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9.4 抛物线（精练）（提升版）
题组一 抛物线的定义及应用
1．（2022·广西贵港）已知点 是拋物线 的焦点， 是 上的一点， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线的定义可知， ，所以 ．故选：C.
2．（2022·全国·课时练习）已知抛物线 的焦点是 ，点 是抛物线上的动点，若 ，则
的最小值为______，此时点 的坐标为______．
【答案】
【解析】易知点 在抛物线内部，设抛物线的准线为 ，则 的方程为 ，过点 作 于点 ，则
，当 ，即 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为 ，此时
点 的纵坐标为2，代入 ，得 ，所以此时点 的坐标为 ．
故答案为： ； ．3．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习） 是抛物线 上的动点， 到 轴的距离为
，到圆 上动点 的距离为 ，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
抛物线 的焦点 ，
因为 是抛物线 上的动点， 到 轴的距离为 ，到圆 上动点 的距离为 ，
所以要使 最小，即 到抛物线的焦点与到圆 的圆心的距离最小，
连接 ，则 的最小值为 减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
4．（2022·河南平顶山）已知抛物线 ， 为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则 的最小值为___________.
【答案】3
【解析】由题意得： ,抛物线 焦点为 ，准线为 ，
则
,当A,F,C三点共线时取等号，
而 ，故 的最小值为 ，
故答案为：3
5．（2022·全国·课时练习）已知点 为抛物线 上的一个动点，设点 到抛物线的准线的距离为 ，
点 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ．
过点 作抛物线准线的垂线，垂足为点 ，
由抛物线的定义可得 ，
则 ，
当且仅当 为线段 与抛物线的交点时，等号成立，因此， 的最小值为 .
故答案为： .
6．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线 上任意一点，F为抛物线的焦点， 为平面
内一定点，则 的最小值为__________．
【答案】5
【解析】由题意，抛物线的准线为 ，焦点坐标为 ，过点 向准线作垂线，垂足为 ，则
，
当 共线时，和最小；过点 向准线作垂线，垂足为 ，则 ，所以
最小值为5.故答案为：5.
题组二 直线与抛物线的位置关系
1．（2022·安徽·高三开学考试）过抛物线 的焦点 的直线 与 交于 两点，若，则 的倾斜角 （ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】因为焦点 ，设 ，令 ，
由 ，消 可得
， ，所以 ，
所以 所以 ，解得：
所以 的斜率为 ，则 的倾斜角 或
故选：D.
2．（2022·浙江·高三开学考试）已知 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 两点，以 为
直径的圆经过 ，则直线 恒过（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：设直线 方程为： ， ，联立方程 得 ，有
.
， ， ，
故 中点，即圆心C的坐标为
直径 .
因为以 为直径的圆经过 ，故有 ，
即 ，
化简得： ，故直线方程为： ，当 时， ，
即直线 经过定点 .
故选：D3．（2022·全国·课时练习）已知直线l过点 ，且与抛物线 只有一个公共点，则直线l的方程
可以是______．（写出一个符合题意的直线方程即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由题意知直线l的斜率存在，设其方程为 ，
当 时， ，易知直线 过点 ，且与抛物线 只有一个公共点，符合题意．
当 时，联立 ，可得 ， ．当 时，
，解得 或 ，此时直线l的方程为 或 ，即
或 ，
易知直线 和直线 都过点 ，且与抛物线 都只有一个公共点，符合题意．
故直线l的方程可以是 或 或 ．
故答案为： （答案不唯一）
4．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线 的焦点为 ，过 且被抛物线截得的弦长为
的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______．
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【解析】设直线的方程为 ，
且直线与抛物线交于 ， ，联立 ，
可得 ，所以 ，
所以 ，取等号时 ，所以抛物线 过焦点的弦长最短为 ，
又因为被抛物线截得的弦长为 的直线有且仅有两条，
所以 ，所以 ，取 ，此时抛物线方程为 ．
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）
5．（2022·山东）已知抛物线C的方程为 ，直线l过定点 ，若抛物线C与直线l只有一个公
共点，求直线l的方程．
【答案】 或 或
【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线 的斜率为k．
当 时，直线l的方程为 ，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；
当 时，设直线l的方程为 ，由 ，得 ，因为抛物线C
与直线l只有一个公共点，
所以 ，解得 或 ，
所以直线l的方程为 或 ，
即 或 ．
综上，直线l的方程为 或 或 ．
题组三 弦长
1．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知抛物线 ，过 的焦点
且斜率为 的直线交 于 两点，若 ，则 __________.
