数值相同，列出方程
求出 的值，则答案可求.
【详解】由已知得 ，解得 ，
又 ，
所以 得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：2
47．已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象在公共点处有相同的切线，
则公共点坐标为 .
【答案】
【详解】设公共点为 ，即可得到 ，再由导数的几何意义得到
，从而求出 ，即可求出切点坐标，从而求出 ，再求出切线方程.
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】设公共点为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以 ，
由 ， ，所以 ， ，
又在公共点处有相同的切线，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，所以 ，
所以公共点坐标为 .
故答案为： .
48．已知函数 ，函数 ．若过点
的直线l与曲线 相切于点P，与曲线 相切于点 ，当P、Q两点不
重合时，线段PQ的长为 ．
【答案】 /
【分析】设点 ，利用导数的几何意义得到方程，求出 ，即可
得到切点坐标，从而得到切线方程，再由切线与 也相切，利用判别式即可求出 ，根
据 确定点 ，即可求 .
【详解】因为 ，
设点 ，则可知 ，解得 ，
可得切点 ，切线斜率 ，
所以 方程 ，即 ，
联立 ，
由 ，可得 或1；
当 时， ，此时 ， 重合，舍去；
当 时， ，此时 ；
此时 .
故答案为： .
49．已知函数 点 ， 在曲线 上（ 在第一象限），过 ，
的切线相互平行，且分别交 轴于 ， 两点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用给定条件得到 ，再把目标式化为一元函数，求导研究最值即
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！可.
【详解】易知 ，设 ，则 ，
设切线斜率为 ，则 ，所以 ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 的最小值为 ，所以 的最小值为 ．
故答案为：
50．若两个函数 和 存在过点 的公切线，设切点坐
标分别为 ，则 .
【答案】9
【分析】分别求出两个函数的导函数，根据导函数的几何意义求出斜率，由 求出切
点坐标得 ，利用斜率相等得 ，代入原式即得
【详解】 ，设切点坐标为 ，切线斜率为 ，切线方程为 ，将 代入得 ，
即 .
，设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
切线方程为 ，将 代入得 ，
即 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
，
所以 .
故答案为：9
51．已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象在公共点处有相同的切
线，则 .
【答案】
【分析】首先设出两个曲线的公共点，再根据导数的几何意义，列式求解.
【详解】设两个函数的图象的公共点为 ，
所以 ，则 ，且 ，
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，得 ， .
故答案为：
52．曲线 在 处的切线与曲线 相切于点 ，若 且
，则实数 的值为 .
【答案】
【分析】利用导数求出 在 处的切线方程为 ，函数
在点 处的切线方程为 ，根据两切线重合求解
，求出 ，进而求出 .
【详解】函数 在 处的切线斜率为 则切线方程为
，
函数 在 处的切线斜率为 ，则切线方程为 ，即
，
由题意有 ①且 ②，故 ， ，
从而 ，整理得 ，所以 ，即 .
代入式②，得 ，即 .
故答案为：
53．已知函数 的图象与函数 且 的图象在公共点处有相同的切线，
则 ，切线方程为 .
【答案】
【分析】设公共点为 ，即可得到 ，再由导数的几何意义得到
，从而求出 ，即可求出切点坐标，从而求出 ，再求出切线方程.
【详解】设公共点为 ，则 ，即 ，所以 ，
所以 ，
由 ， ，所以 ， ，
又在公共点处有相同的切线，所以 ，即 ，所以 ，
则 ， ，
则 ，
则 ，所以切线方程为 ，即 .
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故答案为： ；
54．已知函数 .若曲线 在点 处的切线与其在点
处的切线相互垂直，则 的一个取值为 .
【答案】 (答案不唯一)
【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知， ，再根据函数的取值，
即可求解.
【详解】 ，由题意可知， ，
即 ，所以 ，得 ， ， ，
或 ，得 ， ， ，
所以 ， ， ,
所以 的一个取值为 .
故答案为： (答案不唯一)
55．写出与函数 在 处有公共切线的一个函数 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】所求函数 应满足 ，且 ，由此即可构造 .
【详解】由题 ， ， ，答案不唯一，满足 ，
即可.
取 ，则 ，显然满足 ， .故答案为： （答案不唯一）.
56．写出与函数 在 处有公共切线的一个函数 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】求出函数的导函数，即可 ， ，依题意只需满足 ，
即可，找到一个符合题意的解析式即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，依题意只需满足 ， 即可，
不妨令 ，则 ，则 ，又 ，符合题意．
故答案为： （答案不唯一）
57．若曲线 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 的
“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．
．
【答案】①②④
【分析】①在 和 处的切线都是 ，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，
过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③
化简为 ，求出 ，设切点分别为 ， ，通过
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，解方程即可判定；④画出图形即可判断.
