文档内容
第 07 讲 抛物线及其性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：抛物线的定义与标准方程....................................................................................................2
题型二：抛物线的轨迹方程................................................................................................................3
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题........................................................................................4
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题................................................................................7
题型五：焦半径问题..........................................................................................................................11
题型六：抛物线的几何性质..............................................................................................................12
题型七：抛物线焦点弦的性质..........................................................................................................14
题型八：抛物线的实际应用..............................................................................................................19
02 重难创新练....................................................................................................................................22
03 真题实战练....................................................................................................................................39题型一：抛物线的定义与标准方程
1．已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 在 轴正半轴上．若点 到双曲线 的一条渐近
线的距离为2，则 的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程
中的 ，则抛物线方程可求.双曲线 的渐近线方程是 ，即 .
因为抛物线的焦点 到渐近线 的距离为2，
则 ，即 ，所以 的标准方程是 ，
故选：D．
2．若点 满足方程 ，则点 的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】等式左侧表示点 与点 间的距离，
等式右侧表示 到直线 的距离，
整个等式表示点 到点 的距离和到直线 的距离相等，
且点 不在直线 上，
所以点 轨迹为抛物线.
故选：D.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）过点 ，且焦点在 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设抛物线的标准方程为 ，
将点点 代入，得 ，解得 ，
所以抛物线的标准方程是 .
故选：B
题型二：抛物线的轨迹方程
4．点 ，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为
．
【答案】
【解析】设 ， ，则 ．由点E在y轴上，得 ，则 ，即 ．
又 ，若 ，则 ，即 ．若 ，则 ，此时点P，B重合，
直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是 ．
故答案为： .
5．在平面坐标系中，动点P和点 满足 ，则动点 的轨迹
方程为 ．
【答案】
【解析】由题意 ，
由 得 ，
化简得 ．
故答案为： ．
6．若圆 与 轴相切且与圆 外切，则圆 的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】设圆心坐标为 ，依题意可得 ，化简得 ，
即圆 的圆心的轨迹方程为 .
故选：C
7．（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知点 到点 的距离比它到直线 的距离小 ，则点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，点 到点 的距离等于它到直线 的距离，
则点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，则点 的轨迹方程为 ，
故选：B .
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
8．已知抛物线 的焦点为 ，点 ，若点 为抛物线上任意一点，当 取最小值
时，点 的坐标为 .
【答案】
【解析】抛物线 的焦点为F(1,0)，准线方程为 ，
过点 作 垂直准线交于点 ，则 ，
所以 ，当且仅当 、 、 三点共线时取等号，
即 平行于 轴时 取最小值，此时 ，则 ，即 ，
所以 .
故答案为：9．已知点 ， 是 轴上的动点，且满足 ， 的外心 在 轴上的射影为 ，
则 的最小值为 .
【答案】3
【解析】设点 ，则 ）根据点 是 的外心, ，
而 ，则
所以
从而得到点 的轨迹为 ，焦点为
由抛物线的定义可知 因为 ，
，
即 ，
所以 的最小值为3，
故答案为：3
10．已知 ，抛物线 的焦点为 是抛物线C上任意一点，则 周长的最小值为
．
【答案】
【解析】抛物线的准线 ， ，过点P作 垂直于准线，
由题可知， 的周长为 ，
又 ，
易知当 三点共线时， 的周长最小，且最小值为 ．故答案为：
11．已知抛物线 ，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C： 上，则
的最小值为 .
【答案】8
【解析】如图，过点 向准线作垂线，垂足为 ，则 ，
当 垂直于抛物线的准线时， 最小，
此时线段 与圆 的交点为 ，因为准线方程为 ， ，
半径为 ，所以 的最小值为 .
故答案为：8.
12．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线 上，且 ，点P为直线 上的
动点，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】抛物线 的焦点 ，准线 ，设 ，
则 ，解得 ，显然 ，不妨设 ，
关于直线 的对称点为 ，则因此 ，当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
13．抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是准线 上的动点，若点 在抛物线 上，且 ，
则 （ 为坐标原点）的最小值为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，所以 ，准线 为 ，
不妨设点 在第一象限，过 作 于 ，则 ，得 ，
则 ，得 ，所以 ，
设点 关于直线 对称点为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
14．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若 面积是 面积的
两倍，则 ＝（ ）A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去；
设过F的直线l的方程为 ，与抛物线 联立得，
，
设 ， ，则 ，
因为 面积是 面积的两倍，所以 ，
则 ，解得 ，则 ，
则 ，解得 ，
故 ，
则 .