【答案】4【解析】由题意，抛物线 ，可得 ，则直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，则 ，
因为 且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，可得 ，因为 ，所以 .
故答案为： .
2．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛物线 的焦点，与该抛物线交于A，
B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
【答案】8
【解析】抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设 的方程为 ， ，
则由 得 ，
， ，
又 ，所以 ，即 ， ，
所以 ．
故答案为：8．
3．（2022·海南 ）过抛物线 的焦点 作直线 与抛物线交于 ， 两点，则当点 ， 到直线的距离之和最小时，线段 的长度为______
【答案】
【解析】由抛物线 可得 ，设直线 的方程为 ，
由 ，可得 ，
设 ， ，则 ，
所以 ，
则线段 的中点坐标 ，
到直线 的距离为 ，
则点 ， 到直线 的距离之和 ，
所以当 时， 取最小值，
此时 ，
故答案为： .
4（2022·长宁区 ）已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，则 ______．
【答案】16
【解析】联立 ，得： ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 .故答案为：16.题组四 综合运用
1．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知直线 与抛物线 交于
两点， 点 为坐标原点， 若线段 的中点是 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】设 ，由 得 ，所以 ，所以
，
又点 在直线l上，所以 ，所以A正确，B错误；
对于C，因为直线l经过抛物线 的焦点，所以 ，所以C正确；
对于D，因为 ，所以
，所以 ，所以D错误，
故选:AC．
2．（2022·浙江·高三开学考试）（多选）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于点
与点 ，点 关于原点 的对称是点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 在以 为直径的圆上，则
D．若直线 与 与拋物线 都相切，则
【答案】ACD【解析】设 方程为 ，由 得 ， ，
， ，
A．由 得得 ，所以直线 过点 ，A正确；
B． ，
由 ，当 时， ， ，B错误；
C． ， ， ，
，即
，所以 ， ， ，C正确；
D．设 （或 ）方程为 ，
由上面推理过程得 ， ，
代入 得， ，
不妨设 ， ，则 ，所以直线 过点 ，D正确．
故选：ACD．
3．（2022·全国·单元测试）（多选）已知 ： 的焦点为 ，斜率为 且经过点 的直线
与抛物线 交于点 ， 两点（点 在第一象限），与抛物线的准线交于点 ，若 ，则（ ）
A． B． 为线段 的中点
C． D．
【答案】AB【解析】易知 ，由题意可得直线 的方程为 ．
由 ，消去 并整理，得 ，
解得 ， ．
由 ，得 ，
∴ ．
过点 作 垂直准线于点 ，易知 ，
∴ ，∴ ．.
