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A
版
高
考
数
学
／
１１６
９．５ 圆锥曲线的综合问题
§
积的最值以及与之相关的一些问题 二是求直线或圆锥曲线中
；
几何元素的最值 以及当这些元素存在最值时 求解与之有关的
， ，
一些问题．
考点一 曲线与方程
对于最值问题 一般可以用数形结合的方法或转化为函数
，
１．“曲线的方程”与“方程的曲线” 的最值问题加以解决 解决最值范围问题时 应重视曲线的定
； ，
在直角坐标系中 如果某曲线 看作适合某种条件的点的集 义 曲线的几何特征 方程的代数特征在解题中的作用．
， （ 、 、
合或轨迹 上的点与一个二元方程ｆ ｘ ｙ 的实数解建立了如 知识拓展 １．圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法
） （ ， ）＝０
下的关系
： 求解有关圆锥曲线的最值 参数范围的问题 一是注意题目
曲线上的点的坐标都是这个方程的解 、 ：
（１） ； 中的几何特征 充分考虑图形的性质 二是运用函数思想 建立
以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这 ， ； ，
（２） ， ， 目标函数 求解最值．在利用代数法解决最值和范围问题时常从
个方程叫做 曲线的方程 这条曲线叫做 方程的曲线 ． ，
① ， ② 五个方面考虑
事实上 曲线可以看作一个点集Ｃ 以二元方程的解作为坐标 ：
， ， 利用判别式来构造不等关系 从而确定参数的取值
{条件 Ｃ Ｆ （１） ，
的点也组成一个点集Ｆ．上述定义中 （１）⇔ ⊆ ， Ｃ Ｆ． 范围
， 条件 Ｆ Ｃ ⇔ ＝ ；
（２）⇔ ⊆ 利用已知参数的范围 求新参数的范围 解这类问题的
２．求动点的轨迹方程的步骤 （２） ， ，
核心是两个参数之间建立等量关系
建系 建立适当的坐标系 ；
（１） ——— ； 利用隐含的不等关系建立不等式 从而求出参数的取值
设点 设轨迹上的任一点Ｐ ｘ ｙ （３） ，
（２） ——— （ ， ）； 范围
列式 列出动点Ｐ的坐标所满足的关系式 ；
（３） ——— ； 利用已知的不等关系构造不等式 从而求出参数的取值
代换 依条件的特点 选用距离公式 斜率公式等将 （４） ，
（４） ——— ， 、 范围
其转化为关于ｘ ｙ的方程式 并化简 ；
、 ， ； 利用求函数值域的方法 确定参数的取值范围．
证明 证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程． （５） ，
（５） ——— ２．求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点
：
圆锥曲线上本身存在最值问题 如 椭圆上两点间的
考点二 定点与定值问题 （１） ， （ｉ）
最大距离为 ａ 长轴长 双曲线上两点间的最小距离为 ａ
１．定点问题 ２ （ ）；（ｉｉ） ２
实轴长 椭圆的焦半径的取值范围为 ａ ｃ ａ ｃ ａ ｃ与
定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程 选取合适 （ ）；（ｉｉｉ） ［ － ， ＋ ］， －
