北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.5 圆锥曲线的综合问题
应用创新题组
1.(2022届河北衡水模拟,14 科技发展)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举
世瞩目.2019年,“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点被命名为天
河基地,
如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图,圆形轨道距月球表面100千米,椭圆形轨道的一个焦点是月球球心,一
个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表面15千米,则椭圆形轨道的焦距为
千米.
答案 85
{a+c=100+r,
解析 设椭圆的长半轴长为a千米,半焦距为c千米,月球半径为r千米,由题意可得 解得
a-c=15+r,
2c=85,即椭圆形轨道的焦距为85千米.
2.(2021皖北协作体4月联考,14 科技发展)“天问一号”推开了我国行星探测的大门,通过一次发射,将实现
火星环绕、着陆、巡视,是世界首创,也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日,天问一号探测
器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,天问一
号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”,同时将近火点高度
调整至约265千米.若此时远火点距离约为11 945千米,火星半径约为3 400千米,则调整后“天问一号”的
运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为 .(精确到0.1)
答案 0.6
解析
设椭圆的方程为x2 +y2
=1(a>b>0),由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c,最大
a2 b2
值为a+c,根据题意可得近火点满足a-c=3 400+265=3 665,远火点满足a+c=3 400+11 945=15 345,解得a=9
c 5 840
505,c=5 840,所以椭圆的离心率为e= = ≈0.6.
a 9 505
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√3
3.(2022届广西玉林一模,20改编 题型创新)①双曲线C的渐近线方程为y=± x,左焦点为F
1
(-2,0);②双
3
曲线C的实轴长为2 ,点P为双曲线C右支上一点,F,F 分别为左、右焦点,且 · 的最小值为-1,
√3 1 2 ⃗PF ⃗PF
1 2
在上面两个条件中任选一个,补充在下面横线中,再进行求解.
已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F.
1 2
a2 b2
(1)求双曲线C满足条件 时的标准方程;
(2)过点Q(2,0)作直线l与(1)中所求的双曲线C右支交于A,B两点,若⃗AQ=2⃗QB,求直线l的方程.
解析 (1)若选条件①,
c=2,
{
由已知得
b
=
√3
,
解得{a=√3,
a 3 b=1.
c2=a2+b2,
x2
∴双曲线C的标准方程为 -y2=1.
3
若选条件②,由题意可得,2a=2√3,则a=√3,
PF
→
1
·
PF
→
2
=(
P
→
O
+
OF
→
1
)·(
P
→
O
+
OF
→
2
)=
P
→
O2
-c2≥a2-c2=3-c2,∵⃗PF
1
·⃗PF
2
的最小值为-1,∴3-c2=-1,即c2=4,
∴b2=c2-a2=4-3=1,
x2
∴双曲线C的标准方程为 -y2=1.
3
(2)设直线l的方程为x-2=my,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),∵⃗AQ=2⃗QB,∴y
1
=-2y 2①,
{x-2=my,
由 x2 化简整理,可得(m2-3)y2+4my+1=0,
- y2=1
3
-4m 1
则y
1
+y
2
=
m2-3
②,y
1
y
2
=
m2-3
③,
1
由①②③得m=± ,检验得Δ>0,∴直线l的方程为y=±√11(x-2).
√11
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