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专题 14 数列求和综合必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由 ，利用累加法得出 .
【详解】
由题意可得 ，
所以 ， ，…， ，
上式累加可得
，
又 ，所以 .
故选：B.
2．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的前2020项的和为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据已知条件求得 ，然后求得 ，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】
数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 .
所以 ，
两式相减得： ，且 ， ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
所以 ，
故 ，
所以 ，
则 .
故选：B
3．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为（ ）
A．2100－101 B．299－101 C．2100－99 D．299－99
【答案】A
【分析】
由数列可知a＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝ ＝2n－1，结合分组求和法即可求解．
n
【详解】
由数列可知a＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝ ＝2n－1，所以，前99项的和为
n
S ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝ －99＝2100－101．
99故选：A
4．已知数列 的前 项和 满足 ，记数列 的前 项和为 ， .则使得 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由 ，求得 ，得到 ，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】
数列 的前 项和 满足 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时， 适合上式，所以 ，
则 ，
所以 .
故选：B.
5．已知数列{a }满足：a =a -a （n≥2，n∈N*），a=1，a=2，S 为数列{a }的前n项和，则S =（
n n+1 n n-1 1 2 n n 2021
）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】
根据递推关系式得出数列是周期为6的周期数列，利用周期性即可求解.
【详解】
∵a =a-a ，a=1，a=2，∴a=1，a=-1，a=-2，a=-1，a=1，a=2，…，
n+1 n n-1 1 2 3 4 5 6 7 8
故数列{a}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，
n故S =336×0+a +a +…+a =a+a+a+a+a=1+2+1+（-1）+（-2）=1.
2021 2017 2018 2021 1 2 3 4 5
故选：C.
6．正项数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对 化简可得 ，从而可得数列 是等差数列，首项为1，公
差为3，求出通项 ，则可得 ，然后利用裂项求和法计算
【详解】
，
， ，
，
数列 是等差数列，首项为1，公差为3，
.
，
.
故选：B.
7．化简 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】
用错位相减法求和．
【详解】
，（1）
，（2）
（2）－（1）得：
．
故选：D．
8．已知数列 中， ，求数列 的前 项和 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意化简得到 ，得到数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列，求得
，结合等比数列和等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，数列 中， ，
可得 ，即 ，
且 ，所以数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
则数列 的前 项和.
故选：C.
9．等比数列 中， ， ，数列 ， 的前 项和为 ，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出 ，从而可得 ，然后利用裂项相消求和法可求出
【详解】
由题意得 ，所以 ，
所以 .
故选：B
10．已知数列 的前 项和 满足 ，记数列 的前 项和为 ， ．则使得 成
立的 的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【分析】
根据 求 通项公式，注意讨论 、 并判断是否可合并，再应用裂项法求 ，最后根
据不等式求 的最大值即可.
【详解】
当 时， ；当 时， ；而 也符合 ，∴ ， .又 ，
∴ ，要使 ，
即 ，得 且 ，则 的最大值为19.
故选：C.
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．数列 是首项和公差都为1的等差数列，其前n项和为 ，若 是数列 的前n项和，则
______
【答案】 / .
【分析】
首先写出等差数列前n项和 ，则有 ，再应用裂项相消法求 .
【详解】
由题意： ，故 ，于是 ，
∴ .
故答案为： .
12．已知数列 的通项公式 ，设其前 项和为 ，则使 成立的最小的自然
为__________.
【答案】14
【分析】
先利用其通项公式以及对数函数的运算公式求出 ．再利用对数的运算性质解不等式 即可求出对应的自然数．
【详解】
解：因为 ，
所以
．
．
故答案为：14．
13．已知数列 满足 ，则 的前20项和 ________．
【答案】95
【分析】
利用分组求和法以及等差数列的前n项和公式即可求出结果.
【详解】
因为 ，则 ，
所以
所以
，故答案为：95.
14．已知正项数列 满足 ， ，则
___________.
【答案】
【分析】
化简数列的递推关系式，得到 ，结合等差数列的通项公式，求得 ，可得
，利用裂项法，即可求解.
【详解】
由题意，正项数列 满足 ， ，
可得 ，
因为 ，可得 ，所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列，
所以 ，
则
所以
故答案为： .
15．设数列 满足 ， ， ，则数列 的前50项和是________．
【答案】1300【分析】
利用累加法可求得数列 的通项公式 ，再并项求和求解前50项和即可.
【详解】
因为 ， ，且 ，
故 时， ， ，…， ，
累加可得 ，
， 满足上式，即 ，
故 的前50项和，即
．
故答案为：1300.
16．设 ，则 __________.
【答案】
【分析】
根据题意求出 ，然后结合倒序相加即可求出结果.
【详解】
因为 ，
所以，
设 …………（1），
则 …………（2），
（1）+（2）得 ，即 ，
故 ，
故答案为： .
17．数列 的前 项和为 ，且 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】
由 求得 ，又 可得 ，根据 ，求出 ，又因为
，代入数据求解即可．
【详解】
由 ，又 ，得故答案为：
18．在数列 中， ，且 ，则数列 的前 项和为
__________.
【答案】
【分析】
将已知数列的递推关系式化简可得 ，通过累加法和等差数列的求和公式得出
数列 的通项公式，利用裂项相消法求和即可．
【详解】
，
，
即 ，
，
，
…
，
将以上各式累加，可得 ，
将 代入，可得 ，，
则 ，
数列 的前 项和为 .
故答案为： .
19．已知数列 ，……，则该数列的前10项和为__________．
【答案】
【分析】
由题意得出此数列的通项公式，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和，进一步就
可以求前10项的和.
【详解】
由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n项和，
由公式可得： ，
求和得： .
所以前10项的和为： .
故答案为： .
20．已知数列 满足 且 ，数列 的前 项为 ，则不
等式 最小整数解为________.