， ａ ｃ分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最短与最长距离 抛物
的坐标 可通过取参数的不同特殊值及对应的方程组的根的求 ＋ ；（ｉｖ）
（ 线的顶点与抛物线的准线距离最近．
解来完成 即可说明此坐标适合该曲线方程且与参数无关．
）， 由直线 系 和圆锥曲线 系 的位置关系 求直线中或
２．定值问题 （２） （ ） （ ） ，
圆锥曲线中某个参数 系数 的范围 解决方法是把所求参数转
定值问题的求解 可先考虑能否用特殊点或特殊值求出 （ ） ，
（１） ： 化为关于另一变元的函数求解．
定值 再推广到一般结论．
，
定值问题的证明 可运用函数的思想方法来解决．一般 考点四 存在性问题
（２） ：
步骤如下 选择适当的变量 把要证明的是定值的量表示
：（ｉ） ；（ｉｉ） １．存在性问题一般分为探究条件 探究结论两种．若探究条
成上述变量的函数 把是定值的量化成与变量无关的形式 、
；（ｉｉｉ） ， 件 则可先假设条件成立 再验证结论是否成立 成立则存在 否
从而证明是定值． ， ， ， ，
则不存在 若探究结论 则应先求出结论的表达式 再针对其表
； ， ，
达式进行讨论 往往涉及对参数的讨论．
考点三 最值与范围问题 ，
２．反证法与验证法是求解存在性问题的常用方法．
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类 一是涉及距离 面
： 、
离与到直线ｌ的距离之比为 ２． 已知点Ｈ Ｇ是圆Ｅ
② （－ ３，０）， ：
２
ｘ２ ｙ２ ｘ 上一个动点 线段ＨＧ的垂直平分线交ＧＥ于
考法一 有关轨迹方程问题的求法 ＋ －２ ３ －２１＝０ ，
Ｐ． 点Ｓ Ｔ分别在ｘ轴 ｙ轴上运动 且 ＳＴ 动点Ｐ满足Ｏ→Ｐ
例１ （２０２０山东滨州三模，２１）在平面直角坐标系ｘＯｙ ③ ， ， ， ｜ ｜＝３，
中 ，① 已知点Ｑ （ ３，０）， 直线ｌ ： ｘ ＝２ ３， 动点Ｐ满足到点Ｑ的距 ＝ ６Ｏ→Ｓ ＋ ３Ｏ→Ｔ．
３ ３
从 这三个条件中任选一个 求动点Ｐ的轨迹Ｃ
（１） ①，②，③ ，
专
题
九 平
面
解
析
几 何
／ １１７
的方程 所以以ＭＮ为直径的圆过原点（ ， ）．
； ０ ０
注 如果选择多个条件分别解答 那么按第一个解答计分 综上所述，以ＭＮ为直径的圆过定点（ ， ）．
（ ： ， ） ０ ０
设圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 上任意一点Ａ处的切线交轨迹 Ｃ 于 方法总结 求动点轨迹方程常用的方法
（２） ： ＋ ＝２
Ｍ Ｎ两点 试判断以ＭＮ为直径的圆是否过定点 若过定点 求 直接法 定义法 几何法 相关点法 代入法 参
， ， ？ ，
① ；② ；③ ；④ （ ）；⑤
出该定点坐标 若不过定点 请说明理由．
数法 交轨法．其中 统称为间接法 体现了一种转化思
； ，
；⑥ ④⑤⑥ ，
解析 （ ）若选 ，设Ｐ（ｘ，ｙ），根据题意得，
（ｘ
－ ３
）２
＋
ｙ２ 想
，
若解题过程中引入了ｎ个参数
，
则只需建立
（
ｎ
－１）
个方程．在
１ ① ｘ 探求轨迹方程的过程中 需要注意的是轨迹方程的 完备性 和
｜ －２ ３｜ ， “ ”
