北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.2 椭圆及其性质
考点一 椭圆的定义及标准方程
x2 y2
1.(2015广东文,8,5分)已知椭圆 + =1(m>0)的左焦点为F(-4,0),则m=( )
25 m2 1
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.选B.
1
2.(2013广东文,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( )
2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
3 4 4 √3
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
4 2 4 3
1 c 1
答案 D 由右焦点为F(1,0)可知c=1,因为离心率等于 ,即 = ,故a=2,由a2=b2+c2知b2=3,故椭圆C的方
2 a 2
x2 y2
程为 + =1.故选D.
4 3
x2 y2
3.(2014辽宁,理15,文15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点
9 4
分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
答案 12
解析 根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F、F 为椭圆C的焦点,连接PF、PF.显然PF 是
1 2 1 2 1
△MAN的中位线,PF 是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN|=2|PF|+2|PF|=2(|PF|+|PF|)=2×6=12.
2 1 2 1 2
评析 本题考查了椭圆的定义和方程,考查了数形结合的思想.连接PF、PF 利用椭圆的定义是求解的关键.
1 2
考点二 椭圆的几何性质
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x2 y2
1.(2018课标Ⅰ文,4,5分)已知椭圆C: + =1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
a2 4
1 1 √2 2√2
A. B. C. D.
3 2 2 3
答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质.
由题意可知c=2,b2=4,
∴a2=b2+c2=4+22=8,则a=2√2,
c 2 √2
∴e= = = ,故选C.
a 2√2 2
方法总结 求椭圆离心率的常用方法:
c
(1)求得a,c的值,直接代入e= 求解.
a
(2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.
2.(2018课标Ⅱ文,11,5分)已知F,F 是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF⊥PF,且∠PFF=60°,则C的
1 2 1 2 2 1
离心率为( )
√3
A.1- B.2-√3
2
√3-1
C. D.√3-1
2
答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质.
x2 y2
不妨设椭圆方程为 + =1(a>b>0).
a2 b2
在Rt△FPF 中,因为∠PFF=60°,|FF|=2c,
1 2 2 1 1 2
所以|PF|=c,|PF|=√3c.
2 1
由椭圆的定义得|PF|+|PF|=2a,
1 2
即√3c+c=2a,
c 2
所以椭圆的离心率e= = =√3-1.故选D.
a √3+1
疑难突破 利用椭圆的定义|PF|+|PF|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是难点的突破口.
1 2
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1
3.(2016课标Ⅰ文,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则
4
该椭圆的离心率为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
b c 1
答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a· ,所以e= = .故选B.
2 a 2
1 b
易错警示 椭圆中心到直线l的距离为 ×2b= ,容易将短轴长误认为b.
4 2
评析 本题考查椭圆的基本知识,利用三角形的面积建立等量关系是求解的关键.
x2 y2
4.(2015福建文,11,5分)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交
a2 b2
4
椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
5
( √3] ( 3] [√3 ) [3 )
A. 0, B. 0, C. ,1 D. ,1
2 4 2 4
答案 A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),
4 4b 4 c2 a2-b2 4-b2 3
则由点M(0,b)到直线l的距离不小于 ,得 ≥ ,即b≥1.所以e2= = = ≤ ,又
5 √32+(-4) 2 5 a2 a2 4 4
( √3]
0<e<1,所以e∈ 0, ,故选A.
2
评析 本题考查了椭圆的定义及性质.考查数形结合的思想.解题关键在于发现A,B两点关于原点对称,从而
得出|AF|+|BF|=2a.
x2 y2
5.(2013课标Ⅱ文,5,5分)设椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,P是C上的
a2 b2 1 2
点,PF⊥FF,∠PFF=30°,则C的离心率为( )
2 1 2 1 2
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√3 1 1 √3
A. B. C. D.
6 3 2 3
2c
答案 D 在Rt△PFF 中,令|PF|=1,因为∠PFF=30°,所以|PF|=2,|FF|=√3.所以e= =
2 1 2 1 2 1 1 2 2a
|F F | √3
1 2
= .故选D.
|PF |+|PF | 3
1 2
x2 y2
6.(2013四川文,9,5分)从椭圆 + =1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F,A是椭圆与x轴
a2 b2 1
正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
√2 1 √2 √3
A. B. C. D.
4 2 2 2
答案 C 左焦点为F(-c,0),PF⊥x轴,
1 1
c2 y2 ( c2 ) b4 b2 ( b2 )
当x=-c时, + P =1⇒y2 =b2 1- = ⇒y= (负值不合题意,已舍去),点P -c, ,
a2 b2 P a2 a2 P a a
b b2
由斜率公式得k =- ,k =- .
