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专题 23.3 图形的旋转（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，按如图所示方式放置正方形 ，点A的
坐标为 ，将正方形 绕坐标原点 O逆时针旋转， 每秒旋转 ， 第2024秒旋转结束时点 C
的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东东营·二模）如图，把 以点 为中心逆时针旋转得到 ，点 ， 的对应点分
别是点 ， ，且点 在 的延长线上，连接 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是等边三角形
3．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在正方形 中， 为 边上的点，连接 ，
，将 绕点 顺时针方向旋转90°得到 ，连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．30°4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，连结 ，将
线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点B在第一象限内，
，将 绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第2024次旋转后，点B的坐标
为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·山西运城·一模）如图，等边 的边长为 ，动点D从点B出发，在线段 上运动，以
为边作 ，其中 ， ，则在点D从点B开始移动至点C的过程中，点E
移动的路径长为（ ）A． B． C． D．
7．（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形 中，D是边 上的中点， ．将 绕
点C顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，当 时， 的大小是
（ ）
A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150°
8．（21-22八年级下·辽宁辽阳·期末）如图所示，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为
， ， ，将 绕顶点 逆时针方向旋转一定角度后，点 恰好与直线 上
的点 重合，此时点 恰好与点 重合，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24九年级上·重庆北碚·期中）如图，在正方形 的边 上取一点E，连接 并延长交的延长线于点F，将射线 绕点A顺时针旋转 后交 的延长线于点G，连接 ，若 ，
则 的大小是（ ）
A．α B． C． D．
10．（2023·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与两坐标轴交于 、 两
点，以 为边作等边 ，将等边 沿射线 方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边
三角形绕 点顺时针旋转 ，使点 落在直线 上，第二次翻滚：将等边三角形绕点 顺时针旋转 ，
使点 落在直线l上……当等边三角形翻滚 次后点 的对应点坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（19-20九年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点P(2,3)绕原点O顺时针旋转
90°得到点 ，则 的坐标为 ．
12．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形 是正方形， 按顺时针方向旋转一定角度后得到 ，点 落在 边上，若 ．则旋转中心与旋转角度分别为 ；
的长度为 ．
13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为 的正方形 绕点C顺时针旋转30°后得到正
方形 ， 交AD于点H，则 的长是 ．
14．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形 内的一点，且 ， ， ．
若将 绕点A逆时针旋转 后，得到 ，则点P与 之间的距离为 ，
．
15．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，将矩形 绕点A旋转，得到矩形 ，使C，E，F
在一条直线上，已知 ， ．请完成下列填空：
（1）线段 的长是 ．
（2）若 的延长线交 于H，则 ．16．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，已知直线 与直线 交于点 ，将线段 绕
点 顺时针旋转 得到 ，若平面内存在一点 ，使四边形 是平行四边形，则点 的坐标是
．
17．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限， ，
，将 绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ．
18．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知在 中， ， ，点 、点
在边 上，且 ，若 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图， 三个顶点的坐标分别是 ， ，
， 为 内任意一点．（1）将 平移得到 ，点C的对应点是 ，请在图中画出 ，并写出点 的坐
标（___，___）；
（2）若 是 经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对
应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（____，____）（用含m，n的式子表示）．
20．（8分）（22-23九年级上·江西南昌·阶段练习）如图， 为等边 内一点，将线段 绕点 逆
时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，直接写出 的度数．
21．（10分）（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形 内一点，将 绕点A
顺时针旋转至 ，点E的对应点为点F．
（1）若 ， ，求 的度数．
（2）连接 ，若 ，求线段 的长．22．（10分）（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上
的点，且 ．将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的长．
23．（10分）（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形 绕点A顺时针旋转 ，得到
矩形 ．
（1）如图，当点E在 上时．
①若 ，则 _____________°；
②求证： ；
（2）探究：当 为何值时， ？请你画出图形，并说明理由．24．（12分）（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图， 和 都是等腰直角三角形，
．
(1)【猜想】如图1，点 在 上，点 在 上，线段 与 的数量关系是______，位置关系是
______；
(2)【探究】：把 绕点 旋转到如图2的位置，连接 ， ，（1）中的结论还成立吗？说明理
由；
(3)【拓展】：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，当A， ， 三点在同一直
线上时，直接写出 的长．参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，