【答案】5
【分析】先由题意可得， ，然后验证当n＝1时也成立，从而求得a 与2na，再利用错位相减法求得
n n
S，代入不等式S≥30a 中，求得满足题意的n即可．
n n n
【详解】
由 可得：
两式相减得： ，即
又a＝1，可得：1＝a﹣1，解得：a＝2，∴
1 2 2
∴
∴a＝n，2na＝n•2n，
n n
又S＝1×21+2×22+3×23+…+n•2n，
n
2S＝1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，
n
两式相减得：﹣S＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝
n
整理得：S＝（n﹣1）•2n+1+2，
n
由S≥30a 可得：（n﹣1）•2n+1+2≥30n，即
n n
∵当n＝1，2，3，4时， ；当n＝5时， ，
∴满足不等式S≥30a 最小整数解为5，
n n
故答案为：5．
三、解答题
21．数列 的前n项和为 ，若 ，点 在直线 上.
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
【答案】
（1）证明见解析（2）
【分析】
（1）将点代入整理可得 ，由等差数列的定义即可得出答案.
（2）根据 与 的关系求出 ，进而得出 ，再由错位相减法即可求解.
（1）
∵点 在直线 上，
∴ 同除以 ，则有：
数列 是以3为首项，1为公差的等差数列.
（2）
由（1）可知， ，
∴当 时， ，当 时，
经检验，当 时也成立，∴ .
∵ ，
∵
∴
即22．已知数列 为等差数列，公差 ，且 ， ， 依次成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）设公差为 ，根据等比中项的性质得到方程，求出 ，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求出 ，再解方程即可；
（1）
解：设公差为 ，由 ， ， 依次成等比数列，可得 ，
即 ，解得 ，
则 .
（2）
解：由（1）可得 ，
即有前 项和为
解得 .
23．在等差数列 中， ， ．（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用等差数列的性质及等差数列的通项公式即得；
（2）由题可得 ，再利用裂项相消法即得.
（1）
法1：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以公差 ，所以 ．
法2：设等差数列 的公差为 ，联立 得 解得
所以 ．
（2）
由（1）知 ，
所以 ， ，
所以
．24．已知数列 满足 ， .
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
在（① ；② ；③ 三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，
如果多写按第一个计分）
【答案】
（1）证明见解析，
（2）答案不唯一，见解析
【分析】
（1）对递推公式两边同时取倒数，结合等差数列的定义进行运算证明即可；
（2）选①：运用裂项相消法进行求解即可；
选②：运用分类讨论方法进行求解即可；
选③：运用分组求和法，结合等差数列和等比数列前n项和公式进行求解即可.
（1）
显然 ，由 ，两边同时取倒数得： ，
即 ，所以数列 是公差为2的等差数列.故 ，即 .
（2）
选①： ，
由已知得， ，
故数列 的前 项和 ，选②： ，
由已知得， ，故数列 的前 项和 ，
当 为偶数时， ；当 为奇数时， ，故
选③： ，
由已知得， ，故数列 的前 项和
25．已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， .数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据 与 的关系以及等差数列的通项公式即可求解.
（2）由 ，利用叠加，裂项相消法即可证明.
（1）∵ ， ，
∴ ，∴ ，
当 时，有 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴
∴数列 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列， ，
偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，
，
∴ .
（2）
，所以 得 ，
从而
，
从而可得
26．已知 是等比数列， ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）求得公比 ，由此求得数列 的通项公式.
（2）利用分组求和法求得 .
（1）
， ， ， ，
， .
（2）
，
.
27．已知公差不为0的等差数列 满足 ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明 ．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据等比中项的性质结合等差数列通项公式，可得 ，根据 ，即可求得 的值，代入公式，即可得答案.
（2）由（1）可得 ，代入可得 ，利用裂项相消求和法，即可得 的表达式，
即可得证.
（1）
因为 成等比数列，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
（2）
由（1）可得 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和为
.
28．已知数列 满足 ， ， ．数列 满足 ， ，其中
为数列 是前n项和．
（1）求数列 ， 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前n项和 ，并证明： ．
【答案】
（1） ；
（2） ；证明见解析
【分析】
（1）根据递推公式，结合等比数列的定义可以求出数列 的通项公式，再利用累和法可以求出数列
的通项公式；
（2）利用错位相减法，结合 的单调性证明即可.
（1）
由 ，可得 ，所以数列 是首项为 ，公比为3的等比数列，所以
，所以数列 的通项公式为 ．因为 ，所以
，所以
，所以数列
的通项公式为 ．
（2）
由（1）可得 ，所以 ①，
②，②－①得，所以 ．
， ，所以 递增，所以 ，又
当 时， ，所以 ．因此， ．
29．已知数列 的前 项和为 ， ，数列 满足 ， ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求证： ．
【答案】
（1） ；
（2）证明见解析
【分析】
（1）利用 与 的关系可求出数列 的通项公式；利用累加法可求出数列 的通项公式；
（2）由（1）问结论求出 ，然后利用裂项相消求和法，求出
的和即可证明原不等式.
（1）
解：由 ，得 ，
所以
又由 ，得 ，满足 ，所以 ，
而 ，所以 ，所以 ；
（2）
证明：因为 ，
所以 .
30．在各项均为正数的等比数列 中， 成等差数列．等差数列{ }满足 ，
．
（1）求数列{ }，{ }的通项公式;
（2）设数列 的前n项和为Tn，证明：
【答案】（1） ， ；（2）证明过程见解析.
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）用裂项相消法进行求解证明即可.
【详解】
（1）设各项均为正数的等比数列 的公比为 ，等差数列{ }的公差为 ，
因为 成等差数列，所以 ，
因为 ，所以 （舍去），
因此 ， ，
由 ，
所以 ；（2）因为 ，所以 ，
于是有 ，
因为 ，所以 .
任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．已知数列 满足 ， 且 ，则该数列的前9项之和为（ ）
A．32 B．43 C．34 D．35
【答案】C
【分析】
讨论 为奇数、偶数的情况数列 的性质，并写出对应通项公式，进而应用分组求和的方法求数列的前
9项之和.
