北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.4 数列求和、数列的综合应用
应用创新题组
1.(2021门头沟二模,5 数学文化与等比数列)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七
十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:
“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的
地.”则该人第五天走的路程为( )
A.48里 B.24里 C.12里 D.6里
[ (1) 6]
a · 1-
答案 C 记每天走的里程数为a,由题意知{a}是公比为 1 的等比数列,又S=378,∴S= 1 2
n n 6 6
2
1
1-
2
=378,解得a
1
=192,∴a
5
=a
1
·q4=192×(1) 4 =12(里).
2
2.(2020课标Ⅱ理,12,5分 实际生活)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列aa…a…满足
1 2 n
a i∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得a
i+m
=a
i
(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足
1 m
a =a(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列aa…a…,C(k)= ∑
i+m i 1 2 n
m
i=1
1
aa (k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤ (k=1,2,3,4)的序列是(
i i+k
5
)
A.11010… B.11011…
C.10001… D.11001…
1 1
答案 C C(1)= (aa+aa+aa+aa+aa)= (aa+aa+aa+aa+aa),
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1
5 5
1 1
C(2)= (aa+aa+aa+aa+aa)= (aa+aa+aa+aa+aa),
1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 1 3 2 4 3 5 4 1 5 2
5 5
1 1
C(3)= (aa+aa+aa+aa+aa)= (aa+aa+aa+aa+aa),
1 4 2 5 3 6 4 7 5 8 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3
5 5
1 1
C(4)= (aa+aa+aa+aa+aa)= (aa+aa+aa+aa+aa).
1 5 2 6 3 7 4 8 5 9 1 5 2 1 3 2 4 3 5 4
5 5
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1 2 3 2
对于A,C(1)= ,C(2)= ,故A不正确;对于B,C(1)= ,故B不正确;对于D,C(1)= ,故D不正确;对于C,C(1)=
5 5 5 5
1 1
,C(2)=0,C(3)=0,C(4)= ,∴C正确.
5 5
3.(2021北京专题模拟,11 数学文化与等差数列)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九
十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照
年龄从大到小的顺序依次排列分绵,每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵的斤数为
.
答案 184
解析 由题意可知各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项,公差d=-17的等差数
8×(8-1)
列,所以8a+ ×(-17)=996,解得a=184.
1 1
2
4.(2020北京市陈经纶中学开学考试,15 实际生活)小明用数列{a}记录某地区2019年12月份31天中每
n
天是否下雨,方法为:当第k天下雨时,记a=1,当第k天没下雨时,记a=-1(1≤k≤31).他用数列{b}记录该地区该
k k n
月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第k天有雨时,记b=1,当预报第k天没有雨时,记b=-1(1≤k≤31).
k k
记录完毕后,小明计算出ab+ab+…+a b =25,那么该月气象台预报准确的总天数为 ;若
1 1 2 2 31 31
ab+ab+…+ab=m,则气象台预报准确的天数为 (用m,k表示).
1 1 2 2 k k
m+k
答案 28;
2
解析 依题意,若ab=1(1≤k≤31),则表示第k天预报准确;若ab=-1(1≤k≤31),则表示第k天预报不准确.若
k k k k
m+k
ab+ab+…ab=m,假设其中有x天预报准确,即等式的左边有x个1,(k-x)个-1,则x-(k-x)=m,解得x= ,
1 1 2 2 k k
2
m+k 31+25
即气象台预报准确的天数为 .若ab+ab+…+a b =25,则气象台预报准确的天数为 =28.
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