故选：B
15．（2024·四川乐山·三模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两
点， 于H，若 ，O为坐标原点，则 与 的面积之比为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】依题意，由 于H，得 ，即 是正三角形， ，而 ，则直线 的方程为 ，
由 ，消去y并整理，得 ，
令 ，解得 ，又准线 ，
因此 ，
所以 与 的面积之比 .
故选：C.
16．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点，
若 ， 则 ( 为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题可得 ，因为 ，
所以 ， ，
所以 为坐标原点)的面积是 .
故选：A.
17．已知抛物线 ： ，点 为抛物线上任意一点，过点 向圆 ： 作切线，切点
分别为 ， ，则四边形 的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接 ，圆 ： ，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则 ．又 ，所以当四边形 的面积最小时， 最小．
过点 向抛物线的准线 作垂线，垂足为 ，则 ，
当点 与坐标原点重合时， 最小，此时 ．
故 ．
故选：C
18．如图，已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点.
已知 ， ，若△ ，△ 的面积分别为 ， ，且 ，则抛物线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，过A，B分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M，N，
因为C的准线为 ，所以 ， ，
所以 ，解得 ，故C为 .故选：B.
题型五：焦半径问题
19．（2024·广东佛山·模拟预测）设 为抛物线 的焦点，点 在 上，且在第一象限，若直线
的倾斜角为 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点 作 垂直准线于点 ，
过焦点 作 垂直于 于点 ，由题意可知 ，
根据抛物线的定义
在 中， ，又 ，
所以 ，
解得 .
故选：C.
20．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知焦点为 的抛物线 上 两点满足 ，则 中点的横坐标为 .
【答案】
【解析】因为抛物线 ，所以 ，
设 ，由 得 ，所以 ，
由 ， ，所以 ，
所以 中点的横坐标为 ，
故答案为：
21．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线于 、 两点，若 ，则
.
【答案】5
【解析】抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程 ， ，
由 消去 得 ，则 ，由 ，得 ，
联立解得 或 ，因此 ，所以 .
故答案为：5
题型六：抛物线的几何性质
22．（多选题）已知抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标是 B．抛物线 关于 轴对称
C．抛物线 的准线方程为 D．抛物线 的焦点到准线的距离为8
【答案】AC
【解析】因为抛物线 与抛物线 关于 轴对称，所以抛物线 的方程为 ，
则抛物线 的焦点坐标是 ，准线方程为 ，故A、C正确；
抛物线 关于 轴对称，故B错误；抛物线 的焦点到准线的距离为4，故D错误.