纯粹性 因此 在求得轨迹方程之后 要深入地思考一下 是否
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ “ ”， ， ， ：
２，整理得 ．所以动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程为
还遗漏了一些点 是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在 在
＝ ＋ ＝１ ＋
； ；
２ ６ ３ ６ ３
所求得的轨迹方程中 ｘ ｙ的取值范围是否有限制．
． ， ，
＝１
经典例题教师用书
若选 ，连接ＰＨ，由Ｅ：ｘ２ ｙ２ ｘ 得（ｘ ）２ ｙ２
② ＋ －２ ３ －２１＝０ － ３ ＋ 例 已知动圆Ｍ和定圆Ｃ ｘ２ ｙ ２ 相内切 并且外切于
， １： ＋（ －３） ＝６４ ，
＝２４ 由题意得 ｜ ＰＨ ｜ ＝｜ ＰＧ ｜ ，所以 ｜ ＰＨ ｜＋｜ ＰＥ ｜ ＝｜ ＰＧ ｜＋｜ ＰＥ ｜ ＝ 定圆 解 Ｃ ２ 析 ： ｘ２ ＋ 设 （ ｙ 动 ＋３ 圆 ） ２ Ｍ ＝４ 的 ， 则 半 动 径 圆 为 圆 ｒ， 心 圆心 Ｍ 为 的轨 Ｍ（ 迹 ｘ， 方 ｙ） 程 ， 为 ．
ＥＧ ＨＥ ，
｜ ｜＝２ ６＞｜ ｜＝２ ３ 由题意知两定圆圆心Ｃ（ ， ），Ｃ（ ， ），半径ｒ ，ｒ ．
所以点Ｐ的轨迹Ｃ是以Ｈ，Ｅ为焦点的椭圆，且ａ ，ｃ １ ０ ３ ２ ０ －３ １＝８ ２＝２
＝ ６ ＝ 则 ＭＣ ｒ， ＭＣ ｒ ．
，故ｂ ． ｜ １｜＝８－ ｜ ２｜＝ ＋２
３ ＝ ３ 故 ＭＣ ＭＣ （ ｒ） （ｒ ） ．
所以动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程为
ｘ２ ｙ２
． 又
｜
Ｃ Ｃ
１｜＋｜
，则
２｜
动
＝
圆
８
圆
－
心
＋
Ｍ
＋
的
２
轨
＝
迹
１
是
０
椭圆，
＋ ＝１ ｜ １ ２｜＝６
６ ３ ｙ２ ｘ２
若选
③
，设Ｐ（ｘ，ｙ），Ｓ（ｘ′，
０
），Ｔ（
０
，ｙ′），故ｘ′２
＋
ｙ′２
＝９
，（
∗
） 设其方程为
ａ２ ＋ｂ２ ＝１
（ａ
＞
ｂ
＞０
），
因为Ｏ→Ｐ
＝
６→ＯＳ
＋
３Ｏ→Ｔ， 椭圆焦点为Ｃ
１
（
０
，
３
），Ｃ
２
（
０
，
－３
），
２
ａ
＝１０
，则ａ
＝５
，ｃ
＝３
，
３ ３ 所以ｂ２ ａ２ ｃ２ ．
ì ＝ － ＝２５－９＝１６
所以í ï ï ï ïｙ ｘ ＝ ３ ３ ６ｘ ｙ ′ ′ ， ， 即 { ｘ ｙ ′ ′ ＝ ２ ６ ｙ ｘ ， ， 将其代入（ ∗ ）得 ｘ ６ ２ ＋ ｙ ３ ２ ＝１ ， 答 所 案 以动圆 ｙ２ 圆 ｘ 心 ２ Ｍ的轨迹方程是 ２ ｙ ５ ２ ＋ １ ｘ ６ ２ ＝１ ．
î ＝ ＝ ３ ＋ ＝１
３ ２５ １６
ｘ２ ｙ２
所以动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程为 ．
＋ ＝１ 考法二 圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法
６ ３
（ ）当过点Ａ且与圆Ｏ相切的切线斜率不存在时，切线方程 例２ （２０２０山东济南６月模拟，２１）已知平面上一动点
２
