文档内容
专题 24.7 圆周角（精选精练）（专项练习）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的 这5个角中， 所对的圆周角是
（ ）
A． B． 和 C． 和 D． 和
2．（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，已知 是 的直径，半径 ，点 在劣弧 上（不与
点 ， 重合）．设 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， 是 的直径，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图， 是半圆的直径，点 是 的中点， ，
则 等于（ ）A． B． C． D．
5．（2024·安徽宿州·三模）如图， 是 的外接圆， ．若 ， ，则
的半径为（ ）
A．4 B． C． D．8
6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是 的内接四边形 的一个外角，若
的度数为 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是 弦，半径 于点C， 为直径，
，线段 长为（ ）A． B．8 C． D．
8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 内接于 ， ， 连 接 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车 与水面
分别交于点 、 ，筒车上均匀分布着若干盛水筒， 表示筒车的一个盛水筒， 是 的直径，连接
、 ，点 在 的延长线上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形 的边长是6，点F在 边上，且
，点H是射线 上的一个动点，以 为直径作 ，连接 交 于E点，连接 ，则
线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·江苏连云港·中考真题）如图， 是圆的直径， 、 、 、 的顶点均在AB上方的圆
弧上， 、 的一边分别经过点A、B，则 ．
12．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，A是 外一点，连接 交 于点B，D是 的中点，C是
上一点且满足 ，分别连接 ，若 ，则 ．
13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点 ，直径
和 在同一直线上， 为小半圆的中点，延长 和 分别交大圆于点 和点 ，连接 ，若
为 中点，则 的长为 ．
14．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在 中， 是优弧 上一点， ，连接 ， ，
延长 交 于点 ，则图中角度大小为 的角是 ．
15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 是圆O的弦，且 ，点C是弧 中点，点D是优弧 上的一点， ，则圆心O到弦 的距离等于 ．
16．（2024·浙江杭州·一模）如图， 是圆O的内接三角形，延长 交 于点D， ，垂
足为点E，点F是 上一点， ，若 ， ，则m，n满足的关系式
是 ．
17．（2024·安徽·三模）如图，点 是 斜边 的中点，沿着 将 对折叠得到 ，
再将 与 叠合，折痕 交 于点 ．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）若 ， ，则 的面积为 ．
18．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在 中， ， ， 的外接圆 的半
径为3，D是边 延长线上一点，连接 ，交 于点E，连接 ．若 为等腰三角形，则线段
的长度为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知 的内接 ， 为
直径， 于 点，连接 ．
求证： ．
20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，，连接
(1)求 的度数；
(2)若弧 与弧 相等，求证：四边形 是菱形．21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 内接于 ， 为 的
中点， 在 上，连接 ．若 ，垂足为 ，直线 分别交 ， 于点 ，
(1)求证： ；
(2)求证： ．
22．（本小题满分10分）（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆
内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形 是圆美四边形， 是美角．
① 的度数为_________ ；②连接 ，若 的半径为5，求线段 的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形 是圆美四边形， 是美角，连接 ，若 平分 ，若 的
半径为6，求 的最大值是多少？
23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图， 的半径为1，A， ， ，
是 上的四个点， ．
(1)判断 的形状： ；
(2)试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)记 的面积分别为 ，若 ，求 的长．
24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知： 中弦 相交于点 ，连接
，作直径 ，点 与点 不重合．
初步探索
（1）如图1，当 时，解决下列问题：
① 与 是否相等？请说明理由；
②若 ， ， ，求 的长；进一步思考
（2）如图2，若 是 的2倍，求证：点 在线段 的垂直平分线上；
拓展应用
（3）如图3，若 ， 上存在一个点 ，满足 是 的 倍（说明： 所对
圆周角也是 所对圆周角的 倍），并且 ，求 的值．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C A C D C D B
1．C
【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，
两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键．
【详解】解： 是 所对的圆周角，
是 所对的圆周角，
是 所对的圆周角，
是 所对的圆周角，
不是圆周角，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查圆周角定理．由垂直的定义得到 ，由圆周角定理推出
，即可求出 ．
【详解】解： ，
，
，