【详解】
，
当 为奇数时， ，则数列 是常数列， ；
当 为偶数时， ，则数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
.故选：C
2．数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用递推关系，确定数列是递增数列，把递推关系变形得出 ，便于用裂项相消法求得和
，再由 计算数列的前几项，最终得出 ，从而估计出 的范围．
【详解】
因为 ， ，所以 ，即 ， 是递增数列，
， ， ，
所以 ，
， ， ， ，
所以 ， ， ．
故选：B．
3．设 为数列 的前 项和， ，且 .记 为数列 的前 项和，
若对任意 ， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．【答案】B
【分析】
由已知得 .再求得 ，从而有数列 是以 为首项， 为公比的等比数
列，由等比数列的通项公式求得 ，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得 ，从而求得
得答案.
【详解】
解：由 ，得 ，∴ .
又由 ，得 ，又 ，∴ .所以 ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ .
∵对任意 ， ，∴ 的最小值为 .
故选：B.
4．记数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题设中的递推关系可得 ，从而可求 的通项，故可求 .
【详解】
因为 ，故 ，而 ，
故 ，故 为等比数列且 为等比数列，公比均为 .
而 ，故 ， .
所以 ，
故选：B.
5．数列 是正项等比数列，满足 ，则数列 的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据递推关系求出通项公式，在代入，利用裂项相消法求和.
【详解】
数列 是正项等比数列，公比设为 ，由 ，可得 ， ，解得， ，则 ．
则 ，则前 项和
．
故选：A.
6．数列 满足 ，且 （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据 ，利用累加法求得 ，进而得到 ，利用裂项相消法求解.
【详解】
∵ ， ，…， ，
∴ ，即 ，
∴ ， ．
∵ 符合上式，
∴ ．
∴ ，
，，
．
故选：A．
7．设数列 满足 ，若 ，且数列 的前 项和为 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据 的递推关系求出 的通项公式，代入 的表达式中，求出 的通项，即可求解 的前 项和
【详解】
由 可得 ,
∵ , ∴ ,
则可得数列 为常数列 ，即 , ∴
∴ ,
∴ .
故选: D
8．已知函数 ，数列 满足 ，则数列 的前2019项和为（ ）
A． B．1010 C． D．1011
【答案】A
【分析】根据函数结构特征，得到 ，再将该式子用于求和.
【详解】
因为 ，所以 ，
有 .
记数列 的前 项和 ，又 ，所以
.
所以 .
故选：A.
9．已知数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ， ．若 ，则数列
的前 项和 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用 与 关系可求得 ，并推导得到 ，由此可确定 为等比数列，由等比数列通项公式可求得 ，利用 可得 ，进而得到 ，利用裂项相消法可求得结果.
【详解】
， ，即 ，
，又 ， ．
， ，
整理得： ，又 ， ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，
，
， .
故选：A.
10．数列 满足 ﹐若 ，则 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，得 ，所以可得数列 是等差数列，得数列 的通项公式，再利用
错位相减法求和.
【详解】
因为 ，所以 ，所以数列 是公差为 ，首项为 的等差数列，所以 ，所以 ，设 的前 项和为 ，所以 ①，
②，①-②得， ，得 .
故选：C
11．已知等差数列 的公差为2，前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列.令 ，数列 的
前n项和为 ，若对于 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据 ， ， 成等比数列，所以 ，根据d=2，即可求得 的值，即可求得 ，进而可得
，利用裂项相消法即可求得 的表达式，分析即可得答案.
【详解】
因为 ， ， 成等比数列，所以
所以 ，整理可得
解得 ，所以 ，
所以 ，
所以 =
，
因为对于 ，不等式 恒成立，所以 ，即 ，
所以 .
故选：A
12．已知数列 满足 ，设 ，且 ，则数列 的
首项 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，可得 ,即 ,所以从而可得
，得出答案.
【详解】
若存在 ，由 ，则可得 或 ，
由 可得 ，由 可得
所以 中恒有
由 ，可得
所以 ，即
所以所以 ，即
所以 ，则 ，所以
故选：C
13．设 为数列 的前n项和， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由递推式求出数列的首项,当 时分 为偶数和奇数求出 ,代入 后分组,然后利
用等比数列的前 项和公式求解.
【详解】
由 ，
当 时， ，得 ；
当 时， ，即 .
当n为偶数时， ，所以 （ 为正奇数），
当n为奇数时， ，所以 （ 为正偶数），
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .因为
.
故选：A
14．正项数列 的前n项和为 ，且 ，设 ，则数列 的前2020
项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据和项与通项关系得 ，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得 ，代入化简 ，
最后利用分组求和法求结果.
【详解】
因为 ，所以当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是等差数列，公差为1，首项为1，
所以 ，
所以 ，则数列 的前2020项的和 .
故选：C
第II卷（非选择题）
二、填空题
15．已知正项数列 的前 项和为 ，且 .若 ，则数列 的前2021项和为
___________.
【答案】
【分析】
先根据 ，求出 的通项公式，再结合 的通项公式进行裂项相消法求和
【详解】
当 时， ，因为数列 各项为正，所以 .
当 时， ，所以 ，
所以 ，整理得 .
因为 ，所以 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
易知 ， ，所以 ，
所以数列 的前2021项和为
.
故答案为：16．已知数列 的各项均为正数， ， ， ，数列 的前
项和为 ，若 对任意正整数 都成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
先将 因式分解，结合数列 的各项均为正数，推导出 是等比数列，求出数列
的通项公式；将数列 的通项公式代入 中，得到数列 的通项公式；将数列
的通项公式裂项，求出数列 的前 项和为 ；然后判断 的单调性，求出 的取值范围，确定
的取值范围，最后求出 的取值范围.
【详解】
数列 的各项均为正数 (舍去)
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
数列 的前 项和为 ,单调递增， 单调递减 单调递增
，
又
的取值范围是
故答案为：
17．设 为数列 的前 项和，满足 ， ，其中 ，数列 的前 项和为 ，则
___________.
【答案】
【分析】
由累乘法可求 ，然后利用裂项相消法即求.
【详解】
由 ，得 ，累乘，得
，
化简得 ，
， ，
当 时， 成立，
， ，，
.
故答案为： .
18．已知正项数列 满足 且 ，令 ，则数列 的前 项的和
等于___________.