为ｘ ，ｘ ． Ａ的坐标为 ｔ２ ｔ ．
＝ ２ ＝－ ２ （２ ，－２）
当切线方程为ｘ 时，Ｍ（ ， ），Ｎ（ ， ）． 求点Ａ的轨迹Ｅ的方程
＝ ２ ２ ２ ２ － ２ （１） ；
所以以ＭＮ为直径的圆的方程为（ｘ ）２ ｙ２ ． 点Ｂ在轨迹Ｅ上 且纵坐标为 ２ ．
－ ２ ＋ ＝２① （２） ， ｔ
当切线方程为ｘ 时，Ｍ（ ， ），Ｎ（ ， ），
＝－ ２ － ２ ２ － ２ － ２ 证明直线ＡＢ过定点 并求出定点坐标
所以以ＭＮ为直径的圆的方程为（ｘ
＋ ２
）２
＋
ｙ２
＝２
．
②
（ｉ）
分别以Ａ Ｂ为圆心作
，
与直线ｘ 相
；
切的圆 两圆公共
联立 ，可解得交点为（ ， ）． （ｉｉ） ， ＝－２ ，
①② ０ ０ 弦的中点为Ｈ 在平面内是否存在定点Ｐ 使得 ＰＨ 为定值 若
当过点Ａ且与圆Ｏ相切的切线斜率存在时，设切线方程为ｙ ， ， ｜ ｜ ？
存在 求出点Ｐ坐标 若不存在 请说明理由．
， ； ，
ｍ
ｋｘ ｍ，则 ｜ ｜ ，故ｍ２ （ｋ２ ）． 解析 （ ）设动点Ａ的坐标为（ｘ，ｙ），
＝ ＋ ｋ２
＋１
＝ ２ ＝２ ＋１
因为 Ａ的
１
坐标为（ ｔ２， ｔ），
{ｙ ｋｘ ｍ， ２ －２
＝ ＋ {ｘ ｔ２，
联立切线与椭圆Ｃ的方程得 ｘ２ ｙ２
，
消去ｙ，得（
１＋２
ｋ２） 所以
ｙ
＝２
ｔ，
消去参数ｔ得ｙ２
＝２
ｘ．
＋ ＝１ ＝－２
６ ３
·ｘ２
＋４
ｋｍｘ
＋２
ｍ２
－６＝０
． （
２
）（
ｉ
）因为点Ｂ在轨迹Ｅ上，且纵坐标为 ２
ｔ
，
因为Δ
＝１６
ｋ２ｍ２
－４
（
１＋２
ｋ２）（
２
ｍ２
－６
）
＝－８
（ｍ２
－６
ｋ２
－３
）
＝－８ æ ö
（ ２ ｋ２ ＋２－６ ｋ２ －３ ） ＝８ （ ４ ｋ２ ＋１ ） ＞０ ， 所以点Ｂ的坐标为 è ç ｔ ２ ２ ，２ ｔ ø ÷，
所以切线与椭圆Ｃ恒有两个交点．
当ｔ 时，直线ＡＢ的方程为ｘ ；
设Ｍ（ｘ ，ｙ ），Ｎ（ｘ ，ｙ ）， ＝±１ ＝２
则ｘ １＋ ｘ １ ２＝－ １
１
４
＋
ｋ
２
ｍ ｋ２ ， ２ ｘ １ ｘ ２ ２＝ ２
１
ｍ
＋
２
２
－ ｋ２ ６， 当ｔ ≠±１ 时，直线ＡＢ的斜率为ｋ
ｔ
ＡＢ＝ ｙ ｘ Ｂ Ｂ － － ｙ ｘ Ａ Ａ ＝ １－ ｔ ｔ２ ，
ｔ
所以直线ＡＢ的方程为ｙ ｔ （ｘ ｔ２），整理得ｙ 因为Ｏ→Ｍ
＝
（ｘ
１
，ｙ
１
），Ｏ→Ｎ
＝
（ｘ
２
，ｙ
２
）， ＋２ ＝
１－
ｔ２ －２ ＝
１－
ｔ２
＝
所
（
以
１＋
Ｏ→
ｋ
Ｍ
２
·
）ｘ
Ｏ→
１ ｘ
Ｎ
２
＝
＋
ｘ
ｋ
１
ｍ
ｘ
２
（
＋
ｘ
ｙ
１
１
＋
ｙ
２
ｘ
＝
２ ）
ｘ
１
＋
ｘ
ｍ
２＋
２
（
＝
ｋｘ
（
１
１
＋
＋
ｍ
ｋ
）
２
（
）
ｋ
·
ｘ
２＋
２
１
ｍ
ｍ
＋
）
２
２
－ ｋ ６ ２ ＋ ｋｍ·
·（ｘ
（
所
－
ｉ
２
ｉ 以
）
）
因
，
圆
所
为
Ａ
以
Ａ
的
直
的
方
线
坐
程
Ａ
标
为
Ｂ
为
过
（ｘ
（
定
－ ２ ｘ
ｔ
点
Ａ
２，
）
（
－ ２
２
＋ ２
，
（
ｔ ０ ）
ｙ
）
，
－
．
且
ｙ Ａ
圆
）２ ＝
Ａ
（
与
ｘ Ａ
直
＋２
线
）２
ｘ
， ＝－２
相切，
１
－
＋
４
２
ｋ
ｋ
ｍ
２ ＋
ｍ２
