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9.1 直线方程与圆的方程（精练）（提升版）
题组一 直线的倾斜角与斜率
1．（2022·全国·高三专题练习）直线 过点 ，其倾斜角为 ，现将直线 绕原点O逆时
针旋转得到直线 ，若直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【解析】由题， ，直线 的倾斜角为 ，故
故选：B
2．（2022·江苏）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是60°，则k的
值为（ ）
A． 或0 B． 或0
C． D．
【答案】A
【解析】直线 的斜率为 ，所以倾斜角为120°.要使直线 与直线 的夹角是60°，
只需直线 的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或 .故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知动直线 的倾斜角的取值范围是 ，则实数m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题设知：直线斜率范围为 ，即 ，可得 .故选：B.
4．（2022·湖南师大附中）已知直线l： 在x轴上的截距的取值范围是（ ，
3），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】已知直线l：(2+a)x+(a−1)y−3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线 过点 ，
由题知，在 轴上的截距取值范围是 ，
所以直线端点的斜率分别为： ，如图：
或 .
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，过点 且斜率为 的直线l与线段AB有公共
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】因为过点 且斜率为 的直线l与线段AB有公共点，所以由图可知， 或 ，
因为 或 ，所以 或 ，故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）已知两点 ， ，直线 过点 且与线段 相交，则直
线 的斜率 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】如下图示，
当直线 过A时， ，
当直线 过B时， ，
由图知： 或 .故选：B题组二 直线的位置关系
1．（2022新疆）“ ”是“直线 与 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：当 时，直线 与 即为：
与 ，所以两直线平行.故充分性满足；
必要性：直线 与 平行，则有： ，解得：
或 .
当 时，直线 与 即为： 与
，所以两直线平行，不重合；
当 时，直线 与 即为： 与
，所以两直线平行，不重合；
所以 或 .
故必要性不满足.
故“ ”是“直线 与 平行”的充分不必要条件.
故答案为：A
2（2022青海）． 是直线 和 平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】当 时，直线 和 分别为：
和 ，显然，两直线平行；
当直线 和 平行时，
有 成立，解得 或 ，
当 时，两直线为 和 ，显然，两直线不重合是平行关系；
当 时，两直线为 和 ，显然，两直线不重合是平行关系；
由此可判断 是直线 和 平行的充分不必要条件，
故答案为：A.
3．“ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 或 所以 ，反之，则不然
所以“ ”是“直线 与直线 垂直”的
充分不必要条件.故答案为：A
4．（2022·江苏 ）已知直线 ， ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，则 ，∴ ，
所以 ，二次函数的抛物线的对称轴为 ，
当 时， 取最小值 .
故选：A．
5．（2022·全国· 课时练习）已知集合 ， ，且
，则实数a的值为___________.
【答案】1
【解析】 集合 ， ，且 ，
直线 与直线 平行，即 ，且 ，解得 .故答案为：1.
题组三 直线与圆的位置关系
1．（2022山东）过点 的直线 与圆 ： 交于 ， 两点，当弦 取最大
值时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 ： 化为 所以圆心坐标
要使过点 的直线 被圆 所截得的弦 取最大值时，则直线过圆心
由直线方程的两点式得： ，即 故答案为：A
2．（2022山西）已知直线 与圆 交于 两点，且 ，则 （
）A． B． C．1 D．±1
【答案】B
【解析】因为直线 ， 所以，直线 过定点 ，且在圆
内，
因为直线 与圆 交于 两点，且 ，
所以，圆心 到直线 的距离为 ，
所以， ，即 ，即 .故答案为：B
3．（2022河南）已知圆 截直线 所得弦的长度为2，那么实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆 圆心为 半径为 点 到直线 的距离为
则弦长为 ，得 解得 故答案为：D．
4．（2022·秦皇岛二模）直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将圆的方程化为： ，则圆 的圆心为 ，半径为4，因为圆心到直线 的距离为： ，所以直线 被圆 截得的弦长为 . 答案为：B.
5．（2022玉溪期末）已知直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 ，
故直线 的方程为 ，即 。故答案为：A.
6．（2022温州期末）已知直线 与圆 有两个不同的交点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线 与圆 有两个不同的交点，
所以圆心到直线的距离 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，故答案为：B.