【答案】
【分析】
首先由递推关系可得 是等比数列，进而可得 、 的通项公式，再利用乘公比错位相减，分组求
和即可求解.
【详解】
由 可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，
则 的前 项的和等于 ，
令 ， 前 项的和为 ，则
，
，
两式相减可得：，
所以 ，
所以 前 项的和为 ，
故答案为： .
19．已知 ，记数列 的前n项和为 ，且对于任意的 ， ，则实数t 的最
大值是________.
【答案】162
【分析】
将数列通项化为 ，裂项求和求得 ，又对于任意的 ， ，分类参
数t，得到关于n的表达式，借助基本不等式求得最值.
【详解】
由题知， ，
则
，
又对于任意的 ， ，
则 ，即 ，
由 ，当 时等号成立，
则实数t 的最大值是162.
故答案为：16220．数列 且 ，若 为数列 的前 项和，则 __________.
【答案】
【分析】
由题意，当 为奇数时， ；当 为偶数时， .然后根据分组求和法、裂项
相消求和法及三角函数的周期性即可求解.
【详解】
解：数列 且 ，
①当 为奇数时， ，
②当 为偶数时， ， ，则偶数项和为
，
所以
，
故答案为: .
21．用 表示正整数 所有因数中最大的那个奇数，例如： 的因数有 ， ， ，则 ， 的因
数有 ， ， ， ，则 ．计算 ________．
【答案】【分析】
根据 的定义得到 ，且当n为奇数时， ，再令
，再利用分组求和的方法，得到
，然后利用累加法求解.
【详解】
由 的定义得： ，且当n为奇数时， ，
设 ，
则 ，
，
，
，
即 ，
由累加法得： ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：22．已知数列 满足 ，则 ___________；若 ，则数列 的
前 项和 ___________.
【答案】
【分析】
由 得出：
当 时， ，两边作差得
，即
【详解】
∵ ，①
∴当 时， ，②
①-②得 ，则 .当 时，由①得 ，
不满足上式
∴ ， ，
，又 也满足上式，
∴ .故答案为： ； .
23．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则 ______________．
【答案】
【分析】
由 ，推得 ，得到数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，求得 和 ，
进而得到 ，再结合等比数列求和公式，即可求解.
【详解】
由数列 的前 项和 ，且满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
则 ，所以 ，
所以
.
故答案为： .24．已知数列 的前 项和为 ，点 在直线 上．若 ，数列 的前 项和
为 ，则满足 的 的最大值为________．
【答案】13
【分析】
由题设易得 ，即可求 ，进而得 ，讨论 为奇数、偶数求 ，结合已知不等关系求 的最大值
即可.
【详解】
由题意知： ，则 ，
当 时， ；当 时， ；而 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
∴要使 ，即 或 ，解得 且 .
故答案为：13.
25．已知正项数列 的前 项和为 ， ，且 ，设 ，则数列
前 项和的取值范围为_________．
【答案】【分析】
根据 之间关系可得数列 为等差数列并得到 ，然后得到 ，根据裂项相消可得数列 前 项
和，最后进行判断即可.
【详解】
由 ①，则 ②
②-①化简可得： ，又 ，所以
当 时，
所以 符号 ，故数列 是首项为1，公差为1的等差数列
所以 ，则
所以
令设数列 前 项和
所以
所以 ，
当 为偶数时， ，则 且
当 为奇数时， ，则 且
综上所述：
故答案为：
26．已知数列 满足： ， ， ( 且 )，等比数列 公比，令 ，则数列 的前 项和 ___________.
【答案】
【分析】
依据题意可得 ，然后依据公式可得 ，然后根据递推关系可得数列 为等差数列，进一步得出 ，
最后分组求和可得结果.
【详解】
解：因为 ， ， ( 且 )，①
可得 时， ，即 ，
由等比数列的 的公比为 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
又 ( 且 )，②
①﹣②可得， ，
即 ，化为 ，又 ，
所以数列 为等差数列，且公差 ，
则 ，
所以 ，
所以
.
故答案为： .
27．已知数列 与 前n项和分别为 ， ，且 ， ，
则 ________．
【答案】
【分析】
由递推关系求得数列 的通项公式，代入 ，根据裂项求和的办法求得 .
【详解】
因为 ，所以当 时， ，
两式相减得： ，整理得， ，
由 知， ，
从而 ，
即当 时， ，
当 时， ，解得 或0（舍），
则 首项为1，公差为1的等差数列，
则 ．
所以 ，
则 ．
∴ ．
故答案为： .
三、解答题
28．数列 中， 为 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】
（1）
（2）【分析】
（1）由 与 的关系可得 为等差数列，再由等差数列的通项公式即可求解；
（2）由裂项相消法求解即可
（1）
当 ，则 ，所以 ，
当 时，
得： ，
，
整理得 ，
所以 为等差数列，
，
；
（2）
29．已知各项均为正数的无穷数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）证明数列 是等差数列，并求出 的通项公式；（2）若数列 满足 ， .设数列 满足 ，证明： .
【答案】
（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【分析】
（1）由递推关系构造等差数列 ，求出通项后得 ，由 求 即可；
（2）由递推关系构造等比数列 ，求出 ，对 裂项后，利用相加相消求和即可得证.
（1）
因为 ，
所以
因为 ，
所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，
因此
即 ，
当 时， ，
又 符合上式，故 ，
所以 ，
即 是等差数列.
（2）由 ，得
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
即 .
,
裂项得
30．已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是各项均为正数的等比数列， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知 ，___________，是否存在正整数 ，使得数列 的前 项和 ？若存在，求
的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
【答案】
（1）
（2）答案见解析
【分析】
(1)根据给定条件求出等比数列 的公比即可得解.
(2)根据选择的条件计算出等差数列 的公差及前 项和为 ，再用裂项相消法求出 即可列式计算作答.
（1）设等比数列 的公比为 ，由 得： ， ，又 ，
因此有 ，即 ，解得 ， (舍去)，则 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）
若选①：设等差数列 公差为d，则 ， ，解得 ，
于是得： ， ，
则有 ，
由 ，解得 ，而 为正整数，则 的最小值为 ，
所以存在正整数 满足要求， 的最小值为 .