AB a OP ac
b b2
∵AB∥OP,∴k =k ⇒- =- ⇒b=c.
AB OP a ac
c2 1 c √2
∵a2=b2+c2=2c2,∴ = ⇒e= = .故选C.
a2 2 a 2
x2 y2
7.(2013辽宁文,11,5分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连
a2 b2
4
接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则C的离心率为( )
5
3 5 4 6
A. B. C. D.
5 7 5 7
82+102-x2 4
答案 B 如图,设|AF|=x,则cos∠ABF= = .
2×8×10 5
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解得x=6,∴∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF|=8,且∠FAF=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF 是直角三
1 1 1
c 5
角形,∴|FF|=10,故2a=8+6=14,2c=10,∴ = .故选B.
1 a 7
评析 本题考查余弦定理,椭圆的几何性质,考查了数形结合思想及运算求解能力.
x2 y2 3a
8.(2012课标理,4,5分)设F,F 是椭圆E: + =1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x= 上一点,△FPF 是底角
1 2 a2 b2 2 2 1
为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 5
3 3 3 1
答案 C 设直线x= a与x轴交于点Q,由题意得∠PFQ=60°,|FP|=|FF|=2c,|FQ|= a-c,∴ a-c= ×2c,∴e=
2 2 2 1 2 2 2 2 2
c 3
= ,故选C.
a 4
评析 本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.
x2 y2
9.(2011课标全国文,4,5分)椭圆 + =1的离心率为( )
16 8
1 1 √3 √2
A. B. C. D.
3 2 3 2
x2 y2
答案 D 在 + =1中,a2=16,b2=8,c2=a2-b2=16-8=8,
16 8
c 2√2 √2
∴c=2√2,∴e= = = ,故选D.
a 4 2
x2 y2
10.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶
a2 b2
点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中
点,则C的离心率为 ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
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答案 A 由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-
( ka)
c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N 0, ,由于B,M,N三点共线,所以
2
ka
k(a-c) 1 a-c 1
k =k ,即 2 = ,所以 = ,即a=3c,所以e= .故选A.
BN BM -c-a 2 a+c 3
-a
思路分析 根据题意设出过点A的直线l的方程,从而求出点M和点E的坐标,进一步写出线段OE中点的
坐标,利用三点共线建立关于a,c的方程,得到a,c的关系式,从而求出椭圆的离心率.求解本题的关键在于写出
各对应点的坐标,难点在于参数的选择.
c
方法点拨 求解圆锥曲线的离心率问题的关键是要通过其几何性质找到a,c所满足的关系式,从而利用e=
a
求得离心率.
x2
11.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆 +y2=m(m>1)上两点A,B满足⃗AP=2⃗PB,则当m= 时,点
4
B横坐标的绝对值最大.
答案 5
解析 本小题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值.
设B(t,u),由⃗AP=2⃗PB,易得A(-2t,3-2u).
{
t2
+u2=m,
4
∵点A,B都在椭圆上,∴
4t2
+(3-2u) 2=m,
4
3t2 t2
从而有 +3u2-12u+9=0,即 +u2=4u-3.
4 4
m+3
即有4u-3=m⇒u= ,
4
t2 (m+3) 2 1 5 9 1
∴ + =m,∴t2=- m2+ m- =- (m-5)2+4.
4 16 4 2 4 4
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∴当m=5时,(t2) =4,即|t| =2,
max max
即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大.
思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标.
(2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式.
(3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数.
(4)利用二次函数的最值得结论.
12.(2015浙江文,15,4分)椭圆x2 +y2 =1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bx的对称点Q在椭圆上,则椭圆
a2 b2 c
的离心率是 .