＝
３ ｍ
１
２
＋
－
２
６
ｋ
－
２
６ ｋ２
＝
３×２ （ｋ
１
２ ＋
＋
１
２
）
ｋ２
－６－６ ｋ２
＝０
．所以ＯＭ
⊥
ＯＮ． 同
两
理
圆
，
方
圆
程
Ｂ
相
的
减
方
得
程
２
为
（ｘ
（
Ｂ
ｘ
－
－
ｘ
ｘ
Ａ ）
Ｂ ）
ｘ
２
＋
＋
２
（
（
ｙ
ｙ
－
Ｂ
ｙ
－
Ｂ
ｙ
）
Ａ ）
２ ＝
ｙ ＋
（
ｙ
ｘ
２Ａ
Ｂ
－
＋
ｙ
２
２Ｂ
）
＝
２，
４ ｘ Ａ－４ ｘ Ｂ ，
A
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考
数
学
／ １１８
æ ö ( ) 所以直线ｌ 与椭圆两交点所连线段的中点Ｍ的纵坐标ｙ
将Ａ（ ｔ２， ｔ），Ｂç ２ ，２ ÷代入并整理得 ｙ ｔ １ （ｘ １ Ｍ
２ －２ èｔ２ ｔ ø ＝ － ｔ ＋ ｙ ｙ ｍ
１＋ ２ ２ ，
１
）
①
， ＝
２
＝－ｍ２
＋２
ｔ 同理，直线ｌ 与椭圆两交点所连线段的中点Ｎ的纵坐标ｙ
由（
ｉ
）可知直线ＡＢ的方程为ｙ
＝ ｔ２
（ｘ
－２
）
②
，
２
Ｎ
１－ ２
因为Ｈ是两条直线的交点，所以两个方程相乘得ｙ２ （ｘ －ｍ ｍ
＝－ － ２ ，
）（ｘ ）， ＝－ ＝ ｍ２
２ ＋１ １ ２ ＋１
( )
２
ｍ２ ＋２
整理得 ｘ １ ｙ２ ９ ，
－ ＋ ＝
即点Ｈ的轨
２
迹是以 ( １
４
， ) 为圆心，３ 为半径的圆，
所以Ｓ
△ ＭＮＦ ２ ＝ ２
１
｜
ＭＦ
２｜｜
ＮＦ
２｜＝ ２
１
１＋
ｍ２·
１＋ｍ
１
２ ｜
ｙ
Ｍ｜
·
所以存在点Ｐ ( １ ， ) ２ ，满 ０ 足 ＨＰ ３ ２ ． ｜ ｙ Ｎ｜＝ ２ ２ ｍ ｍ ４ （ ＋ １ ５ ＋ ｍ ｍ ２ ２ ＋ ） ２ ＝ ２ （ ２ ｍ ｍ ２ （ ＋ １ １ ＋ ） ｍ ２ ２ ＋ ） ｍ２ ，将上式分子、分母同除
２
０ ｜ ｜＝
２
以ｍ（
１＋
ｍ２）可得，
方法总结 求解定点 定值问题的常用方法 直接推
、 ：（１） ２
理
、
计
从
算
特 ， 殊
并
情
在
况
计
入
算
手
的
求
过
出
程
定
中
点
消
或
去
定
变
值
量
， 再
从
证
而
明
得
定
到
点
定
或
点
定
或
值
定
与
值
变 ；
Ｓ
△ ＭＮＦ ２ ＝ ２
ｍ２
ｍ ＋１ ＋
ｍ
ｍ２
，
（２） ， ， １＋
量无关． ｍ２
不妨设ｍ ，令 ＋１ ｔ，ｔ ，则Ｓ ２ ，
经典例题教师用书 ＞０ ｍ ＝ ≥２ △ ＭＮＦ ２ ＝
ｔ １
２ ＋ ｔ
例 （２０１９云南昆明摸底，１１）设点Ｍ为抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的准
： ＝４
线上一点 不同于准线与ｘ轴的交点 过抛物线Ｃ的焦点Ｆ且 令ｆ（ｔ） ｔ １ ，则ｆ ′（ｔ） ２
ｔ２
－１，因为ｔ ，
垂直于ｘ轴
（
的直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两点
），
设ＭＡ ＭＦ ＭＢ的斜率分
＝２ ＋ ｔ ＝ ｔ２ ≥２
， ， ， ， 所以ｆ ′（ｔ） ，所以ｆ（ｔ）在［ ， ）上单调递增，
ｋ ｋ ＞０ ２ ＋∞
别为ｋ ｋ ｋ 则 １＋ ３的值为
