北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题九 平面解析几何
9.1 直线与圆
应用创新题组
1.(2021 5·3原创题)已知直线l:mx-y-3m+1=0与直线l:x+my-3m-1=0相交于点E,其轨迹记为曲线C,曲线
1 2 1
C 的方程为(x+1)2+(y+1)2=16,点M,N分别在曲线C,C 上运动,点P在直线l上,若直线l经过点Q(4,-2),且与
2 1 2
两曲线C,C 的公共弦所在的直线垂直,则|PM|+|PN|的最小值为 .
1 2
答案 3√10-√2-4
解析 由题意可知直线l
1
:mx-y-3m+1=0恒过定点(3,1),直线l
2
:x+my-3m-1=0恒过定点(1,3),且l 1⊥l
2
,所以直线
l 与l 的交点E的轨迹是以(3,1)与(1,3)为直径端点的圆,所以曲线C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=2(x≠3且y≠3),圆
1 2 1
心为C(2,2),半径r=√2.又知曲线C 的方程为(x+1)2+(y+1)2=16,所以圆心为C(-1,-1),半径r=4,由两曲线方
1 1 2 2 2
程可得其公共弦所在的直线方程为3x+3y-10=0,其斜率k=-1,所以直线l的斜率k'=1,所以直线l的方程为
y -2
{ 0 =-1,
x -2
y+2=x-4,即x-y-6=0.设C 1 (2,2)关于直线l的对称点为C 3 (x 0 ,y 0 ),则有 0 解得
x +2 y +2
0 - 0 -6=0,
2 2
{ x 0 =8, 即C 3 (8,-4),所以|C 2 C 3 |= √[8-(-1)]2+[(-4)-(-1)]2 = √90 =3 √10 ,所以(|PM|+|
y =-4,
0
PN|) =[(|PC|-r)+(|PC|-r)] =(|PC|+|PC|) -(r+r),由对称思想知,|PC|+|PC|≥|CC|,即(|PC|+|PC|) =3√10
min 1 1 2 2 min 1 2 min 1 2 1 2 2 3 1 2 min
,所以(|PM|+|PN|) =3√10-√2-4.
min
2.(2022届广东10月联考,15)如图是一公路隧道截面图,四边形ABCD是矩形,
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且AB=4 m,BC=8 m,隧道顶APD是一圆弧,拱高OP=2 m,隧道有两车道EF和FG,每车道宽3.5 m,车道两边
留有0.5 m人行道BE和GC,为了行驶安全,车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙,则此隧道允许通行车辆的
限高是 m.(精确到0.01 m,√51=7.141)
答案 3.97
解析 建立如图所示平面直角坐标系xOy,
设弧APD所在圆的圆心坐标为O(0,b),半径为r,则其方程为x2+(y-b)2=r2.将P(0,2),D(4,0)代入以上方程解得
1
b=-3,r=5,故圆的方程为x2+(y+3)2=25.
过点E作AD的垂线交AD于点M,交弧AD于点N,设N(-3.5,h),代入圆方程,解得h≈0.571(舍负),即|MN|
=0.571,则|EN|=4+0.571=4.571,从而车辆的限高为4.571-0.6≈3.97米.
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