√2
答案
2
解析 令Q的坐标为(x 0 ,y 0 ),FQ的中点为M(x 0 +c , y 0 ),由点M在直线y=bx上得bx 0 -cy 0 +bc=0①.又因
2 2 c
为直线FQ垂直于直线y= b x,所以 y 0 =- c ,即cx 0 +by 0 -c2=0②,联立①②得点Q(2c3-a2c , 2bc2 ),把
c x -c b a2 a2
0
点Q的坐标代入x2 +y2
=1并化简得a6=4c6+a4c2,两边同除以a6得4e6+e2-1=0,令t=e2,则0<t<1,则4t3-t+2t-1=0,
a2 b2
1 √2
则[t(2t+1)+1](2t-1)=0,解得t= ,因为0<e<1,所以e= .
2 2
13.(2014江西文,14,5分)设椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左,右焦点为F,F,过F 作x轴的垂线与C相交于A,B
1 2 2
a2 b2
两点,FB与y轴相交于点D,若AD⊥FB,则椭圆C的离心率等于 .
1 1
√3
答案
3
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解析 不妨设A在x轴上方,由于AB过F 且垂直于x轴,因此可得A(
b2
),B(
b2
),由OD∥FB,O
2 c, c,- 2
a a
为FF 的中点可得D(
b2
),所以 =(
3b2
), =(
b2
),又AD⊥FB,所以 ·
1 2 0,- ⃗AD -c,- ⃗F B 2c,- 1 ⃗AD
2a 2a 1 a
=-2c2+3b4
=0,即3b4=4a2c2,又b2=a2-c2,所以可得 (a2-c2)=2ac,两边同时除以a2,得 e2+2e- =0,解
⃗F B √3 √3 √3
1 2a2
√3 √3
得e= 或-√3,又e∈(0,1),故椭圆C的离心率为 .
3 3
评析 本题考查椭圆的几何性质、两直线垂直的充要条件.考查学生的运算求解能力以及知识的转化应用
能力.根据已知条件建立起关于a、b、c的等量关系式是求解本题的关键.
14.(2013福建理,14,4分)椭圆Γ:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,焦距为2c.若直线y= (x+c)与
1 2 √3
a2 b2
椭圆Γ的一个交点M满足∠MFF=2∠MFF,则该椭圆的离心率等于 .
1 2 2 1
答案 √3-1
解析 由已知得直线y=√3(x+c)过M、F 两点,所以直线MF 的斜率为√3,所以∠MFF=60°,则
1 1 1 2
c
∠MFF=30°,∠FMF=90°,如图,故MF=c,MF=√3c,由点M在椭圆Γ上知:c+√3c=2a,故e= =√3-1.
2 1 1 2 1 2
a
15.(2012江西理,13,5分)椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F、F.若|
1 2
a2 b2
AF|,|FF|,|FB|成等比数列,则此椭圆的离心率为 .
1 1 2 1
√5
答案
5
解析 ∵|AF|=a-c,|BF|=a+c,|FF|=2c,
1 1 1 2
则有4c2=(a-c)(a+c),
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c √5
得e= = .
a 5
评析 本题考查了椭圆的离心率的概念,椭圆和等比数列的基本性质.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2013课标Ⅰ理,10,5分)已知椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若
a2 b2
AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
45 36 36 27
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
27 18 18 9
0+1 1
答案 D 直线AB的斜率k= = ,
3-1 2
设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
{x2 y2
1+ 1=1,①
a2 b2
则
x2 y2
2+ 2=1,②
a2 b2
①-②得
y
1
- y 2=-b2
·
x
1
+x
2.
x -x a2 y + y
1 2 1 2
即k=-b2 × 2 ,
a2 -2
∴b2 =1. ③
a2 2
又a2-b2=c2=9, ④
由③④得a2=18,b2=9.
x2 y2
所以椭圆E的方程为 + =1,故选D.
18 9
评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了线段的中点问题.本题也可利用根与系数的关系解决中点
问题.
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2.(2014江西理,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-1的直线与椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是
2 a2 b2
线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 .