若选②：设等差数列 公差为d，则 ， ，解得 ，
于是得 ， ，
则有 ，
由 ，解得 ，而 为正整数，则 的最小值为 ，
所以存在正整数 满足要求， 的最小值为 .
若选③：设等差数列 公差为d，则 ， ，解得 ，
于是得： ， ，
，
令 ，得 ，显然数列 ( )是递减的，当 时， ，当 时， ，
即由 得 ，则 的最小值为
所以存在正整数 满足要求， 的最小值为 .
31．在① ， ；②公差为2，且 ， ， 成等比数列；③ ；三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知数列 为公差不为零的等差数列，其前项和为 ，______．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，其中 表示不超过x的最大整数，求 的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
（1）答案见解析
（2）答案见解析
【分析】
选①
（1）由等差数列的前 项和公式列方程组解得 和 后可得通项公式；
（2）根据定义求出 ，然后求和．
选②
（1）由等差数列的前 项和公式结合等比数列性质求得 后可得通项公式；
（2）根据定义求出 ，然后求和．
选③
（1）利用 和 求得通项公式；
（2）根据定义求出 ，然后求和．
（1）选①：设 的公差为d，则
由已知可得 ，解得 ，
故 的通项公式为
选②：因为 ， ， ，
由题意得 ，解得 ，
所以 的通项公式为
选③：当 时，
当 时， ，符合
所以 的通项公式为
（2）
选①
由 知， ，
所以
选②
由 知
所以选③
由 知
所以
32．在① ② 这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并
解答下列问题．
已知数列的 前 项和是 数列 的前 项和是 ，__________．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 证明：
【答案】
（1）答案不唯一，具体见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）选条件①：由 ， ，可得 ，根据等比数列通项公式即可求解 ；选
条件②：由 ， ，可得
，利用迭代法可求 ，借助已知条件可得 ；
（2）选条件①：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件②：利用裂项相消求和法求和后即可证明.
（1）
解：选条件①：由 ，可得 ，
两式相减可得 ，所以 ，在 中，令 ，可得 ，所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列， ，
故数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ；
选条件②：由 ，可得
两式相减可得 ，即 ，
所以 ，
在 中，令 ，可得 ，所以 ，
所以由 ， ， ，
所以 ，从而有 ，
所以 ， ，
故数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ．
（2）
证明：选条件①：由（1）知 ，
设 ，
，
两式相减可得所以 ，即 ；
选条件②：由（1）知 ，
所以 ．
33．在① ；② ；③ ， ， 成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问
题中，并解答．
问题：数列 是各项均为正数的等比数列，前n项和为 ， 且______．
（1）求数列 的通项公式；
（2） ，求数列 的前n项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
（1）条件选择见解析，
（2）
【分析】
（1）选①，利用 及 得出数列的递推关系求得公比，从而得通项公式；
选②，利用基本量法求得公比 后可得通项公式；
选③，利用基本量法及及等差数列的性质求得公比 后可得通项公式；
（2）求出 ，然后分类讨论，分组求和．（1）
设等比数列 的公比为 ．
选①
当 时， ，∴ ，
∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ．
选②
∵ ， ，∴ ，∵ 解得 ，∴ ．
选③
由题意得 ，
∴ ，∴ ，即 ，∵ ，∴ ，
∴ ；
（2）
，
当n为偶数时，
，
当n为奇数时，
，
综上， ．34．已知数列 中， ， .
（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
（2）数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切
恒成立，求 的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析，
（2）
【分析】
（1）依题意可得 ，即可得到 是以 为首项， 为公比的等比数列，从而求出
的通项公式，即可求出 的通项公式；
（2）依题意可得 ，再利用错位相减法求出 ，则 ，再根据指数函数的性质对 分奇
偶两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；
（1）
解：因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 是以
为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以
（2）
解：因为 ，所以 ，所以
两式相减得 ，
所以 ，所以 ．
令 ，易知 单调递增，
若 为偶数，则 ，所以 ；
若 为奇数，则 ，所以 ，所以 ．
所以 ．
35．已知 为等比数列， ，记数列 满足 ，且 .
（1）求 和 的通项公式；
（2）对任意的正整数 ，设 ，求 的前 项的和 .
【答案】
（1） ，
（2）答案见解析
【分析】
（1）由数列 与 的关系判断 ，再根据对数运算和所给条件算出公比和首项， 的通项公式
可得，再根据 与 的关系可得 的通项公式，
（2）写出 ，根据 的奇偶分类讨论.
（1）设等比数列 的公比为 ，对任意的 ，则 ，则 ，所以 ，
因为 ，可得 ，
因为 ，则 ，∴ ，
所以， ；
（2）
为偶数时，
为奇数时，
36．设正项数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，若数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）利用 时， 得出 的递推关系式，确定 是等差数列，从而得通项公式；
（2）用裂项相消法求得和 后根据 的单调性证明不等式．
（1）解：由题意得 ，
当 时， ，解得 或 ，因为 ，所以 .
当 时， ， ，
两式相减，得 ，整理得 ，
因为 ，所以 ， ， ，
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 .
（2）
证明：因为 ，所以
则
，
因为 ，所以 ，又 ，所以 单调递增，
所以 ，所以 .
37．已知数列 的前 项和为 .若 ，且
（1）求 ；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 .证明： .【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意得 ，从而得到数列 是以 为首项､ 为公差的等差数列，即可得到
答案；
（2）求得数列的通项公式 ，再利用裂项相消法求和，结合不等式的放缩法，即
可得到答案；
（1）
因为数列 的前 项和为 ，所以由 可得
又因为 ，所以 ，
因此，数列 是以 为首项､ 为公差的等差数列，所以 .
（2）
因为
而 ，所以
所以数列 的前 项和为故 ，命题得证.
38．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式以及 ；
（2）求使不等式 成立的最小值n．
【答案】
（1） ， ；
（2）5
【分析】
（1）由已知条件求等差数列的基本量，进而写出等差数列通项公式及前n项和公式.