【详解】① ，在 和 处的切线都是 ，故①有
“自公切线”；
② ，其中 ， ，
此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；
③ ，即 ，则 ，
假设有“自公切线”，设切点分别为 ， ，且 ，
所以切线的斜率 ，解得： ，
则 ，故 ，
化简得： ，无解，所以③没有“自公切线”.
④ ，
当 ，则 ，当 ，则 ，
表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.故答案为：①②④
58．已知实数x，y满足 ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】将题意转化为求曲线上一点到 距离最小值，通过求导求出点 符合题
意，进而求出答案.
【详解】由题意得， ，
即求曲线 上一点到 距离最小值，
又因为 在直线 上，
所以当切线与直线 平行时，距离取得最小值，
令 ，解得 或 （舍去），
当 时，点 到直线 距离为 ，
即所求曲线 上一点到 距离最小值为 .
故答案为：
59．已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则
.
【答案】 /
【分析】根据导数的几何意义可得曲线 在点 处的切线方程，再次利用导数的
几何意义求得 的切点 ，从而得解.
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】因为 的导数为 ，则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
又切线 与曲线 相切，设切点为 ，
因为 ，所以切线斜率为 ，解得 ，
所以 ，则 ，解得 .
故答案为； .
60．已知曲线 与曲线 （ ）相交，且在交点处有相同的切线，
则 .
【答案】
【分析】可先设交点为 ，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方
程，可求 的值.
【详解】易知：必有 .
设两曲线的交点为 ， ， ，由题意： ，
两式相除得： ，∵ ，∴ .
代入 得：
e
解得a= .
2
故答案为：1．已知曲线 在点 处的切线与曲线 有且仅有一个公共点，
则实数a的值是（ ）
A． B．0 C．0或8 D．8
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出切线方程，再按 与 分类讨论求解.
【详解】函数 ，求导得 ，则 ，
因此曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
当 时，曲线 与直线 平行，无公共点，
则 ，曲线 是对称轴为 的抛物线，
因此直线 与曲线 有且仅有一个公共点，
当且仅当 只有一个解，即 有相等实根，
于是 ，则 .
故选：D.
2．直线 与曲线 相切于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，依题意 即可求出 ，再根据 求出 ，即
可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
依题意 ，解得 ，
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，解得 ，
所以 .
故选：C
3．已知定义在 上的函数 满足 ，则曲线 在点
处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方
程.
【详解】因为 ，所以 ，
联立可解得 ，所以 ，所以 .
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
故所求的切线方程为 .
故选：C.
4．过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用切线方程过定点来求切点的横坐标，从而得到一元二次方程根与系数关系求
解.
【详解】因为 ，所以 ，设切点坐标为 ，所以 ，所以切线方程为 ，
由切线方程过点 ，则 ，即 ，
依题意得：关于 的方程 有两个不同的解 ，
即关于 的一元二次方程 有两个不同的解 ，
所以 .
故选：D.
5．已知函数 为奇函数，其图象在点 处的切线方程为 ，记 的
导函数为 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求出 ，再结合奇函数的性质得到 ，得
到结果即可.
【详解】易得 的斜率为 ，由切线斜率的几何意义得 ，
且已知函数 为奇函数，可得 ，两侧同时求导得 ，
故 ，故A正确.
故选：A
6．点P是曲线 上一个动点，则点P到直线 的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】根据题意分析可知 ，则点P到直线 的距离的最小值即为点
到直线 的距离，运算求解即可.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ，
则 ，可得点 ，
且点 到直线 的距离 ，
所以点P到直线 的距离的最小值是 .
故选：A.
7．若函数 与 在 处有相同的切线，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】对 ， 求导，根据题意得到 ，再解方程组即可得到答案.
【详解】因为 ， ，则 ， ，
可得 ， ， ， ，
因为 ， 在 处有相同的切线，即切点为 ，切线斜率 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：D.8．已知函数 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由切线的几何意义得 ，将 代入切线方程得 ，从而得解.
【详解】由切线方程 ，得 ，
将 代入切线方程 ，得 ，所以 ，
则 .
故选：C
9．若曲线 在点 处的切线与 在点 处的切线平行，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先应用导数运算律求出导函数再根据斜率相等求参即可.
【详解】由 ，得 ，当 时，
由 ，得 ，
曲线 在点 处的切线与 在点 处的切线平行，
则 ，得 .
故选：A.
10．若过点 可作3条直线与曲线 相切，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】设过点P的直线与曲线相切点 ，斜率相等列等式可得方程
有3个不同的实数根，最后结合零点存在定理列式计算即可.