√2
答案
2
x2 y2
解析 设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则 1+ 1=1①,
a2 b2
x2 y2
2
+
2
=1②.
a2 b2
①、②两式相减并整理得
y
1
- y 2=-b2
·
x
1
+x
2.
x -x a2 y + y
1 2 1 2
把已知条件代入上式得,-1=-b2 ×2,
2 a2 2
∴ b2 = 1 ,故椭圆的离心率e=√ b2 =√2.
1-
a2 2 a2 2
评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解的关键.本题
也可以利用韦达定理求解.
3.(2019天津文,19,14分)设椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知 |OA|=2|OB|
√3
a2 b2
(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
3
(2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直
4
线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥
曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分.
(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有√3a=2b.
又由a2=b2+c2,消去b得a2=(√3 ) 2 +c2,解得c=1.
a
2 a 2
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1
所以,椭圆的离心率为 .
2
(2)由(1)知,a=2c,b= c,故椭圆方程为
x2
+
y2
=1.
√3
4c2 3c2
3
由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y= (x+c).
4
{
x2 y2
+ =1,
点P的坐标满足
4c2 3c2
消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x=c,x=-
13c
.
1 2
3 7
y= (x+c),
4
3 9
代入到l的方程,解得y= c,y=- c.
1 2
2 14
因为点P在x轴上方,所以P( 3 ).
c, c
2
由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).
3
t c
因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故 = 2 ,解得t=2.则C(4,2).
4
c+2c
|3 |
(4+c)-2
4
因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得 =2,可得c=2.
√ (3) 2
1+
4
x2 y2
所以,椭圆的方程为 + =1.
16 12
思路分析 (1)由已知条件,得a与b的比例关系,代入a2=b2+c2,得a与c的齐次关系,进而求得离心率.(2)设出
直线方程(含参数c),联立直线与椭圆方程(含参数c),得交点P的坐标(含参数c),由k =k ,求得C点坐标以
AP OC
及圆的半径r,最后由圆心到直线距离等于半径列出关于c的方程,求得c的值,最终确定椭圆方程.
x2 y2
4.(2018课标Ⅲ理,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C: + =1交于A,B两点,线段AB的中点为
4 3
M(1,m)(m>0).
1
(1)证明:k<- ;
2
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(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且⃗FP+⃗FA+⃗FB=0.证明:|⃗FA|,|⃗FP|,|⃗FB|成等差数列,并求该数列的公
差.
解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.
(1)证明:设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
则x2 +y2 =1,x2 +y2
=1.
1 1 2 2
4 3 4 3
两式相减,并由 y 1 - y 2=k得 x 1 +x 2 +y 1 + y 2 ·k=0.
x -x 4 3
1 2
x +x y + y
1 2 1 2
由题设知 =1, =m,
2 2
3
于是k=- .①
4m
3 1
由题设得0<m< ,故k<- .
2 2
(2)由题意得F(1,0).设P(x,y),则(x-1,y)+(x-1,y)+(x-1,y)=(0,0).
3 3 3 3 1 1 2 2
由(1)及题设得x=3-(x+x)=1,y=-(y+y)=-2m<0.
3 1 2 3 1 2
又点P在C上,
3
所以m= ,
4
从而P( 3),| |=3.
1,- ⃗FP
2 2
于是|⃗FA |=√(x -1) 2+ y2= √ (x -1) 2+3 ( 1- x 1 2 )=2- x 1.
1 1 1 4 2
x
同理,|⃗FB|=2- 2 .
2
1
所以|⃗FA|+|⃗FB|=4- (x+x)=3.
1 2
2
故2|⃗FP|=|⃗FA|+|⃗FB|,
即|⃗FA|,|⃗FP|,|⃗FB|成等差数列.
设该数列的公差为d,则
1 1
2|d|=||⃗FB|-|⃗FA||= |x-x|= √(x +x ) 2-4x x .②
2 1 2 2 1 2 1 2
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3
将m= 代入①得k=-1.
4
7 1
所以l的方程为y=-x+ ,代入C的方程,并整理得7x2-14x+ =0.
4 4
1 3√21
故x+x=2,xx= ,代入②解得|d|= .
1 2 1 2 28 28
3√21 3√21
所以该数列的公差为 或- .
28 28
思路分析 (1)利用“点差法”建立k与m的关系式,由m的范围得到k的范围.
