曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第九章 直线和圆的方程
9.1 直线方程与圆的方程
三年模拟
一、选择题
1.(2022合肥二模,5)若l :3x-my-1=0与l :3(m+2)x-3y+1=0是两条不同的直线,则“m=1”
1 2
是“l 1∥l
2
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3 -1 -1
答案 C 当m=1时,l
1
:3x-y-1=0,l
2
:9x-3y+1=0,
9
=
-3
≠
1
,所以l 1∥l
2
,充分性成立;若l 1∥l
2
,
3 -m -1
则 = ≠ ,解得m=1,必要性成立.故选C.
3(m+2) -3 1
2.(2022河南济源、平顶山、许昌第二次质量检测,8)已知点A(1,2)在圆
C:x2+y2+mx-2y+2=0外,则实数m的取值范围为( )
A.(-3,-2)∪(2,+∞) B.(-3,-2)∪(3,+∞)
C.(-2,+∞) D.(-3,+∞)
答案 A 圆C的方程可化为( m) 2 m2 -1,
x+ +(y-1)2=
2 4
m2
∴ -1>0,∴m<-2或m>2.
4
∵点A(1,2)在圆C外,
∴( m) 2 m2 -1,解得m>-3,
1+ +(2-1)2>
2 4
∴-3<m<-2或m>2.故选A.
易错警示 易忽略方程表示圆的条件而致误.
3.(2022河南顶尖计划联考,7)若a,b为实数,圆O :(x+a)2+y2=4和圆O :x2+(y-b)2=1有三条
1 2
公切线,则|a|+|b|的最大值为( )
A.3√2 B.3
C.2√2 D.6
答案 A 易得圆O 的圆心为(-a,0),半径r =2,圆O 的圆心为(0,b),半径r =1.
1 1 2 2
∵两圆恰有三条公切线,∴两圆外切,
∴|O O |=r +r =3,即 =3,
1 2 1 2 √a2+b2
∴a2+b2=|a|2+|b|2=9,
∴(|a|+|b|)2≤2(|a|2+|b|2)=18,
3√2
∴|a|+|b|≤3√2,当且仅当|a|=|b|= 时取等号.
2
故选A.
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疑难突破 根据两圆的公切线条数确定两圆位置关系,进而得到a2+b2=|a|2+|b|2=9,再把|a|
+|b|平方后利用重要不等式求最值即可.
4
4.(2022江西景德镇重点中学3月模拟,5)已知点P在曲线y= 上,α为曲线在点P处
ex+1
的切线的倾斜角,则α的取值范围为( )
A.( 3π] [3π )
0, B. ,π
4 4
C.[ π)∪[3π ) ( π)∪(π 3π]
0, ,π D. 0, ,
2 4 2 2 4
答案 B 根据题意得y'=-
4ex 4ex 4
,∴曲线在点P处的切线的斜率k=- =- ≥-
e2x+2ex+1 e2x+2ex+1
ex+
1
+2
ex
4 1 1
=-1,当且仅当ex= ,即x=0时取“=”,又ex+ >0,∴k<0,∴-1≤k<0.由
2+2 ex ex
α∈[0,π),结合正切函数图象可知,α∈[3π
,π
),故选B.
4
5.(2022山西晋城重点中学4月月考,6)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0
同时相切的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5
答案 A 由已知得圆心到直线的距离d=
|2a-1+4| |2a-1-6|
= ,解得a=1,d=√5,所以半径r=√5,所以圆的标准方程为
√5 √5
(x-1)2+(y-1)2=5.
6.(2022皖南八校联考,5)已知直线y=ax与圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0相交于A,B两点,且
△ABC为等边三角形,则圆C的面积为( )
A.49π B.36π C.7π D.6π
答案 D 圆C的标准方程为(x-a)2+(y-1)2=a2-1,则圆心C(a,1)到直线y=ax的距离为
|a2-1| = √3 · √a2-1,解得a2=7,所以圆C的半径为√6 ,所以圆C的面积为6π,故选
√a2+1 2
D.
7.(2022房山一模,9)已知直线l被圆C:x2+y2=2所截的弦长不小于2,则下列曲线中与直线
l一定有公共点的是( )
A.y=x2-1 B.(x-1)2+y2=1
x2
C. +y2=1 D.x2-y2=1
2
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答案 C 设圆心C到直线l的距离为d,圆C的半径为 ≥2,
√2,则弦长=2√(√2)2-d2
所以d≤1,所以原点到直线l的距离小于等于1,则直线l上存在一点,到原点的距离小于等
于1,观察四个选项,故选C.