．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查的是圆周角定理，熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
根据圆周角定理得到 ， ，再根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．C【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理．连接 ，由点 是 的中点结合 的
度数即可得出 的度数，根据 是半圆的直径即可得出 ，再利用三角形内角和定理即
可求出 的度数．
【详解】解：连接 ，如图所示．
点 是 的中点，
．
， 是半圆的直径，
， ，
．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接 ，根据直角所对的弦为直径，以及同
弧所对的圆周角相等，得到 为直径， ，进而求出 的长即可．
【详解】解：连接 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的直径，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的半径为 ；
故选A．6．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆的内接四边形的性质得到 ，
由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得到 ．
【详解】解：∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
由题意得
∵ ，
∴ ，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定
理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出 的长，设 的半径为
，在 中利用勾股定理求出 的值，易得 ，连接 ，由 是直径，根据圆周角定理得
到 ，利用 是 的中位线得到 ，然后在 中利用勾股定理可计算出
．
【详解】解：连接 ，如图，
弦 ， ，
，
设 的半径 ，
，
在 中，
，
解得： ，
；， ，
，
是直径，
，
是 的中位线，
，
在 中， ．
故选：D
8．C
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解
题的关键．根据圆周角定理可知 ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，
即可求得答案．
【详解】解：连结 ，
所对的圆周角和圆心角分别是 和 ，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径
所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接 ，则 ， ，由 ，可得 ，根据
，求解作答即可．
【详解】解：如图2，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
10．B
【分析】取 中点 ，连接 ，可求 ，在 中，由勾股定理得 ，
根据直角三角形的性质得到 ，由 ，得到 ，当 三
点共线时取得最小值．
【详解】解：取 中点 ，连接 ，∵正方形 的边长是6，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∵ 为 直径，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 三点共线时取得最小值，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系求最值，直角三角形的性
质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
11．90
【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为 ，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解
即可．
【详解】∵ 是圆的直径，
∴ 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为 ，
∵ 、 、 、 所对的弧的和为半圆，
∴ ，
故答案为：90．
12． / 度
【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识，先证明 ，再求出
，根据圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：连接 ，∵D是 的中点，
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：
13． /
【分析】先由垂径定理得 ，根据圆的性质，得 ，结合直径所对
的圆周角是90°，得 ，再根据勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：连接 并延长交 于一点H，连接
∵两个大小不同的半圆叠放如图所示，其圆心均为点 ，直径 和 在同一直线上， 为小半圆的中
点，
∴
∵ 为 中点，
∴
∵ 为直径
∴设
则
在 中，
即
解得 （负值已舍去）
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂直定理，勾股定理，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质等知识，根据圆周
角以及三角形的相关知识确定图中各个角的数量关系即可作答．
【详解】连接 ，如图，
∵ 是优弧 上一点， ，
∴ ，即： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴结合图形有： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即可以确定角度大小为 的角为： ，
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作
出辅助线．
连接 ， 交 于点E，则 ，根据垂径定理得出 ，
进而得出 ，根据勾股定理可得 ，列出方程求出 即可解答．
【详解】解：连接 ， 交 于点E，
∵ ，
∴ ，
∵点C是弧 中点， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： （负值舍去），
∴圆心O到弦 的距离等于 ，
故答案为： ．
16．
【分析】此题考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，等边对等角，
延长 交 于点H，连接 ，首先根据直径的性质得到 ，然后结合三角形内角和定理得