(2)根据题设⃗FP+⃗FA+⃗FB=0及点P在C上,确定m的值.进一步得出|⃗FP|、|⃗FA|、|⃗FB|的关系,再求公差.
解后反思 (1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后利
用根与系数的关系建立方程(组),解决相关问题.
(2)题中涉及弦的中点坐标时,可以采用“点差法”求解,设出弦端点A、B的坐标,分别代入圆锥曲线方程并
作差,变形后可出现弦AB的中点坐标和直线AB的斜率.
5.(2018北京文,20,14分)已知椭圆M:x2 +y2 =1(a>b>0)的离心率为√6,焦距为2 .斜率为k的直线l与椭
√2
a2 b2 3
圆M有两个不同的交点A,B.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值;
(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q
( 7 1)共线,求k.
- ,
4 4
{a2=b2+c2,
c √6
解析 (1)由题意得 = ,
a 3
2c=2√2,
解得a=√3,b=1.
x2
所以椭圆M的方程为 +y2=1.
3
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
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{y=x+m,
由 x2
+ y2=1
3
得4x2+6mx+3m2-3=0.
3m 3m2-3
所以x+x=- ,xx= .
1 2 2 1 2 4
|AB|= =
√(x -x ) 2+(y - y ) 2 √2(x -x ) 2
2 1 2 1 2 1
= =√12-3m2.
√2[(x +x ) 2-4x x ]
1 2 1 2 2
当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为√6.
(3)设A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
由题意得 x2 +3 y2 =3, x2 +3 y2 =3.
1 1 2 2
y
直线PA的方程为y= 1 (x+2).
x +2
1
{ y
y= 1 (x+2),
由 x +2
1
x2+3 y2=3,
得[(x
1
+2)2+3
y2
]x2+12
y2
x+12
y2
-3(x
1
+2)2=0.
1 1 1
设C(x ,y ).
C C
-12y2 4x2-12
所以x C +x 1 = 1 = 1 .
(x +2) 2+3 y2 4x +7
1 1 1
4x2-12 -12-7x
所以x C = 1 -x 1 = 1.
4x +7 4x +7
1 1
y y
所以y C = 1 (x C +2)= 1 .
x +2 4x +7
1 1
设D(x ,y ).
D D
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-12-7x y
同理得x D = 2,y D = 2 .
4x +7 4x +7
2 2
记直线CQ,DQ的斜率分别为k ,k ,
CQ DQ
y 1 y 1
1 - 2 -
4x +7 4 4x +7 4
则k CQ -k DQ = 1 - 2 =4(y 1 -y 2 -x 1 +x 2 ).
-12-7x 7 -12-7x 7
1 + 2 +
4x +7 4 4x +7 4
1 2
因为C,D,Q三点共线,
所以k -k =0.
CQ DQ
故y-y=x-x.
1 2 1 2
y - y
所以直线l的斜率k= 1 2=1.
x -x
1 2
6.(2018天津理,19,14分)设椭圆x2 +y2 =1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√5,点A
a2 b2 3
的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6√2.
(1)求椭圆的方程;
|AQ| 5√2
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若 = sin∠AOQ(O
|PQ| 4
为原点),求k的值.
解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线
的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2 =5,
a2 9
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=√2b,
由|FB|·|AB|=6√2,可得ab=6,从而a=3,b=2.
x2 y2
所以,椭圆的方程为 + =1.
9 4
(2)设点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x,y).
1 1 2 2
由已知有y>y>0,故|PQ|sin∠AOQ=y-y.
1 2 1 2
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y π
又因为|AQ|= 2 ,而∠OAB= ,故|AQ|=√2y.
sin∠OAB 4 2
|AQ| 5√2
由 = sin∠AOQ,可得5y=9y.
|PQ| 4 1 2
{
y=kx,
6k
由方程组 x2 y2 消去x,可得y 1 = .
+ =1, √9k2+4
9 4
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
{ y=kx, 2k
由方程组 消去x,可得y= .
x+ y-2=0, 2 k+1
由5y=9y,可得5(k+1)=3 ,两边平方,
1 2 √9k2+4
1 11
整理得56k2-50k+11=0,解得k= ,或k= .