8.(2022哈尔滨三十二中期末,12)已知圆C的圆心为(2,-3),且过点(0,0),则圆C的方程为(
)
A.(x+2)2+(y-3)2=5
B.(x-2)2+(y+3)2=5
C.(x+2)2+(y-3)2=13
D.(x-2)2+(y+3)2=13
答案 D 设圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=r2(r>0),因为圆C过点(0,0),所以(0-2)2+(0+3)2=r2,
解得r2=13,所以圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.故选D.
9.(2022九师联盟核心模拟卷六,10)已知A,B为圆O:x2+y2=4上的两动点,|AB|=2√3,点P
是圆C:(x+3)2+(y-4)2=1上的一点,则|⃗PA+⃗PB|的最小值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C 设M是AB的中点,因为|AB|=2√3,所以|OM|=√4-3=1,即M在以O为圆
心,1为半径的圆上.⃗PA+⃗PB=⃗PM+⃗MA+⃗PM+⃗MB=2⃗PM,所以|⃗PA+⃗PB|=2|
-1=4,所以|PM| =|PO| -1=4-1=3,所以| +
⃗PM|.又|PO|min=|OC|-1=√32+42 min min ⃗PA
| =2×3=6.故选C.
⃗PB min
1 2
10.(2022呼和浩特一模,10)已知圆(x+1)2+(y+2)2=4关于直线ax+by+2=0对称,则 + 的
a b
最小值为( )
9
A.2 B.4 C.9 D.
2
答案 D 依题意得圆心(-1,-2)在直线ax+by+2=0上,
∴-a-2b+2=0,∴a+2b=2,
∴1
+
2
=
1
(a+2b)
(1
+
2)
=
1(
1+
2b
+
2a
+4
)≥
a b 2 a b 2 a b
1( √2b 2a) 1 9 2 1 2 9
5+2 · = ×(5+4)= ,当且仅当a=b= 时,等号成立.故 + 的最小值为
2 a b 2 2 3 a b 2
,故选D.
11.(2022四川泸州天立教育集团联测,8)已知坐标原点为O,过点P(2,6)作直线l:2mx-
(4m+n)y+2n=0(m,n不同时为零)的垂线,垂足为M,则|OM|的取值范围是( )
A.[5-2√5,5+2√5]B.[5-√5,5+√5]
C.[5-√3,5+√3]D.[5,5+√5]
答案 B 直线l:2mx-(4m+n)y+2n=0,即m(2x-4y)-n(y-2)=0,可知直线l过定点Q(4,2).
又MP与直线l垂直,M为垂足,所以点M的轨迹是以PQ为直径的圆.
易得以PQ为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=5,
则有5-√5≤|OM|≤5+√5,
所以|OM|的取值范围是[5-√5,5+√5],故选B.
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解题指导 根据题意,将直线方程变形为m(2x-4y)-n(y-2)=0,可得该直线恒过点(4,2),设
Q(4,2),进而得到点M的轨迹是以PQ为直径的圆,然后利用几何意义求出|OM|的取值范
围.
12.(2022湘豫名校联考,7)在平面直角坐标系中,A(0,1),B(0,4),C是直线y=x上的一动
13
点,M是圆(x-2)2+y2= 上一点,则当|CA|+|CB|最小时,|MC|的最小值为( )
25
√13 2√13 3√13
A. B. C. D.√13
5 5 5
答案 A 作A关于直线y=x的对称点A',可得A'(1,0),
则|CA|+|CB|=|CA'|+|CB|≥|A'B|=√1+16=√17.
联立
4
{ x+ y =1, {x= 5 , (4 4) √ ( 4) 2 ( 4) 2 √13 √13
4 解得 故当C , 时,|CA|+|CB|最小,所以|MC|min= 2- + 0- - =
4 5 5 5 5 5 5
y=x, y= ,
5
故选A.
解题关键 作A关于直线y=x的对称点A',根据对称性可得使|CA|+|CB|最小时的C点坐
标,求出其到圆心的距离,进而可求得|MC|的最小值.
