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第 11 讲 抛物线
真题展示
2022 新高考一卷第 11 题
已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交 于
， 两点，则
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C． D．
知识要点整理
一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
思考 抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?
答案 若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点二 抛物线的标准方程
焦点坐 准线方
图形 标准方程
标 程x＝－
y 2 ＝－
x＝
2 px ( p >0)
y＝－
x 2 ＝－
y＝
2 py ( p >0)
二 抛物线的简单几何性质
标准方
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
程
图形
x≥0， y≥0，
范围 x≤0，y∈R y≤0，x∈R
y∈R x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐
F F F F
标
准线方
x＝－ x＝ y＝－ y＝
程
顶点坐
O(0,0)
标
离心率 e＝1
通径长 2p三 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x的方程组解的个数，
即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当 k≠0 时，若 Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若 Δ＝0，直线与
抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线 公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有1 个公共点．
四 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
五 直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与它交于两点 A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则
①y y ＝－p2，x x ＝；
1 2 1 2
②＝x ＋ x ＋ p；
1 2
③＋＝.
三年真题
1．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点．若 ，则
（ ）
A．9 B．6 C．4 D．32．设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一点， 与 轴正向的夹角为
，则 为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线 的左准线为l，左焦点和右焦点分别为 和 ；抛物线 的准线为l，
焦点为 ； 与 的一个交点为M，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．
4．若双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C．4 D．5．双曲线 离心率为2,有一个焦点与抛物线 的焦点重合,则mn的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如果抛物线 的准线方程是 ，那么这条抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．焦点在 ，顶点在 的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．9．方程 的两根可分别作为（ ）
A．一椭圆和一双曲线的离心率 B．两抛物线的离心率
C．一椭圆和一抛物线的离心率 D．两椭圆的离心率
10．曲线 关于直线 对称的曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线
的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则 （ ）A．2 B． C．3 D．
13．已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲
线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
14．抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
15．设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作 于 ，则线
段 的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线16．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（
）
A．2 B．3 C．6 D．9
三年模拟
一、单选题
1．若双曲线 的实轴的两个端点与抛物线 的焦点是一个直角三角形的顶点，则
该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知O为坐标原点，点 在抛物线C： 上，过点 的直线交抛物线C于P、
Q两点：①抛物线C的准线为 ；②直线AB与抛物线C相切；③ ；④，以上结论中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
3．已知 是椭圆 与抛物线 的一个共同焦点， 与 相交于A，B两点，
则线段AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线 的焦点为 为该抛物线上一点，且 （点
为坐标原点），则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的焦点为F，M是C上的一点，且以OM为
直径的圆经过点F，若点M到抛物线C的准线的距离为2，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．二、多选题
6．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为4，过 的直线与抛物线交于 两点， 为
线段 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线 的准线方程为
B．当 ，则直线 的倾斜角为
C．若 ，则点 到 轴的距离为8
D．
7．已知点 ， ， ，抛物线 ．过点 的直线 与 交于 ，
两点，直线 分别与 交于另一点 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线 的斜率为
C．若 的面积为 （ 为坐标原点），则 与 的夹角为
D．若 为抛物线 上位于 轴上方的一点， ，则当 取最大值时， 的面积为28．已知过抛物线 ： 的焦点 的直线 ： 与抛物线 交于 两点，
若 ，且 ，则 的取值可以为（ ）
A． B． C．2 D．3
9．已知 为坐标原点，抛物线 ： （ ）的焦点 为 ，过点 的直线 交抛物线
于 ， 两点，点 为抛物线 上的动点，则（ ）
A． 的最小值为
B． 的准线方程为
C．
D．当 时，点 到直线 的距离的最大值为
10．已知抛物线 的准线 与 轴相交于点 ，过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线
相交于 两点，且 两点在准线上的投影点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最小值为4
C． 为定值 D．11．设 是抛物线 上一点， 是 的焦点， 在 的准线 上的射影为 ， 关于点 的对称
点为 ，曲线 在 处的切线与准线 交于点 ，直线 交直线 于点 ，则（ ）
A． 到 距离等于4 B．
C． 是等腰三角形 D． 的最小值为4
12．已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
13．过抛物线 的焦点为F的直线l与C相交于 两点，若 的最小
值为6，则（ ）
A．抛物线的方程为 B．MN的中点到准线的距离的最小值为4
C． D．当直线MN的倾斜角为 时，
14．抛物线 ，点 在其准线 上，过焦点 的直线 与抛物线 交于 两点
（点 在第一象限），则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 有可能是钝角
C．当直线 的斜率为 时， 与 面积之比为3
D．当直线 与抛物线 只有一个公共点时，
15．设点 为抛物线 ： 的焦点，过点 斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点（点在第一象限），直线 交抛物线 的准线于点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的面积为 （ 为坐标原点）
16．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，抛物线 与椭圆共焦点，若两曲线的一
个交点为P，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的面积为2