１， ２， ３， ｋ （ ） 所以当ｔ 时， ＭＮＦ 的面积取得最大值，为 ２ ４ ．
２ ＝２ △ ２ ＝
１ ９
Ａ．２ Ｂ．２ ２ Ｃ．４ Ｄ．４ ２ ４＋
２
解析 不妨设点Ａ在ｘ轴的上方，由题意知抛物线Ｃ的准
方法总结 圆锥曲线中的最值 范围 问题的求解方法
（ ）
线方程为ｘ
＝－１
，焦点Ｆ（
１
，
０
）．将ｘ
＝１
代入抛物线Ｃ的方程，得 １．几何法
ｙ ＝±２ ，所以Ａ（ １ ， ２ ），Ｂ（ １ ， －２ ）．设点Ｍ的坐标为（ －１ ，ｙ ０ ）（ｙ ０≠ 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义 ， 则考虑
ｙ ｙ ｙ ｋ ｋ 利用图形性质来解决 找到取最值的特殊位置 此类方法 选择
），则ｋ ２－ ０，ｋ ０，ｋ －２－ ０，所以 １＋ ３ ．故选 ． ， ， ，
０ １＝ ２＝－ ３＝ ｋ ＝２ Ａ 题 填空题中常用到．
２ ２ ２ ２ 、
答案 Ａ ２．代数法
根据题目构建关于变量的等式或不等式 从而采用函数思
，
考法三 圆锥曲线中的最值（范围）问题的求解方法
想进行最值或范围的求解．利用代数法解决求参数范围的问题
，
例３ （２０２０山东威海三模，２１）已知Ｐ 是椭圆 考虑先建立目标函数 通常为二次函数 再求这个函数的最值．
（ ２， ３） （ ），
求函数最值常见的方法有配方法 判别式法 基本不等式法 单
Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 上一点 以点Ｐ及椭圆的左 右焦点Ｆ Ｆ 、 、 、
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， 、 １， ２ 调性法 、 导数法 、 三角换元法等．
经典例题教师用书
为顶点的三角形面积为 ．
２ ３
求椭圆Ｃ的标准方程 例 （２０２０豫北名校第二次联考，８）已知抛物线ｙ １ ｘ２ 与双
（１） ； ＝
过Ｆ 作斜率存在且互相垂直的直线ｌ ｌ Ｍ是ｌ 与Ｃ ８
（２） ２ １， ２， １ ｙ２
两交点所连线段的中点 Ｎ是ｌ 与Ｃ两交点所连线段的中点 求 曲线 ｘ２ ａ 有共同的焦点Ｆ Ｏ为坐标原点 点Ｐ在ｘ
， ２ ， ａ２ － ＝１（ ＞０） ， ，
ＭＮＦ 面积的最大值．
△ ２ 轴上方且在双曲线上 则Ｏ→Ｐ Ｆ→Ｐ的最小值为
， · （ ）
解析 （ ）由点Ｐ（ ， ）在椭圆上可得 ２ ３ ，
１ ２ ３ ａ２ ＋ｂ２ ＝１ ７ ３
Ａ．３－２ ３ Ｂ．２ ３－３ Ｃ．－ Ｄ．
整理得 ｂ２ ａ２ ａ２ｂ２ ． ４ ４
２ ＋３ ＝ ① 解析 抛物线的标准方程为 ｘ２ ｙ，焦点 Ｆ 的坐标为（ ，
＝８ ０
由Ｓ １ ｃ ，解得ｃ ，
△ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝ ２ ×２ × ３＝２ ３ ＝２ ），则双曲线 ｙ２ ｘ２ （ａ ）的半焦距ｃ ，由ｃ２ ａ２ ｂ２，ｂ２
所以ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂ２ ，代入 式整理得ｂ４ ｂ２ ， ２ ａ２ － ＝１ ＞０ ＝２ ＝ ＋ ＝１
＝ ＋ ＝ ＋４ ① － －１２＝０