∵ ，∴ 为线段 的中点．
故选：AB．
4．（2022福建）（多选）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点， 为线段 的中点，
则（ ）
A．以线段 为直径的圆与直线 相切B．以线段 为直径的圆与 轴相切
C．当 时，
D． 的最小值为6
【答案】ACD
【解析】由抛物线方程知 ，准线方程为 ，由题意可知，直线 的斜率存在，
可设 ： ，设 ， ．
对于选项A，易知 ，∵ 为 的中点，
∴点 到准线 的距离 ，
∴以线段 为直径的圆与直线 相切，A正确；
对于B，由 ，得 ，
， ， ，
∴ ，∴ ，
设 的中点为 ，则 ， ，
∵ 不恒成立，∴以线段 为直径的圆与 轴未必相切，B错误；
对于C，若 ，则 ，不妨设 ， ，∵ ，∴ ， ，则
， ，∴ ，C正确；
对于D，∵ ，∴当 时， ，D正确．故选:ACD．
5．（2022·湖北·高三开学考试）（多选）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线 相
交于 两点，分别过 两点 作 的切线 ，且 相交于点 ，则（ ）
A． B．点 在直线 上
C． 为直角三角形 D． 面积的最小值为16
【答案】BCD
【解析】由题可知，抛物线 的焦点 ，
显然直线 的斜率存在，设直线方程为 ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
， ，
由 得， ， ，
故切线 的方程为： ①
故切线 的方程为： ②
联立①②得
，
对于A， ， ， 不正确，故A不正确；
对于B， ，显然点 在直线 上，故B正确；
对于C， ， ， ， ，将 ， ，且 ， ，代入上式化简得：
， ， 为直角三角形，故C正确；
对于D， 到直线 的距离为： ，
，
，当 时， ，故D正确.
故选：BCD
6．（2022·全国·）（多选）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，直线 过点 且与抛
物线交于 ， 两点，若 是线段 的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线 的方程为 D．
【答案】ACD
【解析】因为焦点 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知 ，故A正确
故抛物线的方程为 ，焦点 ，故B错误
则 ， ．
又 是 的中点，则 ，所以 ，即 ，所以直线 的方程为 ．故C正确
由 ，
得 ．故D正确
故选：ACD．
7．（2022·湖南·高三开学考试）（多选）已知 是抛物线 上两动点， 为抛物线 的焦点，
则（ ）
A．直线 过焦点 时， 最小值为4
B．直线 过焦点 且倾斜角为 时（点 在第一象限），
C．若 中点 的横坐标为3，则 最大值为8
D．点 坐标 ，且直线 斜率之和为 与抛物线的另一交点为 ，则直线， 方程为：
【答案】ACD
【解析】对于A选项，直线 过焦点 ，当 垂直于 轴时， 取最小值 ，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：则 ， 轴， 轴，即 ， ，
， ，即 ， ，
， ， ，
，故错误；
对于C选项，由于 为两动点，所以 ，当且仅当直线 过焦点 时等号
成立，故正确；
对于D选项，依题意， ，故 ，即 ，由题意， ，
同理可得 ，故直线 方程为 ，故正确.
故选：ACD.
8．（2022·湖南）（多选）已知直线 ： 过抛物线 ： （ ）的焦点 ，且与
抛物线 交于A， 两点，过A， 两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为 ， ，则下列说法错误
的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段 的长度为
C． D．线段 的中点到 轴的距离为
【答案】BD
【解析】由题意不妨设点A在点 上方，直线 ： 与x轴交点 ，
又 经过 的焦点，故 ，可得 ，
即抛物线方程为 ： ，A正确．
由 ，可得 ，解得 或 ，可得 ， ，所以 ，B错误．
由以上分析可知， ， ， ，
可得 ，
则 ，即 ，C正确．
因为 ， ，故线段 的中点为 ，
则线段 的中点到 轴的距离为 ，D错误，
故选：BD．
9．（2022·河北）（多选）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与抛物线交于点
， ，点 ， 在 上的射影为 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．以 为直径的圆与准线 相切
C．若 ，则 D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由抛物线的定义，知 ，故A正确．
对于B，线段 的中点为 ，抛物线的准线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，
所以，以 为直径的圆与准线 相切，B正确；
对于C，由抛物线的定义，可知 ，所以 的最小值为 ．
又 的坐标为 ，所以 ，故C错误．
对于D，连接 ，则由 ，
得 ，又 轴，所以 ，
同理 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以D正确.
故选：ABD.