7．（2022·柳州模拟）已知直线 与圆 相交于A，B两点
，则k＝（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆 的圆心C（2，1） ， 半径r=2，
所以圆心C（2，1）到直线 的距离 ，
而 ，所以 ，解得： .故选：B
8．（2022·深圳期末）（多选）已知直线 ，圆 ，则（ ）
A．直线 与圆 相交
B．圆 上的点到直线 距离的最大值为
C．直线 关于圆心 对称的直线的方程为
D．圆 关于直线 对称的圆的方程为
【答案】ACD
【解析】由圆 方程知：圆心 ，半径 ；
对于A， 圆心 到直线 距离 ， 直线 与圆 相交，A符合题意；
对于B， 圆心 到直线 距离 ， 圆 上的点到直线 距离的最大值为 ，B不
符合题意；
对于C，设直线 关于圆心 对称的直线方程为： ，则圆心 到直线 和到其对称直线的距离相等， ，解得： （舍）或 ， 直线
关于圆心 对称的直线的方程为 ，C符合题意；
b
{ =−1
a
对于D，设圆心 关于直线 对称的点为 ，则 ，解得： ，
a b
− +1=0
2 2
所求圆的圆心为 ，半径为1，
圆 关于直线 对称的圆的方程为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
9．（2022·沧州模拟）已知直线 ，圆 ，则下列结论正确的有
（ ）
A．若 ，则直线 恒过定点
B．若 ，则圆 可能过点
C．若 ，则圆 关于直线 对称
D．若 ，则直线 与圆 相交所得的弦长为2
【答案】ACD
【解析】当 时，点 恒在 上，A正确；
当 时，将点 代入 ，得 ，该方程无解，B错误；
当 时，直线 恒过圆 的圆心，C符合题意；当 时， 与 相交所得的弦长为 2，D符合题意.
故答案为：ACD
10．（2022·三明模拟）已知直线l： 与圆C： 相交于A，B两
点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B．若圆C关于直线l对称，则
C．若 ，则 或
D．若A，B，C，O四点共圆，则
【答案】ACD
【解析】直线 过点 ，
圆 ，即 ①，
圆心为 ，半径为 ，
由于 ，所以 在圆 内. ，
所以 ，此时 ，所以A选项正确.
若圆 关于直线 对称，则直线 过 两点，斜率为 ，所以B选项错误.
设 ，则 ，此时三角形 是等腰直角三角形，到直线 的距离为 ，即 ，
解得 或 ，所以C选项正确.
对于D选项，若 四点共圆，设此圆为圆 ，圆 的圆心为 ，
的中点为 ， ，
所以 的垂直平分线为 ，则 ②，
圆 的方程为 ，
整理得 ③，
直线 是圆 和圆 的交线，
由①-③并整理得 ，
将 代入上式得 ， ④，
由②④解得 ，
所以直线 即直线 的斜率为 ，D选项正确.
故答案为：ACD
题组四 圆与圆的位置关系
1．（2022·吉林模拟）已知两圆方程分别为 和 ．则两圆的公切线有（
）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C【解析】两圆的圆心分别为 和 ，半径分别为2和3，圆心距 ，则两圆外
切，公切线有3条． 故答案为：C
2．（2021·广安期末）若圆 平分圆 的周长，则
直线 被圆 所截得的弦长为 ．
【答案】6
【解析】两圆相减得公共弦所在的直线方程为
由题知两圆的公共弦过圆 的圆心，所以
即 ，又 ，所以
到直线 的距离
所以直线 被圆 所截得的弦长为
故答案为：6
3．（2022·威海模拟）圆 与圆 的公共弦长为 ．
【答案】
【解析】设圆 ： 与圆 ： 交于 ， 两点
把两圆方程相减，化简得
即 ：
圆心 到直线 的距离 ，又
而 ，所以 故答案为：4．（2022·潍坊二模）若圆 与圆 的交点为A，B，则 ．
【答案】
【解析】由题可知： ， ， ，
满足勾股定理： ，
所以△AOC是直角三角形，且∠OCA=30°，
∴ ，
∴ 。
故答案为： 。
题组五 切线与切线长
1．（2022·贵阳模拟）已知直线 和 与圆 都相切，则圆
的面积的最大值是（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
【答案】A
【解析】由题， 互相平行，且 ，故圆 的直径为 间的距离
，令 ，则 ，，故当 ，即 时 取得最
大值 ，此时圆 的面积为 故答案为：A
2．（2022·天津市模拟）过点 作圆 的切线 ，则 的方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【解析】
即 在圆上
则过 点的切线方程为
整理得 故答案为：C
3．（2022番禺期末）写出与圆 和圆 都相切的一条切线方程 .