13.(2022九师联盟核心模拟卷三,10)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=4
与x轴和y轴分别相切于A,B两点,点M,N分别在线段OA,OB上,且MN与圆C相切,则|
MN|的最小值为( )
A.2+√2B.2-√2
C.4√2+4D.4√2-4
答案 D 设MN与圆C相切于点Q,则|AM|+|BN|=|QM|+|QN|=|MN|.设∠MNO=θ,θ∈
( π),则|OM|+|ON|=|MN|sin θ+|MN|cos θ,故|OA|+|OB|=|MN|·(1+cos θ+sin θ)=4,所以|
0,
2
4 4
= 4
MN|=1+cosθ+sinθ ( π)≥ =4√2-4.故选D.
1+√2sin θ+ 1+√2
4
14.(2022江西九师联盟3月质检,11)已知圆C :x2+y2=1,圆C :x2+y2=9,P(x ,y )在圆C
1 2 1 1 1
上,Q(x ,y )在圆C 上,则下列说法错误的是( )
2 2 2
A.|PQ|的取值范围是[2,4]
B.直线x x+y y=1是圆C 在P点处的切线
1 1 1
C.直线x x+y y=9与圆C 相交
1 1 2
1
D.直线x x+y y=1与圆x2+y2= 相切
2 2
9
答案 C 对于A,易得圆C ,C 的圆心均为(0,0),半径分别为1,3,∴2≤|PQ|≤4,故A中说法
1 2
正确;
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对于B,若x y ≠0,则直线OP的斜率为
1 1
y
1,则过点P的切线的斜率为-
x
1 ,∴过点P的切线方程为y- y1=-
x 1·(x-x
1
),化
x y y
1 1 1
简,得x x+y y=1,当x =0或y =0时,切线方程符合x x+y y=1,故B中说法正确;
1 1 1 1 1 1
|-9|
对于C,C (0,0)到直线x x+y y=9的距离为 =9>3,∴直线x x+y y=9与圆C 相离,故
2 1 1 1 1 2
√x2+ y2
1 1
C中说法错误;
|-1| 1
对于D,点(0,0)到x 2 x+y 2 y=1 的距离为 = ,
√x2+ y2 3
2 2
1
∴x x+y y=1与x2+y2= 相切,故D中说法正确.
2 2
9
故选C.
15.(多选)(2022石家庄二中开学考,12)瑞士数学家欧拉在所著的《三角形的几何学》一
书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.
已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(-2,0) D.(0,-2)
答案 AD 设C(a,b),△ABC的外心为M.易知AB的垂直平分线为y=-x,△ABC的外心M
为欧拉线x-y+2=0与直线y=-x的交点,易知M(-1,1),∴|MC|=|MA|=√10,∴△ABC的外接
圆方程为(x+1)2+(y-1)2=10,∵点C在△ABC的外接圆上,∴(a+1)2+(b-1)2=10①,由
A(-4,0),B(0,4),C(a,b),可知△ABC的重心为(a-4 b+4),代入欧拉线方程x-y+2=0,得a-
,
3 3
b-2=0②,联立①②解得a=2,b=0或a=0,b=-2.∴顶点C的坐标可以是(2,0)或(0,-2).故选AD.
二、填空题
16.(2022豫西五校4月联考,14)过点P(1,2)作直线l,若点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,
则直线l的方程为 .
答案 4x+y-6=0或3x+2y-7=0
3+5
解析 解法一:若A、B位于直线l的同侧,则直线l∥AB,k
AB
=
2-4
=-4,所以直线l的方程
为4x+y-6=0;若A、B位于直线l的两侧, 则直线 l 必经过线段 AB 的中点 (3,-1) ,所以直线l
的方程为3x+2y-7=0.所以直线l的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
解法二:设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,则
|2k-3+2-k| |4k+5+2-k| 3
= ,化简得k-1=3k+7或k-1+3k+7=0,解得k=-4或k=-
√k2+1 √k2+1 2
所以直线l的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
17.(2022河北一模,13)经过点P(5,5)的直线l被圆C:x2+y2=25截得的弦长为4√5,则直线l
的方程为 .
答案 x-2y+5=0或2x-y-5=0
解析 由题意可得,直线的斜率存在,
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则可设直线l的方程为y-5=k(x-5),即kx-y+5-5k=0.又弦心距为 ,
√25-(2√5)2=√5
所以圆心到直线的距离d=
|0-0+5-5k|
,
=√5
√k2+1
1
解得k=2或k= ,
2
则直线l的方程为2x-y-5=0或x-2y+5=0.
18.(2022天津五十五中统练20,12)已知圆C过P(0,1)、Q(2,1)两点,且圆心C在x轴上,经
过点M(-1,0)且倾斜角为钝角的直线l交圆C于A、B两点,若⃗CA·⃗CB=0,则直线l的斜率
为 .