【详解】设过点P的直线与曲线 相切于点 ，则 = ，
其中 表示直线 的斜率，即 ，整理，得 .
过点P可作3条直线与曲线 相切等价于方程 有3个不同的实数根.
设 ，则 .由 ，得 或 ，易知 和
是 的两个极值点.
方程 有3个不同的实数根，即 有3个不同的零点，
所以 ，即 ，解得 .
故选:B．
11．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 恰有一个极值点
B． 有最小值但没有最大值
C．直线 与曲线 的公共点个数最多为4
D．经过点 可作曲线 的两条切线
【答案】AC
【分析】由导数得出单调性进而判断AB；由单调性得出图像，结合直线过定点判断C；由
导数的几何意义判断D.
【详解】 的定义域为 ， ，则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 是 唯一的极值点，故A正确；
在 上的最小值为 ，
又因为当 时， ，所以 无最小值，故B错误；
直线 恒过点 ，当k足够大时，
直线 与曲线 有2个交点，
直线 与曲线 有2个交点，
则直线 与曲线 的公共点个数最多为4，故C正确；
易知点 不在 的图象上，设切点为 ，则 ，
解得 ，则经过点 只可作曲线 的一条切线，故D错误.
故选：AC
12．已知函数 的导函数为 ，则 ，过点 且与曲线
相切的直线方程为 .
【答案】 4
62
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】求出函数的导数，即可求解 ，设切点，求斜率，写切线方程，即可求解直线
方程.
【详解】 的导数为 ，
，解得 ，故 ，即 ；
设过点 且与曲线 相切，切点为 ，且 ，
故切线斜率为 ，即切线方程为 ，
切线方程过点 ，代入方程可得 ，解得 或 ，
当 时，直线方程为 ；
当 时，直线方程为 .
故答案为：4， .
13．若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，则
；若方程 有两个不等的实根，则实数 的取值范围为 .
【答案】 /
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，从而可求出 ，进而可求出 的值；由
，得 ，则将问题转化为直线 与 的图象有两
个交点，利用导数求出 的单调区间，画出图象结合图象求解.
【详解】由 ，得 ，
所以切线的斜率为 ， ，所以切线方程 ，即 ，
因为切线方程为 ，所以 ，
所以 ；
由 ，得 ，所以 ，
令 ，则直线 与 的图象有两个交点，
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 的极大值为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的大致图象如图所示，
由图可知当 时，直线 与 的图象有两个交点，
此时 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： ，
64
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14．已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 的极值.
【答案】(1) (2)极小值 ，极大值
【分析】（1）直接根据导数的几何意义得到结果；
（2）先确定 的单调区间，再相应确定极值.
【详解】（1）由 ，得
.
从而 ， .
故曲线 在 处的切线经过点 ，且斜率为 ，从而方程为 ，
即 .
（2）由于对 有 ，对 有
，
故 在 和 上递减，在 上递增.
所以 的所有极值为：极小值 ，极大值 .15．已知 ，其中 ．
(1)若函数 在 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2)求 的极值点；
(3)若 在 上的最大值是0，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3) ．
【分析】（1）利用函数导数的几何意义与直线斜率的关系求得 的值；
（2）先对函数进行求导，结合对参数分类讨论，计算函数极值点；
（3）对参数进行分类讨论，结合函数单调性找到最大值是0，求得 的取值范围；
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
，
因为函数 在 处的切线与x轴平行，
所以 ，解得 ．
（2）函数 的定义域为 ，
．
令 得 或 ，
所以当 ，即 时，
的解集为 ， 的解集为 ，
所以函数 在区间 和 上严格减，在区间 上严格增，
66
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点；
当 ，即 时， 在区间 上恒成立，此时函数 在区间
上严格减，无极值点；
当 ，即 时，
的解集为 ， 的解集为 ，
所以函数 在区间 和 上严格减，在区间 上严格增，
是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点；
综上，当 时， 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点；
当 时，函数 在区间 上严格减，无极值点；
当 时， 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点．
（3）由（2）知，当 时，函数 在区间 上严格减，
在区间 上严格增，故函数 在 上的最大值是 ，
与已知矛盾；
当 时，函数 在区间 上严格减，最大值 ，满足条件；
当 时，函数 在区间 上严格减，最大值是 ，满足条件；
综上，a的取值范围是 ．
16．已知函数 ， ，其中 .(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)证明：当 时 ；
(3)对任意 ， 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）令 ，对函数求导，再令 ，求导后无法判
断导数的正负，再令 ，对其求导后可判断 单调递增，从而可判断
单调递增， 单调递增，进而可证得结论；
（3）令 ，求导后可判断 时， 在 上单调递增，满足
题意，当 时，再分 ， 和 讨论即可.