故选：AC23．（多选题）已知抛物线 的焦点为F，点P为C上任意一点，若点 ，下列结论错误的
是（ ）
A． 的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】AB
【解析】设 ，则 ， ，又抛物线的焦点为 ，
对A，由题可知 ， 时，等号成立，所以 的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在 轴上，抛物线关于 轴对称，B错；
对C，由题知点 在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过 与对称轴平行的直线与抛物线只有一
个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为 ，准线方程为 ，
过 作 于 ，过 作 于 ，则 ， ，
所以当 三点共线，即 与 重合时， 最小，最小值为 ．D正确．
故选：AB．
24．（多选题）已知抛物线 的焦点为F，点P为C上任意一点，若点 ，下列结论正确的
是（ ）
A． 的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】CD
【解析】设 ，则 ， ，又抛物线的焦点为 ，
所以 ， 时，等号成立．所以 的最小值是1，A错；
抛物线的焦点在 轴上，抛物线关于 轴对称，B错；
易知点 在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过 与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，
其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
记抛物线的准线为 ，准线方程为 ，
过 作 于 ，过 作 于 ，则 ，
，所以当 三点共线，即 与 重合时， 最小，最小值为
．D正确．
故选：CD．
题型七：抛物线焦点弦的性质
25．（多选题）设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与 交于
两点， 为 的准线，则（ ）
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D．
【答案】CD
【解析】直线 过抛物线 的焦点，
可得 ，则 ，所以A选项错误；
抛物线方程为 ，准线 的方程为 ，
直线 与抛物线 交于 两点，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
直线方程代入抛物线方程消去 可得 ，
则 ，得 ，所以B选项错误；的中点的横坐标 ，中点到抛物线的准线的距离为 ，
则以 为直径的圆与 相切，所以C选项正确；
点到直线 的距离 ， ，所以D选项正确．
故选：CD．
26．（多选题）已知直线 经过抛物线 ： 的焦点 ，且与 交于点 ， ，点 为坐标原点，点
， 在 轴上的射影分别为 ， ，点 ， 在 轴上的射影分别为 ， ，则（ ）
A．
B．
C． 的最小值为7
D．
【答案】ABD
【解析】设A(x ,y )，B(x ,y )，直线 的方程为 ，
1 1 2 2
联立方程组 ，整理得 ，可得 ，
由 ，所以A正确；
由 ，所以 ，所以B正确；
由 ，
当且仅当 时取等号，所以C错误；
由
，所以D正确.
故选：ABD.
27．（多选题）设抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是B．焦点到准线的距离为4
C．若 ，则 的最小值为3
D．以线段 为直径的圆与 轴相切
【答案】ACD
【解析】A：抛物线的准线为 ，故A正确；
B：焦点到准线距离为 ，故B错误；
C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为 ，此点位于点 的上面，故A在抛物线内
部，
当直线 垂直准线时 取最小值，即为 ，故C正确；
D：根据题意，可得抛物线 的焦点为F(1,0)，
设 的中点为 ，可得 ，
由抛物线的定义，得 ，则 ，即点 到 轴的距离等于以 为直径的圆的半径，
因此，以 为直径的圆与 轴相切，故D正确﹒
故选：ACD
28．（多选题）（2024·高三·江苏南京·开学考试）抛物线 的焦点为 为抛物线上一动点，当
运动到 时， ，直线 与抛物线相交于 两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切
D．当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与准线相切
【答案】ACD
【解析】对于A，如图所示，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则由抛物线的定义可知: ,
解得 .
抛物线 的方程为: ,故 正确;
对于 ，抛物线的准线方程为 ，故 错误；
对于 ,如图所示，取 的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D,
易知抛物线的焦点 ，设 ，则 , ,
所以 ,
所以以 为直径的圆与 轴相切，故C正确；
对于 , 当直线 过抛物线的焦点 且与抛物线相交于 两点时，直线 的斜率存在，
假设 ,设 ,AB的中点为 ,则 ，
如图所示，作 垂直于准线于点 ，则 ,联立 ，消去 并整理可得 ，
所以 ，
所以 所以 ,
,
,
,
以 AB 为直经的圆与准线相切，故D正确.
故选：ACD.
29．（多选题）已知抛物线 ，直线 过 的焦点 ，且与 交于 两点，则（ ）
A． 的准线方程为
B．线段 的长度的最小值为4
C．存在唯一直线 ，使得 为线段 的中点
D．以线段 为直径的圆与 的准线相切
【答案】BCD
【解析】对于A，抛物线 的准线方程为 ，故A错误；
对于B， ，
由题意可得直线 的斜率不等于零，设方程为 ， ，
联立 ，消 得 ， ，
则 ，所以 ，
所以 ， 时取等号，
所以线段 的长度的最小值为4，故B正确；
对于C，由B选项得线段 的中点坐标为 ，
若点 为线段 的中点，
则 ，解得 ，
所以存在唯一直线 ，使得 为线段 的中点，故C正确；对于D，由C选项知线段 的中点坐标为 ，
则中点 到准线 的距离为 ，
所以以线段 为直径的圆与 的准线相切，故D正确.
故选：BCD.