【答案】y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0
【解析】圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半
径为4，
圆心距为 ，所以两圆外切，如图，有三条切线 ，易得切线 的方程为y=1，
因为 ，且 ，所以 ，设 ，即 ，
则 到 的距离 ，解得 （舍去）或 ，所以 ，
可知 和 关于 对称，联立 ，解得 在 上，
在 上任取一点 ，设其关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
则 ，所以直线 ，即24x+7y+25=0，
综上所述，切线方程为y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0。
故答案为：y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0。4．（2022高三上·广东月考）已知 ： ，直线 ： ，
为直线 上的动点，过点 作 的切线 ， ，切点为A， ，当四边形
的面积取最小值时，直线AB的方程为 ．
【答案】x+2y+1=0
【题解组析六】 对称：问 题 的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4 ，
则圆心C（1，1） ，半径r=2 ．
因为四边形MACB的面积S=2S =|CA|·|AM|=2|AM|=2 ，
△CAM
要使四边形MACB面积最小，则需|CM|最小，此时CM与直线l垂直，
直线CM的方程为y-1=2(x-1) ，即y=2x-1 ，
联立 ，解得M（0，-1），则|CM|= ，
则以CM为直径的圆的方程为(x- )2+(y-1)2= ，
与 的方程作差可得直线AB的方程为x+2y+1=0 ．
故答案为：x+2y+1=0 .
1．（2022·昌吉二模）已知圆 ，圆 ，点 分别是
圆 ､圆 上的动点，点 为 上的动点，则 的最小值是（ ）A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆 的方程可知：圆心 ， ，半径 ， ；
设 与 关于 对称，则 ，
则圆 与圆 关于 对称，
当 五点共线时， 取得最小值，
.
故答案为：B.
2．（2022武汉）一条光线沿直线 入射到 轴后反射，则反射光线所在的直线方程
为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 得 ，所以直线 与 轴的交点为 ，
又直线 的斜率为 ，所以反射光线所在直线的斜率为 ，所以反射光线所在的直线方程为 ，即 .
故答案为：B.
3（2022上海）直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
【答案】C
【解析】设直线 上的点 关于点 的对称点的坐标为 ，
所以 ， ，所以 ， ，
将其代入直线 中，得到 ，化简得 。故答案为：C．
4（2022深圳）．直线 关于直线 对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线 的斜率为1,
故有 ,将其代入直线 ,即得： ,
整理即得 ,故答案为：A
5（2022浙江）．与直线 关于 轴对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设M(x,y)是所求直线上的任意一点，则其关于y轴的对称点为 在直线
上， 所以 即 .与直线 关于 轴对称的直线的方程为 .
故答案为：B
6．（2022江苏） 的顶点 ，AC边上的中线所在的直线为 ，
的平分线所在直线方程为 ，求AC边所在直线的方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在的直线为4x+13y-10=0，
∠ABC的平分线所在直线方程为 x+2y-5=0，
故由 求得 x=9，y=-2，可得点B(9，-2)
设点A(4，3)关于∠ABC的平分线所在直线 x+2y-5=0的对称点A'(a，b)，由 ，求得a=2， b=-1，可得A'(2，-1)，
再根据A'(2-1)在直线BC上： ，即x+7y+5=0上，
设点C(m，n)，
则AC的中点 在AC边上的中线所在的直线为4x+13y-10=0上，
由 ’求得n=1，m=-12，可得点 C(-12，1)
故AC边所在直线的方程为 ，即x-8y+20=0.
故答案为：B
7（2022广东汕头）．已知点 为直线 上的一点， 分别为圆
与圆 上的点,则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】求得 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
由对称性可得 ，
则 ，由于 ，
，
的最大值为 ，故答案为：C.