【详解】（1）解： 时， ， ，
则切点为 ，
， ，
故切线方程为 ；
（2）证明：令 ， ，
令 ，则 ，
令 ， 恒成立，
68
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 单调递增， ，即 ，
所以 单调递增， ，即 ，
得 单调递增， ，
所以原不等式成立；
（3）解：令 ，
，
求导得 ，
当 时， ， ，则 在 上单调递增，
，满足题意，
当 时，设 ，则 ，
因此函数 ，即 在 上单调递增，
而 ，
①当 时， ， 在 上单调递增，
于是 ，满足题意；
②当 ，即 时，
对 ， ，则 在 上单调递减，
此时 ，不合题意，
③当 时，因为 在 上单调递增，且 ，
于是 ，使 ，且当 时， 单调递减，
此时 ，不合题意，
所以实数a的取值范围为 .
17．已知函数 ， ， 为 的导函数．（注：
是自然对数的底数）
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 无极值点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)答案见解析(3)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）二次求导，根据二阶导的正负情况可得导函数的单调性；
（3）法一：求导，可知导函数无变号零点，根据导函数的单调性可得导函数的最值，分情
况讨论导函数零点情况；
法二：求导，分离参数，可转化为函数 与直线 无相交交点，数形结合可
得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ， ，
即切线斜率 ，切点为 ，
所以切线方程为 ，即 ；
70
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）由（1）得 ，
设 ，
则 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，即 在 上单调递
增；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得
，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（3）法一：
由（1）可知：
当 时， 恒成立，所以 单调递增，无极值点；
当 时， 在 上单调递增，即 在 上单调递增；
又 ， ，
所以 有一个变号零点，即 有一个变号零点， 有一个极值点，不成立；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 ，又当 时， ，
又函数无极值点，即 无变号零点，
所以 ，
解得 ，即 ，
综上所述， ；
法二：由 无极值点，即 无变号零点，
当 时， 无零点，此时函数 无极值点，满足题意；
当 时，令 ，则有 ，
原题等价于函数 与直线 无相交交点，
又 ，令 ，解得 ，
即当 时， ，即 在 是上单调递增；当 时， ，
即 在 是上单调递减；
则 ，
又当 时， ，当 时， ，
即 的图像如图所示，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ，解得 ，
所以 .
18．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证： ；
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；
（2）根据导函数得到 的单调性，即可得到 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）依题意知，函数 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，解得 ；
令 ，则 ，解得 ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.当 时， 取得最大值， ，所以 .
19．已知函数 .
(1)若 ，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若关于x的方程 恰有两个不同的实数解，求a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用导数的几何意义先求斜率，即可得切线方程；
（2）分 ， 和 三种情况，利用导数研究函数 的图象最值，数形结合求解
问题.
【详解】（1）由 ，得 ，则 .
因为 ， ，
所以 的图象在点 处的切线方程为 .
（2）显然 不符合题意，
又 ，
当 时，可知当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ，在 上单调递增，
则 ，
且当 时， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时， ，
所以 ，化简可得 ，
因为 在 上单调递减，且 ，
所以不等式 的解集为 .
当 时，可知当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ，在 上单调递减，
则 ，
且当 时， ，
当 时， ，
所以关于x的方程 不可能有两个不同的实数解.综上，a的取值范围为 .
20．已知 ，函数 ，其中 是自然对数的底数.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程.
(2)已知 ， 时，讨论函数 的单调性.
(3)求证：函数 存在极值点，并求极值点 的最小值.
【答案】(1) (2)答案见解析(3)证明见解析， 的最小值是
【分析】（1）先求 的导函数, 再点斜式求曲线 在点 处的切线方程
（2）求出函数的定义域与导函数，再分 、 、 、 四种情况讨论，
分别求出函数的单调区间；
（3）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，
利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.
【详解】（1）当 时， ， ，
， ，
曲线 在点 处的切线方程 ，
切线方程为 .
（2）函数 的定义域为 ，
，
当 时，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 得 或 ，令 得 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，令 得 或 ，令 得 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
综上：当 时 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 ， 单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 单调递减，在 上单调递增.
（3）函数 的定义域为 ，
又
令 ，因为 ，
所以方程 有两个不相等的实根 ，
又因为 ，所以 ，
令 ，
则 ， ， 的关系列表如下:0
单调递
极小值 单调递增
减
所以 存在极值点 .
所以存在 使得 成立，
所以存在 使得 ，
所以存在 使得 对任意的 有解，因此需要讨论等式左边的关于
的函数，
记 ，
所以 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
所以当 时， 的最小值为 ．
所以需要 ，
即需要 ，
即需要 ，
即需要
因为 在 上单调递增，且 ，
所以需要 ，故 的最小值是 ．
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