题型八：抛物线的实际应用
30．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部
分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取
景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】B
【解析】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于 轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．
设抛物线的方程为 ．
易知抛物线过点 ，则 ，得 ，所以 ，所以 ．
故选：B．
31．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东
至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线
（设该抛物线的焦点到准线的距离为 米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的
相邻两根吊索之间的距离均为 米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点 到桥
面的距离）为 米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点 到桥面的距离）为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】A
【解析】以 为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的
单位均为米），
依题意可得抛物线的方程为 ．
因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为 米，则点 的横坐标为 ，
则 ，所以点 到桥面的距离为 米．
故选：A.
32．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽 为 ，渠深 为 ，水面
距 为 ，则截面图中水面宽 的长度约为（ ）（ ， ， ）
A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m【答案】D
【解析】以 为原点， 为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的标准方程为 （ ），
由题意可得 ，代入 得 ，得 ，故抛物线的标准方程为 ，
设 （ ， ），则 ，则 ，
即可得 ，
所以截面图中水面宽 的长度约为 ，
故选：D.
33．（2024·湖北·模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，
为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度
为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪
光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68
【答案】A
【解析】如图，
设该抛物线的方程为 ，易知抛物线经过点 ，所以 ，解得 ，故该抛物线的顶点到焦点的距离为 ，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为： 米.
故选：A
1．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C： 和圆 ，点 是抛物线 的
焦点，圆 上的两点 满足 ，其中 是坐标原点，动点 在圆 上运动，则 到
直线 的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点 ，圆 ，其圆心 ，半径 ．
设点 是满足 的任意一点，则 ，
化简得 ，结合 ，所以 是圆 与圆 的公共弦，
将圆 与圆 的方程相减得，直线 的方程为 ，
取线段 的中点 ，连接 ，则 ，
则 ，
故选：A．
2．（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知点 在抛物线 上，则C的焦点与点 之间的距离为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为 在抛物线上，故 ，
整理得到： 即 ，
解得 或 （舍），故焦点坐标为 ，
故所求距离为 ，
故选：D.
3．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点， 为坐标原点，
，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设 ，则 ，解得 或 （舍去），
则 ．
故选：B．
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线 的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若
，则 的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为抛物线 的焦点为F(1,0)，准线方程为 ，
所以 ，故 ，不妨设 在第一象限，故 ，
所以 .
故选：C.
5．（2024·江西九江·二模）已知抛物线 过点 ， 为 的焦点，点 为 上一点， 为
坐标原点，则（ ）
A． 的准线方程为
B． 的面积为1
C．不存在点 ，使得点 到 的焦点的距离为2
D．存在点 ，使得 为等边三角形
【答案】B
【解析】由题意抛物线 过点 ，可得 ，所以抛物线方程为 ，所以准线方程
为 ，A错误；
可以计算 ，B正确；
当 时，点 到 的焦点的距离为2，C错误；
为等边三角形，可知 的横坐标为： ，当 时，纵坐标为： ，
则 ，则 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点 不存在，所以D错
误．
故选：B．
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 的准线上，点
在 上且位于第一象限， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
由点 在抛物线 的准线上，可得 ，即 ，
所以抛物线 C 的方程为 ，焦点 ，准线方程为 ，
设 则 ，由 ，可得 ，即 ，
整理得 ，又 ，所以 ，解得 或 ，
点B位于第一象限，所以 ， ，且 ，显然 不满足垂直，
所以 ，
所以 ，所以 .
故选:D.
7．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 与交于 两
点（ 点在 轴上方），点 ，若 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
，即 ，
由 得， ，
的方程为 ，由 得， ， ，
， ，故 .
故选：B.
8．（2024·新疆·三模）已知抛物线C： 的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦
与弦 的交点恰好为F，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由抛物线 得 ，则 ， ，
不妨设PQ的倾斜角为 ，
则由 ， 得 ， ，
所以 ， ，
得 ， ，
所以 .
故选：B.9．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为 ，过抛物
线 的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为 ，右焦
点记为F，若以OF为直径的圆M交直线 于O，A两点，点B在 上，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过 的直线斜率为 ，则 ，则 ，依题知 ，
且 ，则 ，即 ，
根据 ，得 ，代入 ，
得 ，渐近线方程 ，
设 ，
，由 ，所以 ，
．
故选：A.10．（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 的准线 与 轴交于点 ，过
的一条直线与 交于 两点，过 作 的垂线，垂足分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的面积等于 的面积
【答案】ABD
【解析】对于选项A：由几何性质可知 ，且 ，
可得 ，所以 ，故A正确：
对于选项B：设直线 的方程为 ， ，
联立方程 ，消去y可得 ，
则 ，即 ，
由条件知 同号，所以 .