2 28
1 11
所以,k的值为 或 .
2 28
|AQ| 5√2
解题关键 利用平面几何知识将 = sin∠AOQ转化为点P、Q坐标间的关系是解决第(2)问的关
|PQ| 4
键.
方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法
(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;
(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;②根据焦点的位置
设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-b2的应用;④解方程组,求得
a、b的值,从而得出椭圆的方程.
7.(2017天津文,20,14分)已知椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA
a2 b2
b2
的面积为 .
2
(1)求椭圆的离心率;
3
(2)设点Q在线段AE上,|FQ|= c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线
2
QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.
(i)求直线FP的斜率;
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(ii)求椭圆的方程.
解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的
性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力.
1 b2
(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c= .
2 2
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.
1 1
又因为0<e<1,解得e= .所以,椭圆的离心率为 .
2 2
1
(2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为 .
m
x y (2m-2)c
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为 + =1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=
2c c m+2
,y= 3c ,即点Q的坐标为((2m-2)c 3c ).由已知|FQ|=3c,有[(2m-2)c ] 2 +( 3c ) 2 =
, +c
m+2 m+2 m+2 2 m+2 m+2
(3c) 2 ,整理得3m2-4m=0,所以m=4,即直线FP的斜率为3.
2 3 4
(ii)由a=2c,可得b= c,故椭圆方程可以表示为
x2
+
y2
=1.
√3
4c2 3c2
{3x-4 y+3c=0,
由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 x2 y2 消去y,
+ =1,
4c2 3c2
整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=- 13c (舍去),或x=c.因此可得点P( c, 3c),进而可得|FP|=√ (c+c) 2+ (3c) 2 = 5c ,所以|PQ|=|
7 2 2 2
5c 3c
FP|-|FQ|= - =c.
2 2
由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.
第 17 页 共 26 页第 17 页 共 26 页
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3c 3 9c 1 27c2
因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN= × = ,所以△FQN的面积为 |FQ||QN|= ,同理△FPM的
2 4 8 2 32
75c2 75c2 27c2
面积等于 ,由四边形PQNM的面积为3c,得 - =3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
32 32 32
x2 y2
所以,椭圆的方程为 + =1.
16 12
方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定义求解;(2)构造a,c的齐次式,利用方程思想求出离心
率e的值.
y - y
2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k= 1 2(x 1 ≠x 2 ),其中两点坐标分别为(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 );(2)利用导数的几
x -x
1 2
n
何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k= (m≠0);(4)点差法.
m
3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.
x2 y2
8.(2016课标Ⅱ文,21,12分)已知A是椭圆E: + =1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N
4 3
在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,证明:√3<k<2.
解析 (1)设M(x,y),则由题意知y>0.
1 1 1
π
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 .
4
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)
x2 y2
将x=y-2代入 + =1得7y2-12y=0.
4 3
12 12
解得y=0或y= ,所以y= .
1
7 7
1 12 12 144
因此△AMN的面积S =2× × × = .(4分)
△AMN
2 7 7 49
x2 y2
(2)将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入 + =1得
4 3
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
由x·(-2)=16k2-12得x=2(3-4k2
),
1 1
3+4k2 3+4k2
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故|AM|=|x+2|
=12√1+k2
.
1 √1+k2
3+4k2
1
由题设,直线AN的方程为y=- (x+2),
k
故同理可得|AN|=12k√1+k2
.(7分)
3k2+4
2 k
由2|AM|=|AN|得 = ,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)
3+4k2 3k2+4
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.
又f(√3)=15√3-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(√3,2)内,所以√3<k<2.(12
分)
评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了设而不求,整体运算的技巧,考查了函数的思想方法,属难题.
9.(2016四川理,20,13分)已知椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个
a2 b2
顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使
得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
解析 (1)由已知,a=√2b,
则椭圆E的方程为
x2 +y2
=1.
2b2 b2
{
x2 y2
+ =1,
由方程组 得3x2-12x+(18-2b2)=0.①
2b2 b2
y=-x+3,
方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,
此时方程①的解为x=2,
x2 y2
所以椭圆E的方程为 + =1.
6 3
点T坐标为(2,1).
