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第 05 讲 第九章 统计与成对数据的统计分析（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·全国·高一课时练习）“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、
世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是（ ）
A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据
【答案】C
【详解】“中国天眼”主要是通过观察获取数据．
故选：C．
2．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，
某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛.若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，利用下面的
随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次
选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20 01 12 51 29
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．23 B．20 C．15 D．12
【答案】C
【详解】根据随机数表法可得选出的个体编号依次为：12，02，01，04，15，
第5个个体编号为15，
故选：C.
3．（2022·全国·高一单元测试）电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映．某新闻机构想了解市民
对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本．若3个
区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为（ ）.
A．100 B．160 C．200 D．240
【答案】C
【详解】解：由3个区人口数之比为2：3：5，得第三个区所抽取的人数最多，所占比例为50%．
又因为此区抽取了100人，所以3个区所抽取的总人数为100÷50%=200，即这个样本的容量为200．
故选： C．
4．（2022·重庆·高二阶段练习）下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数 与当天气温 （单位： ）的
对比表，已知表中数据计算得到 关于 的线性回归方程为 ，则据此模型预计 时卖出奶茶
的杯数为（ ）
气温 5 10 15 20 25
杯数 26 20 16 14 14A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】由题可知 ，
，
由 ，可得 ，
则
则据此模型预计 时卖出奶茶的杯数为6.
故选：C
5．（2022·福建·莆田一中高二期末）某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样
调查150人，进行独立性检验，经计算得 ，临界值表如下：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.076 3.841 5.024 6.635
则下列说法中正确的是：（ ）
A．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”
B．有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”
【答案】C
【详解】由题意可知， ，
所以在犯错误的概率不超过 的前提下可认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”.
故选：C.
6．（2022·广西河池·高二期末（文））一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了6组观测数据，y
（单位：个）与温度x（单位：℃）得到样本数据 （ ，2，3，4，5，6），令 ，并将
绘制成如图所示的散点图.若用方程 对y与x的关系进行拟合，则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【详解】因为 ，令 ，则z与x的回归方程为 .
根据散点图可知z与x正相关，所以 .
由回归直线图象可知：回归直线的纵截距大于0，即 ，
所以 ，
故选：A.
7．（2022·全国·高一单元测试）2022年国务院《政府工作报告》中指出，有序推进碳达峰碳中和工作，落
实碳达峰行动方案.汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，某检测单位对甲､乙两类MI型品牌的新车各抽
取了5辆进行 排放量检测，记录如下（单位：g/km），则甲､乙两品牌汽车 的排放量稳定性更好
的是（ ）
甲 80 110 120 140 150
乙 100 120 100 120 160
A．甲 B．乙 C．甲､乙相同 D．无法确定
【答案】B
【详解】甲类品牌汽车的 排放量的平均值 ，
甲类品牌汽车的 ，排放量的方差
.乙类品牌汽车的 排放量
的平均值 ，
乙类品牌汽车的 排放量的方差
，所以 .
故选：B.
8．（2022·全国·高一单元测试）期末考试后，高二某班50名学生物理成绩的平均分为85，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班物理成绩的是（ ）
A．60 B．78 C．85 D．100
【答案】A
【详解】根据题意，平均数 ，方差 ，所以 ，若存
在 ，则 ，则方差必然大于8.2，不符合题意，所以60不可能是所有成绩中的一
个数据．又 ， ， .故B，C，D错误.
故选：A．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·福建南平·高一期末）关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论正确的是（ ）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生 人，女生 人，按性别进行分层抽样，样本量按比例
分配，若从女生中抽取的样本量为 ，则样本容量为
C．若甲、乙两组数据的标准差满足 ，则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据 的平均数为 ，则数据 的平均数为
【答案】ABD
【详解】对于A:了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查,故A正确；
对于B,根据分层抽样的抽样比可知样本容量为 ，故B对
对于C:因为 ，所以甲的数据更稳定，故C错误，
对于D:根据平均数的性质： 的平均数为 ，故D 对
故选：ABD
10．（2022·全国·高一单元测试）下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表
乙）．根据图中的信息，下列说法正确的是（ ）A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数
B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数
C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同
D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差
【答案】ACD
【详解】甲厂轮胎宽度分别为194， 194，194，195，196， 197，乙厂轮胎宽度分别为191， 193，194，
195，195，196，
甲厂轮胎宽度平均数为 ，乙厂轮胎宽度平均数为
， ，故A正确；
甲厂轮胎宽度的众数是194，乙厂轮胎宽度的众数是195， ，故B错误；
甲厂轮胎宽度的中位数为 ，乙厂轮胎宽度的中位数为 ，
故C正确；
甲厂轮胎宽度的极差为 ，乙厂轮胎宽度极差为 ， ，故D正确.