则 ，可得 ，
因为 ，则 ，
同理可得 ，则 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，
可得 ，
当且仅当 时， ，故C错误；
对于选项D：设 ，
由 ，可知直线 关于直线 对称，所以 .
因为 ，
可得 .
则 ，
，
所以 的面积等于 的面积，故D正确.
故选：ABD.
11．（多选题）（2024·陕西·一模）已知曲线 的方程为 是以点 为圆心､1为半径的圆位于
轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 的焦点坐标为
B．曲线 过点
C．若直线 被 所截得的线段的中点在 上，则 的值为
D．若曲线 在 的上方，则
【答案】BCD
【解析】对于A中，由曲线 ，抛物线 的焦点坐标为 ，所以A错误；
对于B中，圆 的标准方程为： ，
点 代入圆 的方程得 ，所以圆 过点 ，所以B正确；
对于C中，设 被 所截得的线段为 ，中点为 ，
联立方程组 ，整理得 ，可得 ，则 ，故 ，所以 ，
代入 ，可得 ，解得 ，所以C正确；
对于D中如图所示，曲线 在 的上方时，抛物线和圆无交点，
联立方程组 ，整理得 ，
由 ，解得 ，所以D正确.
故选：BCD.
12．（多选题）（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的
动直线与 交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C． 为定值
D． 为钝角三角形
【答案】BCD
【解析】由题意可知， ，所以 ，则 ，其准线方程为 .
对于A，设过点 的动直线 的方程为 ，代入 得， ， ，设M(x ,y )，N(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2
则
，当且仅当 时等号成立，A错误；
对于B，由 得， ，解得 ，
所以 ，B正确；
对于C， 为定值，C
正确；
对于D，
，所以 为钝角，D正确.
故选：BCD.
13．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知曲线 上的点满足：到定点(1,0)与定直线 轴的距离的差为
定值 ，其中，点 ， 分别为曲线 上的两点，且点 恒在点 的右侧，则（ ）
A．若 ，则曲线 的图象为一条抛物线
B．若 ，则曲线 的方程为
C．当 时，对于任意的 ， ，都有
D．当 时，对于任意的 ， ，都有
【答案】AC
【解析】对于A，若 ，设曲线 上的点P(x,y)，由题意可得 ，
化简得 ，当 时， 为抛物线，
当 时， ，因为 ，所以 ，而 ，显然不成立，
综上，若 ，则曲线 的图象为一条抛物线，故A错误；
对于B，若 ，设曲线 上的点P(x,y)，
由题意可得 ，
化简得 ，当 时， 为抛物线，
当 时， 为一条射线，故B错误；对于C，若 ，设曲线 上的点P(x,y)，
由题意可得 ，
化简得 ，
因为 ，
当 时， ，
为开口向右，顶点为 的抛物线的一部分，，
当 时， ，
为开口向左，顶点为 的抛物线的一部分，，
且 与 关于 对称,其图象大致如下，
因为 ， 两点的纵坐标相同，
根据对称性可得 ，故C正确；
对于D，若 ，设曲线 上的点P(x,y)，
由题意可得 ，
化简得 ，因为 ，
当 时， ，
为开口向左，顶点为 的抛物线的一部分，
当 时， ，为开口向右，顶点为 的抛物线的一部分，
且 与 关于 对称,其图象大致如下，
因为 ， 两点的纵坐标相同，
根据对称性可得 ，故D错误.
故选：AC.
14．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且点 到直线
的距离为 ，则 .
【答案】5
【解析】抛物线 的准线方程为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
因为点 到直线 的距离为 ，
所以点 到准线 的距离为 ，
由抛物线定义可得 .
故答案为： .