到 ， ，进而求解即可．【详解】解：如图，延长 交 于点H，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17． /35度
【分析】本题考查圆内接四边形性质，等腰三角形性质，勾股定理，折叠性质，三角形面积公式等．（1）以 为直径作 ，连接 ，可得 是 内接圆，继而得到 ，再利用等腰三角
形性质即可得到本题答案；
（2）由折叠可知 是直角三角形，在 中应用勾股定理可得 ，再利用勾股定理得
，利用三角形面积公式即可得到本题答案．
【详解】解：（1）如图，以 为直径作 ，连接 ，
，
∴ ，
四边形 是 内接圆，
，
，
，
；
（2）∵由折叠可知 ，即 是直角三角形，
过点 作 ，
，
∵点 是 斜边 的中点，
∴ 是 的中位线，
在 中，由勾股定理，得 ，
∵ ， ，
∴ ，由 ，得 ，解得 ，故 ，
．
18．6或 或
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根
据勾股定理得到 ，①当 时，②当 时，③当 时，根据
圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】解： ，
是 的直径，
，
，
①当 时，
，
②当 时，
③当 时，
，综上所述，若 为等腰三角形，线段 的长度为6或 或 ，
故答案为：6或 或 ．
19．见解析
【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，推出 ， ，由垂直的定义得到
，由三角形内角和定理推出 ．
【详解】 是圆的直径，
，
∴ ，
，
，
∴ ，
，
．
20．(1)
(2)见详解
【分析】（1）先由圆内接四边形得出 再结合圆周角定理，即可作答．
（2）因为弧 与弧 相等，所以 ，则 ，证明 等边三角形，所以
，即可证明四边形 是菱形；
【详解】（1）∵四边形 内接于 ，
∴
∴
（2）解：如图：连接∵弧 与弧 相等
∴
∵ ，
∴
∵
∴ 等边三角形，
∴
四边形 是菱形；
【点拨】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性
质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）连接 、 ，先得 ，则 ，因为半径相等，得出 、 都在 的垂直平分线上，
即可作答．
（2）先由直角三角形的两个锐角互余，得 ，运用圆周角定理得 ，然后结合等角对
等边，则 ．故 是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答．
【详解】（1）证明：连接 、 ，如图，为优弧 的中点，
，
，
又 ，
、 都在 的垂直平分线上，
即 是 垂直平分线，
；
（2）证明：连接 ，如图，
， ，
， ，
，
∵ ，
，
，
．
∴ 是等腰三角形，
又 ，
；
22．（1）① ；② ；（2）
【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含 角
的直角三角形的性质求解即可．（2）延长 到点M，使得 ，连接 ，得到 是等边三角形，证明 ，则
，进一步证明 ，当 是直径时， 取最大值 ，即可求出答案．
【详解】解：（1）①∵四边形 是圆美四边形， 是美角，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：60．
②作圆的直径 ，连接 ，
则
∵圆的半径为5，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ．
（2）如图，延长 到点M，使得 ，连接 ，
∵四边形 是圆美四边形， 是美角，∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ 是 的一条弦，
∴当 是直径时， 取最大值 ，
即 的最大值是 ．
【点拨】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判
定和性质，圆周角定理，含 角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
23．(1)等边三角形
(2) ，见解析
(3)
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的全等的判定与性质、解分式方程等知识
点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到 ，进而得到 ，最后根据等边三角形的判定定理即可解答；
（2）如图：在 上截取 ，连接 ，
，得到 为等边三角形，证明 根据全等三角形的性质并结合图形即可解答；
（3）如图：过点 作 ，则 ；根据
可得 ，进而得到 ；设 ，则 ，由题意可得
，最后解分式方程并检验即可解答．
【详解】（1）解： 是等边三角形． 理由如下：
与 是 所对的圆周角， 与 是 所对的圆周角，
，
又 ，
，
为等边三角形．
（2）解： ，证明如下：
如图：在 上截取 ，连接 ，
，
是等边三角形，
，即
又 ，
，
在 和 中，，
，
，
又 ，
．
（3）解：如图：过点 作 ，则
，
，即 ，
设 ，则 ，
由题意可得： ，解得
∵ ，
∴ ，则 （舍去），
∴ ，
检验∶ 是原分式方程的根，
．24．（1）① 与 相等；理由见解析；② ；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）①证明 ，得出 即可；②根据勾股定理求出 ，
证明 ，从而求得 ，由①知 与 相等，所以 ，于是求得
；
（2）取 的中点 ，连接 交 于 ，再连接 ，根据 是 的2倍，得出
，得出 ，根据 ，得出 ，从而
证得 ，根据 ， ，得出 ，求出 ，即可
得出点 在线段 的垂直平分线上；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 交 于 ，根据 ，得出 ，
根据 ，得出 ，求出 ，得出 ，即可
得出 ，求出 ．
【详解】解：（1）① 与 相等．理由是：
如图，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
②如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴根据勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
根据勾股定理得： ；
（2）取 的中点 ，连接 交 于 ，再连接 ，如图所示：∵ 是 的2倍，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在线段 的垂直平分线上；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 交 于 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的判定，线段垂直平分线
的判定，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合．