解得ｂ２ ＝４ （ｂ２ ＝－３ 舍去），则ａ２ ＝８ ． 得ａ２ ，故双曲线的方程为 ｙ２ ｘ２ ．设Ｐ（ｍ，ｎ）（ｎ ），则 ＝３ － ＝１ ≥ ３
ｘ２ ｙ２ ３
所以椭圆的标准方程为 ．
８ ＋ ４ ＝１ ｍ２ ＝ １ ｎ２ －１ ，则Ｏ→Ｐ·Ｆ→Ｐ ＝ （ｍ，ｎ）·（ｍ，ｎ －２ ） ＝ ｍ２ ＋ ｎ２ －２ ｎ ＝ １ ｎ２
（ ）由（ ）可得Ｆ（ ， ），所以设直线ｌ ：ｘ ｍｙ ， ３ ３ ２ １ ２ ２ ０ １ ＝ ＋２ ( )
{ｘ
＝
ｍｙ
＋２
，
－１＋
ｎ２
－２
ｎ
＝
４ ｎ２
－２
ｎ
－１＝
４ ｎ
－
３ ２
－
７ ，又因为ｎ
≥ ３
，故当ｎ
联立直线与椭圆的方程得 ｘ２ ｙ２ ３ ３ ４ ４
８ ＋ ４ ＝１ ， ＝ ３ 时，Ｏ→Ｐ·Ｆ→Ｐ取得最小值 ３－２ ３ ，故选 Ａ ．
消去ｘ，并整理得（ｍ２
＋２
）ｙ２
＋４
ｍｙ
－４＝０
． 答案 Ａ
专
题
九
平
面
解
析
几
何
／
１１９
长轴长为直径的圆与直线ｘ ｙ 相切．
考法四 存在性问题
＋ －２＝０
求椭圆Ｃ的标准方程
（１） ；
例４ （２０２０福建三明５月质量检查，２０）已知椭圆Ｎ 设过椭圆右焦点且不平行于ｘ轴的动直线与椭圆Ｃ相
： （２）
ｘ２ ｙ２ 交于Ａ Ｂ两点 探究在ｘ轴上是否存在定点Ｅ 使得→ＥＡ Ｅ→Ｂ为定
ａ ｂ 经过点Ｃ 且离心率为 ２． 、 ， ， ·
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） （０，１）， 值 若存在 试求出该定值和点 Ｅ 的坐标 若不存在 请说明
２ ？ ， ； ，
求椭圆Ｎ的标准方程与焦距 理由．
（１） ；
ìｂ ｃ，
请 ＡＢ 说 的 （ 明 中 ２ 理 ） 点 若 由 为 直 ． 线 Ｍ ， ｌ 是 ： ｙ 否 ＝ ｋ 存 ｘ － 在 ３ １ 常 与 数 椭 λ 圆 ， 使 Ｎ ∠ 的 Ａ 交 ＭＣ 点 ＝ 为 λ ∠ Ａ 、 Ａ Ｂ Ｂ 两 Ｃ 恒 点 ， 成 线 立 段 ？ 解析 （ １ ）由题意知 î í ï ï ï ï ｂ ａ ２ ＝ ＝ ｜ ｃ ０ ２ ＋０ ａ ２ － ２， ２｜，又ｂ ＞０ ，解得 { ｃ ｂ ａ ＝ ＝ ＝ １ １ ， ， ２ ，
＋ ＝
解析 （ １ ）因为椭圆Ｎ： ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１ （ａ ＞ ｂ ＞０ ）经过点Ｃ（ ０ ， １ ）， 则椭圆Ｃ的标准方程为 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１ ．（ ２ ）存在．当直线的斜率
２
ｃ 存在时，设直线方程为ｙ ｋ（ｘ ），
且离心率为 ２，所以ｂ ， ２，又因为ａ２ ｃ２ ｂ２， ＝ －１
２
＝１ ａ ＝
２
－ ＝ {ｘ２
ｙ２ ，
所以解得ｃ ，ａ ， 联立 ＋ ＝１ 得（ ｋ２）ｘ２ ｋ２ｘ ｋ２ ，
＝１ ＝ ２ ２ １＋２ －４ ＋２ －２＝０
故所求椭圆的方程为
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
，焦距为
２
ｃ
＝２
．
则Δ
ｙ
＝
ｋ２
ｋ（ｘ
－１
，
）
２ ＝８ ＋８＞０
（ ）存在常数λ ，使 ＡＭＣ ＡＢＣ恒成立． ｋ２ ｋ２