15．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于
两点，若 ，则直线 的斜率为 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点 ，设直线l的方程为： ，
联立方程 ，消去y得， ，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，得 ，
故答案为：
16．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 ，抛物线 的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴
的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若 ，
则 AMN的面积为 ．
△
【答案】 /
【解析】如图，由 ，得 ，又因为F(1,0)为 ， 的中点，
所以 ，即N为PF的三等分点，且 ，
又因为 ，
所以 ，且 ，
所以 ．
不妨设P(x ,y )，且在第一象限， ， ，解得 ，
0 0
因为点P(x ,y )在抛物线上，
0 0
所以 ，
所以△AMN的面积 ．
故答案为： .
17．（2024·福建泉州·模拟预测）若过抛物线C： 的焦点F，且斜率为 的直线交C于点和 ，交C的准线于点 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】抛物线C： 的焦点为 ，准线方程为 ，
设直线AB的方程为 ，由 消去 得 ，
显然 ， ，而 ，
因此
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以则 的最小值为 .
故答案为：
18．（2024·江西南昌·模拟预测）已知点 在抛物线 上，也在斜率为1的直线 上.
(1)求抛物线 和直线 的方程；
(2)若点 在抛物线 上，且关于直线 对称，求直线 的方程.
【解析】（1）因为 在抛物线 上，所以 ，解得：
所以抛物线 为： ，
又直线 的斜率为1，所以直线 方程为： ，即 .
（2）由（1）设直线 的方程为 ，
由 消去x得： ，有 ，解得 ，设 ，则 ，于是线段 的中点坐标为 ，
显然点 在直线 上，即 ，解得 ，符合题意，
所以直线 的方程为 .
19．（2024·浙江·二模）已知点 为抛物线 与圆 在第一象限的交点，另一交
点为 .
(1)求 ；
(2)若点 在圆 上，直线 为抛物线 的切线，求 的周长．
【解析】（1）由题意 ， ，解得 ．
（2）
在抛物线 与圆 的方程中，用 替换 方程依然成立，
这表明这两个图象都关于 轴对称，所以它们的交点也关于 轴对称，
由 ，知 ．
直线 为抛物线 的切线，
当 时， ，所以抛物线在点 处的切线斜率为 ，则 ．
代入 ，得 或1，故 ．
则 的周长为 ．
20．（2024·河南·三模）已知抛物线 的焦点为F，点 为C上一点．
(1)求直线 的斜率；(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线 的距离为 ，求以线段 为直径的圆的标
准方程．
【解析】（1）将 代入抛物线方程可得 ，
解得 ，故F(1,0)．
所以 ．
（2）由题意，直线 的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在，则原点O到直线l的距离为1，矛盾），
所以设直线 的方程为 ．
联立 ，化简得 ，显然 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2
，
所以以线段 为直径的圆的圆心、半径分别为 ， ．
因为原点O到直线l的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以圆心、半径分别为 ， ，
所以圆的标准方程为 或 ．
21．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系 中，顶点在原点 的抛物线 经过点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若抛物线 不经过第二象限，且经过点 的直线 交抛物线 于 ， ，两点（ ），过
作 轴的垂线交线段 于点 .
当 经过抛物线 的焦点 时，求直线 的方程；
①求点A到直线 的距离的最大值.
②【解析】（1）若抛物线 的焦点在 轴上时，可设抛物线 的方程为 ，
且抛物线过点 ，所以 ，解得 ；
若抛物线 的焦点在 轴上时，可设抛物线 的方程为 ，
且抛物线过点 ，所以 ，解得 ；
综上所述：抛物线 的方程为 或 .
（2）因为抛物线 不经过第二象限，由（1）可知，抛物线 的方程为 ，
且 , ，
①当 经过抛物线 的焦点 时，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
又因为 ，则 ，可得直线 ，
由 ，解得 或 ，即 ，
所以直线 ，即 ；
②设 ， ， ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ， ， ，
且 ，即 ，则 ，
令 ，得
，
所以直线 经过定点 ，
所以当 ，即点A以直线 的距离取得最大值，为 .
1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P
作 的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】A选项，抛物线 的准线为 ，
的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，
故准线 和 相切，A选项正确；
B选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，
由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B选项正确；
C选项，当 时， ，此时 ，故 或 ，当 时， ， ， ，
不满足 ；
当 时， ， ， ，
不满足 ；
于是 不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， ，这里 ，
于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题，
， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，
于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个 点，使得 ，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，
，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D选项正确.