故选：ACD．
11．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）自2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，
各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每
周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y关于x的二次回归方程为 ，则下列说法正确的是
（ ）
周数(x) 1 2 3 4 5
治愈人数
2 17 36 93 142
（y）
A．
B．C．此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为5
D．估计第6周治愈人数为220
【答案】BC
【详解】解：设 ，则 ，
由已知得
所以 ，故选项A错误，选项B正确；
在 中，令 ，得 ，
所以此回归模型第4周的残差 ．故选项C正确；
在 中，令 ，得 ，故选项D错误．
故选：BC．
12．（2022·广东汕头·高二期末）已知由样本数据 组成的一个样本，得到回归直线
方程为 ，且 ，去除两个歧义点 和 后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列
说法正确的是（ ）
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．去除两个歧义点后的回归直线方程为
C．去除两个歧义点后，样本（4，8.9）的残差为
D．去除两个歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小
【答案】ABC
【详解】对A，因为回归直线的斜率大于0，即相关变量x，y具有正相关关系，故A正确；
对B，将 代入 得 ，则去掉两个歧义点后，得到新的相关变量的平均值分别为
， ，此时的回归直线方程为 ，故B正确；
对C，x=4时， ，残差为8.9-9=-0.1，故C正确；
对D，斜率3>1，此时随x值增加相关变量y值增加速度变大，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·陕西渭南·高一期末）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）
之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70根据上表可得线性回归方程 ，据此估计，当投入15万元广告费时，销售额为_______万元.
【答案】120
【详解】由上表可知： .
得样本点的中心为 ，代入回归方程 ，得 .
所以回归方程为 ，
将 代入可得： .
故答案为：
14．（2022·重庆十八中高二期末）某篮球联赛期间，某一电视台对年龄高于30岁和不高于30岁的人是否
喜欢甲队进行调查，对高于30岁的调查了45人，不高于30岁的调查了55人，所得数据绘制成如下列联
表：
是否喜欢甲队
年龄 合计
喜欢甲
不喜欢甲队
队
高于30岁 45
不高于30岁 15 40 55
合计 100
若工作人员从调查的所有人中任取一人，取到喜欢甲队的人的概率为 ，依据小概率值 的独立性
检验，推断年龄与是否喜欢甲队______（填“有”“无”）关联.
附： ， .
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】有
【详解】由题知 ，解得
所以
所以有 的把握认为年龄与是否喜欢甲队有关.
故答案为：有15．（2022·福建厦门·高一期末）某电池厂有A，B两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比
例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方
差，结果如下：
项目 抽取成品数 样本均值 样本方差
A生产线产品 8 210 4
B生产线产品 12 200 4
则20个产品组成的总样本的方差为_____.
【答案】
【详解】依题意得， ， ，
解得： ， ，
又 ，
20个产品组成的总样本的方差为28.
故答案为： .