（2）应用裂项相消法求 ，根据不等式求n的范围，即可知n的最小值.
（1）
在等差数列 中， ，
∴ ，又 ，
∴ ，易知： ，
∴ ，
∴ .
（2），
∴整理有 ，解得 或 ，又n为正整数，
∴ ，则n的最小值为5．
39．设数列 前 项和为 ， ， （ ）.
（1）求出 通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据 与 的关系，转化为 ，构造等比数列求出 即可得解；
（2）分n为奇数偶数，分别利用相加相消求奇数项和，利用错位相减法求偶数项的前n项和，相加即可求
出前2n的和.
（1）
由 ，得 ，
即 ，
所以 .
因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，即 .
所以当 时， ，
又当 时， 满足上式，
故 .
（2）
当 为奇数时，有 ，
设数列 的前 项中奇数项的和为 ，
所以
当 为偶数时，有 ，
设数列 的前 项中的偶数项的和为 ，
所以 ，
所以 ，
上述两式相减，得所以 .
故数列 的前 和 .
40．设数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求 通项公式；
（2）对任意的正整数 ，设 ，求数列 的前 项和.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）采用作差法，并验证 是否满足通项；
（2）分为奇数和偶数进行分类讨论，结合分组求和法，奇数项结合裂项法求和，偶数项采用错位相减法，
即可得出答案.
（1）
因为 ①，所以 ②，①-②得 ，即 ，又 ，当
时， ，故 ，也满足 ，所以 ；
（2）当 时， ，
即 时， ，奇数项作和可得： ；
当 时， ，
即 ，偶数项作和得 ③，
④，
③-④可得： ，
即 ，
化简得 ，
故 的前 项和为： .
任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．已知数列 满足 ， ， （ ），则数列 的前2017项的和
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件求出 与 的通项，进而求得 即可求出数列 的前2017项的和.【详解】
在数列 中， ， ， ， ，
则有 ，即 ，而 ，
于是得
，
因此， ，
则
，
数列 的前2017项的和为 .
故选：D
2．已知数列 满足 ，其前 项和 ，数列 满足 ，其前 项和
为 ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用 与 关系可证得 为等差数列，由此可求得 ，将 进行裂项后，前后相消可求得 ，将问题转化为 ；令 ，可证得 为递增数列，由此得到 .
【详解】
当 时， ，解得： 或 ，又 ， ；
当 时，由 得： ，
，整理可得： ，
， ，即 ，
是以 为首项， 为公差的等差数列， ；
经检验： 满足 ；
综上所述： ，
，
，
由 得： ，
令 ，则 ，
为递增数列， ， ，即实数 的取值范围为 .
故选：A.3．已知等比数列 满足 ， ，若 ， 是数列 的前 项和，对任意 ，不
等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题首先可根据 、 得出 ，然后根据 得出 ，再然后根据错位相减
法求出 ，最后根据题意得出对任意 不等式 恒成立，根据
即可得出结果.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
则 ， ，
，
对任意 不等式 恒成立，即对任意 不等式 恒成立，
因为 ，所以 ， 的取值范围为 .
故选：C.4．设 为不超过x的最大整数， 为 可能取到所有值的个数， 是数列 前n
项的和，则下列结论正确个数的有
（1）
（2） 是数列 中的项
（3）
（4）当 时， 取最小值
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【分析】
先求得 的结果，归纳推理得到 个数的表达，即 的值，由此对四个结论逐一分析，从而得
出正确选项.
【详解】
当 时， ，故 .
当 时， ， ， ， ，故 .
当 时， ， ， ，故 ，共有 个数，即
，故（1）结论正确.
以此类推，当 ， 时，
， ，
故 可以取的个数为 ，即 ，
当 时上式也符合，所以 ；令 ，得 ，没有整数解，故（2）错误.
，
所以 ，
故 ，所以（3）判断正确.
， ，当 时 ，当 时
，故当 时取得最小值，故（4）正确.综上所述，正确的有三个，故选C.
5．设数列 的前 项积 ，记 ，求 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先由 求出 ，再当 时，由 得 ，两式左右两边相除得，
，得到数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，从而求出 ，
，令 ，再判断数列 是递增数列，从而可求出 的范围
【详解】
解：令 ，则 ，得 ，
当 时，因为 ，所以 ，所以 ，即 ， ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，
所以
，
所以数列 是递增数列，
，
因为
所以
，
所以 ，
综上， ，故选：D
6．已知 数列 的前 项和， ，且 ，若 ，（其中
），则 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．2018
【答案】B
【分析】
由 ，可得 ， ，以上
各式相加得可求得 ，结合 ，根据均值不等式，
即可求得答案.
【详解】
， ，
以上各式相加得， ，
，
又 ，
，
即 ，又 ，
，
当且仅当 时等号成立，
故选：B．
7．数列 满足 ， （ 且 ），数列 为递增数列，数列 为递减数列，
且 ，则 （）．
A． B． C．4851 D．4950
【答案】D
【分析】
由数列 为递增数列，得到 ，进而得出 ，又由数列 为递
减数列，得到 ，得到 ，
得出当 为奇数且 时， ，当 为偶数时， ，即可求解．
【详解】
因为数列 为递增数列，所以 ，即 ，
则 ，
由题意 ，
则由 得 ， ，
因为数列 为递减数列，所以 ，即 ，
则 ，由题意得， ，
由 ，可得 ， ，
又 ，即 ，所以当 为奇数且 时， ；
当 为偶数时， ．
所以
．
故选：D．
8．已知数列 中， ，若 ，设 ，若 ，则正整数
的最大值为（ ）
A．1009 B．1010 C．2019 D．2020
【答案】B
【分析】
由 可得 ,则 .再结合 ,可化简
,
从而可以求出正整数 的最大值.
【详解】
,
∴ ,∴ ,即数列 为单调增数列,
,即 ,,
,
,即 ,
正整数 的最大值为1010,
故选:B.