正确找到旋转2024秒后点 的位置是解题的关键．根据旋转4秒恰好旋转 ，说明旋转2024秒后点
D与点 的坐标重合即可．
【详解】解：过A作 轴于E，过 作 轴于F，
∴ ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ， ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
将正方形 绕坐标原点O逆时针旋转，每秒旋转 ，旋转4秒恰好旋转 ，
∵ ，余数为0，
故旋转2024秒后点C与点 的坐标重合，即
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角的运用是解题的关键．根据旋
转的性质和三角形外角的定义和性质，逐项分析判断即可．
【详解】解：由旋转的性质可得， ， ， ．
∵ ，∴ ，
∴ ，故选项A正确，符合题意；
无法证明 ，故选项B不正确，不符合题意；
∵ ，
又∵ ，
∴ ，故选项C不正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，但无法证明 是等边三角形，
故选项D不正确，不符合题意．
故选：A
3．B
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形外角的性质，等边对等角，由旋转性质得
， ，又四边形 是正方形得 ，最后由三角形外角
性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵将 绕点 顺时针方向旋转90°得到 ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
4．D
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，过点 作 轴
于点 ，由旋转可得 ， ，由余角性质可得 ，进而由 可证明
，得到 ， ，由此得到 ，再由勾股定理即可求解，掌握全
等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，则 ，∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 ，点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5．A
【分析】本题考查点的规律探究．熟练掌握旋转的性质， 所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理，
是解题的关键．
过点 作 轴于 ，求出 的长，进于求出 点的坐标，根据旋转的性质，以及点 的坐标规律，
判断每6次一个循环，进而求出第2024次旋转后，点 的坐标即可．
【详解】解：过点 作 轴于 ，在 中， ，
，
，
由勾股定理得 ，
，
，
，
∴逆时针旋转 后，得 ，以此类推， 6次一个
循环，
，
∴第2024次旋转后，点 的坐标为 ，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，将 绕点 旋转
90度，得到 ，连接 ，证明 ，得到 ，进而得到点 在射线 上运动，
进行求解即可．
【详解】解：将 绕点 旋转90度，得到 ，连接 ，则： ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵等边 边长为6，
∴ ， ，
∴ ，
∴到点 在射线 上运动，
当点 与点 重合时，点 与点 重合，
当点 与点 重合时，如图，此时 ，
∴点 运动的路径为 的长，
∵ ，
∴此时 为等边三角形，
∴ ；
故选D．
7．C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识．利用勾股定理的逆定
理证明 ，分两种情形分别求解即可．
【详解】解：设 ，则 ， ， ，，
，
①如图中，当点 在 的中点时，满足条件，此时 ；
②如图中，当点 落在 的中点时，满足条件，此时 ．
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
故选：C．
8．D
【分析】过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，可证得
；设点 的横坐标为 ，则点 的纵坐标为 ，则 ， ，
根据勾股定理可求得 ， 的长度，即可求得答案．
【详解】如图所示，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ．
根据题意可知 ， ．
根据图形旋转的性质可知 ， ， ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ， ．
设点 的横坐标为 ，则点 的纵坐标为 ，则 ， ．
在 中
．
即 ．
解得 ．
则 ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∴点 的坐标为 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质、图形旋转的性质、勾股定理，能根据题意绘制辅助线
是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“ ”可证
，可得 ，由“ ”可证 ，可得
，由角的数量关系可求解．．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵将射线 绕点A顺时针旋转 后交 的延长线于点G，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
10．D【分析】先令 ， 求得点 与点 的坐标，从而求出 、 、 的长度，然后结合图形的翻
转知道点 经过 次旋转后重新落在直线 ： 上，第 次旋转点 的位置不变，再结合 次一循
环得到翻滚 次后点 的坐标．
【详解】解：∵直线l： 与两坐标轴交于 、 两点，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，等边 经过第 次翻转后， ，
过点 作 轴于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
，
等边 经过第 次翻转后， ，
等边 经过第 次翻转后，点 仍在点 处，∴每经过 次翻转，点 向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∵ ，第 次与第 次翻转后点 处在同一个点，
∴点 经过 次翻转后，向右平移了 个单位，向上平移了 个单
位，
∴等边三角形翻滚 次后点 的对应点坐标是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实
际操作理解等边 经过第 次翻转与第 次翻转后点 处在同一个点．
11．
【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意作 轴， 轴，证 即可求解．
【详解】解：如图所示：作 轴， 轴，
由题意得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴ 的坐标为
故答案为： ．
12． A, 4
【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、旋转的定义等知识点，熟知旋转的定义和性质是解题关键．
先根据图形判断出两个三角形的对应顶点，从而可找出旋转角和旋转中心； 再根据根据旋转的性质我可
得 ，再由 即可求得 的长．
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴由题意得旋转中心是点A，旋转角度是 ，
故答案为：点A， ；
∵ 按顺时针方向旋转一定角度后得到 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为4．
13．
【分析】本题考查了旋转的性质，考查了正方形的性质.
连接 ，如图，根据旋转的性质得 再根据“ ”证明
则 ，然后利用含 度的直角三角形三边的关系求出 即可得到
的长.