√3
答案 -
3
解析 由题可知,PQ为圆C的弦,则圆心C在PQ的中垂线x=1上,又∵圆心在x轴上,故
圆心C的坐标为(1,0),故圆的半径r=|PC|=√2.
∵过点M(-1,0)的直线l交圆C于A,B两点,⃗CA·⃗CB=0,
∴△CAB为等腰直角三角形,|CA|=|CB|=r=√2,
则圆心C到直线l的距离d=1,
设l的方程为y=k(x+1),k<0,即kx-y+k=0,
则d= |2k| =1⇒k=±√3 √3.
,∵k<0,∴k=-
√k2+1 3 3
19.(2022陕西咸阳一模,13)直线y=√3x+m与圆x2+(y+1)2=1相切,则m= .
答案 -3或1
解析 因为直线y=√3x+m与圆x2+(y+1)2=1相切,
所以
|√3×0-(-1)+m|
=1,即|m+1|=2,所以m=-3或m=1.
√(√3)2+(-1)2
20.(2022河南天一第六次联考,16)已知动点A到P(1,3)的距离是到Q(4,0)的距离的2倍,
1
记动点A的轨迹为C,直线l:x-ty-4=0与C交于E,F两点,若S = S (点O为坐标原
△OQF
3
△OQE
点,S表示面积),则t= .
答案 -1
解析 设A(x, y),
则 ,
√(x-1)2+(y-3)2=2√(x-4)2+ y2
整理得(x-5)2+(y+1)2=8.设E(x ,y ),F(x ,y ),
1 1 2 2
联立
{(x-5)2+(y+1)2=8, 2t-2 6
整理得(t2+1)y2-(2t-2)y-6=0,故y1+ y2= ①,y1y2=-
x=ty+4, t2+1 t2+1
1
②.因为S = S ,所以y =-3y ③.联立①②③,解得t =t =-1.
△OQF
3
△OQE 1 2 1 2
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21.(2022江西二模,16)若点P为直线x-y+4=0上的一个动点,从点P引圆C:x2+y2=2的两
条切线PM,PN(M,N为切点),则直线MN恒过定点E的坐标为 .
答案 ( 1 1)
- ,
2 2
解析 设P(x ,x +4),M(x ,y ),N(x ,y ),则 过点 M 的切线方程为 xx +yy =2,证明如下:
0 0 1 1 2 2 1 1
若过点M的切线斜率存在,则切线的斜率k=-x ,
1
y
1
故切线方程为y-y =-x (x-x ),即x x+y y= + ,
1 1 1 1 1 x2 y2
y 1 1
1
又点M在圆x2+y2=2上,∴ + =2,则过点M的切线方程为x x+y y=2;
x2 y2 1 1
1 1
若过点M的斜率不存在,则M的坐标为(-
,也满足x x+y y=2.
√2,0)或(√2,0),对应切线方程为x=-√2或x=√2 1 1
综上所述,过点M的切线方程为x x+y y=2.
1 1
同理可得,过点N的切线方程为x x+y y=2.
2 2
∵两切线均过点P,
∴x x +(x +4)y =2,x x +(x +4)y =2,
0 1 0 1 0 2 0 2
1
{x=- ,
故直线MN的方程为x x+(x +4)y=2,即x (x+y)+4y=2,联立{x+ y=0, 2
0 0 0 解得
4 y=2, 1
y= ,
2
则直线MN恒过定点E( 1 1).
- ,
2 2
一题多解 如图,连接OM,ON,则OM⊥PM,ON⊥PN,
所以O,M,P,N四点共圆且直径为OP.
设P(x ,y ),以OP为直径的圆上任意一点Q(x,y),则⃗PQ·⃗OQ=0,
0 0
可得以OP为直径的圆的方程为x2+y2-x x-y y=0,
0 0
又M、N在圆x2+y2=2上,
∴直线MN的方程为x x+y y=2.
0 0
又∵x -y +4=0,∴x x+(x +4)y=2,即x (x+y)+4y-2=0,
0 0 0 0 0
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1
{x=- ,
由{ x+ y=0, 2 ( 1 1).
得 ∴直线MN过定点 - ,
4 y-2=0, 1 2 2
y= .
2
解后反思 本题考查过圆上一点的切线方程的求解,以及直线恒过定点问题的处理,处理
问题的关键是要掌握过圆上一点的切线方程的推导过程,记住结论(见知识清单)更有利
于做小题.