２ ＝２ ∠ ＝２∠ ｘ ｘ ４ ，ｘ ｘ ２ －２．
ì
ïｙ ｋｘ １ ，
∴ Ａ＋ Ｂ＝
１＋２
ｋ２ Ａ Ｂ＝
１＋２
ｋ２
ï ＝ －
理由如下：由 î í ï ï ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ３ １ ， 得（ ９＋１８ ｋ２）ｘ２ －１２ ｋｘ －１６＝０ ，Δ ＞０ ． ｙ Ｂ ） ＝ 假 ｘ Ａ 设 ｘ Ｂ 存 － ｘ 在 ０ （ｘ 点 Ａ＋ Ｅ ｘ Ｂ （ ） ｘ ＋ ０ ， ｘ ０ ２ ０＋ ） ｙ ， Ａ 则 ｙ Ｂ →Ｅ ＝ Ａ ｘ · Ａ ｘ Ｅ Ｂ → － Ｂ ｘ ＝ ０ （ （ ｘ ｘ Ａ Ａ ＋ － ｘ ｘ Ｂ ０ ） ， ＋ ｙ Ａ ｘ ） ２ ０＋ · ｋ２ （ （ ｘ ｘ Ｂ Ａ － － ｘ １ ０ ） ，
２
ｋ
（ｘ
Ｂ－ １
）
＝
（
１＋
ｋ２） ｘ
Ａ
ｘ
Ｂ －
（ｘ
０ ＋
ｋ２） （ｘ
Ａ ＋
ｘ
Ｂ
）
＋
ｘ２
０ ＋
ｋ２
设Ａ（ｘ ，ｙ ），Ｂ（ｘ ，ｙ ），则ｘ ｘ １２ ，ｘ ｘ －１６ ． （ ｘ２ ｘ ）ｋ２ （ｘ２ ）
１ １ ２ ２ １＋ ２＝ ｋ２ １ ２＝ ｋ２ ２ ０－４ ０＋１ ＋ ０－２ ．
９＋１８ ９＋１８ ＝ ｋ２
又因为→ＣＡ （ｘ ，ｙ ），Ｃ→Ｂ （ｘ ，ｙ ）， １＋２
＝ １ １－１ ＝ ２ ２－１ 要使→ＥＡ·Ｅ→Ｂ为定值，则→ＥＡ·Ｅ→Ｂ的值与ｋ无关，
所以→ＣＡ·Ｃ→Ｂ ｘ ｘ （ｙ ）（ｙ ）
( ＝ １ ) ２ ( ＋ １－１ ) ２－１ ｘ２ ｘ （ｘ２ ），解得ｘ ５ ，
ｘ ｘ ｋｘ ４ ｋｘ ４ ∴２ ０－４ ０＋１＝２ ０－２ ０＝
＝ １ ２＋ １－ ２－ ４ ( )
３ ３
此时→ＥＡ·Ｅ→Ｂ ７ ，为定值，定点Ｅ的坐标为 ５ ， ．
＝
（
１＋
ｋ２）ｘ
１
ｘ
２－ ３
４ ｋ（ｘ
１＋
ｘ
２
）
＋
１
９
６ ＝－
１６ æ ö æ ４
０
ö
ｋ 当直线的斜率不存在时，不妨取 Ａç ， ２÷，Ｂç ， ２÷，若
（ ｋ２）· －１６ ４ ｋ· １２ １６ ． è１ ø è１ － ø
＝ １＋
９＋１８
ｋ２ －
３ ９＋１８
ｋ２ ＋
９
＝０
( ) æ ö æ
２
ö
２
所 所 以 以→ＣＡ Ａ ⊥ Ｍ Ｃ→ Ｃ Ｂ，因为 ＡＢ 线 Ｃ 段 ． ＡＢ的中点为Ｍ，所以 ｜ ＭＣ ｜＝｜ ＭＢ ｜ ， Ｅ ５ ４ ， ０ ，则→ＥＡ ＝ è ç － ４ １ ， ２ ２ ø ÷，Ｅ→Ｂ ＝ è ç － ４ １ ， － ２ ２ ø ÷，→ＥＡ·Ｅ→Ｂ ＝
∠ ＝２∠ ( ) ( ) æ ö
即存在常数λ ，使 ＡＭＣ ＡＢＣ恒成立． １ １ ２ ç ２÷ ７ ．
＝２ ∠ ＝２∠ － × － ＋ ×è－ ø＝－
经典例题教师用书 ４ ４ ２ ２ １６
( )
例 （２０２０新疆乌鲁木齐开学摸底，２１）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２ 所以在ｘ轴上存在定点Ｅ ５ ，
０
，使得→ＥＡ·Ｅ→Ｂ为定值
－
７ ．
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１ ４ １６
ａ ｂ 的一个焦点与上 下顶点构成直角三角形 以椭圆Ｃ的
（ ＞ ＞０） 、 ，