【详解】连接 , 如图,
∵边长为❑√3的正方形 绕点 按顺时针方向旋转30°后得到正方形 ，
,
∴ ，
在 和 中
，
，，
，
在 中，
，
，
，
故答案为
14． 6 /150度
【分析】连接 ，得出 为等边三角形，进而可求出点P与 之间的距离；根据 ， ，
，判定 为直角三角形，即可求解．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ 绕点A逆时针旋转 后，得到 ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
在 中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ．
故答案为：6； ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，作辅助线构造三角
形是解题的关键．15． 3
【分析】（1）利用勾股定理先求解 ，再求解 即可；
（2）证明 ，设 ，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ， 而 ， ，
∴ ，
∵由旋转可得： ， ，
∴ ．
故答案为：3；
（2）连接 ．
∵ ，
结合旋转可得： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 设 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解
决问题，学会利用参数构建方程解决问题．16．
【分析】本题主要考查直线的交点、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，解
题的关键是熟练掌握相关性质．
根据交点求得点 ，过点M作 轴于点D，过点N作 轴于点F， 则
，由旋转得 和 ，可证明 ，即可求得
，设点P(x,y)，根据平行四边形的性质列出方程，求得点 即可．
【详解】解：有题意得 ，解得 ，
则点 ，
过点M作 轴于点D，过点N作 轴于点F，如图，
则 ，
∵线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则点 ，设点P(x,y)，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，解得 ，
则点 ，
故答案为： ．
17． 或
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理， 含30度角的直角三角形的
性质，分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作 于H，根据旋转的性质得到
，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐
标即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
设点A的对应点为点E，点B的对应点为F，
如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作 于H，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得 ；
综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
18．8
【分析】首先根据题意可得 ， ， ，将 绕点 逆时针旋
转至 ，点 的对应点为点 ，连接 ，易知 ，再证明 ，由全等三
角形的性质可得 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理可得
，代入数值并解得 的值，然后计算 的值即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
如下图，将 绕点 逆时针旋转至 ，点 的对应点为点 ，连接 ，
则 ，∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中，可有 ，
即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等
知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
19．(1)画图见解答；
(2)
【分析】本题考查作图-平移变换、坐标与图形变化-旋转，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题
的关键．
（1）由题意得， 向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到 ，根据平移的性质
作图，即可得出答案．
（2）连接 ，相交于点 ，可知 绕点 旋转 得到 ，进而可得答案．【详解】（1）解：由题意得， 向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到 ，如
图， 即为所求．
由图可得，点 的坐标为 ．
故答案为： ．
（2）解：连接 ，相交于点 ，则 绕点 旋转 得到 ，点 的对应点 的坐
标为 ．
故答案为： ．
20．(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）由等边三角形的性质得 ， ，由旋转的性质得 ， ，
进而得 ，即可由 证明 ；
（ ）由全等三角形的性质得 ，由 ， 可判定 为等边三
角形，得到 ，利用角的和差关系即可求解；
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转和等边三角形
的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
21．(1)
(2)
【分析】（1）证明 即可求解；
（2）先证明 ，再利用勾股定理求解即可
【详解】（1）解∶ ，
，
绕点 顺时针旋转至 ，
，
；
（2） 绕点 顺时针旋转至 ，点 的对应点为点 ，
旋转至 的位置，旋转角为 ，
，
．
【点拨】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。
.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知， ， ；由 和四边形 是正方
形，可得 ，从而得出 ，利用 得出 ，即可求解；
（2）由 得 ，正方形 的边长为 ，从而求出 ，根据
求出 的长，设 ，则 ，在 中，由
勾股定理得：
，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设 ，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，即 ，
解得： ，
则 ．【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是
熟练掌握相关的定理及性质．
23．(1)① ；②见解析
(2) 或 ，见解析
【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质．
（1）①由矩形的性质可证 ；②由矩形的性质及旋转的性质可证 （ ），
从而可得 ，即可求证；
（2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在 的垂直平分线上，①当点G在 右侧时，取 的中
点H，连接 交 于M，可证 是等边三角形，即可求解；②当点G在 左侧时， 同理可得
是等边三角形，即可求解；
掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：① 四边形 是矩形，
，
由旋转得： ，
，
，
，
故答案： ；
②由旋转可得：
，
，
，
，
又 ，
，
，
在 和 中
，
（ ），，
又 ，
．
（2）解：如图，当 时，
则点G在 的垂直平分线上，
①当点G在 右侧时，取 的中点H，连接 交 于M，
，
，
四边形 是矩形，
，
垂直平分 ，
，
是等边三角形，
，
旋转角 ；
②如图，当点G在 左侧时，
同理可得 是等边三角形，
，
旋转角 ．24．(1) ，
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出 ，得出 ，再用 ，
即可得出结论；
（2）先由旋转得出 ，进而判断出 ，得出 ，进而
得出 ，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段 上时，过点C作 于M，求出 ，再用勾股定理求出
，即可得出结论；
②当点E在线段 的延长线上时，过点C作 于N，求出 ，再由勾股定理求出根据勾股定理
得 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
，
，
∵ ，
，
故答案为： ；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：
由旋转知， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当点E在线段 上时，如图3，过点C作 于M，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
在 中，
；
②当点D在线段 上时，如图4，过点C作 于N，∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
在 中，
；
综上， 的长为 或 ．
【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定
和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
