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考点 22 抛物线（核心考点讲与练）
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，
定直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
性 离心率 e＝1
质 准线方
x＝－ x＝ y＝－ y＝
程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方
向右 向左 向上 向下
向
1.求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转
化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
2.确定及应用抛物线性质的技巧：①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|
AB|＝x＋x＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
1 2
(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方
程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的
灵活应用．
抛物线的定义与方程
一、单选题
1．（2022·广东·二模）已知抛物线E： ，圆F： ，直线l： （t为实数）与抛物
线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF
交x轴于点Q，且 ，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线 第一象限上一点 到其焦点的距离为 ，则
点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·广东韶关·二模）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C
于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF
B．不存在直线m，满足
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
5．（2022·山东潍坊·二模）已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边
三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2， ，且 ，则（ ）
A．平面ACD⊥平面ABC
B．球心O为△ABC的中心
C．直线OM与CD所成的角最小为
D．若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分
6．（2022·山东聊城·二模）已知抛物线 ： （ ）的焦点 到准线的距离为2，过 的直线
交抛物线 于两点 ， ，则（ ）
A． 的准线方程为
B．若 ，则
C．若 ，则 的斜率为
D．过点 作准线的垂线，垂足为 ，若 轴平分 ，则
7．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线 过点 ，焦点为F，则（ ）
A．点M到焦点的距离为3
B．直线MF与x轴垂直
C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切D．过点M与C相切的直线方程为
三、填空题
8．（2022·辽宁沈阳·二模）已知抛物线 的焦点为F，在C上有一点P， ，则点P到x轴
的距离为______．
抛物线的几何性质
1.（2021北京八中高三上学期期中）已知直线 ： 和直线 ： ，抛物线 上一动
点P到直线 和直线 的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测） 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用
抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线 的焦点为 ，圆 与抛物线 在
第一象限的交点为 ，直线 与抛物线 的交点为 ，直线 与圆 在第一象
限的交点为 ，则 周长的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
直线与抛物线的位置关系
1.（云南省曲靖市第一中学2022届高三上学期第一次质量监测卷）已知直线l： y=x+1与抛物线C：
x2=2py（p>0）相交于A， B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得 （O为
坐标原点）.
（1）求此抛物线的标准方程；（2）若正方形PQHR的三个顶点P， Q， H都在抛物线C上，求正方形PQHR面积的最小值.
2.（2021四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线 ： 上的点 到
焦点 的距离为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设纵截距为 的直线 与抛物线 交于 ， 两个不同的点，若 ，求直线 的方程．
1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距
离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
2.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上
一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
3.（2021年全国高考乙卷） 已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.一、单选题
1．（2022·山东泰安·二模）已知以F为焦点的抛物线 上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的
横坐标），满足 （O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为 ，则实数 （ ）
A． B． C．3 D．4
2．（2022·河北唐山·二模）F为抛物线 的焦点，点 在C上，直线MF交C的准线于点
N，则 （ ）
A． B． C．5 D．12
3．（2022·天津·一模）已知抛物线 的准线与双曲线 相交于D､E两点，且OD⊥OE
（O为原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·辽宁锦州·一模）已知抛物线 的焦点为F，点P是C上一点，且 ，以
PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则 （ ）A．2 B．2或4 C．4 D．4或6
5．（2022·广东惠州·一模）若抛物线 （ ）上一点P（2， ）到其焦点的距离为4，则抛物
线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
二、多选题
6．（2022·河北秦皇岛·二模）过抛物线 上一点 作两条相互垂直的直线，与 的另外两
个交点分别为 ， ，则（ ）
A． 的准线方程是
B．过 的焦点的最短弦长为8
C．直线 过定点
D．当点 到直线 的距离最大时，直线 的方程为
7．（2022·江苏江苏·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过原点 的动直线 交抛物线于另一点 ，交
抛物线的准线于点 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 为线段 中点，则 B．若 ，则
C．存在直线 ，使得 D． 面积的最小值为2
8．（2022·广东·一模）已知抛物线 的焦点为F，抛物线C上存在n个点 ， ， ， （
且 ）满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 时，
B． 时， 的最小值为9
C． 时，D． 时， 的最小值为8
9．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为2，则（ ）
A．焦点 的坐标为
B．过点 恰有2条直线与抛物线 有且只有一个公共点
C．直线 与抛物线 相交所得弦长为8
D．抛物线 与圆 交于 两点，则
10．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知F是抛物线 的焦点，过点F作两条互相垂直的直线 ， ，
与C相交于A，B两点， 与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C
的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以 为直径的圆与l相切
C． 的最小值为32 D．当 最小时，
11．（2022·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 的焦点为F，点
， ， 都在抛物线上，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为 B．F是 的重心
C． D．
三、填空题
12．（2022·北京丰台·二模）已知抛物线C： ，则抛物线C的准线方程为______．
13．（2022·福建·模拟预测）已知抛物线 与抛物线 在第一象限内的交点为 ，若点 在圆 上，且直线 与圆 相切，则 ___________.
14．（2022·重庆八中模拟预测）若抛物线 上的点 到焦点的距离是点A到y轴距离
的2倍，则 ___________.
四、解答题
15．（2022·山东济宁·二模）已知抛物线E： 的焦点为F，点 在抛物线E上，且
的面积为 （O为坐标原点）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于
C､D两点，求 的最小值.
16．（2022·湖北武汉·二模）已知抛物线 ，点 为 上一点，且 到 的准线的
距离等于其到坐标原点 的距离.
(1)求 的方程；
(2)设 为圆 的一条不垂直于 轴的直径，分别延长 交 于 两点，求四边形
面积的最小值.
17．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知点 在抛物线 上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作斜率分别为 的两条直线 ，若 与抛物线 的另一个交点分别为 ，且有，探究：直线 是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.
18．（2021·山西运城·模拟预测（理））已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