9．已知数列 满足 … ，设数列 满足： ,数列 的前 项
和为 ，若 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出 的通项，再求出 的通项，从而可求 ，利用参变分离可求 的取值范围.【详解】
因为 … ，
所以 … ，
故 即 ，其中 .
而令 ，则 ，故 ， .
，
故
，
故 恒成立等价于 即 恒成立，
化简得到 ，因为 ，故 .
故选D.
10．艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同
时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数 零点时给出一个数列 ：满足
，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数 （ ）有两个零点 ， ，
数列 为牛顿数列，设 ，已知 ， ， 的前 项和为 ，则 等于
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数 有两个零点1，2， ，
，则由题意，
， ，且 ，
， 数列 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则 ，
.
故选C
11．已知 是函数 的极值点，数列 满足 ， ，记
，若 表示不超过 的最大整数，则 （ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】A
【详解】
由题意可得 ，
∵ 是函数 的极值点，
∴ ，
即 ．∴ ，
∴ ， ， ， ， ，
以上各式累加可得 ．
∴ ．
∴ =
= = = ．
∴ ．选A．
12．设 表示不超过 的最大整数，已知数列 中， ，且 ，若
，则整数
A．99 B．100 C．101 D．102
【答案】C
【分析】
由 可得 ，从而 ，而 ，从而
，由此可解出n的值.
【详解】
因为 ,
所以 ，故数列 是递增数列，且 ，
又由 可得 ，即 ，而 ，从而 ，
所以 [ ],
又 ，
所以[ ] ， ，故选C.
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知数列 满足： ， ， ( 且 )，等比数列 公比
，则数列 的前 项和 ___________.
【答案】
【分析】
由递推关系可得 ，解方程即可求出 ，代入递推关系式可得 ，证明数列
为等差数列，即可求解 ，根据错位相减法求和即可.
【详解】
因为 ， ， ( 且 )，①
当 时， ，即 ，
由等比数列的 的公比为 ，即 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
又 ( ，且 )，②
①-②可得， ，
即 ，化为 ，
又 ，
所以 为等差数列，且公差 ，
则 ，
所以
，
，
上面两式相减可得
，
所以 .故答案为： .
14．各项均为正数的等比数列 ，满足 ，且 ， ， 成等差数列，数列 满足
，数列 的前 项和 ，则 ______.
【答案】
【分析】
根据条件可得 ，得 ，进而得设 ，由和与项的关系可得 ，
再由累加计算 ，利用错位相减即可得解.
【详解】
各项均为正数的等比数列 ，设公比为 ，
由 ，可得 ，即 ，得 ，
， ， 成等差数列，所以 ，
即 ，得 .
所以 .
设 ,
则 . 时， 满足.
所以 .
所以 .
所以 ，，
，
……
，
累加得： .
记 ，
则 ，
两式作差得：
，
所以 ，即 ，因为
所以 ，所以 .
故答案为： .
15．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， 成等比数列， ，数列
满足 ，前 项和为 ，则 _________.
【答案】
【分析】
先根据条件求解出 的通项公式，然后采用裂项相消的方法分奇偶进行求和，由此可求解出 ，则可求.
【详解】
设 的公差为 （ ）.由题意， ，即 ，
又 ，即 ，
联立解得 ， ，所以 .
所以
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， .
所以 .
故答案为： .
16．已知 是等差数列 的前 项和，若 ，设 ，则数列 的前 项和
取最大值时 的值为______________
【答案】2019
【分析】
设等差数列 的公差为 ，运用等差数列的性质，可得数列 的公差 ，且 ， ， ，
， ， ，求得 ，计算可得 ，分析比较，即可得到所求最
大值时 的值．【详解】
解：等差数列 的公差设为 ，若 ，
则 ， ，所以公差 ， ，
即 ， ，即 ，可得 ，
即数列 递减，且 ， ， ， ， ， ，
，
则
，
由 ，要使 取最大值，可得 取得最小值，
显然 ，而 ，
可得 时， 取得最小值，
故答案为： ．
17．已知数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ，满足 ， ，且
．若对 ， 恒成立，则实数 的最小值为____________．
【答案】
【分析】
当 时，解得 ，当 时，由 化简得 ，利用累乘法求得 ，
进而得 ，利用裂项求和法得 ，因此利用对 ， 恒成立即可
求解.
【详解】
解析：当 时， ，解得 ．当 时，由 ，得 ．
依据叠乘法（累乘法）可得 ．
由 ，得 ，
于是
．
由于对 ， 恒成立， ，
故实数 的最小值为 ．
故答案为：
18．已知函数 若对于正数 ，直线 与函数 的图象恰
有 个不同的交点，则数列 的前n项和为________.
【答案】
【分析】
根据函数的性质和周期得到函数图象，根据图象知，直线 与第 个半圆相切，则 ，
再利用裂项相消法求和得到答案.
【详解】
当 时， ，即 ， ；
当 时 ，函数周期为 ，画出函数图象，如图所示：与函数恰有 个不同的交点，
根据图象知，直线 与第 个半圆相切，故 ，
故 ，
数列 的前n项和为 .
故答案为： .
19．数列 满足 ， ，则 的整数部分是___________.
【答案】1
【分析】
由 ，结合裂项法求出 ，可得 .再由
，判断 ，求出 ，即可求得 的整数部分.
【详解】
由 ，
可得 ，两边取倒数，得 ，
，
.
.
又 ，
若 ，则 与 矛盾，
，
又 ， ，
当 时， ，
， ，
，
故 的整数部分是 .
故答案为：1.
20．设 表示正整数n的个位数字,记 ,M是 的前4038项的和,函数
,若函数 满足 ,则数列 的前2020项的和为________.【答案】
【分析】
先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期，由周期可求得 ，又 ，
，可得 ，
进一步求得 ，利用裂项相消法可求得结果.
【详解】
n的个位数为1时有： ，
n的个位数为2时有： ，
n的个位数为3时有： ，
n的个位数为4时有： ，
n的个位数为5时有： ，
每5个一循环，这10个数的和为：0，
余3，余下三个数为： ， ， ，
数列 的前4038项和等于： ,
即有 ，
又 ，
，可得 ，
即 ，
则 ，即有，则数列 的前2020项和为，
，
则数列的前2020项和为 .