16．（2022·天津津衡高级中学有限公司高三阶段练习）对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发
了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染
了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为 ．对他们进行治疗后，统
计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为 、 、 ，那
么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是________；若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该
药对“奥密克戎毒株”的有效率是________．
【答案】 72%## 25%##
【详解】(1)
(2)
故答案为： 72%； 25%
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·全国·高一课时练习）某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：
h）可以把这批电子元件分成六组．由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
分
组
频
30 20
数
频
0.2 0.4
率
(1)求图2中A的值；
(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于 内的产品中抽取5个作为样本，那么在
内应抽取多少个？
【答案】(1)
(2)频率分布直方图见解析，阴影部分的面积为
(3)4个
（1）由题意可知 ，所以 ．
（2）补全后的频率分布直方图如图所示，阴影部分的面积为 ．
（3）由分层抽样的性质，知在 内应抽取 （个）．
18．（2022·全国·高一单元测试）在①样本容量为190，②抽取的高一学生人数为36这两个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并解答问题．
某校为了解学生课外阅读情况，将每周阅读时间超过10小时的学生称为“阅读者”，在“阅读者”中按年
级用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查．已知该校高一、高二、高三的学生人数和“阅读
者”情况分别如图（1）和图（2）所示，且______．
(1)求抽取的“阅读者”中高三学生的人数；
(2)为了深入了解高三学生阅读情况，利用随机数表法抽取样本时，先对被抽取的高三“阅读者”按01，
02，03，…进行编号，然后从随机数表第8行第5列的数字开始从左向右读，依次抽取5个编号，写出被
选出的5个学生的编号．（注：如下为随机数表的第8行至第11行）
63 01 63 78 59 16 95 59 47
19 98 50 71 75 12 86 73 58
33 21 12 34 29 78 64 56 07
82 52 07 44 38 15 51 00 13
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，高三学生的人数为
(2)依次选出的编号是63，78，59，16，47
（1）由题图知，该校“阅读者”中，高一、高二、高三学生人数分别为 ， ，
．选①，因为样本容量为190，所以抽取的“阅读者”中高三学生的人数为
．选②，因为抽取的高一学生人数为36，所以抽取的“阅读者”中高三学生的人
数为 ．
（2）根据题意，从随机数表第8行第5列的数字开始从左向右读，依次选出的编号是63，78，59，16，
47．
19．（2022·河南信阳·高二期末（文））随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程
从数量保障型转向质量效益型．为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了
对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上
的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图，其中质量指数值分组区间是： ，
， ， ， ．
(1)分别求甲片实验区西红柿的质量指数的平均值和中位数，并从统计学的角度说明平均值、中位数哪一个
更能代表甲片实验区西红柿的质量指数；
(2)请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有
关；
甲有机肥
乙有机肥料 合计
料
质量优等
质量非优等
合计
．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)平均值为 ，中位数为35.91，中位数更能代表甲片实验区西红柿的质量指数；
(2)表格见解析，有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关
（1）解：甲片实验区西红柿的质量指数的平均值为
，设甲片实验区西红柿的质量指数的中位数
为x，则 ，所以 ，故甲片实验区西红柿的质量指数的中位数为
35.91，从统计学的角度中位数更能代表甲片实验区西红柿的质量指数.
（2）由题意可得 列联表为
甲有机肥料 乙有机肥料 合计
质量优等 60 30 90
质量非优等 40 70 110
合计 100 100 200
，因为 ，所以有99.9%
的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关．
20．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））如图是某采矿厂的污水排放量 单位：
吨 与矿产品年产量 单位：吨 的折线图：
(1)依据折线图计算相关系数 精确到 ，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？ 若
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合
(2)若可用线性回归模型拟合 与 的关系，请建立 关于 的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污
水排放量．
相关公式： ，参考数据： ．回归方程 中，
【答案】(1)相关系数 ，可用线性回归模型拟合y与x的关系
(2) ， 吨
（1）由折线图得如下数据计算得： ， ， ， 所以相
关系数 ，因为 ，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系
（2） ，所以回归方程为 ，当 时， ，所以预
测年产量为10吨时的污水排放量为 吨
21．（2022·全国·高一单元测试）2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天
知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩
（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率
分布直方图.
(1)若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；
(3)若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成
绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？
【答案】(1)600人；
(2)85；
(3)3人，2人，1人.
（1）由频率分布直方图可知，成绩在[80，100]内的频率为0.020×10+0.010×10=0.3，则估计全校这次竞赛
中“航天达人”的人数约为2000×0.3=600人.
（2）由频率分布直方图可知，成绩在[40，50）内的频率为0.005×10=0.05，成绩在[50，60）内的频率为
0.015×10=0.15，成绩在[60，70）内的频率为0.020×10=0.2，成绩在[70，80）内的频率为0.030×10=0.3，成
绩在[80，90）内的频率为0.020×10=0.2，所以成绩在80分以下的学生所占的比例为70%，成绩在90分以下的学生所占的比例为90%，所以成绩的80%分位数一定在[80，90）内，而 ，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数约为85.
（3）因为 ， ， ，所以从成绩在[70，80），
[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人.
22．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世
界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然
而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的
增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.
日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8
累计确诊人数 5
4 8 16 31 71 97 122
y . 1
为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两杆模型：① ，② 对变量x
和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差 )：经过计算
得 ， ， ， ，其中 ，
.
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由；
(2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；
(3)由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没
有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估
计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， .【答案】(1)选择模型①，理由见解析
(2)
(3)157
(1)选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相
对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好
(2)由（1），知y关于x的回归方程为 ，令 ，则 .
由所给数据得： ，
， .
，∴y关于x的回归方程为 ，
(3)将 代入上式，得 (人)，
所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为157人.