1
(2)由已知可设直线l'的方程为y= x+m(m≠0),
2
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2m
{ 1 {x=2- ,
由方程组 y= x+m,可得 3
2
2m
y=-x+3, y=1+ .
3
所以P点坐标为( 2m 2m),|PT|2=8m2.
2- ,1+
3 3 9
设点A,B的坐标分别为A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
{x2 y2
+ =1,
由方程组 6 3 可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②
1
y= x+m,
2
方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),
3√2 3√2
由Δ>0,解得- <m< .
2 2
由②得x 1 +x 2 =- 4m ,x 1 x 2 =4m2-12.所以|PA|=√ ( 2- 2m -x ) 2 + ( 1+ 2m - y ) 2 = √5| 2- 2m -x |
3 3 3 1 3 1 2 3 1
,
同理|PB|=√5| 2m |.
2- -x
2 3 2
所以|PA|·|PB|= 5|( 2- 2m -x )( 2- 2m -x )|
4 3 1 3 2
=5| ( 2m) 2 ( 2m) |
2- - 2- (x +x )+x x
4 3 3 1 2 1 2
=5| ( 2m) 2 ( 2m)( 4m) 4m2-12| =10m2.
2- - 2- - +
4 3 3 3 3 9
4
故存在常数λ= ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
5
评析 本题考查了直线与圆锥曲线相交的问题,这类题中常用的方法是方程法,并结合根与系数的关系,两点
间距离公式,难点是运算量比较大,注意运算技巧.
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10.(2016天津文,19,14分)设椭圆x2 +y2 =1(a> )的右焦点为F,右顶点为A.已知 1 + 1 =
√3
a2 3 |OF| |OA|
3e
,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
|FA|
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若
BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
1 1 3e 1 1 3c
解析 (1)设F(c,0),由 + = ,即 + = ,可得a2-c2=3c2,
|OF| |OA| |FA| c a a(a-c)
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
x2 y2
所以,椭圆的方程为 + =1.
4 3
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-2).
{x2 y2
+ =1,
设B(x ,y ),由方程组 消去y,
B B 4 3
y=k(x-2)
整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=8k2-6,由题意得x =8k2-6,从而y
=
-12k
.
B B
4k2+3 4k2+3 4k2+3
由(1)知,F(1,0),设H(0,y
H
),有
⃗FH
=(-1,y
H
),
⃗BF
=(9-4k2
,
12k ).
4k2+3 4k2+3
由BF⊥HF,得
⃗BF
·
⃗FH
=0,所以4k2-9+ 12k y
H=0,解得y
H
=9-4k2
.
4k2+3 4k2+3 12k
1 9-4k2
因此直线MH的方程为y=- x+ .
k 12k
{
y=k(x-2),
设M(x
M
,y
M
),由方程组
1
9-4k2消去y,
y=- x+
k 12k
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解得x =
20k2+9
.
M
12(k2+1)
在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M -2)2+ y2 = x2 + y2 ,化简得x M =1,即
20k2+9
=1,解得k=-
M M M 12(k2+1)
√6 √6
,或k= .
4 4
√6 √6
所以,直线l的斜率为- 或 .
4 4
评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性
质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.
11.(2015福建理,18,13分)已知椭圆E:x2 +y2 =1(a>b>0)过点(0, ),且离心率e=√2.
√2
a2 b2 2
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G( 9 )与以线段AB为直径的圆的位置关系,并
- ,0
4
说明理由.
{
b=√2,
{a=2,
c √2
解析 解法一:(1)由已知得 = , 解得 b=√2,
a 2
c=√2.
a2=b2+c2.
x2 y2
所以椭圆E的方程为 + =1.
4 2
(2)设点A(x,y),B(x,y),AB的中点为H(x,y).
1 1 2 2 0 0
{x=my-1,
由 x2 y2 得(m2+2)y2-2my-3=0,
+ =1
4 2
第 22 页 共 26 页第 22 页 共 26 页
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2m 3 m
所以y+y= ,yy=- ,从而y= .
1 2 m2+2 1 2 m2+2 0 m2+2
所以|GH|2=(
x +
9) 2 +
y2
=(
m y +
5) 2 +
y2
=(m2+1)
y2
+5my
0
+25.