22.(2022门头沟期末,12)已知P为平面上的动点,A(-1,0),B(1,0)为平面上两个定点,且⃗PA·
=0,则动点P的轨迹方程为 .
⃗PB
答案 x2+y2=1
解析 设P(x,y),则⃗PA=(-1-x,-y),⃗PB=(1-x,-y),
因为⃗PA·⃗PB=0,所以(-1-x)(1-x)+y2=0,
化简得x2+y2=1,所以动点P的轨迹方程为x2+y2=1.
23.(2022房山二模,13)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=1和直线l:y=k(x+1),则圆心坐标为 ;
若点P在圆C上运动,P到直线l的距离记为d(k),则d(k)的最大值为 .
答案 (1,2);2√2+1
解析 由题意得圆心坐标为(1,2),圆C的半径为1,直线l过定点(-1,0),所以圆心(1,2)到直
线l的距离的最大值是 +1.
√(1+1)2+(2-0)2=2√2,所以d(k)的最大值为2√2
一年创新
1.(2022太原一模,11)在平面直角坐标系中,从x轴上一点P(t,0)向圆C:(x-2)2+(y-3)2=5作
一条切线,设切线长为m,点P到直线x-2y-6=0的距离为n,当m+n取最小值时,t的值为(
)
7
A.2 B.3 C. D.4
2
答案 B 圆(x-2)2+(y-3)2=5的圆心坐标为C(2,3),半径r=√5,过点P作圆的切线PA,A为
切点,连接PC,AC,如图.
则有AC⊥PA,m=|PA|
=
√|PC|2-r2
=
√(t-2)2+(0-3)2-5
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= ,
√(t-2)2+22
可表示动点P到定点M(2,2)的距离.
√(t-2)2+22
设直线x-2y-6=0为l,过P作PR⊥l于点R,
则n=|PR|,
过M作MN⊥l于点N,交x轴于点Q,连接PM,MR,
则m+n=|PM|+|PR|≥|MN|=|MQ|+|QN|,当且仅当P,Q重合时取等号.
易得直线MN的斜率为-2,其方程为y-2=-2(x-2),即2x+y-6=0,令y=0,得x=3,则t=3.
故当m+n取最小值时,t的值为3.
故选B.
2.(2022天津三中二模,12)若圆(x-3)2+(y-4)2=2上存在两点A,B,使得以AB为直径的圆过
点P,O为坐标原点,则|OP|的最大值为 .
答案 7
解析 设AB中点为M,以AB为直径的圆的半径|AM|=t,圆(x-3)2+(y-4)2=2的圆心为
C(3,4),则|OP|≤|OC|+|CM|+|MP|=5+ +t≤5+ =7,当且仅当t=1,即半径|
√2-t2 √2(2-t2+t2)
AM|=1时等号成立,此时O,C,M,P四点共线.
3.(2022密云二模,15)已知点A(2,0),B(0,2)和点P(cos θ,sin θ),θ∈R.给出下列四个结论:
①点P到直线AB的最大距离为√2+1;
②当∠PAB最大时,|PA|=√3;
③△PAB的面积的最大值为4+√2;
④若y=⃗AB·⃗AP,则4-2√2≤y≤4+2√2.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
解析 ①由题意得,直线AB的方程为x+y-2=0,设点P到直线AB的距离为d,则d=
| ( π) |
√2sin θ+ -2
|cosθ+sinθ-2| 4 ( π)
= ,当sin θ+ =-1时,d有最大值,最大值为√2
√2 √2 4
+1,故①正确.
②由题意得,点P在以(0,0)为圆心的单位圆上.当点P在第四象限,且直线PA与单位圆相
切时∠PAB最大,此时|PA|= ,故②正确.
√OA2-OP2=√22-12=√3
1
③S = |AB|d=√2d,只有当d最大时,S 才能取得最大值.由①知d的最大值为
△ABP
2
△ABP
√2+1,所以S 的最大值为2+√2,故③错误.
△ABP
④∵⃗AB=(-2,2),⃗AP=(cos θ-2,sin θ),∴y=⃗AB·
⃗AP=-2(cos θ-2)+2sin θ=-2cos θ+2sin θ+4=2√2sin ( θ-
π)+4,∵θ∈R,∴sin
4
( π)∈[-1,1],所以4-2 ≤y≤4+2 ,故④正确.故答案为①②④.
θ- √2 √2
4
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页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
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