故选：ABD
2．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.3．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点
F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，
则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；对于D， ，则 为钝
角，
又 ，则
为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
5．（2024年北京高考数学真题）抛物线 的焦点坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意抛物线的标准方程为 ，所以其焦点坐标为 .
故答案为： .
6．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，
那么点 到 轴的距离为 ．
【答案】
【解析】由 知抛物线的准线方程为x=−1，设点P(x ,y )，由题意得 ，解得 ，
0 0
代入抛物线方程 ，得 ，解得 ，
则点 到 轴的距离为 ．
故答案为： ．
7．（2024年天津高考数学真题）圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为
两曲线的交点，则原点到直线 的距离为 ．
4
【答案】 /0.8
5
【解析】圆 的圆心为 ，故 即 ，
由 可得 ，故 或 （舍），
故 ，故直线 即 或 ，
故原点到直线 的距离为 ，
故答案为：8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的
距离为 .
【答案】
【解析】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .
9．（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点
.若 ，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
【答案】 5
【解析】因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5； .
10．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ，
为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为 .
【答案】
【解析】抛物线 ： ( )的焦点 ,
P为 上一点， 与 轴垂直，
∵
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .
11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F
的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
【解析】（1）抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，则 ，设 ，则，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设 ,直线
由 得： ， ,同理， .
直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， .
代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以直线
.
[方法三]：三点共线
设 ，设 ,若 P、M、N三点共线，由
所以 ，化简得 ，
反之，若 ,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，
由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，所以直线 .
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 的斜率关
系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性
通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 过定点，省去联立过程，也不失为一种简
化运算的好方法．
12．（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与
x轴的交点，且 ，（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
【解析】（1）因为 ，故 ，故抛物线的方程为： .
（2）[方法一]：通式通法
设 ， ， ，
所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，
故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或 .
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程
为 ，由题设可得 且 ．
由 得 ，所以 ．
因为 ，
，
．
由 得 ．同理 ．
由 得 ．
因为 ，
所以 即 ．
故 ．
令 ，则 ．
所以 ，解得 或 或 ．
故直线 在x轴上的截距的范围为 ．
[方法三]【最优解】：
设 ，
由 三点共线得 ，即 ．
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
．
设直线 的方程为 ，
则 ．
所以 ．
故 （其中 ）．
所以 ．因此直线 在x轴上的截距为 ．
【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.
方法一：主要是用 坐标表示直线 ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关
系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法二：利用焦点弦的性质求得直线 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将
所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法三：利用点 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点 横坐标的关系，这样有
助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范
围.
13．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
【解析】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
据此整理可得点 的轨迹方程为 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的方程为 ，则当直线 与抛物线 相切时，其斜率k取到最值．联立
得 ，其判别式 ，解得 ，所以直线 斜率的
最大值为 ．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的斜率为k，则 ．
令 ，则 的对称轴为 ，所以 ．故直线 斜率的
最大值为 ．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设 ．
因为 ，所以 ．
于是 ，所以
则直线 的斜率为 ．
当且仅当 ，即 时等号成立，所以直线 斜率的最大值为 ．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于 的表达式，
然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线 的斜率k的平方关于 的表达式，利用换元方法转化为二
次函数求得最大值，进而得到直线 斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设 ，求得x,y关于 的参数表达式，得到直线 的斜率
关于 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线 斜率的最大值.
14．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：
交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并
说明理由．
【解析】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）[方法一]：设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
[方法二]【最优解】：设 ．
当 时，同解法1．
当 时，直线 的方程为 ，即 ．
由直线 与 相切得 ，化简得 ，
同理，由直线 与 相切得 ．
因为方程 同时经过点 ，所以 的直线方程为 ，点M到直线 距离为 ．
所以直线 与 相切．
综上所述，若直线 与 相切，则直线 与 相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化
为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用 的对称性，抽象出 与 关系，
把 的关系转化为用 表示，法二是利用相切等条件得到 的直线方程为 ，
利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