故答案为： .
21．已知正项数列 满足 ， ，则数列 的前 项
和为___________．
【答案】
【分析】
由已知表达式因式分解得到数列的递推式，再运用累乘的方法求得通项公式，再将通项公式裂项，利用裂
项相消求和得解.
【详解】
由已知得
所以 又因为
所以
所以
所以
；累乘得
所以
所以 =
所以
累加求和得
故答案为
22．已知数列 满足 ，则数列 的前 项和为___________.
【答案】
【分析】
由 可得 ，可得出通项公式 ，即 ，由
，可求数列前n项和.
【详解】由 ，得 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
于是 ，
所以 ，
因为 ，
所以 的前 项和
.
23．设 是数列 的前 项和，若 ，则 _____.
【答案】
【分析】
运用数列的递推式，讨论 为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.
【详解】
解： ，
当 时， ，解得 ，
时， ，
可得 ，
当 为偶数时， ，即有 ；
当 为奇数（ ）时， ，可得 ，
即有
.
故答案为 .
24．在各项均为正数的等比数列 中， ，当 取最小值时，则数列 的前 项和为
__________．
【答案】
【分析】
根据等比数列通项公式及 ，则 ；求导函数，令导函数等于0，可求得当 取最小值时q
的值，进而求得 的值，得到通项公式，代入数列 可得 ；结合错位相减法可求得前n项和．
【详解】
等比数列 中， ，所以
，令
则 ，令
解得 ，因为各项均为正数的等比数列
所以
当 时，当 时，
所以在 时 取得最小值
设 ，代入 化简可得
所以
两式相减得
三、解答题
25．已知等比数列 的各项均为正数， 成等差数列，且满足 ，数列 的前n项和
，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】
（1） ( )； ( )（2） ( )
【分析】
(1)设等比数列 公比q，由给定条件求出q及a 即可得 的通项；
1
由 结合“当 时， ”即可得 的通项.
(2)利用(1)的结论分类讨论，借助分组求和方法及等差等比数列求和公式即可计算得解.
（1）
设正项等比数列 公比q，因 成等差数列，则 ，即 ，
，而 ，解得 ，又 ，即 ， ，解得 ，
所以数列 的通项公式是 ， ；
，数列 的前n项和 ，当 时， ，
整理得： ，于是得数列 是常数数列，则 ，得 ，
所以数列 的通项公式是 ， .
（2）
由(1)知， ，
当n为偶数时，
，
当n为奇数时， ，所以数列 的前n项和 ( ).
26．已知数列 是正项等差数列， ，且 .数列 满足 ，数列 前
项和记为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）若数列 满足 ，其前 项和记为 ，试比较 与 的大小.
【答案】
（1）
（2） ，过程见解析
【分析】
（1）将 分母有理化，然后利用求和公式求出 ，再结合 即可求出数列 的通项
公式；
（2）由（1）的结果求出 ，再由裂项相消法求出 ，然后利用作差法即可比较大小.
（1）
解：设数列 的公差为 ，
，，
，可得
又 ，
.
（2）
解：由（1）可得 ，
不妨记 ，则
，
.
27．已知正项数列 的首项 ，其前 项和为 ，且 .数列 满足： (b+ b
1 2
.（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，证明： .
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据题意得到 和 ，两式相减得 ，解得答案.
（2）计算 ， ，放缩 和 ，利用裂项相
消法计算得到证明.
（1）
由 得 ，两式相减得 ，
由 ，得 ，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列，
当 为奇数时， ，当 为偶数时， .
综上所述 .
（2）
由 ， ， ， ，
两式相减得 ， ，验证 成立，故 .
则 ，
那么 ，
故 ，同理
，
故
，得证.
28．已知等比数列 的各项均为正数， ， ， 成等差数列，且满足 ，数列 的前 项
之积为 ，且 ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
（3）设 ，若数列 的前 项和 ，证明： ．
【答案】（1） ， （2） （3）证明见解析
【分析】
（1）设等比数列 的公比为 ，根据条件求出首项及 可得 ，由 代入 可
得 为等差数列即可求解；
（2）由（1）可知 ，利用错位相减法求和即可求解；
（3）由（1）可知 ，利用裂项相消法求和后根据单调性及有界性即可得证.
【详解】
（1）设等比数列 的公比为 ，
， ， 成等差数列，， ，
化为： ， ，解得 ．
又满足 ， ， 即 ，解得 ．
，
数列 的前 项之积为 ，
，
，
即 ，
是以2为公差的等差数列.
又 ，即 ，
所以
（2） ，
，
，
两式相减得，
，（3）
所以数列 的前 项和
，
又 ， 是单调递增，
所以 .
29．已知函数 .
（1）若 ，求a的值；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出 ，结合 ，根据 分类讨论函数 的单调性，即可解出；
（2）由（1）知 ，结合要证不等式，可由 得 ，所以
，再利用不等式放缩 ，即可由裂
项相消求和法证出．
【详解】
（1）因为 ， ，则 ，且 ，当 时， ， 在 上单调增，所以 时， ，不满足题意；
当 时，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增.
①若 ， 在 上单调递增， 当 时 矛盾
②若 ， 在 上单调递减， 当 时 矛盾
③若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增
满足题意，综上所述 .
（2）证明：由（1）知 ，又 ， ，
， 时，令 ，得 ， ，
∴结论成立.
30．已知数列 的前 项和为 ， ，数列 满足 ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 满足： ， ，若不等式 恒成立，求实数
的取值范围.【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）由 ，利用数列通项与前n项和的关系求得 ；再由 求解；
（2）由 ，利用错位相减法求得 ， 由 ，利用累加法得到 ，从而
求得 ，然后由 恒成立求解.
【详解】
（1）当 时， ，∴ ，
当 时，由 得
，即 ，
∴数列 是公差为2的等差数列，
∵ ，∴ .
由条件得 ， ，
∴ ，即数列 是公比为2的等比数列，
∴ .
（2） ，设数列 的前 项和为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
由 得 ，
累加得 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