0 4 0 0 4 0 0 2 16
|AB|2=(x -x ) 2+(y - y ) 2 =(1+m2 )(y - y ) 2
1 2 1 2 1 2
4 4 4
=(1+m2 )[(y + y ) 2-4 y y ]=(1+m2)( -yy),
1 2 1 2 y2 1 2
4 0
故|GH|2-|AB|2 =5my+(1+m2)yy+25= 5m2 -3(1+m2 )+25= 17m2+2 >0,所以|GH|>
0 1 2
4 2 16 2(m2+2) m2+2 16 16(m2+2)
|AB|
.
2
故点G( 9 )在以AB为直径的圆外.
- ,0
4
解法二:(1)同解法一.
(2)设点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
⃗GA
=(
x +
9
,y
),
1 4 1
=( 9 ).
⃗GB x + ,y
2 4 2
{x=my-1,
由 x2 y2 得(m2+2)y2-2my-3=0,
+ =1
4 2
2m 3
所以y+y= ,yy=- ,
1 2 m2+2 1 2 m2+2
从而
⃗GA
·
⃗GB
=(
x +
9)(
x +
9)+y
1
y
2
=(
m y +
5)(
m y +
5)+y
1
y
2
=(m2+1)y
1
y
2
+5m(y
1
+y
2
)+25=
1 4 2 4 1 4 2 4 4 16
5
-3(m2+1) m2 25 17m2+2
+ 2 + = >0,
m2+2 16 16(m2+2)
m2+2
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北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
所以cos<⃗GA,⃗GB>>0.又⃗GA,⃗GB不共线,所以∠AGB为锐角.
故点G( 9 )在以AB为直径的圆外.
- ,0
4
评析 本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,
考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.
12.(2015安徽理,20,13分)设椭圆E的方程为x2 +y2
=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的
a2 b2
√5
坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 .
10
(1)求E的离心率e;
7
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ,求E的方程.
2
解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为(2 1 ),
a, b
3 3
√5 b √5
又k = ,从而 = .
OM 10 2a 10
c 2√5
进而得a=√5b,c=√a2-b2=2b.故e= = .
a 5
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为 x +y=1,点N的坐标为(√5 1 ).
b,- b
√5b b 2 2
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为( 7),则线段NS的中点T的坐标为
x ,
1 2
√5 x 1 7
{ b+ 1 - b+
4 2 4 4
+ =1,
√5b b
(√5 x 1 7)
b+ 1,- b+ .又点T在直线AB上,且k NS ·k AB =-1,从而有 7 1
4 2 4 4 + b
2 2
=√5,
√5
x - b
1 2
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解得b=3.
x2 y2
所以a=3√5,故椭圆E的方程为 + =1.
45 9
评析 本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称问题,考查利用
待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.
13.(2014课标Ⅰ理,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:x2 +y2 =1(a>b>0)的离心率为√3,F是椭圆E的右焦点,
a2 b2 2
2√3
直线AF的斜率为 ,O为坐标原点.
3
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
2 2√3
解析 (1)设F(c,0),由条件知, = ,得c=√3.
c 3
c √3
又 = ,所以a=2,b2=a2-c2=1.
a 2
x2
故E的方程为 +y2=1.
4
(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x,y),Q(x,y).
1 1 2 2
x2
将y=kx-2代入 +y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
4
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>3时,x =8k±2√4k2-3.
1,2
4 4k2+1
从而|PQ|=
|x-x|=4√k2+1·√4k2-3.
√k2+1 1 2
4k2+1
2
又点O到直线PQ的距离d= ,
√k2+1
所以△OPQ的面积
S
=1d·|PQ|=4√4k2-3.
△OPQ
2 4k2+1
4
4t
设√4k2-3=t,则t>0,S
△OPQ
=
t2+4
=
t+
4.
t
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4 √7
因为t+ ≥4,当且仅当t=2,即k=± 时等号成立,且满足Δ>0,
t 2
√7 √7
所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y= x-2或y=- x-2.
2 2
评析 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线的方程以及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查
用代数方法研究圆锥曲线综合问题,考查方程思想、函数思想、整体代换以及换元法的应用.考查学生的逻
辑推理能力和运算求解能力.
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